河南省许昌市禹州市2022年中考数学一模试题

河南省许昌市禹州市2019年中考数学一模试题

一、选择题（每小题3分，共30分）

1．（3分）若一元二次方程x2﹣8x+a＝0有一个根是x＝3，则方程的另一个根是（）A．x＝﹣5 B．x＝5 C．x＝15 D．x＝﹣15

2．（3分）在我们的日常生活中，经常会看到许多美妙的中心对称图形，下列电视台的台标中，是中心对称图形的是（）

A． B． C．D．

3．（3分）已知∠A为锐角，且sin A＝，那么∠A等于（）

A．15°B．30° C．45° D．60°

4．（3分）如图，在△ABC中，DE∥BC，，DE＝4，则BC的长（）

A．8 B．10 C．12 D．16

5．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且点C、D在AB的异侧，连接AD、BD、OD、OC，若∠ABD＝15°，且AD∥OC，则∠BOC的度数为（）

A．120°B．105°C．100°D．110°

6．（3分）如图，直线y1＝kx+n（k≠0）与抛物线y2＝ax2+bx+c（a≠0）分别交于A（﹣1，

0），B（2，﹣3）两点，那么当y1＞y2时，x的取值范围是（）

A．﹣1＜x＜2 B．x＞2 C．x＜﹣1或x＞2 D．x≤﹣1

7．（3分）某口袋中有10个球，其中白球x个，绿球2x个，其余为黑球．甲从袋中任意摸出一个球，若为绿球获胜，甲摸出的球放回袋中，乙从袋中摸出一个球，若为黑球则乙获胜，要使游戏对甲、乙双方公平，则x应该是（）

A．3 B．4 C．1 D．2

8．（3分）对于二次函数y＝2x2+x﹣3，下列结果中正确的是（）

A．抛物线有最小值是y＝﹣

B．x＞﹣1时y随x的增大而减小

C．抛物线的对称轴是直线x＝﹣

D．图象与x轴没有交点

9．（3分）如图，点A在双曲线y＝上，点B在双曲线y＝（k≠0）上，AB∥x轴，分别过点A、B向x轴作垂线，垂足分别为D、D，若矩形ABCD的面积是8，则k的值为（）

A．5 B．7 C．9 D．11

10．（3分）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转，点B的对应点为点E，点A的对应点为点D，当点E恰好落在边AC上时，连接AD，∠ACB＝36°，AB＝BC，AC＝2，则AB的长度是（）

A．﹣1 B．1 C．D．

二、填空题（每小题3分，共15分）

11．（3分）关于x的一元二次方程（x+1）（x﹣2）＝1的两根为．

12．（3分）如果一次函数y＝2x+3与反比例函数y＝（k≠0）有交点，那么k的取值范围是．

13．（3分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，tan C＝，∠BAC＝105°，AC＝2，那么BC的长度为．

14．（3分）如图，在计算机白色屏幕上有一个矩形画刷ABCD，它的边AB＝1，AD＝，以B点为中心，将矩形ABCD按顺时针方向转动到A′B′C′D′的位置（A′点在对角线BD 上），则与线段A′D及线段A′D′所围成的图形的面积为（结果保留π）．

15．（3分）如图，点E是矩形ABCD中CD边上一点，将△BCE沿BE折叠为△BFE，点F落在边AD上，若AB＝8，BC＝10，则CE＝．

三、解答题（共75分）

16．（8分）已知关于x的方程x2﹣（m+3）x+4m﹣4＝0；

（1）求证：无论m取何值，这个方程总有实数根；

（2）若等腰△ABC的一边长a＝5，另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．

17．（9分）消费者在许昌市某火锅店饭后买单时可以参与一个抽奖游戏，规则如下：有4张纸牌，它们的背面都是小猪佩奇头像，正面为2张笑脸、2张哭脸．现将4张纸牌洗匀后背面朝上摆放到桌上，然后让消费者去翻纸牌．

（1）现小杨有一次翻牌机会，若正面是笑脸的就获奖，正面是哭脸的不获奖．她从中随机翻开一张纸牌，小芳获奖的概率．

（2）如果小杨、小月都有翻两张牌的机会．小杨先翻一张，放回后再翻一张；小月同时翻开两张纸牌．他们翻开的两张纸牌中只要出现一张笑脸就获奖．他们谁获奖的机会更大些？通过树状图或列表法分析说明理由．

