湖南大学2005年高等代数考研真题
更新时间:2023-12-29 19:15:01 阅读量: 教育文库 文档下载
高等代数——2005年真题
一.(20分)证明:数域F上的一个n次多项式f?x?能被它的导数整除的充要条件是
f?x??a?x?b?,?其中a,b是F中的数?.
n二.(20分)设a1a2?an?0,计算下面的行列式:
1?a111?111?a21?111?1??1111111?1?an
1?a3?????2??2??????4?1三.(15分)已知矩阵A?PQ,其中P???,Q???,Q?,求矩阵A,A2和A100。
?3???2?????1????1?四.(20分)给定线性方程组
?x1?a1x2?a12x3?a13?23?x1?a2x2?a2x3?a2 ? (1) 23?x1?a3x2?a3x3?a323??x1?a4x2?a4x3?a4当a1,a2,a3,a4满足什么条件时,方程组(1)有惟一解?无穷多解?无解? 五.(20分)设f?X???AX是一实二次型,若有实n维向量X1,X2使得Xf?X1????f?X2???,证明:必存在实n维向量X0?0使f?X0??0。
六.设W是齐次线性方程组
?2x1?x2?x3?x4?3x5?0 ? (2)
x?x?x?????????????x?05?123的解空间。1.W中的向量与方程组(2)的系数矩阵的行向量有何关系?2。求W的一组标
准正交基。
?131616???七.(15分)求复矩阵??5?7?6?的不变因子,初等因子及Jordan标准形。
??6?8?7???八.(10分)设整系数线性方程组
?axijj?1nj?bi,?i?1,2,?,n?对任意整数b1,b2,?,bn均
有整数解。证明该方程组的系数矩阵的行列式必为?1。
九.(15分)设A,B,C为复数域上n维空间V的线性变换,AB?BA?C,并且C可以与
A,B交换。
1.证明C的特征子空间是A,B的不变子空间。 2.证明C的特征值全为0。
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