群的基本知识

第一章 群的基本知识

二十一世纪以来，特别是爱因斯坦（Einstein）发现相对论之后，对称性的研究在物理学中越来越重要。对称性帮助人们求得物理问题的解，也帮助人们寻求新的运动规律。物理学家不仅研究了空间和时间的对称性，而且找到了许多内部对称性，如强作用的SU(2)同位旋对称，SU(3)色和味的对称，弱电统一的SU(2)XU(1)的对称，偶偶核的U(6)动力学对称等等。从七十年代起，又开展了超对称性的研究。群论是研究对称性问题的数学基础，因此，它越来越受到物理学工作者的重视。

1.1 群

定义 1.1 设G是一些元素的集合，G?{?,g,?}?{g}.在G中定义了乘法运算。如果G对这种运算满足下面四个条件：

（1） 封闭性。即对任意f,g?G，若fg?h，必有h?G。 （2） 结合律。对任意f,g,h?G，都有?fg?h?f(gh).

（3） 有唯一的单位元素。有e?G，对任意f?G，都有ef?fe?f （4） 有逆元素。对任意f?G，有唯一的f则称G为一个群。e称为群G的单位元素，f例1 空间反演群。

设E和I对三维实空间R中向量r的作用为

3?1?G，使f?1f?ff?1?e

?1称为f的逆元素。

?Er?r,Ir??r

即E是保持r不变的恒等变换，I是使r反演的反演变换，定义群的乘法为从右到左连续对r作用。集合?E,I?构成反演群，其乘法表见表1.1.

例2 n阶置换群Sn，又称n阶对称群。将n个元素的集合X?{1,2,?,n}映为自身的置换为

????????1P???m?12?n??, ?m2?mn?其中m1,m2,?,mn是1,2,?,n的任意排列，P表示把1映为m1，2映为m2，n映为mn的映射。显然置换只与每列的相对符号有关，与第一行符号的顺序无关，如

?1234??4231???42 13??32 14??=??。 ????定义两个置换P和P的乘积PP，为先实行置换P，再实行置换P，如

'''

?123??123??123???21 3????=??。 ?32 1??31 2???????容易看出在这乘法定义下，全部n阶置换构成Sn群。Sn群共有n!个元素。 例3 平面三角形对称群D3，又称为6阶二面体群。

考虑重心在原点，底边与x轴平行的xy平面上的正三角形?ABC，见图1.1（a）。保持正三角形不变的空间转动操作有

e:不转，d:绕z轴转2?3，f:绕z轴转4?3， a: 绕轴1转?，b: 绕轴2转?，c:绕轴3转?

定义两个转动操作的乘积，如ab为先实行操作b，再实行操作a。由图1.1?b?可看出，实行操作b和实行操作ab后?ABC位置的变化，且可看出，实行操作ab和实行操作d一样，因此ab?d。在上述乘法定义下，保持正三角形不变的全体转动操作构成D3群。

D3?{e,d,f,a,b,c}是6阶群，它的乘法表见表1.2.

例4 定义群的乘法为数的加法，则全体整数构成一个群，0是单位元素，n和?n互为逆元素。同理，全体实数在加法下也构成一个群。但实数全体在乘法为数乘时，并不构成一个群，因为0没有逆元素。除去0以外的实数构成一个群。

例5 空间平移群T?3?。设a是R中的向量，r是R中任意一向量，定义空间平移Ta为

33??Tar?r?a

定义两个平移Ta和Tb的乘积TaTb，为先实行平移Tb，再实行平移Ta，

???TaTbr?Ta(r?b)?r?b?a?Ta?br

故 TaTb?Ta?b?TbTa

T?3?群的单位元素是平移零向量T?，即不平移，其中?是零向量，Ta和?Ta是互逆元素。例6 三维转动群SO(3)。保持R中点O不动，设k是过O点的任一轴，绕k轴转?角的转动为Ck(?)。定义两个转动Ck(?)和Ck'(?)的乘积Ck(?)Ck'(?)，为先实行绕k轴转?角，再实行绕k轴转?角。则绕所有过O点轴的一切转动构成SO(3)群。SO(3)群的单位元素是转角??0，即不转。绕同一轴k，转角?和2???的元素Ck(?)，Ck'(?)互为逆元素。

????????3??''?'''

