复变练习题

第二章 解析函数

一、选择题：

1．函数f(z)?3z在点z?0处是( )

（A）解析的 （B）可导的

（C）不可导的 （D）既不解析也不可导 2．函数f(z)在点z可导是f(z)在点z解析的( )

（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件

（C）充分必要条件 （D）既非充分条件也非必要条件 3．下列命题中，正确的是( )

（A）设x,y为实数，则cos(x?iy)?1

（B）若z0是函数f(z)的奇点，则f(z)在点z0不可导

（C）若u,v在区域D内满足柯西-黎曼方程，则f(z)?u?iv在D内解析 （D）若f(z)在区域D内解析，则if(z)在D内也解析 4．下列函数中，为解析函数的是( )

（A）x2?y2?2xyi （B）x2?xyi （C）2(x?1)y?i(y?x?2x) （D）x?iy 5．函数f(z)?zIm(z)在Z=0处的导数( )

（A）等于0 （B）等于1 （C）等于?1 （D）不存在

6．若函数f(z)?x?2xy?y?i(y?axy?x)在复平面内处处解析，那么实常 数a?( )

（A）0 （B）1 （C）2 （D）?2 7．如果f?(z)在单位圆z?1内处处为零，且f(0)??1，那么在z?1内

2222222332f(z)?( )

（A）0 （B）1 （C）?1 （D）任意常数 8．设函数f(z)在区域D内有定义，则下列命题中，正确的是

（A）若f(z)在D内是一常数，则f(z)在D内是一常数 （B）若Re(f(z))在D内是一常数，则f(z)在D内是一常数 （C）若f(z)与f(z)在D内解析，则f(z)在D内是一常数

（D）若argf(z)在D内是一常数，则f(z)在D内是一常数 9．设f(z)?x2?iy2，则f?(1?i)?( )

（A）2 （B）2i （C）1?i （D）2?2i 10．i的主值为( )

（A）0 （B）1 （C）e （D）e11．e在复平面上( )

（A）无可导点 （B）有可导点，但不解析 （C）有可导点，且在可导点集上解析 （D）处处解析 12．设f(z)?sinz，则下列命题中，不正确的是( )

（A）f(z)在复平面上处处解析 （B）f(z)以2?为周期

zi?2??2

eiz?e?iz（C）f(z)? （D）f(z)是无界的

213．设?为任意实数，则1( )

（A）无定义 （B）等于1

（C）是复数，其实部等于1 （D）是复数，其模等于1 14．下列数中，为实数的是( )

（A）(1?i) （B）cosi （C）lni （D）e15．设?是复数，则( )

??（A）z在复平面上处处解析 （B）z的模为z?33?i2??

（C）z一般是多值函数 （D）z的辐角为z的辐角的?倍 二、填空题

1．设f(0)?1,f?(0)?1?i，则limz?0??f(z)?1? z2．设f(z)?u?iv在区域D内是解析的，如果u?v是实常数，那么f(z)在D内是

3．导函数f?(z)??u?v?i在区域D内解析的充要条件为 ?x?x33?i)? 2233224．设f(z)?x?y?ixy，则f?(?5．若解析函数f(z)?u?iv的实部u?x2?y2，那么f(z)? 6．函数f(z)?zIm(z)?Re(z)仅在点z? 处可导

7．设f(z)?i15z?(1?i)z，则方程f?(z)?0的所有根为 58．复数i的模为 3?4i)}? 9．Im{ln(10．方程1?e三、设

?z?0的全部解为 f(z)?u(x,y)?iv(x,y)为z?x?iy的解析函数，若记

w(z,z)?u(?wz?zz?zz?zz?z,)?iv(,)，则?0． 22i22i?z四、试证下列函数在z平面上解析，并分别求出其导数 1．f(z)?cosxcoshy?isinxsinhy;

2．f(z)?ex(xcosy?ysiny)?iex(ycosy?ixsiny);

dwd2w,2. 五、设w?2zw?e?0，求

dzdz3z?xy2(x?iy)?,z?0六、设f(z)??x2?y4试证f(z)在原点满足柯西-黎曼方程，但却不可导.

