2019届高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 第三节 函数的奇偶性与周期性课时作业

唐玲 学 习 资 料 专 题

第三节 函数的奇偶性与周期性

课时作业

A 组——基础对点练

1．下列函数为奇函数的是( )

A ．y ＝x

B ．y ＝|sin x |

C ．y ＝cos x

D ．y ＝e x －e －x

解析：因为函数y ＝x 的定义域为[0，＋∞)，不关于原点对称，所以函数y ＝x 为非奇非偶函数，排除A ；因为y ＝|sin x |为偶函数，所以排除B ；因为y ＝cos x 为偶函数，所以排除C ；因为y ＝f (x )＝e x －e －x ，f (－x )＝e －x －e x ＝－(e x －e －x )＝－f (x )，所以函数y ＝e x －e －x 为奇函数，故选D.

答案：D

2．下列函数中为偶函数的是( )

A ．y ＝x 2sin x

B ．y ＝x 2cos x

C ．y ＝|ln x |

D ．y ＝2－x 解析：A 选项，记f (x )＝x 2sin x ，定义域为R ，f (－x )＝(－x )2sin(－x )＝－

x 2sin x ＝－f (x )，故f (x )为奇函数；B 选项，记f (x )＝x 2cos x ，定义域为R ，f (－x )＝(－x )2cos(－x )＝x 2cos x ＝f (x )，故f (x )为偶函数；C 选项，函数y ＝|ln x |的定义域为(0，＋∞)，不关于原点对称，故为非奇非偶函数；D 选项，记f (x )＝2－x ，定义域为R ，f (－x )＝2－(－x )＝2x ＝1f x ，故f (x )为非奇非偶函数，选B.

答案：B

3．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )

A ．y ＝1＋x 2

B ．y ＝x ＋1x

C ．y ＝2x ＋12x

D ．y ＝x ＋e x

解析：选项A 中的函数是偶函数；选项B 中的函数是奇函数；选项C 中的函数是偶函数；只有选项D 中的函数既不是奇函数也不是偶函数．

答案：D

4．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( )

A ．y ＝ln x

B ．y ＝x 2

＋1

唐玲 C ．y ＝sin x D ．y ＝cos x

解析：A 项中的函数是非奇非偶函数；B 项中的函数是偶函数但不存在零点；C 项中的函数是奇函数；D 项中的函数既是偶函数又存在零点．

答案：D

5．函数y ＝log 21＋x 1－x

的图象( ) A ．关于原点对称

B ．关于直线y ＝－x 对称

C ．关于y 轴对称

D ．关于直线y ＝x 对称

解析：由1＋x 1－x

＞0得－1＜x ＜1，即函数定义域为(－1,1)， 又f (－x )＝log 21－x 1＋x ＝－log 21＋x 1－x

＝－f (x )， ∴函数y ＝log 21＋x 1－x

为奇函数，故选A. 答案：A

6．设f (x )＝x ＋sin x (x ∈R)，则下列说法错误的是( )

A ．f (x )是奇函数

B ．f (x )在R 上单调递增

C ．f (x )的值域为R

D ．f (x )是周期函数

解析：因为f (－x )＝－x ＋sin(－x )＝－(x ＋sin x )＝－f (x )，所以f (x )为奇函数，故A 正确；因为f ′(x )＝1＋cos x ≥0，所以函数f (x )在R 上单调递增，故B 正确；因为f (x )在R 上单调递增，所以f (x )的值域为R ，故C 正确；f (x )不是周期函数，故选D. 答案：D

7．定义运算a b ＝a 2－b 2，a b ＝

a －

b 2，则f (x )＝x x －2为( ) A ．奇函数

B ．偶函数

C ．常函数

D ．非奇非偶函数 解析：由定义得f (x )＝

4－x 2x －2－2. ∵4－x 2≥0，且

x －2－2≠0，即x ∈[－2,0)∪(0,2]． ∴f (x )＝4－x 22－x －2＝－4－x 2x

(x ∈[－2,0)∪(0,2])， ∴f (－x )＝4－x 2

x ，∴f (－x )＝－f (x )，

∴f (x )为奇函数．

唐玲 答案：A

8．f (x )是R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 3＋ln(1＋x )，则当x ＜0时，f (x )＝( )