由上述例子可以看出群的元素不但可以是数，而且可以是空间反演、空间转动、空间平移等操作，也可以是置换等等。

G称为无限群。当群G的元素个数有限时，G称为有限群。当G的元素个数为无限时，空间反演群、Sn群、D3群是有限群，例4至例6是无限群。

有限群G的元素的个数n称为群的阶，有时记为n?G?。反演群是二阶群，D3是6阶群，Sn是n!阶群。

群的乘法，可以是数乘和数的加法，也可以是空间反演、转动等连续两次操作和连续

两次置换等等。有限群的乘法规则，可以列为乘法表。无限群的乘法虽然不能列出乘法表，但乘法规则总是确定的。

群的乘法一般不具有可交换性。即对任意f,g?G，一般说来fg与gf并不相等。如果对任意f,g?G，有fg?gf，则称G是可交换群或阿贝尔(Abel)群。

从前面例子还可以看出，群G的任何元素可以用指标a标记。当G是n阶有限群时，指标a取1,2,?,n，群元用ga(a?1,2,?,n)表示。当G是可数的无限群时，如整数加法群，a可以取所有整数值，a?0,?1,?2,?。当G是连续的无限群时，如实数加法群，有时a取全体实数，有时a取多个有序的连续变化的实数：如在平移群中，a是三个无界的有序实数(ax,ay,az)，

?a?axi?ayj?azk

????又如在转动群中，a是3个有界的有序实数?,?,?，其中?,?是转轴k的方位角，?是转动角度，而且，0????,0???2?,0????,综上所述，群G是任一个元素，总可用在一定范围内变化的一个数a标记为ga，给出此范围中任一个数a，就对应群G的一个元素。

定理1.1（重排定理） 设G?{ga},u?G，当a取遍所有可能值时，乘积uga给出并且仅仅一次给出G的所有元素。

?1证明 先证G中任意元素g?可以写成uga的形式。因为u?G，所以

u?1g??g??G，自然有g??ug?。

再证uga当?不同时，给出G中不同的元素。用反证法，设???，而ug??ug?'，两边左乘u?1'得g??g?'，这与?可以唯一标记G中元素矛盾。故???时，ug??ug?'。

'

于是当?改变时，uga给出并仅一次给出G的所有元素。定理证毕。

系gau在?取遍所有可能值时，也给出并且仅仅一次给出群G的所有元素。

重排定理是关于群的乘法的重要定理。它指出每一个群元素，在乘法表的每一行（或每一列）中被列入一次而且仅仅一次。乘法表的每一行（或每一列）都是群元素的重新排列，不可能有两行（或两列）元素是相同的。

1.2子群和陪集

H也构成一个群，定义1.2 设H是群G的一个子集，若对于与群G同样的乘法运算，

则称H为G的子群。常记为H?G。

容易证明，群G的非空子集H是G的子群的充要条件为：

(1)若ha,h??H，则h?h??H，

?1(2)若h??H，则h??H。

任意一个群G，其单位元素e和G本身都是G的子群，这两种子群称为显然子群和平庸子群。群G的非显然子群称为固有子群。若不特别说明，一般说是指固有子群。 例7 在定义群的乘法为数的加法时，整数全体构成的群是实数全体构成的群的子群。 例8 在x轴方向的平移{Taxi}全体构成平移群T(3)的一个子群。 例9 绕固定轴k的转动Ck(?)，0???2?是SO(3)群的一个子群。

??定义1.3 n阶循环群是由元素a的幂ak组成，k?1,2,?,n，并且an?e，记为

zn?{a,a2,?,an?e}.