18．（9分）如图，AB为⊙O的直径，C、F为⊙O上两点，且点C为弧BF的中点，过点C作AF的垂线，交AF的延长线于点E，交AB的延长线于点D．

（1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）如果半径的长为3，tan D＝，求AE的长．

19．（9分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函

数y＝（n≠0）的图象交于第二、四象限内的A、B两点，与x轴交于点C，点B坐标

为（m，﹣1），AD⊥x轴，且AD＝3，tan∠AOD＝．

（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；

（2）求△AOB的面积；

（3）点E是x轴上一点，且△AOE是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的E点的坐标．

20．（9分）在某海域，一艘海监船在P处检测到南偏西45°方向的B处有一艘不明船只，正沿正西方向航行，海监船立即沿南偏西60°方向以40海里/小时的速度去截获不明船只，经过1.5小时，刚好在A处截获不明船只，求不明船只的航行速度．（≈1.41，

≈1.73，结果保留一位小数）．

21．（10分）位于郑州市二七区的二七德化步行街是郑州最早的商业文化购物步行街，在郑州乃至中原都相当有名，德化步行街某店铺经营某种品牌童装，购进时的单价是40元，根据市场调查，当销售单价是60元时，每天销售量是200件，销售单价每降低1元，就可多售出20件．

（1）求出销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；

（2）求出销售该品牌童装获得的利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；

（3）若童装厂规定该品牌童装的销售单价不低于56元且不高于60元，则此服装店销售该品牌童装获得的最大利润是多少？

22．（10分）在△ABC的边BC上取B′、C′两点，使∠AB′B＝∠AC′C＝∠BAC．（1）如图1中∠BAC为直角，∠BAC＝∠AB′B＝∠AC′C＝90°（点B′与点C′重合），

则△ABC∽△B'BA∽△C'AC，，，进而可得AB2+AC2＝；

（2）如图2中当∠BAC为锐角，图3中∠BAC为钝角时（1）中的结论还成立吗？若不成立，则AB2+AC2等于什么（用含用BC和B′C′的式子表示）？并说明理由．

（3）若在△ABC中，AB＝5，AC＝6，BC＝9，请你先判断出△ABC的类型，再求出B′C′的长．

23．（11分）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A（1，0）、B

（4，0），C（0，2）三点，直线y＝kx+t经过B、C两点，点D是抛物线上一个动点，过点D作y轴的平行线，与直线BC相交于点E．

（1）求直线和抛物线的解析式；

（2）当点D在直线BC下方的抛物线上运动，使线段DE的长度最大时，求点D的坐标；（3）点D在运动过程中，若使O、C、D、E为顶点的四边形为平行四边形时，请直接写出满足条件的所有点D的坐标．

