数项级数求和的若干方法

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安徽工业大学 信息与计算科学系 毕业论文

题 目: 姓 名: 学 院: 专 业: 班 级: 学 号: 指导教师:

中文：级数求和的若干方法 English:Summation of several methods 徐科 数理学院 信息与计算科学 2009级1班 099084166 张 敬 和

2013年6月8日

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安徽工业大学 毕业设计(论文)任务书

课题名称 学 院 专业班级 姓 名 学 号

毕业设计(论文)的主要内容及要求：

1、了解正项级数，任意项级数，函数项级数，幂级数的相关概念。 2、熟悉各种级数收敛的的理论，理解部分定理的证明过程。 3、尽可能的对某些定理之间的区别以及联系稍加分析。 4、借助幂级数，数列等知识给出数项级数求和的若干方法。

5、参阅数学分析，常微分方程等与级数相关的教材或者文献，充分利用图书馆以及电子阅览室。提高自己查阅资料的能力。

6、论文必须符合科技论文的要求，格式严格按照本科毕业论文的规范来撰写。 7、查阅相关文献资料，至少10篇，其中英文文献不少于2篇。

8、翻译一篇跟本设计有关的外文文献，要求翻译无错误，可以通顺阅读。 9、熟悉微软Word或者金山的WPS的使用方法和技巧，以期提高使用计算机的能力。

级数求和的若干方法

数理学院

信息与计算科学 091班

徐科 099084166

指导教师签字：

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级数求和的若干方法

安徽工业大学 数理学院 信息与计算科学系

091班 徐科 学号：099084166

摘 要

级数，重要的数学工具。无论是对数学学科本身，还是在其他学科及技术的研究与发展方面，都发挥着特别重要的作用和影响，且其与我们的日常生活息息相关。需要我们去掌握并利用，我们也应该去发掘出它更为广泛的应用领域，为我们的研究与学习奠定基础。

级数求和，作为级数理论及应用的主要板块之一。它有着比较繁多的方法和很强的技巧性，而目前国内大多数数学教材及其他相关书籍中没有专门针对级数求和的常用方法设立板块，若要理解并掌握它的方法和技巧，则需要借鉴一些国内外涉及此内容的数学书籍，进行总结和提炼。

本文对级数的有关概念，收敛的定义以及部分定理给与了证明，介绍了运用裂项相消, 错位相减, 逐项微分, 逐项积分, 运用特殊级数求和等等这几种方法求数项级数的和, 并通过实例说明了这些方法的应用.

关键词：级数，收敛，数项级数求和，幂级数。

I

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Summation of several methods

ANHUI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY

The Mathematical Institute Information and computing science department

Class 091 Xu Ke Student ID: 099084166

Abstract

Progression , important mathematical tools ! Both for mathematics itself , or in other disciplines and technology research and development, has played a particularly important role and influence , and its our daily lives. We need to grasp and use , we should go to discover its broader application areas for our research and learning foundation . Summation as a series theory and application of the main plate. It has a relatively strong variety of methods and techniques , while most domestic mathematics textbooks and other books not specifically for the establishment of a common method Summation sector , to understand and grasp its methods and techniques , then needs to learn some of this content and abroad involved in the mathematical books were summarized and refined .

In this paper, the concept series , convergence theorems give some definitions and proved , introduces the use of destructive Splitting , dislocation subtract itemized differential , itemized points , the use of these types of special summation etc. method for solving a number of series and , and through examples illustrate the application of these methods .

Keywords : series , convergence, Summation , power series .

II

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目 录

摘要 ···························································································································· Ⅰ Abstract ················································································································· Ⅱ 一、综述 ······················································································································ 1

1.1 级数的背景知识 ··························································································· 1 1.2 研究现状 ······································································································· 2 1.3 研究意义 ······································································································· 2 二、基础知识 ·············································································································· 3 2.1 引言 ··············································································································· 3

2.2 级数的分类及定义 ······················································································· 3 2.2.1 数项级数 ···························································································· 3 2.2.2 函数项级数 ························································································ 3 2.2.3 三个重要级数 ···················································································· 4 2.3 级数收敛的定义 ··························································································· 4

2.4 级数收敛的判断 ··························································································· 4

2.4.1 正项级数收敛的判断 ········································································ 5 2.4.1.0 级数收敛的必要条件 ····························································· 5 2.4.1.1 定理02 ···················································································· 5 2.4.1.2 正项级数的收敛原理 ····························································· 5 2.4.1.3 常用级数 ················································································· 5 2.4.1.4 正项级数的各种判别法 ························································· 7 2.4.1.5 引理 ······················································································· 11 2.4.2 任意项级数收敛的判断 ·································································· 14 2.4.3 函数项级数收敛的判断 ·································································· 16 2.4.4 幂级数 ······························································································ 17 2.4.4.1 幂级数的基本概念和定理 ··················································· 18 2.4.4.2 函数的幂级数的展开 ··························································· 21 三、级数求和 ············································································································ 26

<一> 简单易用的求和方法 ·············································································· 26 3.1 根据定义求级数的和 ········································································· 26 3.2 首尾相加法 ························································································· 26 3.3 错位相减法 ························································································· 27 3.4 分组求和法 ························································································· 28

3.5 微分方程法 ························································································· 28

III

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3.6 利用递推法求和 ················································································· 29 3.7 部分和子列 ························································································· 29 3.8 列项相消法 ························································································· 30 <二> 利用幂级数的知识求和 ·········································································· 32 3.9 逐项微分求和 ····················································································· 32 3.10 逐项积分求和 ··················································································· 33 3.11 转化为已知的特殊的幂级数求和 ···················································· 34 四、致谢 ···················································································································· 36 参考文献 ···················································································································· 37

IV

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一 综述

1.1级数的背景知识

[1]早在大约公元前450年，古希腊有一位名叫Zero的学者，曾提出若干个在数学发展史上产生过重大影响的悖论，“Achilles（希腊神话中的英雄）追赶乌龟”即是其中较为著名的一个。

设乌龟在Achilles前面s1米处向前爬行，Achilles在后面追赶，当Achilles用了t1秒时间，跑完了s1米时，乌龟早已向前爬了s2米；当Achilles再用t2秒时间，跑完了s2时，乌龟又向前爬了s3米...这样的过程一直继续下去，因此Achilles永远也追不上乌龟。

虽然，这一结论完全有悖于常识，是绝对荒谬的。没有人会怀疑，Achilles必将在T秒的时间内，跑了S米后追上乌龟（T和S是常数）。Zero的诡辩之处就在于把有限的时间T无限分割（或距离S）分割成无穷段t1，t2，...(或s1,s2,..)，然后一段一段的加以叙述，从而造成一种假象：这样“追-爬-追-爬”的过程将随时间的流逝而永无止境。事实上，如果将用掉的时间t1,t2,...(或跑过的距离s1,s2,...)加起来，即： t1?t2?????tn????(或s1?s2?????sn????)。

尽管相加的项有无限个，但他们的和却是有限数T（或S）。换言之，经过时间T秒Achilles跑完S米后，他已经追上乌龟了。

这里，我们遇到了无限个数相加的问题。很自然地，我们要问，这种“无限个数相加”是否一定有意义？ 若不一定的话，那怎么来判断？ 有限个数相加时的一些运算法则，如加法交换律，加法结合律对于无限个数相加是否继续有效？ 如此等等。这正是本文要讨论的级数问题