循环群的乘法可以交换，故循环群是阿贝尔群。从n阶有限群G的任一个元素a出发，总可以构成G的一个循环子群zk,

称a的阶为k，zk是由a生成的k阶循环群。因为当a?e,e为G的一阶循环子群，这是显

2然子群。当a?e,a?a,如a?e，则由a生成2阶循环子群。如

2a?e,a2?e,?,ak?1?e,，用重排定理，知a,a2,?,ak?1,ak为G中不同元素。通过增加

k，再利用重排定理，总可以在k?n中达到ak?e。因此，从阶有限群的任一元素a出发，

总可以生成一个G的循环子群。

定义1.4 设H是群G的子群，H?{h?}。由固定g?G，g?H，可生成子群H的左

陪集gH?gh?h??H, 同样也可生成H的右陪集

??

Hg??h?gh??H?,

有时也将陪集称为旁集。当H是有限子群时，陪集元素的个数等于H的阶。

定理1.2（陪集定理）设群H是群G的子群，则H的两个左（或右）陪集或者有完全相同的元素，或者没有任何公共元素。

证明 设u,v?G，u,v?H，考虑由u,v生成的H的两个左陪集，

uH?{uh?h??H},vH?{vh?h??H}

设左陪集uH和vH有一个公共元素，uh??vh?

?1则v?1u?h?h??H

根据重排定理，vuh?当?取遍所有可能值时，vuh?给出群H的所有元素一次，并且仅仅一次，故左陪集v[vuh?]?uh?与左陪集vh?重合。因此当左陪集uH和vH有一个公共元素时，uH和vH就完全重合。定理证毕。 同样的证法，也适用于右陪集。

?1?1?1定理1.3 （拉格朗日定理）有限群的子群的阶，等于该有限群阶的因子。

证明 设G是n阶有限群，H是G的m阶子群。取u1?G，u1?H,作左陪集u1H。如

果包括子群H的左陪集串H,u1H不能穷尽整个群G，则取u2?G,u2?H,u2?u1H，作左陪集u2H。根据陪集定理，u2H与H和u1H完全不重合。继续这种做法，由于G的阶有限，故总存在uj?1，使包括子群H的左陪集串

H,u1H,u2H,?,uj?1H

穷尽了整个G。即群G的任一元素被包含在此左陪集串中，而左陪集串中又没有相重合的元素，故群G的元素被分成j个左陪集，每个陪集有m个元素。于是 群G的阶n=（子群H的阶m）?j 定理证毕。

系 阶为素数的群没有非平庸子群。

上面把群G的元素，分成其子群H的左陪集串的作法，不仅对证明拉格朗日定理有用，而且提供了一种把群G分割为不相交子集的方法。这是一种很有用的分割群的方法。同样，也可以把群G分割成其子群的右陪集串。

例10 D3有子群H1?{e,a},H2?{e,b},H3?{e,c}和H4?{e,d,f}。D3可按H1分成

左陪集串，H1?{e,a},bH1?{b,f},cH1?{c,d}。也可按H4分成右陪集串，

H4?{e,d,f},H4a?{a,b,c}。

1.3类与不变子群

定义1.5 设f,h是群G的两个元素，若有元素g?G，使gfg轭。记为h~f。

共轨具有对称性，当h~f，则f~h。且f~f。

?1?1共轨还具有传递性，即当f1~h,f2~h,，则有f1~f2。因f1?g1hg1,f2?g2hg2,故 ?1?1?1?1f1?g1g2f2g2g1?1?(g1g2)f2(g1g2),

?1?h，则称元素h与f共

定义1.6 群G的所有相互共轨的元素集合组成G的一类。

由于共轭关系具有对称性和传递性，因此一个类被这类中任意一个元素所决定。只要给出类中任意一个元素f，就可求出f类的所有元素，

?1,g??G}。 f类{f'f'?g?fg??1一个群的单位元素e自成一类，因对任意g??G，有g?eg??e。阿贝尔群的每个元?1素自成一类，因对任意f,g??G，有g?fg??f。设元素f的阶为m，即fm?e，则

?1m?1f类所有元素的阶都是m，因(g?fg?)?g?fmg??e，对任意g??G成立。

?1应该指出，当g?取遍群G的所有元素时，g?fg?可能不止一次地给出f类中的元素。?1如f?e，g?fg?永远给出单位元素e。

由共轨关系具有传递性可以知道，两个不同的类没有公共元素。因此可以对群按共轨类进行分割。这种对群按共轨类进行的分割，每个类中元素个数不一定相同。而按子群的陪集对群进行的分割，每个陪集元素的个数是相同的。按类和按陪集分割群，是分割群的两种重要方式。