A ．－x 3－ln(1－x )

B ．x 3

＋ln(1－x ) C ．x 3－ln(1－x )

D ．－x 3＋ln(1－x ) 解析：当x ＜0时，－x ＞0， f (－x )＝(－x )3＋ln(1－x )，

∵f (x )是R 上的奇函数，∴当x ＜0时，

f (x )＝－f (－x )＝－[(－x )3＋ln(1－x )]＝x 3－ln(1－x )．

答案：C

9．x 为实数，[x ]表示不超过x 的最大整数，则函数f (x )＝x －[x ]在R 上为( )

A ．奇函数

B ．偶函数

C ．增函数

D ．周期函数

解析：函数f (x )＝x －[x ]在R 上的图象如图：

选D.

答案：D

10．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈[－2,0]时，f (x )＝－2x

，则f (1)＋f (4)等于( )

A.32

B ．－32

C ．－1

D ．1 解析：由f (x ＋4)＝f (x )知f (x )是周期为4的周期函数，又f (x )是定义在R 上的偶函数，

故f (4)＝f (0)＝－1，f (1)＝f (－1)，又－1∈[－2,0]，所以f (－1)＝－2－1＝－12

，所以f (1)＝－12，f (1)＋f (4)＝－32

，选B. 答案：B

11．若f (x )＝a x

＋1－22x ＋1是R 上的奇函数，则实数a 的值为__________． 解析：∵函数f (x )是R 上的奇函数，∴f (0)＝0，

∴2a －22

＝0，解得a ＝1. 答案：1

唐玲 12．(2018·安徽十校联考)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ＜0时，f (x )＝2x ，则f (log 4 9)＝__________.

解析：因为log 49＝log 23＞0，又f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ＜0时，f (x )＝2x ，所

以f (log 49)＝f (log 23)＝－2－log 23＝

＝－13. 答案：－13

13．已知定义在R 上的偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递增，且f (1)＝0，则不等式f (x －

2)≥0的解集是__________．

解析：由已知可得x －2≥1或x －2≤－1，解得x ≥3或x ≤1，∴所求解集是(－∞，1]∪[3，＋∞)．

答案：(－∞，1]∪[3，＋∞)

B 组——能力提升练

1．已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2

，则f (7)＝( )

A ．2

B ．－2

C ．－98

D ．98 解析：因为f (x ＋4)＝f (x )，所以函数f (x )的周期T ＝4，又f (x )在R 上是奇函数，所以f (7)＝f (－1)＝－f (1)＝－2.

答案：B

2．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0]上单调递增，若实数a 满足f ()

＞f (－2)，则a 的取值范围是( )

A ．(－∞，3)

B ．(0，3)

C ．(3，＋∞)

D ．(1，3) 解析：∵f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0]上单调递增，∴f (x )在区间[0，＋∞)上单调递减．根据函数的对称性，可得f (－2)＝f (2)，

∴f (2log 3a )＞f (2)．∵＞0，f (x )在区间[0，＋∞)上单调递减，∴0＜＜

2?log 3a ＜12

?0＜a ＜3，故选B. 答案：B

3．奇函数f (x )的定义域为R.若f (x ＋2)为偶函数，且f (1)＝1，则f (8)＋f (9)＝( )

A ．－2

B ．－1

C ．0

D ．1

唐玲 解析：由f (x ＋2)是偶函数可得f (－x ＋2)＝f (x ＋2)，又由f (x )是奇函数得f (－x ＋2)＝－f (x －2)，所以f (x ＋2)＝－f (x －2)，f (x ＋4)＝－f (x )，f (x ＋8)＝f (x )，故f (x )是以8为周期的周期函数，所以f (9)＝f (8＋1)＝f (1)＝1，又f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (8)＝f (0)＝0，∴f (8)＋f (9)＝1.

答案：D

4．已知函数f (x )＝a sin x ＋b 3x ＋4，若f (lg 3)＝3，则f ? ??

??lg 13＝( ) A.13

B ．－13

C ．5

D ．8

解析：由f (lg 3)＝a sin(lg 3)＋b 3lg 3＋4＝3得a sin(lg 3)＋b 3lg 3＝－1，而f ? ??