其实，级数对于我们来说一点也不陌生，在我们学习数列时就已经接触到了她，当一个数列元素个数无限的时候就是最简单的的一种级数。级数是表示函数、研究函数和数值计算的重要工具。我国古代数学家刘徵创立的“割圆术”对圆面积的近似计算已具有了初步的无穷级数的概念。

近代级数的发展,主要是在17世纪上半叶.这个时期标志着文艺复兴以来在资本主义生产力刺激下蓬勃发展的自然科学开始迈入综合与突破阶段,这种综合与突破所面临的数学困难,使微积分的基本问题空前的成为人们关注的焦点.在这个时期,几乎所有的数学大师都致力于相关问题的研究,特别是描述运动与变化的无限小算法,并在相当短时期内,取得了迅速的发展.开普勒、卡瓦列里、笛卡尔、费马、巴罗、沃利斯等人作出了具有代表性的工作.牛顿和莱布尼兹以足够的敏锐和能力认识到微分和积分的互逆关系,在微积分的真正创立上作出了伟大贡献.在18世纪,微积分进一步深入发展并和广泛的应用紧密交织在一起.其中它的发展与无穷级数的研究密不可分.牛顿在他的流数理论中自由运用无穷级数,他凭借二项式定理得到了许多函数的级数.泰勒级数则提供了将函数展成无穷级数的一般方法.在18世纪,各种初等函数的级数展开陆续得到,并在解析运算中初等函数成为微积分的有力工具.其中,雅各布,伯努利撰写了一系列无穷级数的论文,使他们成为当时这一领域的权威.这一时期,借助于级数这个工具微积分不断取得各种显著的成就,得到各种更强有力的应用。18世纪先后出现

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了一些级数收敛判别法则.莱布尼兹判定法;达朗贝尔级数绝对收敛判别法等等.这些说明18世纪的数学家已开始注意到无穷级数的收敛问题,尽管对这一问题真正严格的处理要等到19世纪.柯西对无穷级数进行了严格化的处理,明确定义了级数的收敛性,并研究了级数收敛的判别条件.

1.2研究现状

作为最古老的学科之一，数学其研究者历来众多，关于级数的求和,更是有许多

专家和学者对此产生了浓厚的兴趣,他们对某些具体的题目做出了具体的解法,像定义法,解微分方程法,特殊函数的展开式,逐项微分积分法等等.级数求和有着比较繁多的方法和很强的技巧性，而目前国内大多数数学教材及其他相关书籍中没有专门针对级数求和的常用方法设立板块，都是对一些特殊的数项级数求和,而对一般普通的数项级数的求和方法问题很少有学者提及,因此在这方面我们有研究的必要,并且有很大的研究空间.对此内容进行总结和提炼。

1.3研究意义

级数在数学方面的计算中有着广泛的应用，无论是对数学这一学科本身还是在其他 学科及技术的研究与发展方面，级数的理论及其应用更是发挥着特别重要的作用和影响， 且其与我们的日常生活息息相关。不仅在自然科学和工程技术中能解决许多问题,同时 也是研究分析数学的重要工具.

1其原因是很多函数能用数项级数表示，同时又能借助于数项级数来研究函数逼近 的问题.利用多项式来逼近一般的函数。借助级数表示很多有用的非初等函数。 2解微分方程。

3实数的近似计算，因此数项级数理论在分析数学或者实际应用中是研究函数的一种 必要的数学工具,因而数项级数的求和问题非常重要，需要我们去掌握并利用，我们也应 该去发掘出它更为广泛的应用领域，为我们的研究与学习奠定基础，因此数项级数的求和 问题就成为实际应用中亟待解决的课题了.

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二 基础知识

2.1 引言

级数是数学分析的基本内容之一，它是表示函数, 研究函数性质以及进行数值计算的一种重要工具。它包含常数项级数与函数项级数。[2]常数项级数与数列之间有着一一对应的关系。而在函数项级数中，幂级数是最常见，也是最有用的级数。谈到级数便不能不谈级数求和的问题，首先就要判断级数的收敛问题，这里我们将系统的介绍很多判断级数收敛的定理和方法，以及他们所要求的条件。凡是收敛的级数都是可求和的，问题就在于我们应该采取什么样的方法来简化级数的求和问题，我们将在本文里系统的介绍求和方法和技巧。

2.2 级数的分类及定义 2.2.1数项级数

定义01：设X1,X2,???Xn???是无穷可列个实数，我们称它们的和 X1?X2?Xn????

为无穷数项级数（简称级数），记为?Xn，其中Xn称为级数的通项或一般项。当然

n?1?我们无法直接对无穷个实数逐一进行加法运算，所以必须对上述的级数求和给出合理的定义。为此作级数?Xn的“部分和数列”{Sn}；

n?1? S1?X1,

S2?X1?X2,

S3?X1?X2?X3, ... ...

Sn?X1?X2?X3?????Xn??Xk，

k?1n定义02：如果级数?Xn的各项都是非负实数，即Xn?0,n?1,2,?则称此级

n?1?数为正项级数。

定义03：如果级数?Xn既有无限个正项，又有无限个负项，那么此类级数就是

n?1?任意项级数

2.2.2函数项级数

现在我们将级数的概念从数推广到函数上去，对于前面讨论的数项级数?Xn，

n?1?如果它的每一项Xn都换成函数那又会变成什么呢？我们且看下面的定义

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定义：设un(x)(n?1,2,3,???)是具有公共定义域E的一列函数，我们将这无穷个函数的“和”

u1(x)?u2(x)?u3(x)?????un(x)???? 称为函数项级数，记为?Un。

n?1?2.2.3 三个重要级数

[2]

级数01：几何级数

?n?1 几何级数又称为等比级数，定义格式：?arn?1?a?ar?ar2???arn?1?? 其中a?0，r是公比。

1111?1??????? ?23nn?1n?1111[2] 级数03：p-级数 ?p?1?p?p???p??

23nn?1n[2] 级数02：调和级数

?2.3 级数收敛的定义

定义01：如果无穷级数的部分和数列{Sn}收敛于有限数S则称无穷级数?Xn收

n?1?敛，且称它的和为S记为 S??Xn，如果部分和数列{Sn}发散，则称无穷级数?Xnn?1??n?1发散。由上定义可知，只有当无穷级数收敛时，无穷多个实数的加法才是有意义

的，并且他们的和就是级数的部分和的极限。当级数收敛时Rn?S?Sn?un?1?un?2??称为级数的余项

定义02：设设un(x)(n?1,2,3,???)在E上有定义。对于任意固定的x0?E，若数项级数?un(x0)收敛，则称函数项级数?un(x)在点x0收敛，或称x0是?un(x)的收敛

n?1n?1n?1???点。

函数项级数?un(x)的收敛点全体所构成的集合称为?un(x)的收敛域。

n?1n?1?? 设?un(x)的收敛域为D?E，则?un(x)）就定义了集合D上的一个函数

S(x)??un(x),x?D.

n?1n?1?n?1?? S(x)称为?un(x)的和函数。由于这是通过逐点定义的方式得到的，因此称

n?1?

