数值计算方法习题答案(第二版)(绪论)

数值分析

（p11页）

4 试证：对任给初值x0,

a 0)的牛顿迭代公式

a

xk 1 1,2,...... (xk k),k 0,1

恒成立下列关系式：

(1)xk 1

证明：

1k

(xk2,k 0,1,2,....

(2)xk k 1,2,......

xk 1 a （1

）xk 1 xk

2 xk k2xk

2

（2） 取初值x0 0，显然有xk 0，对任意k 0，

1 a 1 a a a xk 1 xk xk 2 xk 2 xk

6 证明：

若xk有n位有效数字，则xk 8

2

1

101 n， 2

xk 81 8

x 而xk 1 k 2 x2xk k

2

xk 2.5

1 102 2n

1

xk 1 101 2n

2 2.52

xk 1必有2n位有效数字。

8 解：

此题的相对误差限通常有两种解法. ①根据本章中所给出的定理：

（设x的近似数x可表示为x 0.a1a2.....an 10，如果x具有l位有效数字，则其相对误差限为

*

*m*

x x*x*

1

10 l 1 ，其中a1为x*中第一个非零数） 2a1

则x1 2.7，有两位有效数字，相对误差限为

e x11

10 1 0.025 x12 2

x2 2.71，有两位有效数字，相对误差限为

e x21

10 1 0.025 x22 2

x3 2.718，有两位有效数字，其相对误差限为：

x3 e1

10 3 0.00025 x32 2

②第二种方法直接根据相对误差限的定义式求解 对于x1 2.7，x1 e 0.0183

x1 e0.0183 其相对误差限为 0.00678

x12.7

同理对于x2 2.71，有

x2 e0.0083

0.003063

x22.71

对于x3 2.718，有

x3 e0.0003

0.00012 x32.718

备注：（1）两种方法均可得出相对误差限，但第一种是对于所有具有n位有效数字的近似数都成立的正确结论，故他对误差限的估计偏大，但计算略简单些；而第二种方法给出较好的误差限估计，但计算稍复杂。

（2）采用第二种方法时，分子为绝对误差限，不是单纯的对真实值与近似值差值的四舍五入，绝对误差限大于或等于真实值与近似值的差。

11. 解:

22255 3.142857......， 3.1415929....... 7113

221

10 2，具有3位有效数字 72

2551

10 6，具有7位有效数字 1132

9.解：有四舍五入法取准确值前几位得到的近似值，必有几位有效数字。

*** 令x1,x2,x3所对应的真实值分别为x1,x2,x3，则

11

101 l= 10 2 22

1 2*

∣x1-x1∣/∣x1∣＜ 10/2.72＜0.00184

2

11 51 l*

② ∣x2-x2∣≤ 10= 10

22

1 5*

∣x2-x2∣/∣x2∣＜ 10/2.71828＜0.00000184

2

11 41 l*

③ ∣x3-x3∣＜ 10= 10

22

1 4*

∣x3-x3∣/∣x3∣＜ 10/0.0718＜0.000697

2

*

① ∣x1-x1∣≤

12.解：

11 x2x2

⑴ －=

1 2x1 x(1 2x)(1 x)

sin2x2x ⑵ 1-cosx==2sin

21 cosx

xnx2xnx2

⑶ e 1≈1+x++…+-1=x++…+

2!n!2!n!

x

13.解：⑴ x

11-x =xx

2/x

11x x

xx

⑵

x 1

x

1

=arctan(x 1)-arctanx 2

1 t

设arctan(x 1)=a，arctanx=b,则

a b) = tan(

tana tanb1

=

1 tana tanb1 x(x 1)

x 1)-arctanx= arctan(

1

1 x(x 1)

⑶ ln(x

x2 1)=ln

1x x2 1

=ln1 ln(x

x2 1)=-ln(x x2 1)

习题一（54页） 5.证明：

利用余项表达式（11）（19页），当f(x)为次数≤n的多项式时，由于fn 1(x)=0，于是有Rn(x)=f(x)－Pn(x)=0,即Pn(x)=f(x)，表明其n次插值多项式Pn(x)就是它自身。 9.证明：

由第5题知，对于次数≤n的多项式，其n次插值多项式就是其自身。 于是对于f(x)=1，有P2(x)=f(x)

即，l0(x)f(x0)+l1(x)f(x1)+l2(x)f(x2)=f(x) 则，l0(x)+l1(x)+l2(x)=1 11.分析：

f(n 1)( )

由于拉格朗日插值的误差估计式为f(x)－Pn(x)=

（n 1)!

n

f(n 1)( )

误差主要来源于两部分和 (x xk)。

（n 1)!k 0

n

(x x)

k

k 0

n

对于同一函数讨论其误差，主要与

(x x)有关。

k

k 0

在（1）中计算x=0.472的积分值，若用二次插值，需取三个节点，由于0.472在1，

2两个节点之间，所以应选1，2为节点，在剩下的两个点中，x0与0.472更靠近，所以此题应选x0,x1,x2为节点来构造插值多项式。

(1)p2(x)