?0,z?0?22七、已知u?v?x?y，试确定解析函数f(z)?u?iv.

八、设s和n为平面向量，将s按逆时针方向旋转

?????即得n.如果f(z)?u?iv为解析函2数，则有

???u?v?u?v???,??（与分别表示沿s,n的方向导数）. ?s?n?n?s?s?n九、若函数f(z)在上半平面内解析，试证函数f(z)在下半平面内解析. 十、解方程sinz?icosz?4i.

第三章 积分

一、选择题：

1．设c为从原点沿y2?x至1?i的弧段，则(x?iy)dz?( )

c?2（A）

15151515?i （B）??i （C）??i （D）?i 666666662．设c为不经过点1与?1的正向简单闭曲线，则

zdz为( ) ?2c(z?1)(z?1)（A）

?i?i （B）? （C）0 （D）(A)(B)(C)都有可能 22sinzdz? ( ) ?2c?c1?c2z3．设c1:z?1为负向，c2:z?3正向，则

（A） ?2?i （B）0 （C）2?i （D）4?i 4．设c为正向圆周z?2，则

coszdz? ( ) ?2c(1?z)1z?2dz? ( ) 2(1?z)（A）?sin1 （B）sin1 （C）?2?isin1 （D）2?isin1

5．设c为正向圆周z?1，则?2cz3cos（A）2?i(3cos1?sin1) （B）0 （C）6?icos1 （D）?2?isin1

e?d?，其中z?4，则f?(?i）?( ) 6．设f(z)????z??4（A）?2?i （B）?1 （C）2?i （D）1

7．设f(z)在单连通域B内处处解析且不为零，c为B内任何一条简单闭曲线，则积分

f??(z)?2f?(z)?f(z)dz ( ) ?cf(z)（A）于2?i （B）等于?2?i （C）等于0 （D）不能确定 8．设c是从0到1??2i的直线段，则积分?zezdz?（ ）

c（A）1??e2 (B) ?1??e2 (C)1??e2i (D) 1??e2i

sin(z)229．设c为正向圆周x?y?2x?0，则?24dz? ( )

z?1c?（A）

22?i （B）2?i （C）0 （D）??i 2210．设c为正向圆周z?i?1,a?i，则

zcoszdz?( ) ?2(a?i)c（A）2?ie （B）

2?i （C）0 （D）icosi e11．设f(z)在区域D内解析，c为D内任一条正向简单闭曲线，它的内部全属于D．如果f(z)在c上的值为2，那么对c内任一点z0,f(z0)( )

（A）等于0 （B）等于1 （C）等于2 （D）不能确定

12．下列命题中，不正确的是( ) （A）积分

z?a?r?1dz的值与半径r(r?0)的大小无关 z?a（B）

?(xc2?iy2)dz?2,其中c为连接?i到i的线段

（C）若在区域D内有f?(z)?g(z)，则在D内g?(z)存在且解析 （D）若f(z)在0?z?1内解析，且沿任何圆周c:z?r(0?r?1)的积分等于零，则f(z)在z?0处解析

二、填空题

1．设c为沿原点z?0到点z?1?i的直线段，则2zdz?

c?z2?3z?22．设c为正向圆周z?4?1，则?dz? c(z?4)2sin(?)2d?,其中z?2，则f?(3)? 3．设f(z)????2??z4．设c为正向圆周z?3，则

??cz?zdz? z

1试证当0?r?R时

2?九、将函数

?2?0f(re)d???anr2n.

i?n?02?2ln(2?z)在0?z?1?1内展开成洛朗级数.

z(z?1)十、试证在0?z???内下列展开式成立：

z?1ze11?c0??cn(z?n)其中cn??zn?1n???0e2cos?cosn?d?(n?0,1,2,?).