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?u(x)在D上点态收敛于S(x)。

nn?1?2.4 级数收敛的判断 2.4.1正项级数收敛的判断

[1]2.4.1.0定理01：（级数收敛的必要条件)设级数?Xn收敛，其通项所构成

n?1?的数列{Xn}是无穷小量，即limXn?0

n?? 证明：由级数收敛的基本判别定理——柯西收敛准则:级数

?un?1?n收敛

????0,?N?N?,?n?N,?p?N,有un?1?un?2???un?p??.取特殊的p?1,可得出

该定理:若级数?Xn收敛,则limXn?0.

n?1?n??2.4.1.1定理02：若limXn?0则级数?Xn发散.

n??n?1? 其实,本定理是2.4.1.0定理01的逆否命题 作用或者意义

2.4.1.0定理01只是级数收敛的必要条件，而非充分条件，换言之，数列{Xn}为无穷小量并不能保证级数?Xn收敛，本定理可以用来判断某些级数发散。例如当

n?1?|q|?1时{q}不是无穷小量，因此级数?qn发散。

n?n?1[1]2.4.1.2定理03：（正项级数的收敛原理)

内容：正项级数?Xn收敛的充分必要条件是他的部分和数列{Sn}有上界。

n?1?证明： 由于Xn?0(n?1,2,?)所以{Sn}是单调递增数列.而单调数列收敛的充分必要条件是该数列有界(单调有界定理),从而本定理得证.

收敛原理的作用：他解决了一个级数的收敛问题,不必研究limSn?s。,而只需粗略地

n??估计Sn的值当N->∞时是否保持有界就可以了.它是判断正项级数收敛（或发散）的最基本方法,几乎所有其它的判别法都是由它导出。

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2.4.1.3 常用级数

在介绍比较判别法，柯西判别，达朗贝尔判别法，积分判别法等方法之前，我们先讨论一下针对前面的那三种重要级数的收敛性。他们是正项级数敛散性的判别方法中经常要用到的三个比较因子,下面简单介绍它们敛散性的证明,便于后面能更好的应用.

级数01：几何级数

如前所述它的形式为：?arn?1?a?ar?ar2???arn?1??的敛散性,其中a不等

n?1?于0 ，q是公比。下面讨论它的敛散性。 (Ⅰ) |r|?1时,已知几何级数的n项部分和sn?a?ar?ar2???arn?1??

a?arna ? 当|r|?1时,存在极限,且limsn?lim?.

n??n??1?r1?r?aa因此,当|r|?1时,几何级数收敛,其和是,即?arn?1?.

1?r1?rn?1a?arn? 当|r|?1时,不存在极限,limsn?lim??.

n??n??1?r因此,当|r|?1时,几何级数发散.

(Ⅱ) 当|r|?1时,有两种情况:

?当r?1时,几何级数是 a?a?a???a??,(a ≠ 0),

???a???a?na.lims?limna??.即部分和数列sn发散. sn?a???????nn个n??n???当r?-1时,几何级数是 a?a?a?a???(?1)部分和数列{ Sn }发散.

于是,当|r| = 1时,几何级数发散.

综上所述,几何级数?arn?1,当|r|?1时收敛,其和是

n?1?n?1a??.

sn??0,n是偶数,a,n是奇数,

a,当|r|?1时发散. 1?r1n级数02：调和级数

如前所述它的形式为：??1???????下面我们证明调和级数

1111?1???????是发散的. ?23nn?1n?1111 [3] 证明 设调和级数?的n项部分和是sn,即sn?1?????.由于

23nn?1n11ln1(?)?(n?1,2,3,???) nn于是调和级数的前n项部分和满足

?1n?1n?1213

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111111?????ln(1?1)?ln(1?)?ln(1?)????ln(1?) 23n23n34n?134n?1 ?ln2?ln()?ln()???ln()?ln(2???)?ln(n?1)

23n23n111由于limSn?limln(n?1)???，即当n??时,调和级数的部分和sn?1?????n??n??23n?1与lnn是等价无穷大,即调和级数?发散.所以sn的极限不存在，调和级数发散。

n?1n sn?1?级数03：P-级数

1111p是任意实数）（其中， ?1???????pppp23nn?1n?1111下面讨论p-级数?p?1?p?p???p??的敛散性.

23nn?1n?1(Ⅰ) 当p?1时,就是调和级数?,发散.

n?1n?111(Ⅱ) 当p?1时,?n?N?,有p?.已知调和级数?发散,根据比较判别法可知,当p

nnn?1n= 1时,p-级数发散.

1111(Ⅲ) 当p?1时,?n?2,有p?[?].于是,?n?N,有

np?1(n?1)p?1np?1111111 sn?1?p?p???p?1?(p?1?p?1)

23np?112111111 ?(p?1?p?1)???(?) p?1p?1p?123p?1(n?1)n1111111 ?1?(p?1?p?1?p?1?p?1????)

p?11223(n?1)p?11np?1111P ?1? (1?p?1)?1??p?1np?1p?1

1即p-级数的部分和数列{ Sn }有上界,而且p?0，依据2.4.1.1定理03：（正项级数

n的收敛原理)可知p-级数收敛.

综上所述,? 当p?1时,p-级数发散; ? 当p?1时,p-收敛.

这三个重要技术的作用： 在正项级数敛散性的证明中常借助于这三个级数敛散性为桥梁来判断其它级数的敛散性.也就是经常性的被拿来当做工具使用。 下面借助于以上三个重要工具我们来探讨一下正项级数的各种判别法。

如前所述它的形式为：??2.4.1.4 正项级数的各种判别法

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判别法01：比较判别法

设?xn与?yn是两个正项级数，若存在常数A?0使得xn?Ayn，n = 1,2,...,则

n?1n?1??（Ⅰ）若级数?yn收敛,则级数?xn也收敛; （Ⅱ）若级数?xn发散,则级数?yn也发散.

n?1n?1n?1?n?1??? 证明： 设级数?xn的部分和数列为{Sn},级数?yn的部分和数列为{Tn},则显然

n?1n?1??有 Sn?Tn,n?1,2,???,于是当{Tn}有上界时{Sn}也有上界，而当{Sn}无上界时{Tn}必定无上界，因此我们有：

Sn?x1?x2???xn?Ay1?Ay2???Ayn?A(y1?y2???yn)?ATn. （Ⅰ）若级数?yn收敛,依据2.4.1.1定理02：（正项级数的收敛原理),数列{Tn}有

n?1?上界,从而数列{Sn}也有上界,再依据2.4.1.1定理02：（正项级数的收敛原理),级数?xnn?1?收敛.

（Ⅱ）若级数?xn发散,依据2.4.1.1定理02：（正项级数的收敛原理),数列{Sn}无

n?1?上界,从而数列{Tn}也无上界,再根据定理1,级数?yn发散.

n?1?注：由于改变级数有限个项的数值，并不会改变他的收敛性或发散性（虽然在收敛的情况下可能改变他的“和”），所以本定理的条件可以放宽为：“存在正整数N与常数A > 0.使得xn?Ayn对一切n?N成立”

判别法01+ ：比较判别法的极限形式

设有两个正项级数?xn与

n?1???yn(yn?0),且 limn?1?n?1??xn?L (0?L???).

n??yn（Ⅰ）若级数?yn收敛,且0?L???，则级数?xn也收敛; （Ⅱ）若级数?yn发散,且0?l???，则级数?xn也发散;

n?1n?1n?1? 证明：? 若级数?yn收敛,且0?L???，由已知条件,??0?0,?N?N?,?n?N，

n?1?有|xnx?L|??0，对他变形我们可以得到n?L??0，即?n?N，有xn?(L??0)yn，ynyn?n?1依据判别法01：比较判别法，我们可以得到级数?xn也收敛;

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? 若级数?yn发散,且0?L???，由已知条件,??0?0,?N?N?,?n?N，

n?1?xnx?L|??0，对他变形我们可以得到n?L??0而且(L??0?0)，即?n?N，有ynyn?1yn?xn，依据判别法01：比较判别法，我们可以得到级数?xn也发散;

L??0n?1x? 由已知条件，?M?0,?N?N?,?n?N,有n?M，即?N?N?,?n?N，有

yn?1yn?xn依据判别法01：比较判别法，我们可以得到级数?xn也发散。

Mn?1注：比较法的使用条件以及与其他方法的联系 ① 比较判别法只适用于正项级数敛散性的判断; ② 比较判别法的比较对象常常就是几何级数,调和级数,P-级数三种级数 ③ 在比较的过程中通常使用放缩方法 ④ 当用等比级数作为比较对象时,就得到了下面的达朗贝尔判别法及柯西判别法.