(x x1)(x x2)(x x0)(x x2)y0 y1

(x0 x1)(x0 x2)(x1 x0)(x1 x2)

(x x1)(x x0)

y2 0.4955529

(x2 x1)(x2 x0)

15.证明：

由拉格朗日插值余项公式有

1f2( )12

︱f(x)－p(x)︱≤≤︱(x x0)(x x1)︱max︱f(x)︱ (x x) k

x0 x x122!k 0

由于(x1 x0)2=(x1 x x x0)2=2(x1 x)(x x0)+(x1 x)2+(x x0)2 ≥4(x1 x)(x x0)

(x1 x0)2

max︱f2(x)︱ ︱f(x)－p(x)︱≤

x0 x x18

20.证明：

当n=1时，F(x0,x1)=

F(x1) F(x0)f(x1) f(x0)=C·=Cf(x0,x1)

x1 x0x1 x0

假设当n=k时，结论成立，则有 F(x0,...,xk)= Cf(x0,x1,...,xk)； F(x1,...,xk 1)= Cf(x1,x2,...,xk 1)； 那么，当n=k+1时， F(x0,x1,...,xk 1)=

F(x1,...,xk 1) F(x0,...,xk)

xk 1 x0

f(x1,...,xk 1) f(x0,...,xk)

= Cf(x0,x1,...,xk 1)

xk 1 x0

=C

证明完毕。（类似的方式可证明第一个结论）

21.解：

由定理4（26页）可知：

f(n)( )

f(x0,x1,...,xn)=,其中 [minxi,maxxi]

n!0 n

当n>k时，f(n)(x)=xk

(n)

=0； =k!；

当n=k时，f(n)(x)=xk f(x0,x1,...,xn)=

(k)

0,当n k时

1,当n k时

13.解：

由题意知，给定插值点为

x0=0.32,y0=0.314567;x1=0.34,y1=0.333487;x2=0.36,y2=0.352274 由线性插值公式知线性插值函数为 P1(x)=

x 0.34x 0.32x x0x x1

0.314567+ 0.333487 y0+y1=

0.020.02x1 x0x0 x1

当x=0.3367时，

sin0.3367≈P)≈0.0519036+0.2784616≈0.330365 1(0.3367 其截断误差为 ︱R1(x)︱≤

M2

︱(x x0)(x x1)︱，其中M2=max︱f2(x)︱

x0 x x12

f(x)=sin(x)， f2(x)=-sin(x)， M2=︱sin0.34︱≈0.333487 于是︱R1(0.3367)︱≤ 若用二次插值，则得 P2(x)=

1 5

×0.333487×0.0167×0.0033≤0.92×10 2

(x x0)(x x2)(x x0)(x x1)(x x1)(x x2)y0+y1+y2

(x1 x0)(x1 x2)(x2 x0)(x2 x1)(x0 x1)(x0 x2)

sin0.3367≈P)≈0.330374 2(0.3367 其截断误差为

︱R2(x)︱≤

M3

︱(x x0)(x x1（)x x2)︱ 6

x0 x x2

其中M3=max︱f (x)︱=max︱cosx︱=cos0.32<0.950

x0 x x2

于是︱R2(0.3367)︱≤

1 6

×︱0.950×0.0167×0.0033×0.0233︱<0.204×10 6

17解：

差商表为

——————————————————————————————— xi f(x) 一阶差商 二阶差商 三阶差商 四阶差商 五阶差商 ———————————————————————————————

1 -3 2 0 3 3 15 15 6 4 48 33 9 1 5 105 57 12 1 0 6 192 87 15 1 0 0

由差商形式的牛顿插值公式，有

P(x)=f(x0)＋f(x0,x1)(x x0)＋f(x0,x1,x2)(x x0)(x x1)

＋f(x0,x1,x2,x3)(x x0)(x x1)(x x2)

=-3＋3(x 1)＋6(x 1)(x 2)＋(x 1)(x 2)(x 3)

23题：

解：由于P(0) P(1) P1(1) 0，则

设P(x) Cx(x 1)2

由P(2) 1,得C 2 (2 1)2 1，则 C 所以P(x)

1 2

1

x(x 1)2 2

24.解：

由于P(0) 0,P(1) 1,P(2) 2,P(3) 3 可设

P(x) x Cx(x 1)(x 2)(x 3)

由P1(2) 0得

P1( ) 1 C 2 (2 1)(2 3) 0，有：C

所以 P(x) x

1 2

1

x(x 1)(x 2)(x 3) 2

'

26．解：由泰勒公式有

f"(x0)f3( )2

f(x) f(x0) f(x0)(x x0) (x x0) (x x0)3

2!3!

f"(x0)

(x x0)2 C(x x0)3 设 P(x) f(x0) f(x0)(x x0)

2!

'

其满足 Pj(x0) fj(x0)， 其中 j 0,1,2

f(x0,x1)f'(x0)f"(x0)

由P(x1) f(x1)，得 C

(x1 x0)2(x x0)2(x1 x0)

代入(*)式既可得 P(x).