第五章 留 数

一、选择题： 1．函数

cot?z在z?i?2内的奇点个数为 ( )

2z?3（A）1 （B）2 （C）3 （D）4

2．设函数f(z)与g(z)分别以z?a为本性奇点与m级极点，则z?a为函数f(z)g(z) 的( )

（A）可去奇点 （B）本性奇点

（C）m级极点 （D）小于m级的极点

1?ex3．设z?0为函数4的m级极点，那么m?( )

zsinz（A）5 （B）4 (C)3 （D）2 4．z?1是函数(z?1)sin21的( ) z?1(A)可去奇点 （B）一级极点 （C） 一级零点 （D）本性奇点

3?2z?z35．z??是函数的( ) 2z(A)可去奇点 （B）一级极点 （C） 二级极点 （D）本性奇点 6．设f(z)??anzn在z?R内解析，k为正整数，那么Res[n?0?f(z),0]?( ) zk（A）ak （B）k!ak （C）ak?1 （D）(k?1)!ak?1 7．设z?a为解析函数f(z)的m级零点，那么Res[f?(z),a]?( ) f(z)(A)m （B）?m （C） m?1 （D）?(m?1) 8．在下列函数中，Res[f(z),0]?0的是（ ）

ez?1sinz1（A） f(z)? （B）f(z)?? 2zzz（C）f(z)?sinz?cosz11? (D) f(z)?zze?1z9．下列命题中，正确的是( ) （A） 设f(z)?(z?z0)?m?(z)，?(z)在z0点解析，m为自然数，则z0为f(z)的

m级极点．

（B） 如果无穷远点?是函数f(z)的可去奇点，那么Res[f(z),?]?0 （C） 若z?0为偶函数f(z)的一个孤立奇点，则Res[f(z),0]?0 （D） 若

?f(z)dz?0，则f(z)在c内无奇点

c10． Res[zcos32i,?]? ( ) z（A）?2222 （B） （C）i （D）?i

33331z?i11．Res[z2e（A）?,i]? ( )

1515?i （B）??i （C）?i （D）?i 666612．下列命题中，不正确的是( )

（A）若z0(??)是f(z)的可去奇点或解析点，则Res[f(z),z0]?0 （B）若P(z)与Q(z)在z0解析，z0为Q(z)的一级零点，则Res[（C）若z0为

P(z0)P(z) ,z0]??Q(z)Q(z0)f(z)的m级极点，n?m为自然数，则

1dnRes[f(z),z0]?limn[(z?z0)n?1f(z)]

n!x?x0dz（D）如果无穷远点?为f(z)的一级极点，则z?0为f()的一级极点，并且

1z1Res[f(z),?]?limzf()

z?0z13．设n?1为正整数，则

1dz?( ) ?nz?2z?1(A)0 （B）2?i （C）

2?i （D）2n?i nz914．积分?10dz?( )

?13zz?2（A）0 （B）2?i （C）10 （D）

?i 515．积分

12zsindz?( ) ?zz?1（A）0 （B）?二、填空题

?i1 （C）? （D）??i

36331．设z?0为函数z?sinz的m级零点，那么m? ．

2．函数f(z)?11cosz在其孤立奇点zk?1k???2(k?0,?1,?2,??)处的留数

Res[f(z),zk]? ．

3．设函数f(z)?exp{z?21}，则Res[f(z),0]? 2z4．设z?a为函数f(z)的m级极点，那么Res[f?(z),a]? ． f(z)5．双曲正切函数tanhz在其孤立奇点处的留数为 ． 6．设f(z)?2z，则Res[f(z),?]? ． 21?z7．设f(z)?1?cosz，则Res[f(z),0]? ． z58．积分