??lg 13＝f (－lg 3)＝－a sin(lg 3)－b 3lg 3＋4＝－[a sin(lg 3)＋b 3lg 3]＋4＝1＋4＝5.故选

C.

答案：C

5．若定义在R 上的函数f (x )满足：对任意x 1，x 2∈R ，有f (x 1＋x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)＋1，则下列说法一定正确的是( )

A ．f (x )－1为奇函数

B ．f (x )－1为偶函数

C ．f (x )＋1为奇函数

D ．f (x )＋1为偶函数

解析：∵对任意x 1，x 2∈R 有f (x 1＋x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)＋1，∴令x 1＝x 2＝0，得f (0)＝－1.令x 1＝x ，x 2＝－x ，得f (0)＝f (x )＋f (－x )＋1.∴f (x )＋1＝－f (－x )－1＝－[f (－x )＋1]，∴f (x )＋1为奇函数．故选C.

答案：C

6．已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x －1)＜f ? ??

??13的x 的取值范围是( )

A.? ??

??13，23 B ．??????13，23 C.? ??

??12，23 D ．??????12，23 解析：法一：偶函数满足f (x )＝f (|x |)，根据这个结论，

有f (2x －1)＜f ? ????13?f (|2x －1|)＜f ? ??

??13， 进而转化为不等式|2x －1|＜13，

唐玲 解这个不等式即得x 的取值范围是? ??

??13，23.故选A.

法二：设2x －1＝t ，若f (t )在[0，＋∞)上单调递增，

则f (x )在(－∞，0)上单调递减，如图，

∴f (t )＜f ? ??

??13，有 －13＜t ＜13，即－13＜2x －1＜13

， ∴13＜x ＜23

，故选A. 答案：A

7．已知定义在R 上的奇函数满足f (x ＋4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则( )

A ．f (－25)＜f (11)＜f (80)

B ．f (80)＜f (11)＜f (－25)

C ．f (11)＜f (80)＜f (－25)

D ．f (－25)＜f (80)＜f (11)

解析：∵f (x ＋4)＝－f (x )，

∴f (x ＋8)＝－f (x ＋4)，

∴f (x ＋8)＝f (x )，

∴f (x )的周期为8，

∴f (－25)＝f (－1)，f (80)＝f (0)，

f (11)＝f (3)＝f (－1＋4)＝－f (－1)＝f (1)，

又∵奇函数f (x )在区间[0,2]上是增函数，

∴f (x )在区间[－2,2]上是增函数，

∴f (－25)＜f (80)＜f (11)，故选D.

答案：D

8．设奇函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数，且f (1)＝0，则不等式x [f (x )－f (－x )]＜0的解集为( )

A ．{x |－1＜x ＜0，或x ＞1}

B ．{x |x ＜－1，或0＜x ＜1}

C ．{x |x ＜－1，或x ＞1}

D ．{x |－1＜x ＜0，或0＜x ＜1}

解析：∵奇函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数，f (－x )＝－f (x )，

x [f (x )－f (－x )]＜0，∴xf (x )＜0，又f (1)＝0，

∴f(－1)＝0，

从而有函数f(x)的图象如图所示：

则有不等式x[f(x)－f(－x)]＜0的解集为{x|－1＜x＜0或0＜x＜1}，选D.

答案：D

9．定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)，当－3≤x＜－1时，f(x)＝－(x＋2)2；当－1≤x＜3时，f(x)＝x.则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 017)( )

A．336 B．337

C．1 678 D．2 018

解析：∵f(x＋6)＝f(x)，∴T＝6，

当－3≤x＜－1时，f(x)＝－(x＋2)2，

当－1≤x＜3时，f(x)＝x.

∴f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝f(－3)＝－1，f(4)＝f(－2)＝0，f(5)＝f(－1)＝－1，f(6)＝f(0)＝0，

∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＝1，

由周期可得

f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝f(7)＋f(8)＋…＋f(12)＝…＝f(2 011)＋f(2 012)＋…＋f(2 016)＝1，

而f(2 017)＝f(6×336＋1)＝f(1)＝1，

∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2 017)＝336×1＋1＝337.故选B.