用比较判别法判断正项级数的敛散性,先要根据问题的条件作一个大概的估计,猜想原级数可能是收敛的,还是发散的呢?如果猜想原级数收敛,就找一个适当的收敛级数来比较,使得原级数的各项小于或等于比较级数的对应项;如果猜想原级数发散,就找一个适当的发散级数来比较,使得原级数的各项大于或等于比较级数的对应项. 但要另外找到一个适当的正项级数作为比较级数,在实际生活中往往不是一件轻而易举的事情.于是我们便设想在比较判别法的基础上寻找到直接用待判级数的通项构造判别式,不必另找比较级数,只需研究这个判别式就可判定级数的敛散性.研究的结果获得了由比较判别法派生出来的种种正项级数敛散性的判别法——柯西判别法与达朗贝尔判别法.下面我们就来探讨一下达朗贝尔判别法及柯西判别法. 有|判别法02：柯西判别法

[4] 设有正项级数?un(un?0),存在常数q.

n?1?① 若?N?N,?n?N,不等式

?nun?q?1成立,则级数?un收敛;

n?1?② 若对一切n?N,不等式

nun?1成立,则级数?un发散.

n?1n? 证明 ①已知?N?N?,?n?N,有

un?q 或 un?qn.又已知几何级数

?qn?0?n(0?q?1)收敛,于是级数?un收敛.

n?1? ② 已知存在无限个n,有nun?1 或 un?1,即un不趋近于0(n??),于是级数

?un?1?n发散.

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判别法02+：柯西判别法的极限形式

[4] 正项级数?un,若 limnu?l,则

n① 当l?1时,级数?un收敛; ② 当l?1时,级数?un发散.

n?1n?1??n?1?n?? 证明： ① ?q:l?q?1，由数列极限定义,??0?q?l?0,?N?N?,?n?N,有

|nun?l|?q?l 或

nun?q?1,根据判别法02：柯西判别法可以得到级数?un收敛.

n?1?? ② 已知l?1,根据数列极限的保号性,?N?N?,?n?N,有nun?1,根据判别法02：柯西判别法可以得到级数?un发散.

n?1注：多数情况下正项级数的通项开n次方根不会直接得出一个常数,或者计算复杂，所以通常情况下使用柯西判别法的极限形式判别级数的敛散性.

判别法03：达朗贝尔判别法

[4] 设正项级数?un(un?0),存在常数?.

n?1??un?1① 若?N?N,?n?N,有 ???1,则级数?un收敛;

unn?1??un?1② 若?N?N,?n?N,有 ?1,则级数?un发散.

unn?1u 证明: ① 不妨设?n?N,有n?1?? 或 un?1?un?.

unn?1,u2?u1?,?n?2,u3?u2l?u1?2,3n?3,u?ul?u?,431

??

n?k,uk?1?ukq?u1?k,???kk?1已知几何级数?u1q(0???1)收敛,根据判别法01：比较判别法,则级数?un收敛.

n?1? ② 已知?N?N?,?n?N,有

un?1?1 或 un?1?un，即正项数列?un?从N项以后单un?n?1调增加,un不趋近于0(n??),则级数?un发散.

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判别法03+：达朗贝尔判别法 [4] 设有正项级数?un(un?0),且limn??n?1?un?1?l. un① 当l?1时,级数② 当l?1时,级数

?u?n收敛; 发散.

?un?1n?1?n 证明： ① ?q:l?q?1,由数列极限定义,??0?q?l?0,?N?N?,?n?N,有

?un?1un?1?q?1,根据判别法03：达朗贝尔判别法,级数?un收敛. |?l|?q?l 或 uunn?1n② 已知l?1,根据数列极限的保号性,?N?N?,?n?N,有贝尔判别法,级数?un发散.

n?1?un?1?1.根据判别法03：达朗un注：在柯西判别法和达朗贝尔判别法中只讨论了l?1或l?1的情况,并没有考虑l?1的情况,也没有考虑l不存在又是怎样的情况,这说明这两种判别法存在着一定的不足.下面看一个引理

2.4.1.5引理

[1]设正项级数?un(un?0)，那么有：

n?1?

limn??un?1u?limnun?limnun?limn?1 unn??n??n??un证明： 设

u r?limn?1 ，

n??un由上下极限的知识我们可知，对任意给定的?，存在正整数N，使得对一切 n?N，

n?N?1un?1u??uN?1,(n?N?1)，从而 ?r??于是n(r??)成立

un

limn??nun?limn??n(r??)n?N?1?uN?1?r??，

由?的任意性，即得到

limn??nxun??r?limn?1

n??xn类似的可以证明： limun?1 ≦ limnun。

n??n??un

该引理告诉我们：若一个正级数的敛散情况可以由达朗贝尔判别法判定，那么他也一

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定能用柯西判别法判定。但是，能用柯西判别法判定的级数，却未必能用达朗贝尔判别法判定。这就是说柯西判别法的适用范围比达朗贝尔判别法判别范围广。但是对某些具体例子而言，两种判别法都适用，而达朗贝尔判别法比柯西判别法更方便一些，读者应根据级数的具体情况来选择合适的判别法。

注：达朗贝尔判别法判与柯西判别法的本质都是比较判别法，与之相比较的是几何级数?arn?1(a?0)：把所有要判断的级数与某一几何级数相比较的想法而得到的,也就

n?1?是说,只有那些级数的通项收敛于零的速度比某一等比级数收敛速度快的级数,这两种方法才能鉴定出它的收敛性.如果级数的通项收敛速度较慢,它们就无能为力了.在判

n?1定级数收敛时，要求级数的通项受到r（0 < r < 1）的控制；而在判定级数发散时，则是根据其一般项不趋于零，由于两者相去甚远，因此判别法在许多情况下会失效，

?1即便对?p这样简单的级数，他们都无能为力。因此为了获得判别范围更大的一类

n?1n级数,就必须寻找级数的通项收敛于零较慢的级数作为比较标准.数学家拉贝用 p-级数代替几何级数,仿照比值判别法建立了一个拉贝判别法,它比比值判别法要精确,有些比值判别法不能判别的用拉贝判别法可以判别.