参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分）

1．【解答】解：设方程的另一根为x，

则x+3＝8，

解得x＝5．

故选：B．

2．【解答】解：A、是中心对称图形，故本选项正确；

B、不是中心对称图形，故本选项错误；

C、不是中心对称图形，故本选项错误；

D、不是中心对称图形，故本选项错误．

故选：A．

3．【解答】解：∵sin A＝，

∴∠A＝60°．

故选：D．

4．【解答】解：∵DE∥BC，

∴△ADE∽△ABC，

∴，

∵，

∴＝，

∴，

∵DE＝4，

∴BC＝12．

故选：C．

5．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∠ABD＝15°，∴∠ADB＝90°，

∴∠A＝75°，

∵AD∥OC，

∴∠AOC＝75°，

∴∠BOC＝180°﹣75°＝105°，

故选：B．

6．【解答】解：根据图象可知：

当x＜﹣1时，y1＜y2，

当x＝﹣1时，y1＝y2，

当﹣1＜x＜2时，y1＞y2，

当x＝2时，y1＝y2，

当x＞2时，y1＜y2，

故选：A．

7．【解答】解：由题意甲从袋中任意摸出一个球，若为绿球则获胜；甲摸出的球放回袋中，乙从袋中摸出一个球，若为黑球则获胜可知，

绿球与黑球的个数应相等，也为2x个，

列方程可得x+2x+2x＝10，

解得x＝2，

故选：D．

8．【解答】解：∵y＝2x2+x﹣3＝2（x+）2﹣，

∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣，二次函数有最小值﹣；所以A选项正确，C选项错误；

当x＜﹣时，y随x的增大而减小，所以B选项错误；

∵方程2x2+x﹣3＝0有两个不相等的实数解，

∴抛物线与x轴有两个交点，所以D选项错误．

故选：A．

9．【解答】解：∵双曲线（k≠0）在第一象限，

∴k＞0，

延长线段BA，交y轴于点E，

∵AB∥x轴

∴AE⊥y轴，

∴四边形AEOD是矩形，

∵点A在双曲线上，

∴S矩形AEOD＝3，

同理S矩形OCBE＝k，

∵S矩形ABCD＝S矩形OCBE﹣S矩形AEOD＝k﹣3＝8，

∴k＝11．

故选：D．

10．【解答】解：∵AB＝BC，∠ACB＝36°，∴∠BAC＝∠ACB＝36°，∠B＝∠CED＝108°，∴∠AED＝72°，

∴CA＝CD，∠ACD＝36°，

∴∠CAD＝∠CDA＝72°，

∴∠ADE＝∠ACD＝36°，

∴DA＝ED＝EC，设AB＝x，则AD＝DE＝EC＝x，∵∠DAE＝∠CAD，∠ADE＝∠ACD，

∴△DAE∽△CAD，

∴AD2＝AE?AC，

∴x2＝（2﹣x）?2，

∴x＝﹣1或﹣﹣1（舍弃），

∴AB＝﹣1，

故选：A．

二、填空题（每小题3分，共15分）

11．【解答】解：原方程整理可得：x2﹣x﹣3＝0，

∵a＝1，b＝﹣1，c＝﹣3，△＝1+12＝13，

∴x＝

∴x1＝，x2＝，

故答案为：x1＝，x2＝．

12．【解答】解：∵一次函数y＝2x+3与反比例函数y＝（k≠0）有交点，

∴方程2x+3＝有实数根，

整理，得2x2+3x﹣k＝0，

∴△＝9+8k≥0，

解得k≥﹣．

故答案为k≥﹣．

13．【解答】解：∵tan C＝，

∴∠C＝30°，

∵AD是BC边上的高，

∴∠ADB＝∠ADC＝90°，

∴∠CAD＝60°，

∵AC＝2，

∴AD＝AC＝1，CD＝AD＝，

∵∠BAC＝105°，

∴∠BAD＝∠ABD＝45°．

在Rt△ADB中，BD＝AD＝1，

∴BC＝1+．

故答案为：1+．

14．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠A＝90°，

∵AB＝1，AD＝，

∴BD＝＝2，

∴∠ADB＝30°，∠ABD＝60°，

∵将矩形ABCD按顺时针方向转动到A′B′C′D′的位置，

∴∠A′B′D′＝∠ABD＝60°，A′B′＝AB＝2，A′D′＝AD＝，

∴与线段A′D及线段A′D′所围成的图形的面积＝S扇形DBD′﹣S△A′B′D′＝﹣×1×＝π﹣，

故答案为：π﹣．

15．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形

∴AB＝CD＝8，AD＝BC＝10，∠A＝∠D＝90°，

∵将△BCE沿BE折叠为△BFE，

∴BF＝BC＝10，EF＝CE，

在Rt△ABF中，AF＝＝6

∴DF＝AD﹣AF＝4

在Rt△DEF中，DF2+DE2＝EF2＝CE2，

∴16+（8﹣CE）2＝CE2，

∴CE＝5

故答案为：5

三、解答题（共75分）

16．【解答】（1）证明：∵△＝[﹣（m+3）]2﹣4（4m﹣4）＝（m﹣5）2≥0，∴无论m取何值，这个方程总有实数根；

（2）解：将x＝5代入原方程，得：25﹣5m﹣15+4m﹣4＝0，

解得：m＝6，

∴原方程为x2﹣9x+20＝0，

解得：x1＝4，x2＝5．

∵4、5、5能组成三角形，

∴该三角形的周长为4+5+5＝14．

17．【解答】解：（1）有4张纸牌，它们的背面都是小猪佩奇头像，正面为2张笑脸、2张哭脸，翻一次牌正面是笑脸的就获奖，正面是哭脸的不获奖，

则小芳获奖的概率＝；