答案：B

10．对任意的实数x都有f(x＋2)－f(x)＝2f(1)，若y＝f(x－1)的图象关于x＝1对称，且f(0)＝2，则f(2 015)＋f(2 016)＝( )

A．0 B．2

C．3 D．4

解析：y＝f(x－1)的图象关于x＝1对称，则函数y＝f(x)的图象关于x＝0对称，

即函数f(x)是偶函数，

令x＝－1，则f(－1＋2)－f(－1)＝2f(1)，

即f(1)－f(1)＝2f(1)＝0，

即f(1)＝0，

则f(x＋2)－f(x)＝2f(1)＝0，

即f(x＋2)＝f(x)，

则函数的周期是2，又f(0)＝2，

则f(2 015)＋f(2 016)＝f(1)＋f(0)＝0＋2＝2.故选B.

答案：B

唐玲

唐玲 11．(2018·保定调研)已知函数f (x )为R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x (x ＋1)，若f (a )＝－2，则实数a ＝________.

解析：x ≥0时，f (x )＝x (x ＋1)＝? ????x ＋122－14

的最小值为0，所以f (a )＝－2时，a ＜0，因为f (x )为R 上的奇函数，当x ＜0时，－x ＞0，f (－x )＝－x (－x ＋1)

＝x 2－x ＝－f (x )，所以x ＜0时，f (x )＝－x 2＋x ，则f (a )＝－a 2＋a ＝－2，所以a ＝－1. 答案：－1

12．已知函数f (x )＝x 2(2x －2－x )，则不等式f (2x ＋1)＋f (1)≥0的解集是__________． 解析：因为f (－x )＝(－x )2(2－x －2x )＝－x 2(2x －2－x

)＝－f (x )，所以函数f (x )是奇函数．不等式f (2x ＋1)＋f (1)≥0等价于f (2x ＋1)≥f (－1)．易知，当x ＞0时，函数f (x )为增函数，所以函数f (x )在R 上为增函数，所以f (2x ＋1)≥f (－1)等价于2x ＋1≥－1，解得x ≥－1. 答案：[－1，＋∞) 13．已知函数f (x )＝??? 3x 2

＋1＋x 2＋x ，

x 3x 2

＋

1＋x 2－x ，x ＜0，若f (x －1)＜f (2x ＋1)，则x

的取值范围为__________． 解析：若x ＞0，则－x ＜0，f (－x )＝3(－x )2＋ln(1＋－x 2＋x )＝3x 2＋ln(1＋x 2

＋x )＝f (x )，同理可得，x ＜0时，f (－x )＝f (x )，且x ＝0时，f (0)＝f (0)，所以f (x )是偶函数．因为当x ＞0时，函数f (x )单调递增，所以不等式f (x －1)＜f (2x ＋1)等价于|x －1|＜|2x ＋1|，整理得x (x ＋2)＞0，解得x ＞0或x ＜－2.

答案：(－∞，－2)∪(0，＋∞)

14．定义在R 上的函数f (x )在(－∞，－2)上单调递增，且f (x －2)是偶函数，若对一切实数x ，不等式f (2sin x －2)＞f (sin x －1－m )恒成立，则实数m 的取值范围为__________． 解析：因为f (x －2)是偶函数，所以函数f (x )的图象关于x ＝－2对称，由题意知f (x )在(－∞，－2)上为增函数，则f (x )在(－2，＋∞)上为减函数，所以不等式f (2sin x －2)＞f (sin x －1－m )恒成立等价于|2sin x －2＋2|＜|sin x －1－m ＋2|，即|2sin x |＜|sin x ＋1－m |，两边同时平方，得3sin 2x －2(1－m )sin x －(1－m )2＜0，即(3sin x ＋1－m )(sin x －1＋m )

＜0，即?

???? 3sin x ＋1－m ＞sin x －1＋m ＜0或????? 3sin x ＋1－m ＜sin x －1＋m ＞0，即????? 3sin x ＞m －sin x ＜1－m 或????? 3sin x ＜m

－sin x ＞1－m ，即????? m －1＜－1－m ＞1或????? m －1＞1－m ＜－1，即m ＜－2或m ＞4，故m 的取

值范围为(－∞，－2)∪(4，＋∞)．

答案：(－∞，－2)∪(4，＋∞)

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