下面我们将一起探讨的判别法：拉贝判别法将在一定程度上弥补上述的局限性

判别法04：拉贝判别法

[4] 设有正项级数?un(un?0),存在常数q.

n?1?un?1)?q?1,则级数?un收敛； ① 若?N?N,?n?N,有n(1?unn?1???un?1)?1,则级数?un发散. ② 若?N?N,?n?N,有n(1?unn?1uuq 证明：①由n(1?n?1)?q可得n?1?1?.选p使1?p?q.由于

ununn?1?(1?1n)p1?(1?x)pp(1?x)p?1p lim?lim?lim??1,

n??x?0x?0qnqxqqq1因此,存在正数N,使对任意n?N,?1?(1?)p.这样 .

nn于是,当n?N时就有

uuun?1pn?2pN?1pun?1?n?1?n???N?1?uN?()()?()?uNunun?1uNnn?1N

(N?1)?uN.np??1当p?1时,级数?p收敛,故级数?un收敛.

n?1n?1n?p

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un?1u1n?1)?1可得n?1?1??,于是 ununnnuuun?1n?211?????u2??u2. un?1?n?1?n???3?u2?unun?1u2nn?12n ② 由n(1??1因为?发散,故级数?un发散.

n?1n?1n? 注：虽然拉贝判别法有时可以处理达朗贝尔判别法失效（即出现lim情况）的级数，但当limn(n??xn?1?1.的

n??xnxn?1)?1的情况出现时拉贝判别法依然失效，即级数可xn?1能收敛，也可能发散。事实上，还可以建立比拉贝判别法更有效的判别法，比如

?xnBertrand 判别法：设lim（ln n）[n(?1)?1]?r，则当r?1时级数?xn收敛；当r?1n??xn?1n?1时级数?xn发散，但是当r?1时魔鬼再一次出现：判别法又失效了因为杜·布洼·雷知

n?1?恩曾证明:任何收敛的正项级数,都有比它收敛得更“快”的级数存在.还有人证明:任何

发散的正项级数也有比它发散得更“慢”的级数存在.这说明没有收敛的最快的级数,也没用发散的最慢的级数,所以要想建立一种对一切正项级数都有效的比较标准是不可能的.这个过程（即逐次建立更有效的判别法的过程）是无限的，虽然每次都能得到新的，适用范围更广的判别法，但是这些判别法的证明也变得更加复杂。至此我觉得再继续研究下去没有意义,这里就不再进一步介绍了。下面我们来探讨一下积分判别法。

判别法05：积分判别法

设f为[1,??]上非负减函数,那么正项级数?f(n)与反常积分?1f(x)dx同时收

敛或同时发散.

证明： 由假设f为[1,??]上非负减函数,对任何正数A,f在[1,A]上可积,从而有 依次相加可得

??f(n)??mnn?1f(x)dx?f(n?1),n?2,3,?mmm?1n?1.

?f(n)??n?2m1f(x)dx??f(n?1)??f(n) (1)

n?2m??若反常积分收敛,则由（1）式左边，对任何正整数m，有

sm??f(n)?f(1)??n?11f(x)dx?f(1)??1f(x)dx.

根据2.4.1.1定理03：（正项级数的收敛原理) ,级数?f(n)收敛.

反之,若?f(n)为收敛级数,则由（1）式右边，对任一正整数m(?1)有

?m1f(x)dx?sm?1??f(n)?s. (2)

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因为f(x)为非负减函数,故对任何正数A,都有 0??f(x)dx?sn?s,n?A?n?1.

1A根据(2)式得反常积分???1f(x)dx收敛.

??1用同样的方法,可以证明?f(n)与?f(x)dx是同时发散的.

注：积分判别法是利用非负函数的单调性和积分性质,并以反常积分为比较对象来判断正项级数的敛散性.

综上所述,判别正项级数的敛散性有多种方法,比较判别法、柯西判别法、达朗贝尔判别法、拉贝判别法、积分判别法,以及上面讨论的两种新方法.但是它们各自适用于不同的形式的正项级数,根据判别法的特性和级数通项的特点来选择判别方法更有利于级数敛散性问题的解决.如果原级数容易找到一个常用的比较因子,判断出它们之间的大小关系,则用比较判别法;如果原级数含有n次幂的形式,则可考虑用柯西判别法;如果原级数含有n!等形式,则可试用达朗贝尔判别法;如果用上面三种方法都不容易判断敛散性,可试用拉贝判别法;

2.4.2任意项级数收敛的判断

一个级数，如果只有有限个负项或有限个正项，都可以使用正项级数的各种判别法来判断他的收敛性。如果一个级数既有无限个正项，又有无限个负项，那么正项级数的各种判别法不再适用。

为此，我们从正项级数转向讨论任意项级数，也就是通项任意的可正可负的级数。 由于Cauchy收敛原理是对敛散性最本质的刻画，为了判断任意项级数的敛散性，我们将关于数列的Cauchy收敛原理应用于级数的情况，即可得到

01定理：级数的Cauchy收敛原理

级数?xn收敛的充分必要条件是：对任意给定的??0，存在正整数N,使得

n?1? |xn?1?xn?2?????xm|?|对一切m?n?N成立。

k?n?1?xmk|??

01定义：交错级数

若级数的各项un符号正负相间,且满足{un}单调减少且收敛于0，则称这样的交错

级数为Leibniz级数

02 定理：Leibniz判别法

有交错级数

?(?1)n?1?n?1un,u?0 ，若

① ?n,un?un?1

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② limun?0

n???则级数?(?1)nun 收敛

n?1证： 证明部分和序列 { Sn }的两个子列{ S2n }和{ S2n?1 }收敛于同一极限 . 为此先证明{ S2n }递增有界.

S2(n?1)?(u1?u2)?(u3?u4)???(u2n?1?u2n)?(u2n?1?u2n?2) ? (u1?u2)?(u3?u4)???(u2n?1?u2n)?S2n,

所以，序列S2n 又

S2n?u1?(u2?u3)???(u2n?2?u2n?1)?u2n?u1, 即数列{ S2n }有界.

由单调有界原理, 数列{ S2n }收敛 . 设

S2n?s , (n??).

S2n?1?S2n?u2n?1?s , (n??) ? limSn?s.

n??为了讨论比Leibniz级数更广泛的任意项级数，我们先来讨论下述引理

03 Abel变换：

设{an}，记Bk??bi(k?1,2,???),则?akbk?apBp??(ak?1?ak)Bk。 {bn}是两数列，

i?1kpp?1k?1k?1

利用Abel变换即得到如下的Abel引理

04 Abel引理：

① {ak}为单调数列

② {Bk}(Bk??bi,k?1,2?)为有界数列，即存在M>0，对一切k，成立|Bk|?M则

i?1k |?akbk|?M(|a1|?2|ap|).

k?1p05 级数的A-D判别法：

若下列两个条件之一满足，则级数?anbn收敛

n?1?① （Abel判别法）{an}单调有界，?bn收敛；

n?1?

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② （Dirichlet判别法）{an}单调趋于0，{?bi}有界

i?1n06 条件收敛与绝对收敛：

如果级数?|xn|收敛，则称?xn为绝对收敛级数，如果级数?xn收敛而?|xn|

n?1n?1n?1n?1????发散，则称?xn为条件收敛级数。

n?1?07 绝对收敛与更序级数:

若级数?xn绝对收敛，则它的更序级数?x`n也绝对收敛，且和不变，即

??n?1?n?1?x`n?1n =

?xn?1?n。

08 Riemann定理:

设级数?xn条件收敛，则对任意给定的α，???a???，必定存在?xn的更序

n?1n?1??数列?x`n满足?x`n = a。

n?1n?1??2.4.3函数项级数收敛的判断 定义01：一致收敛

设函数列{fn}与函数f定义在同一数集数集D上，若对任给的正数?，总存在某一正数N，使得当n?N时对一切x?D，都有 |fn(x)?f(x)|??，则称函数列{fn}在D上一致收敛于f，记作

fn(x)??f(x)(n??),x?D

定理02：一致收敛的柯西准则

函数项级数?un(x)在数集D上一致收敛的充要条件为：对任给的正数?，总存在某一正数N，使得当n?N时对一切x?D，和一切正数p，都有 |Sn?p(x)?Sn(x)|?? 或|un?1(x)?un?2(x)?????un?p(x)|??