（2）设两张笑脸牌分别为笑1，笑2，两张哭脸牌分别为哭1，哭2，画树状图如下：小杨：

∵共有12种等可能的结果，翻开的两张纸牌中出现笑脸的有10种情况，

∴小杨获奖的概率是：＝；

小月：

∵共有16种等可能的结果，翻开的两张纸牌中出现笑脸的有12种情况，

∴小月获奖的概率是：＝；

∵＞，

∴P（小杨获奖）＞P（小月获奖），

∴小杨获奖的机会更大些．

18．【解答】（1）证明：连接OC，如图，

∵点C为弧BF的中点，

∴弧BC＝弧CF．

∴∠BAC＝∠FAC，

∵OA＝OC，

∴∠OCA＝∠OAC．

∴∠OCA＝∠FAC，

∴OC∥AE，

∵AE⊥DE，

∴OC⊥DE．

∴DE是⊙O的切线；

（2）解：在Rt△OCD中，∵tan D＝＝，OC＝3，∴CD＝4，

∴OD＝＝5，

∴AD＝OD+AO＝8，

在Rt△ADE中，∵sin D＝＝＝，

∴AE＝．

19．【解答】解：（1）如图，在Rt△OAD中，∠ADO＝90°，

∵tan∠AOD＝，AD＝3，

∴OD＝2，

∴A（﹣2，3），

把A（﹣2，3）代入y＝，考点：n＝3×（﹣2）＝﹣6，

所以反比例函数解析式为：y＝﹣，

把B（m，﹣1）代入y＝﹣，得：m＝6，

把A（﹣2，3），B（6，﹣1）分别代入y＝kx+b，得：，解得：，

所以一次函数解析式为：y＝﹣x+2；

（2）当y＝0时，﹣x+2＝0，

解得：x＝4，

则C（4，0），

所以；

（3）当OE3＝OE2＝AO＝，即E2（﹣，0），E3（，0）；

当OA＝AE1＝时，得到OE1＝2OD＝4，即E1（﹣4，0）；

当AE4＝OE4时，由A（﹣2，3），O（0，0），得到直线AO解析式为y＝﹣x，中点坐标为（﹣1，1.5），

令y＝0，得到y＝﹣，即E4（﹣，0），

综上，当点E（﹣4，0）或（，0）或（﹣，0）或（﹣，0）时，△AOE 是等腰三角形．

20．【解答】解：作PQ垂直于AB的延长线于点Q，

由题意得：∠BPQ＝45°，∠APQ＝60°，AP＝1.5×40＝60海里，

∴在△APQ中，AQ＝AP?sin60°＝30海里，PQ＝AP?cos60°＝30海里，

∵在△BQP中，∠BPQ＝45°，

∴PQ＝BQ＝30海里，

∴AB＝AQ﹣BQ＝30﹣30≈21.9海里，

∴＝14.6海里/小时，

∴不明船只的航行速度是14.6海里/小时．

21．【解答】解：（1）根据题意得，y＝200+（60﹣x）×20

＝﹣20x+1400，

所以销售量y件与销售单价x元之间的函数关系式为y＝﹣20x+1400（40≤x≤60）；

（2）W＝（x﹣40）y

＝（x﹣40）（﹣20x+1400）

＝﹣20x2+2200x﹣56000，

所以销售该品牌童装获得的利润w元与销售单价x元之间的函数关系式W＝﹣20x2+2200x ﹣56000；

（3）根据题意得56≤x≤60，

w＝﹣20x2+2200x﹣56000＝﹣20（x﹣55）2+4500

∵a＝﹣20＜0，

∴抛物线开口向下，

∴当56≤x≤60时，W随x的增大而减小，

∴x＝56时，W有最大值，最大值＝﹣20（56﹣55）2+4500＝4480（元）．

所以商场销售该品牌童装获得的最大利润是4480元．

22．【解答】解：（1）如图1中，

∵△ABC∽△B'BA∽△C'AC，

∴＝，＝，

∴AB2＝BB′×BC，AC2＝CC′×BC，

∴AB2+AC2＝BC（BB′+CC′）＝BC×BC＝BC2，

故答案为BC2．

（2）不成立．

理由：如图2中当∠BAC为锐角时，BB′+CC′﹣B′C′＝BC，且△ABC∽△B'BA∽△C'AC，

∴∴＝，＝，

∴AB2＝BB′×BC，AC2＝CC′×BC，

∴AB2+AC2＝BC（BB′+CC′）＝BC2+BC?B′C′．

图3中∠BAC为钝角时，BB′+CC′+B′C′＝BC．

AB2+AC2＝BC（BB′+CC′）＝BC2﹣BC?B′C′．

（3）当AB＝5，AC＝6，BC＝9时，则AB2+AC2＜BC2，可知△ABC为钝角三角形，由图3可知：AB2+AC2＝BC2﹣BC?B′C′，

∴52+62＝92﹣9B′C′，

∴B′C′＝．

23．【解答】解：（1）把点B（4，0），C（0，2）代入直线y＝kx+t，得：

，

解得，

∴y＝﹣x+2；

把点A（1，0）、B（4，0），C（0，2）代入y＝ax2+bx+c，

得：，

解得，

∴y＝x2﹣x+2；

（2）设点D坐标为（m，m2﹣m+2），E点的坐标为（m，﹣m+2），

∴DE＝（﹣m+2）﹣（m2﹣m+2）＝﹣m2+2m＝﹣（m﹣2）2+2，∴当m＝2时，DE的长最大，为2，

当m＝2时，m2﹣m+2＝﹣1，

∴D（2，﹣1）；

（3）①当D在E下方时，如（2）中，DE＝﹣m2+2m，OC＝2，OC∥DE，∴当DE＝OC时，四边形OCED为平行四边形，

则﹣m2+2m＝2，

解得m＝2，

此时D（2，﹣1）；

②当D在E上方时，DE＝（m2﹣m+2）﹣（﹣m+2）＝m2﹣2m，

令m2﹣2m＝2，

解得m＝2，

∴此时D（2+2，3﹣）或（2﹣2，3+），

综上所述，点D的坐标是（2，﹣1）或（2+2，3﹣）或（2﹣2，3+）时，都可以使O、C、D、E为顶点的四边形为平行四边形．

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