'"

33.解： 由于S(x) C2 0,2 ，故在x 1处有S(1),S(1),S(1)连续，即：

b c 1

解得：

2b c 1

b 2

c 3

34、解：首先确定求解过程中涉及到的一些参数值。

x0 1,x1 0,x2 1,x3 3 h0 1,h1 1,h2 2

h0h111

h h 1

, 2

012h1 h23

1 1

21 1 2

, 2 1 2

3

d0

6

h f(x0,x1) f'0

24 0

2

d1 6f(xf(xk)

0,x1,x2) 6

k 0

2

0(x

k

xj)

jj 0k

d2 6f(x1,x2,x3) 2

d63

h f'

3 f(x2,x3)

0 2

于是得到关于M0,M1,M2,M3的方程组： 21 M0 24

222 M 0 2223

1 M 12 2 M 2 3 0

20 12

274 127 321 120 1 0

M0 14

M1 4 M2 2

M3 1

解方程求出M0,M1,M2,M3，代入

(三对角方程) 0 M0 24 M 720 1 M 0 （追赶法）2 1 M 2

3 0

(xi 1 x)3(x xi)3xi 1 xhi2x xihi2

S(x) Mi Mi 1 (fi Mi) (fi 1 Mi 1)

6hi6hihi6hi6

即得满足题目要求的三次样条函数

3x3 2x2 x 1x 1,0

S(x) x3 2x2 x 1x 0,1

1x3 7x2 19x 1x 1,2 4444

习题二

2.解：判断此类题目，直接利用代数精度的定义

当f(x) 1时， 左 =

右 =

1 dx x

01

1

10

1

31

1 1 1，左 = 右 44

1

x2

当f(x) x时， 左 = x dx

02

右 =

1

2

，左 = 右

3111 1 4342

1

1

x3122

当f(x) x时， 左 = x dx

0303

右 =

31211

() 1 ，左 = 右 4343

1

x4133

当f(x) x时， 左 = x dx

0404

右 =

31315

() 1 ，左 右 43418

所以求积公式的代数精度为2.

3.解： ⑴ 求积公式中含有三个待定参数，即：A0,A1,A2，因此令

求积公式对f(x) 1,x,x均准确成立，则有

2

A0 A1 A2 2h A0h A2h 0

2232Ah Ah h2 0

3

14

解得：A0 A2 h,A1 h

33

所求公式至少有2次代数精度。 又由于 当f(x) x3时， 左 = 0

右 = A0 ( h)3 A2 h3 0

当f(x) x4时， 左 =

25h 5

4

4

右 = A0h A2h

25

h 左 3

所以求积公式只有3次代数精度。 ⑵、⑶类似方法得出结论。

6.解： 因要求构造的求积公式是插值型的，故其求积系数可表示为

A0 l0(x)

11

1x 411dx (4x 3)dx

0x0 x12211x x01dx (4x 1)dx

02x1 x02

A1 l1(x)

11

故求积公式为：

1

1 13

f(x)dx f() f()

2 44

下面验证其代数精度：

当 f(x) 1时， 左 x0 1,右 1 当 f(x) x时，左

x

2

21

11 ,右 22

1

3

x15

,右 左 当 f(x) x2时，左

30316

所以其代数精度为1。

7.证明：

⑴若求积公式⑷对f(x)和g(x)准确成立，则有

b

a

f(x) Akf(xk) 及 g(x) Akg(xk)

k 0

a

k 0

n

b

n

a f(x) g(x) dx af(x)dx ag(x)dx

Akf(xk) Akg(xk) Ak( f(xk) g(xk))

k 0

k 0

k 0

n

n

n

bbb

所以求积公式对 f(x) g(x)亦准确成立。

⑵ k次多项式可表示为akxk ak 1xk 1 a1x a0 pk(x)

若公式⑷对xk(k 0,1, m)是准确的， 则有7题中的上一步可知，其对

pk(x)亦成立。由代数精度定义可知， 其至少具有m次代数精度。

12. 解：

4112

T0 (f(1) f(5)) 2(1 )

25514112128T1 T0 f(3) 2

2225315

T2

11

T1 2 f(2) f(4) 22

1411101 ( ) 152460

T3

11579 3

T2 1 f() f() f() f() 22222 21011 2222

1.6289681202 3579

精确解为：1.609438

17 解：首先将区间[0，1]变换为[-1，1]，令x

11

t ，则t 1,1 22

14

101 x21

41 1

1 t

2 2

8 2

1

14 t 12

1

三点高斯公式为：

1

1

f x dx

59

3 85

f 0 f 5 9 9 3

f 5 （高斯求积公式的节点与系数可查表得到，

对于高斯求积公式，计算系数和节点十分困难）, 则

1

14 t 12dt518151 229959 3 3

1 4 1 4 5 5

0.3926335

1

则 8

1

14 t 12 3.141068

1

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