定理03：一致收敛的充要条件

函数项级数?un(x)在数集D上一致收敛的充要条件是

limsup|R(x)|?limsup|S(x)?S(x)|?0

nnn??x?Dn??x?D

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定理04：魏尔斯特拉斯判别法

设函数项级数?un(x)定义在数集D上，?Mn为收敛的正项级数，若对一切

x?D有 |un(x)|?Mn,n?1,2,???,则函数项级数?un(x)在D上一致收敛。

定理05：阿贝尔判别法 设

①

?u(x)在区间I上一致收敛；

n② 对于每一个x?I,{vn(x)}是单调的； ③ {vn(x)}在I上一致有界，即对一切x?I和正整数n，存在正数M，使得 |vn(x)|?M，

则级数?un(x)vn(x)?u1(x)v1(x)?u2(x)v2(x)?????un(x)vn(x)????在I上一致收敛

定理06：狄利克雷判别法 设

①

?u(x)的部分和数列

nnk?1 Un(x)??uk(x),(n?1,2,???) 在I上一致有界； ② 对于每一个x?I,{vn(x)}是单调的； ③ 在i上vn(x)0(n??)，

??则级数

?u(x)v(x)?u(x)v(x)?u(x)v(x)?????u(x)v(x)????

nn1122nn在I上一致收敛。

定理07：连续性

若函数项级数?un(x)在区间[a,b]上一致收敛，且每一项都连续，则其和函数在

[a,b]上也连续

注：这个定理指出：在一致收敛条件下，（无限项）求和运算与求极限运算可以交换顺序，即

?(limun(x))?lim(?un(x)).

x?x0x?x0定理08：逐项求积

若函数项级数?un(x)在区间[a,b]上一致收敛，且每一项都连续，则

?(?u(x))??(?u(x)).

ananbb

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定理09：逐项求导

若函数项级数?un(x)在区间[a,b]上每一项都有连续的导数，x0?[a,b]为

?u(x)的收敛点，且?u’(x)在[a,b]上一致收敛，则

dd ?(u(x))?(?u(x)).

dxdxnnnn2.4.4幂级数

2.4.4.1幂级数的基本概念和定理

本篇将讨论有幂级数序列{an(x?x0)}产生的函数项级数

n?a(x?x0)nn?0?n?n （1） ?a0?a1(x?x0)?a2(x?x0)2?????an(x?x0)n????，

它称为幂级数，是一类最简单的函数项级数，从某种意义上说，他也可以看作是多项

式函数的延伸，下面将着重讨论x0?0，即

?an(x)?a0?a1(x)?a2(x)2?????an(x)n????， (2)

n?0的情形，因为只要把(2)中的x换成x?x0，即得到（1）。

定理01：阿贝尔定理

若幂级数（2）在x?x?0处收敛，则对满足不等式|x|?|x|的任何x，幂级数（2）收敛而且绝对收敛；若幂级数（2）在x?x处发散，则对满足不等式|x|?x的任何x，幂级数（2）发散

注：由此定理知道幂级数（2）的收敛域是以原点为中心的区间，若以2R表示区间的长度，则R为幂级数的收敛半径，实际上，它就是使得幂级数（2）收敛的那些收敛点的绝对值的上确界，我们称（-R，R）为幂级数（2）的收敛区间。

定理02：有关收敛半径

对于幂级数（2）若】 limn|an|??

n??则当

① 0?????时，幂级数（2）的收敛半径R?② ??0时，幂级数（2）的收敛半径R??? ③ ????时，幂级数（2）的收敛半径R?0

1?；

定理03：有关收敛半径和一致收敛

若幂级数（2）的收敛半径为R(?0)，则幂级数（2）在他的收敛区间(?R,R)内

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任意闭区间[a,b]上都一致收敛。

定理04：有关收敛半径和一致收敛

若幂级数（2）的收敛半径为R(?0)，且在x?R（或x?-R）时收敛，则级数（2）在[0,R](或[?R,0])上一致收敛。

定理05：幂级数的性质

① 幂级数（2）的和函数是(?R,R)上的连续函数； ② 若幂级数（2）在收敛区间的左（右）端点上收敛，则其和函数也在这一端点上左（右）连续

在讨论幂级数的逐项求导与逐项求积之前，先要确定幂级数（2）在收敛区间(?R,R)上逐项求导与逐项积分后所得到的函数

a1?2a2x?3ax2????nanxn?1???? (3) 与

aaa a0x?1x2?2x3?????nxn?1???? (4)

23n?1的收敛区间

定理05：幂级数的性质

幂级数（2）与幂级数（3），（4）具有相同的收敛区间。

定理06：幂级数逐项积分，求导

设幂级数（2）在收敛区间（-R，R）上的和函数为f，若x为（-R，R）上任意一点，则 ① f在点x可导，且

； n?1② f在0与x之间的这个区间上可积，且

x?a ?f(t)dt??nxn?1。

n?0n?10f'(x)??nanxn?1?推论07：

记f为幂级数（2）在收敛区间（-R,R）上的和函数，则在（-R,R）上f具有任何

阶导数，且可逐项求导任何次，即

f'(x)?a1?2a2x?3ax2????nanxn?1???? f''(x)?2a2?3?2ax?????n(n?1)anxn?2???? f(n)(x)?n!an?(n?1)n(n?1)???2an?1x????, ??????????

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推论08：

记f为幂级数（2）在点x=0某邻域上的和函数，则幂级数（2）的系数与f在x=0处的各阶导数有如下关系：

f(n)(0) a0?f(0),an?,(n?1,2,???).

n!这个推论表明。若级数（2）在（-R，R）上有和函数f，则幂级数（2）由f在点x=0处的各阶导数所唯一确定。可往证定理09

定理09：

若幂级数（2）与?an(x)?a0?a1(x)?a2(x)2?????an(x)n????（5）在点x=0

n?0?n的某邻域内相等，则他们的同次幂项的系数相等，即 an?bn,(n?1,2,???).

定理10：

若幂级数（2）与（5）的收敛半径分别为Ra和Rb，则有 ??anx???anxn,|x|?Ra,

n??n?0?n?0

?ax??bx??(annnnn?0?n?0?n?0?n?0n?0n?0n??n?bn)xn,|x|?R,

(?anxn)(?bnxn)??cnxn,|x|?R, 式中?为常数，R?min{Ra,Rb},cn??akbn?k

k?0定理11：Abel第二定理

设幂级数?anxn的收敛半径为R，则

n?0?①

?axnn?0?n?0?n在(?R,R)上内闭一致收敛，即在任意闭区间[a,b]?(?R,R)上一致收敛；

n② 若

?axn在x?R收敛，则在任意闭区间[a,R]?(?R,R)上一致收敛。

|anxn|?|an?n|证： ①

记

???max{|a|,|b|},对一切x?[a,b],nn?0?成立

?n?0由于

|?|?R,所以?|an?|收敛，由Weierstrass判别法，可知?anxn在[a,b]上一致收敛。

② 先证明

?axnn?0n在[0,R]上一致收敛。

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xx当?anRn收敛时，由于()n在[0,R]一致有界(0?()n?1)，且关于n单调，根据Abel