定理1.4 有限群每类元素的个数等于群阶的因子。

证明 设G是n阶有限群，g是G的任一个元素，看g类元素的个数。作G的子群Hg，

Hg?{h?Ghgh?1?g},

Hg由G中所有与g对易的元素h组成，即hg?gh。

对于g1,g2?G,g1,g2?H，，如果g1gg1?g2gg2，则g1,g2必属于H的同一左陪集g1H

gg?1?1g。因为按定义，g1?g1Hg。由g1gg1?g2gg2?1?1可得

(g1?1g2)g(g1?1g2)?1?g，故g1?1g2?Hg,g2?g1Hg。

反之，如果g1,g2属于Hg的同一左陪集g1Hg，必有g2?g1h,h?Hg。于是有

?1g2gg2?g1hgh?1g1?1?g1gg1?1

因此g类中元素的个数，等于群G按H分割陪集的个数，也就是群G的阶的因子。

gg类元素个数=

G的阶 gH的阶定义1.7 设H和K是群G的两个子群，若有g?G，使

K?gHg?1?{k?ghg?1h?H}

，则称H是K的共轭子群。

由共轭关系的对称性和传递性，知共轭子群也有对称性和传递性。即若H是K的共轭子群，则K也是H的共轭子群。若H1和H2是K的共轭子群，则H1和H2也互为共轭子群。G的全部子群可分割为共轭子群类。

定义1.8 设H是G的子群，若对任意g?G,h??H，有gh?g?1?H。即如果H包含

元素h?，则它将包含所有与h?同类的元素，我们称H是G的不变子群。

定理1.5 设H是G的不变子群，对任一固定元素f?G，在h?取遍H的所有群元时，

乘积fh?f?1一次并且仅仅一次给出H的所有元素。

?1证明 首先证明H的任意元素h?具有fh?f的形式。因为H是不变子群，故

f?1h?f?H，令f?1h?f?h?，则h??fh?f?1。

而且当h??h?时，fh?f素时，fh?f?1?1?fh?f?1，否则必引起矛盾。因此当h?取遍所有可能的H元

一次并且仅仅一次给出H的所有元素。

例11 以加法作为群的乘法时，整数加法群是实数加法群的不变子群。实事上，阿贝尔群

的所有子群都是不变子群。

不变子群的左陪集和右陪集是重合的。因为对G的不变子群H，由g?G,g?H，生成H的左陪集gH?{gh?h??H} 和右陪集Hg?{h?gh??H}

而由H是G的不变子群知g?1h?g?H。由下式可以看出左陪集的元素g(g?1h?g)也是右陪集的元素。

g(g?1h?g)?h?g?Hg

故H的左右陪集重合。因此对不变子群，就不再区分左陪集和右陪集，只说不变子群的陪集就够了。

设H是G的不变子群。考虑没有公共元素的H的陪集串，H,g1H,g2H,?,giH,?,，假定陪集串穷尽了群G，两个陪集giH和gjH中元素的乘积。必属于另一陪集。因

1gih?gjh??gigjg?jh?gjh??gigjh?h??gigjh??gkh??gkH

其中 h??gjh?gj,h??h?h?,gk?gigj

?1定义1.9 设群G不变子群H生成的陪集串为H,g1H,g2H,?,giH,?,，把其中每一个

陪集看成一个新的元素，并由两个陪集中元素相乘的另一个陪集的元素，定义新的元素间的乘法规则，即 陪集串 新元素

H?f0 g1H?f1 g2H?f2

giH?fi

乘法规则 gih?gjh??gkh??fifj?fk

这样得到的群{f0,f1,f2,?,fi,?}，称为不变子群H的商群，记为GH。不变子群H对应商群GH的单位元素f0，每一个陪集giH对应商群GH的一个元素fi。陪集giH和陪集gjH的乘积对应fi和fj的乘积。事实上，群{f0,f1,f2,?,fi,?}和群