z?1?z3edz? ．

1z9．积分

1dz? ． ?sinzz?1??xeixdx? ． 10．积分???1?x2答案

第二章 解析函数

一、1．（B） 2．（B） 3．（D） 4．（C） ５．（A） ６．（C） ７．（C） ８．（C） ９．（A） 10．（D） 11．（A） 12．（C） 13．（D） 14．（B） 15．（C）

二、填空题

?u?v?2u?2v?2u?2v,可微且满足2?1．1?i 2．常数 3．,??2 ?x?x?x?y?x?y?x?x4．

2727?i 5．x2?y2?2xyi?ic或z2?ic，c为实常数 6．i 48???2k??2k?7．82(cos4?isin4),k?0,1,2,3 8．e?2k?449．?arctan 10．2k?i(k?0,?1,?2,?)

43(k?0,?1,?2,?)

z四、1．f?(z)??sinz; 2．f?(z)?(z?1)e.

dw2w?ez?五、, dz3w2?2zd2w?dz2七、f(z)??6w(dw2dw)?4?ez8w?6ezw?12w2?3ezw2?4ez?2ezzdzdz?.

3w2?2z(3w2?2z)21?i2z?(1?i)c.c为任意实常数. 2十、z??2k??iln4(k?0,?1,?2,?).

答案

一、1．（D） 2．（D） 3．（B） 4．（C） ５．（B）

６．（A） ７．（C） ８．（A） ９．（A） 10．（C） 11．（C） 12．（D） 二、1．2 2．10?i 3．0 4．6?i 5．值

7．解析

三、1．当0?R?1时，0； 当1?R?2时，8?i； 当2?R???时，0.

2．0. 六、2?i. 七、0.

?i 6．平均12f(z)dz?8?i,八、?(z?1)2zz?12?2?0cos2?f(ei?)d??2?. 2

答案

第四章 级 数

一、1．（C） 2．（C） 3．（D） 4．（A） ５．（D） ６．（D） ７．（B） ８．（A） ９．（C） 10．（B）

11．（D） 12．（B） 13．（B） 14．（A） 15．（C）

二、1．发散 2． R2?R1 3．

2 2 4．1(n)1f(z0)(n?0,1,2,?)或（n!2?i?f(z) dz(n?0,1,2,?0?r?d)）?n?1z?z0?r(z?z0)R(?1)n2n?15．?z(z?1) 6． 7．1?z?1?2

2n?02n?1??(?1)nin111n8．? ??z 9．? 10．?nn?2n?0n!zn?0n!n?0(z?i)?三、a0?a1?1,an?an?1?an?2(n?2)，

a11?5n?11?n?5{(2)?(52)n?1}(n?0,1,2,?). 六、f(z)?z(1?z)(1?z)3，6. 九、ln(2?z)z(z?1)?1z?1?1?nz?ln(2?z)??(n?0?(?1)k?1)(z?1)n.

k?0n?k?1

答案

第五章 留 数

一、1．（D） 2．（B） 3．（C） 4．（D） ６．（C） ７．（A） ８．（D） ９．（C） 1011．（B） 12．（D） 13．（A） 14．（B） 15．9 2．(?1)k二、1 (k??? 3．0 4．?m22) 6．?2 7．?124 8．?i12 9．2?i

（B）．（A）．（C） 5．110．?ie５．

三、a0?a1?1,an?an?1?an?2(n?2)，

a11?5n?11?n?5{(2)?(52)n?1}(n?0,1,2,?). 六、f(z)?z(1?z)(1?z)3，6. 九、ln(2?z)z(z?1)?1z?1?1?nz?ln(2?z)??(n?0?(?1)k?1)(z?1)n.

k?0n?k?1

答案

第五章 留 数

一、1．（D） 2．（B） 3．（C） 4．（D） ６．（C） ７．（A） ８．（D） ９．（C） 1011．（B） 12．（D） 13．（A） 14．（B） 15．9 2．(?1)k二、1 (k??? 3．0 4．?m22) 6．?2 7．?124 8．?i12 9．2?i

（B）．（A）．（C） 5．110．?ie５．

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