RRn?0???nnxn判别法?anx??anR()在[0,R]上一致收敛。于是当a?0时，?anxn在

Rn?0n?0n?0，?anx[a,R]?(?R,R)上一致收敛；当?R?a?0时，由①

n?0?n??n??axnn?0?n在[a,0]上一致收

敛，结合?anx在[0,R]上的一致收敛性即得到?anxn在[a,R]?(?R,R)上一致收敛。

n?0n?02.4.4.2函数的幂级数的展开

学过泰勒定理我们晓得，若函数f在x0的某邻域上存在直至n+1阶的连续导数，则

f''(x0)f(n)(x0)2f(x)?f(x0)?f'(x0)(x?x0)?(x?x0)?????(x?x0)n?Rn(x), (1)

2!n!这里Rn(x)为拉格朗日型余项

f(n?1)(?) Rn(x)?(x?x0)n?1, (2)

(n?1)!其中?在x和x0之间，称（1）为f在x0处的泰勒公式。

如果在（1）中抹去余项Rn(x)，那么在点x0附近f可用（1）右边的多项式来近似代替，如果函数f在x0处存在任意阶的导数，这时称级数

f''(x0)f(n)(x0)2(x?x0)?????(x?x0)n????, (3) f(x0)?f'(x0)(x?x0)?2!n!为函数f在x0处的泰勒级数。我们探讨一下下面的定理

定理01：

设f在点x0具有任意阶导数，那么f在区间(x0?r,x0?r)等于它的泰勒级数的和函数的充分条件是：对一切满足不等式|x?x0|?r的x，有 limRn(x)?0,

n??这里Rn(x)是f在x0处的泰勒公式余项。

如果f能在点x0的某邻域上等于其泰勒级数的和函数，则称函数f在点x0的这一领域上可以展开成泰勒级数，并称等式

f''(x0)f(n)(x0)2f(x)?f(x0)?f'(x0)(x?x0)?(x?x0)?????(x?x0)n????, (4)

2!n!的右边为f在x0处的泰勒展开式，或称幂级数展开式。

由上一节中的推论8可知：若f为幂级数?anxn在收敛区间（-R，R）上的和函数，

n?0?

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则?anxn就是f在（-R，R）上的泰勒展开式，即幂级数展开式是唯一的。

n?0?在实际应用上，主要讨论函数在x0?0处的展开式，这时(3)式可以写作

f''(0)2f(n)(0)n f(0)?f'(0)x?x?????x????,

2!n!称为f的迈克劳林级数。

下面我们就一些常用的展开式进行探讨

02：直接法

要把函数f(x)展开成x的幂级数，可以按照下列步骤进行；

第一步： 求出f(x)的各阶导数f'(x)，f''(x)，...，f(n)(x)，...，如果在x?0处的某阶导数不存在，就停止进行。

第二步： 求出函数及其各阶导数在x?0的值：

f(0)，f'(0)，f''(0)，...，f(n)(0)，...。 第三步： 写出幂级数：

(n) f(0)?f'(0)x?f''(0)x2?????f(0)xn????,，

2!n!并求出收敛半径R。

f(n?1)(?x)n?1第五步： 利用余项Rn(x)的表达式Rn(x)?(x),(0???1)，考察当x在区

(n?1)!间(?R,R)内时逇余项Rn(x)的极限是否为零。如果为零，则函数f(x)在区间(?R,R)内的幂级数展开式为

f''(0)2f(n)(0)n f(x)?f(0)?f'(0)x?x?????x????(?R?x?R),

2!n!例1：将函数f(x)?ex展开成x的幂级数

解 所给函数的各阶导数为f(n)(x)?ex(n?1,2,3,???),因此f(n)(0)?1(n?1,2,3,???),这12xn里f(0)?f(0).于是得级数1?x?x?????????,它的收敛半径R???。对于任何

2！n!有限的数x,?(?在0与?之间)，余项的绝对值为

(0)n?1e?n?1|x||x| |Rn(x)|?|。 x|?e(n?1)!(n?1)!n?1n?1n?1?|x||x||x||x|因e有限，而是收敛级数?的一般项，所以当n??时，e??0，

(n?1)!(n?1)!n?0(n?1)!即当n??时，有|Rn(x)|?0，于是得展开式 |x|12xn e?1?x?x?????????(???x??) (5)

2！n!例2：将函数f(x)?sinx展开成x的幂级数

x

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解：所给函数的各阶导数为f(n)(x)?sin(x?n),(n?1,2,3,???),f(n)(0)顺序循环地

2取0，1，0，-1???(n?1,2,3,???),于是得级数

x3x5x2k?1k x???????(?1)????，

3!5!(2k?1)!他的收敛半径R???对于任何有限的数x,?(?在0与?之间)，余项的绝对值当n??时的极限为零：

(n?1)?sin[??]|x|n?1n?12 |Rn(x)|?|x|??0,(n??).

(n?1)!(n?1)!因此得展开式

x3x5x2k?1k sinx????????(?1)????,(???x??) (6)

3!5!(2k?1)!?f(n)(0) 以上将函数展开成幂级数的例子，是直接按公式an?计算幂级数的系数，

n!最后考察余项Rn(x)是否收敛于0，这种直接展开的计算量比较大，而且研究余项即使在初等函数中也不是一件容易的事情，下面介绍间接展开的方法，这就是利用一些已知的函数展开式，通过幂级数的运算（如四则运算，逐项求导，逐项积分）以及变量代换等，将所给函数展开成幂级数，这样不但计算简单而且可以避免研究余项

03：间接法

例3： 将函数f(x)?ln(1?x)展开成x的幂级数

解：函数f(x)?ln(1?x)的各阶导数是

(n?1)! f(n)(x)?(?1)n?1.

n(1?x)从而

f(n)(0)?(?1)n?1(n?1)!,

nx2x3x4n?1x????, 所以f的迈克劳林级数是x????????(?1)234n用比值判别法容易求得该级数的收敛半径R?1，且当x?1时收敛，当x?-1时发散，故该级数的收敛域是(?1,1]，现在讨论在这收敛区间上他的余项的极限情形。 ① 当0?x?1时用拉格朗日型余项，有

n?11n!nn?1|x||x| |Rn(x)|?| (-1)x|?en?1(n?1)!(1??)(n?1)!(?1)nxn?1 ?|()|

(n?1)1??1?0,(n??). ?n?1② 对于-1?x?0的情形，拉格朗日余项不易估计，改用柯西型余项，有

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1n!|x|n?11nnn?1|x|n?1?n|Rn(x)|?|(-1)(1-?)x|?e*?(11?-?)|x|,0???1. n?1xn!(1??x)(n?1)!1??x1??|x|n?1因为-1?x?0，故有1-??1??x.即0??1,所以 |Rn(x)|??0,(n??).