{H,g1H,g2H,?,giH,?}同构，它们都可以作为商群GH的定义。

例12 D3群的元素可以分为三类，即c类?{e}，d类?{d,f}，a类?{a,b,c}。恒等转

动e自成一类，绕z轴转2?3和4?3是一类，绕角等分线转?角是一类。因此D3的子群是互为共轭的子群，H4?{e,d,f}是不变子群。H4H1?{e,a},H2?{e,b},H3?{e,c}，的陪集串和商群D3H4的元素间有以下对应

H4?{e,d,f}?f0,aH4?{a,b,c}?f1

故商群D3H4是二阶循环群Z2。

1.4群的同构与同态

定义1.10 若从群G到群F上，存在一个一一对应的满映射?，而且?保持群的基本运算规律（乘法）不变；即群G中两个元素乘积的映射，等于两元素映射的乘积，则称群G和群F同构，记为G?F。映射?称为同构映射。

同构映射可由图1.2表示： 其中?:G?F gi?fi gj?fj gigj?fifj

同构映射?，把G的单位元素g0映为F的单位元素f0，因对任意fi?G,?:gi?fi。 设?:g0?f0'，则有?:g0gi?gig0?gi?f0'fi?fif0'?fi

故f0'?f0,f0'必为F的单位元素f0。同构映射?，还把G的互逆元素gi,gi?1映为的互逆元素fj,fj。

由于同构映射?是一一满映射，故逆映射?恒存在，?把F映为G，而且?保持群的乘法规律不变，即

?1?1?1?1??1:F?G

fi?gi

fj?gj fifj?gigj

所以当群G和群F同构，必有群F与群G同构，F?G。

两个同构的群，不仅群的元素间有一一对应关系，而且他们所满足的乘法规律间也有一一对应关系。因此从数学角度看，两个同构的群具有完全相同的群结构。作为抽象的群来说，两个同构的群本质上没有任何区别。

例13 空间反演群{E,I}和二阶循环群Z2?{a,a2?e}同构。 例14 三阶对称群S3和正三角形对称群D3同构。

例15 群G的两个互为共轭的子群H和K是同构的。因为存在g?G，使h??H与

k??K有一一对应关系，h??gk?g?1,k??g?1h?g

以上各个同构的群，有完全相同的乘法表。因此作为抽象的数学群来说，它们是一样的。当然，对同一抽象群，当它用于不同的物理或几何问题时，它将代表不同的物理或几何意义。这和初等数学中2+3=5可以代表不同对象相加是同样的。

定义1.11 设存在一个从群G到群F上的满映射?，?保持群的基本规律（乘法）不变；即G中两个元素乘积的映射，等于两个元素映射的乘积，则称群G与群F同态，记为G~F。映射?称为从G到F上的同态映射。 图1.3表示从G到F上的同态映射?: 其中?:G?F

gi?fi

gj?fj gigj?fifj

也有定义从群G到群F中的同态映射?，这时?保持群的乘法规律不变，但并不是满映射。以后如不特别说明，我们说同态，是指从群G到群F上的同态。

一般说，同态映射?并不是一一对应的。即对群F中的一个元素fi，G中可能不止一个元素gi,gi',?,与之对应。因此群G与群F同态，并不一定有群F与群G同态。 同构是一种特殊的同态，即当同态映射?是一一映射时，同态就是同构。因此若群G与群F同构，则G必与F同态。反之，若群G与群F同态，G与F不一定同构。

任何群G与只有单位元素的群Z1?{e}同态。这种同态是显然的，一般不考虑这种同态。

定义1.12 设群G与群F同态，G中与F的单位元素f0对应的元素集合H?{h?}，称

为同态核。

定理1.6（同态核定理）设群G与群F同态，则有 （1） 同态核H是G的不变子群；

（2） 商群GH与F同构。 同态核定理可以用图1.4表示。

证明 先证明同态核H是G的子群。

对任意h?,h??H，有?:h??f0,h??f0,h?h??f0

故h?h??H。因此同态核中二元素h?h??f0，的乘积仍在H中。而且由于同态映射把单位元素映为单位元素，故H含有G的单位元素g0，因设?:g0?f0，则对任意gi?G，