1??x1?|x|这就证得在(?1,1]上ln(1?x)等于其迈克劳林级数。

nx2x3x4n?1x ln(1?x)?x????????(?1)????,(?1?x?1) (7) 234n将（7）中的x换成x-1后得到函数f(x)?lnx在x=1处的泰勒展开式：

n(x?1)2(x?1)3(x?1)4n?1(x?1)lnx?(x?1)????????(?1)????,(0?x?2) (8) 234n对(6)式两边求导，可得

2nx2x4nx cosx?1???????(?1)????,(???x??) (9) 2!4!(2n)!对(7)式两边求导，可得

1 ?1?x?x2?????(?1)nxn????,(?1?x?1) (10)

1?x把(7)式中的x换成xlna，可得

?(lna)nnxxlna a?e??x,(???x??) (11)

n!n?0把(10)式中的x换成x2，可得

?1 ??(?1)nx2n,(?1?x?1) (12) 21?xn?0对上式从0到x积分，可得

)2n?1 arctanx??(2?n1?x,(?1?x?1) (13) 1n?0?n04：下面我们总结概括一下幂级数和函数的有关性质

设幂级数?anxn的和函数为s(x)，收敛半径为R，则有下列命题成立

n?0?① 幂级数的和函数s(x)在收敛区间(?R,R)是连续的； ② 幂级数的和函数s(x)在其收敛区间(?R,R)有连续的导数，并且可以逐项求导，即对于任意的x?(?R,R)，有 s'(x)?(?anx)'??(anx)'??nanxn?1，

nnn?0n?0n?0???逐项求导后所得到的幂级数和原级数具有相同的收敛半径； ③ 幂级数的和函数s(x)在其收敛区间(?R,R)可积，并且可以逐项积分，即对于任意

??xx?xann的x?(?R,R)，有 ?s(x)dx??(?anx)dx???anxdx??nxn?1，

000n?0n?0n?0n?1逐项求导后所得到的幂级数和原级数具有相同的收敛半径；

求幂级数的和函数s(x)主要是利用已知函数的幂级数展开式比如上的那些间接

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例3.7.1

求级数?(?1)n?1n?1?1的和 nnn??n??k?1 解：由Lcibniz判别法知此级数是收敛的，即limsn?lim?(?1)k?1现在取部分和数列{sn}中足标为偶数的子列{s2n} 因此

s2n??(?1)k?12nk?1n12n11???2? kk?1kk?12k1存在 k熟知公式：

111??...??C?lnn??n,其中??0,(n??)，为著名的Eurler23n常数，利用这个公式得

sn?C?ln(2n)??2n?(C?lnn??n)

?ln2?(?2n??n)?ln2(n??) 1?1?lims2n?ln2，故limsn?ln2

n??n??nn?1值得指出的是部分和子列对非正项级数常常是行之有效的。

所以，?(?1)n?1?3.8 裂项相消法

要点：设?un, un?vn?1?vn, 则?un的部分和为

n?1n?1?? sn?vn?1?v1. 若 limvn?1?A, 则

n?? lim. sn?A?1vn??也就是说

?un的和为 A?v1.

n?1我们称上述求级数和的方法为裂项相消法.

利用裂项相消法求级数的和, 关键是怎样将级数的通项拆成前后有抵消部分的形式, 通常经过变形, 有理化分子或分母, 三角函数恒等变形等处理可达到裂项相消的目的. 以下用具体例子来进行说明.

例3.8.1

? 求无穷级数? 解：因为

1的和.

n?1n(n?2)?

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所以

1111?(?),

n(n?2)2nn?21111111111(?)]?(1??? Sn?[(1?)?(?)?????, )2324nn?222n?1n?2于是

S?limSn?n??1111(1???)?3. 22n?1n?24所以

?13?.

n?1n(n?2)4? 如果一个级数的通项是一个三角函数式, 则可考虑利用三角函数公式, 将其化简为两式之差以便运用裂项相消法.

例3.8.2

? 求级数 ?arctann?01 的和. 21?n?n 解：先考虑变换问题的数学形式, 由

1? arctan21?k?k(k?1?)karctan, 1?k(?1k)联想到正切的差角公式

tan??ta?n?(???) tan,

1?ta?nt?an再设 tan??k?1,??k, 则原级数的部分和为

111Sn?arctan1?arctan?arctan???arctan 2371?n?n?arctan1?(arctan2?arctan1)?(arctan3?arctan2)?? ?[arctann?arctan(n?1)]?[arctan(n?1)?arctann]?arctan(n?1)

所以

?1??lSim?limna?rct?an. ( ?arctann2n??n??n?01?n?n21)如果一个级数的通项是一个分母为若干根式之积的分式, 则可考虑将其分母或分子

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有理化以便运用裂项相消法.

<二> 利用幂级数的知识求和

anx，将?an转化成?ax，对求 若?a收敛，则有?an=lim??x?1????n?nnn?0n?0n?0n?0nn?0nax?n有如下两种常用方法：逐项微分求和，逐项积分求和。 n?0?3.9逐项微分求和

S(x)?a0??x0?(atnn?1?n)dt，若

'?axnn?1?n?1容易求和，则此方法好用，若

1，p(n)为n的多项式并且含有因子n更好求出. p(n) 由前面定理06可知：和号同求导运算可以交换, 它也称为逐项微分的定理. 但要an?注意的是, 仅仅在条件“?un(x)一致收敛”之下, 即使un'(x)存在且连续, 也不能保证

n?1?和号同求导数号可以交换.

例 3.9.1

1 求数项级数?n的和.

n2n?1?1nx，求得收敛半径r?2.收敛区间是??2,2?. 解：构造幂级数?nn?1n2设它的和函数是s?x?，即s?x???由幂级数可逐项可导，有

2?1xn?11?x?x?21s?x???n??1??????????,x???2,2??x???2,2?，

2?n?12??2?2??22?x2?x'??1nx,x???2,2?. nn?1n2?有

dt2????,或sx?s0?ln ?.

002?t2?x2因为s?0??0，所以s?x??ln.即

2?xxs'?t?dt??x

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?21??nxn,x???2,2?. ln2?xn?1n2令x?1，有

例 3.9.2

ln2??1111????? n2322?23?2n?1n2?111????的和. 求级数1???????(?1)n?1352n?1 解：令

111n?x2?1???, S(x)?x?x3?x5?????(?1n)?1352n?1逐项求导得

11n???1x2?x4??????(n?1x)2?3???? S'(x),

1?x2所以

xx1dx?arctanx. S(x)??S'(x)dx??001?x2n?1?1因为级数?(?1)x2n?1在x?1处收敛, 所以

n?12n?1 S(1), ?arct?an14即

111n?1)? 1??????(?1352n?1????. ??4?3.10 逐项积分求和

S(x)??n(at?n)dt，当a为多项式时，应分解p(n)为n?n?1?等式子的组合. 0n?1nx?由Abel第二定理：若幂级数

?an?0?nxn的收敛半径r?0，则幂级数在任意闭区间

???a,a????r,r?上都一致收敛.计算收敛的数项级数?an的和，只需求?anxn?0?n在

n?0s?x?. ??1,1?内的和函数s?x?，令x?1?0，取极限，则?an?xlim?1?0n?0?例 3.10.1 计算1?111n1???????1??? 234n第 33 页 共 39 页

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n?1??1?xn??1?x?1? 解：由于ln?1?x????n?1n而

?n?1???1?n?1xnn的收敛半径为1，且在x?1收敛，令x?1?0，在等式两端取极限，

有

x?1?0limln?1?x??lim????1?n?1?n?1x?1?0?n?1???1?n?1xnn??n?1???1?n?1nx?1?0limxn

?1 n即

?n?1???1?n?1n?limln?1?x??ln2.

x?1?0 1?111n1???????1????ln2. 234n

例 3.10.2

求级数x?2x2?3x3?4x4????(x?1)的和.

解：令F(x)?x?2x2?3x3?4x4????, 其收敛域为(?1,1), 在收敛域内逐项积分得

?x0F(t)dt?122334111x?x?x???(1?)x2?(1?)x3?(1?)x4?? 234234121314xx?x?x??)??ln(1?x) 2341?x(x?x2?x3?x4??)?(x?其中x?1, 于是

xx?ln?(x1'?)] F(x)??nxn?[n?11?x(1?x2)?x?,. 13.11 转化为已知的特殊的幂级数求和

要点：这种方法的基本思想是: 将待求和的级数用一些已知级数来表示, 通过代入已知级数求得待求级数的和. 以下运用例子来说明该方法.

例 3.11.1

3n 求级数?的和.

n?1n!?

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