'

Y?{B}或Y?{D} H?{e,a} Y?{A,C}或Y?{B,D} H?{e,a,b,r2} Y?{A,B}或Y?{C,D} H?{e,u} Y?{A,D}或Y?{B,D} H?{e,v}等等。

定义1.16 设G是X上变换群，x是X内一点，G的子群Gx保持x不变，

Gx?{h?Ghx?x}

Gx称为G对x的迷向子群。

在正四方形对称群D4中，A,C和B,D点的迷向子群分别为

GA?Gc?{e,b} GB?GD?{e,a}

定理1.8 设Gx是G对x的迷向子群，则Gx的每一个左陪集，把点x映为X中一个特定

的点y。也就是说，含x的G轨道上的点，和G的左陪集间有一一对应关系。

x证明 设y是含x的G轨道上的点，即有g?G，使gx?y。则Gx左陪集gGx也将x映

为y。因为G?{h??Gh?x?x}

xx gG?{gh?h??G}

x得gh?x?gx?y。反之，若有f?G，f把x映为y，fx?y，则由fx?y?gx，得

x?g?1fx,g?1f?Gx,f?gGx。

xx即只有左陪集gG中的元素，才可能把x映为y。因此，含x的G轨道上的点和G的左

陪集间有一一对应关系。定理证毕。

系 设G是n阶有限群，Gx左陪集的个数，就是含x的G轨道中点的个数。设Gx的阶为

n(Gx)，则含x的G轨道中共有nn(Gx)个点。

例21 设A,B,C是平面正三角形?ABC的三个顶点，D3是X?{A,B,C}的对称群。A点

AAA的迷向子群G?{e,a}，即A在G作用下不变。左陪集bG?{b,f}把A映为C，

。 cGA?{c,f}把映A为B。含A的D3轨道上共有62?3个点。见图1.1（a）

例22 设A,B,C,D是正四方形ABCD的4个顶点，D4是X?{A,B,C,D}的对称群。A点的迷向子群GA?{e,b}，即A在G作用下不变。左陪集aGA?{a,r2}将A映为C，

AuGA?{u,r}将A映为B，vGA?{v,r3}将A映为D。含A的D4轨道共有82?4个点。

见图1.7。

以上对迷向子群的讨论是很重要的。特别是定理1.8，使迷向子群的陪集和轨道上的点之间，建立了一一对应关系，并把代数的陪集概念与几何的轨道概念联系起来了。

1.6群的直积与半角积

先讨论两个群G1和G2的直积。

设g1??G1,g2??G2，则G1和G2直积群G的元素g??为

g???g1?g2??g2?g1?。

由于在群G1和G2间并没有乘法规则，故定义直积群时，总可以取g1?和g2?可交换。对

g??,g?'?'?G，定义直积群的乘法为

g??g?'?'?(g1?g2?)(g1?'g2?')?(g1?g1?')(g2?g2?')

\\\\ ?(g2?g2?')(g1?g1?')?g1?g2??g2?g1?

\其中g1?g1?'?g1??G1，g2?g2?'?g2??G2。由g??并按上述乘法规则，得到G1和G2\得直积群G。记为G?G1?G2或G?G1?G2。

设e1,e2分别是群G1,G2的单位元素，群F1?{g1?e2}和群F2?{e1g2?}分别于群G1和群G2同构。G1?F1，G2?F2。按以上乘法规则可得直积群G?F1?F2。G的单位元素为e?e1e2，元素g??的逆元素为g???g1?g2?。

当群G有子群G1和G2，若满足 （1）G的每个元素g??能够唯一地表示成

?1?1?1g???g1?g2?，

其中g1??G1,g2??G2； （2）G的乘法规则满足

g1?g2??g2?g1?。

即G1与G2的元素，按G的乘法规则可以交换。这时G1和G2元素乘法规则已包含在G的乘法规则中。则称群G是其子群G1和G2的直积，G?G1?G2。G1和G2称为群G的直积因子。当然G1和G2本身并不一定是阿贝尔群。

当群G1和G2是群G的直积因子时，G的单位元素e是G1和G2唯一的公共元素。而且G1和G2都是G的不变子群。

设e'?G1?G2，而且e?e，则在直积群G?G1?G2中有两个不同的元素ee和ee

''''

都对应e?G，这与G的每个元素g??可以唯一表为g1?g2?矛盾。故只有e?G1?G2。

对任意g1??G1，与g1?同类的元素为

(g1?'g2?')g1?(g1?'g2?')?1?g1?'g2?'g1?(g2?')?1(g1?')?1

1?g1?'g1?g1??G1。 ?'故G1是G的不变子群，同理G2也是G的不变子群。商群GG1同构于群G2。

例23 6阶循环群Z6?{a,a2,a3,a4,a5,a6?e}，是二阶循环群G1?{a3,a6?e}和三

阶循环群Z6?{a2,a4,a6?e}的直积群。即Z6?G1?G2

G1和G2唯一的公共元素都是单位元素e，G1和G2都是Z6的不变子群，Z6G1同构于G2。

反之，D3有子群G1?{e,d,f},G2?{e,a}，D3的元素g??可以唯一地表为g1?g2?，如c?da,b?fa,? 。但按D3的乘法规则，g1?g2??g2?g1?，即ad?b,af?c,?，不满足直积的条件，故D3不是其子群G1和G2的直积群。子群G2?{e,a}也不是D3的不变子群。

下面讨论群的半直积。

设群G1?{g1?},G2?{g2?}，G1的自同构群为A(G1),v?A(G1)，如果存在一个把

G2映为A(G1)的同态映射?，?:G2?A(G1)

即?:g2??vg2?，则可定义G1和G2的半直积群G，G?G1?sG2

G的元素g??可唯一地写为g????g1?g2??

其中g1?和g2?为有序的。G的乘法定义为下面证明G确实是一个群。

因A(G1)是G1的自同构群，故对vg2??A(G1)，有

g??g?'?'??g1?g2???g1?'g2?'???g1?vg2?(g)g2?g2?,?'1?

vg2?(g1?g1?')?vg2?(g1?)vg2?(g1?')

'vg2?g2?'(g1?)?vg2?(v2?(g1?))

由此可以证明G的乘法满足结合律，

\\(?g1?g2???g1?'g2?'?)?g1?g2????g1?vg2?(g1?')vg\1?\2?'2?g2?\\(g1?)g2?g2?'g2??\1?\2???g1?vg2?(g1?')vg'(g)g2?g2?'g???g1?g2??(?g1?'g2?'??gg?)2?

设g10和g20分别是G1和G2的单位元素，则由于vg2?是G1的自同构映射，有

vg2?(g10)?g10，vg20(g1?)?g1?

容易证明G的单位元素为?g10g20?，即

?g10g20??g1?g2????g1?g2???g10g20???g1?g2??

元素?g1?g2??的逆元素为?vg?1(g1?)g2??，

2??1?11?1?1?g1?g2???vg?1(g1??)g2????g1?vg20(g1?)g20???g10g20?，

2?1?1?vg?1(g1??)g2???g1?g2????vg?1(g10)g20???g10g20?，

2?2?故G?G1?sG2确实构成一个群。

群G1和G2的半直积也可写成：

G?G1?sG2

等等，其中G1和G2的顺序不能颠倒。

若G?G1?sG2,G1是G的不变子群。因为与G1中元素?g1?'g20?同类的元素为

?11?1g???g1?'g20?g????g1?g2???g1?'g20??vg?1(g1??)g2??

2?1??g1?vg2?(g1?')g1??g20??G1

因此G1是G的不变子群。

但一般说来，并不是的不变子群。当也是的不变子群时，半直积就退化为直积。可见半直积群比直积群条件弱，有些群不能作为简单群的直积，但却可以作为半直积。 例24 群，取，，的自同构群有元素

存在到上的同构（特殊的同态）映射， 因此可以定义半直积，其元素为

并且群的乘法规则与完全相同，如 因此

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