第一章 质点运动学课后习题解答 -

第一章 质点运动学

1-1.质点的曲线运动中，下列各式表示什么物理量？

d2rdrdsdrdrdvdvdr ；；；；；；；。 dtdtdtdtdtdt2dtdt解：

1-2.设质点的运动方程为x?x(t);y?y(t)22。在计算质点的瞬时速度和瞬时加速度时，有

drd2r人先求出r?x?y，然后再根据v?和a?2求解。也有人用分量式求解，即

dtdtd2x2d2y2dx2dy2v?()?()和a?(2)?(2)，问哪种方法正确？

dtdtdtdt解：第二种方法正确

1-3． 已知质点沿x 轴作直线运动,其运动方程为x?2?6t2?2t3,式中x 的单位为m,t 的

单位为 s．求：

(1) 质点在运动开始后4.0 s内的位移的大小； (2) 质点在该时间内所通过的路程； (3) t＝4 s时质点的速度和加速度．

解： (1) 质点在4.0 s内位移的大小

Δx?x4?x0??32m

(2) 由 得知质点的换向时刻为

dx?0 dttp?2s (t＝0不合题意)

则

Δx1?x2?x0?8.0m

Δx2?x4?x2??40m

所以,质点在4.0 s时间间隔内的路程为

s?Δx1?Δx2?48m

(3) t＝4.0 s时

v?dx??48m?s?1

dtt?4.0sd2xa?2??36m.s?2dtt?4.0s

1-4. 质点的运动方程为

x??10t?30t2

y?15t?20t2

式中x,y 的单位为m,t 的单位为ｓ．

试求：(1) 初速度的大小和方向；(2) 加速度的大小和方向． 解 (1) 速度的分量式为

vx?dx??10?60t dtdyvy??15?40t

dt-1

当t ＝0 时, v0x ＝-10 m·ｓ , v0y ＝15 m·ｓ ,则初速度大小为

-1

v0?v0x?v0y?18.0m?s?1

设v0与x 轴的夹角为α,则

22tanα?v0yv0x3??

2α＝123°41′

(2) 加速度的分量式为

ax?则加速度的大小为

dvdvx?60m?s?2 , ay?y??40m?s?2 dtdta?ax?ay?72.1m?s?2

22设a 与x 轴的夹角为β,则

tanβ?ay2?? ax3β＝-33°41′(或326°19′)

1-5． 一质点的运动学方程为x?t2，y??t?1? (S1)。试求： (1)质点的轨迹方程：(2)在t?2s

2时，质点的速度和加速度。 解 (1) 由质点的运动方程

x?t2 (1)

y??t?1? (2)

2 消去参数t，可得质点的轨迹方程

y?x?1

(2) 由(1)、(2)对时间t求一阶导数和二阶导数可得任一时刻质点的速度和加速度 vx? 所以

v?vxi?vyj?2ti?2?t?1?j (3)

dydx?2t vy??2?t?1?

dtdtd2yd2x ax?2?2 ay?2?2

dtdt 所以

a?2i?2j (4)

把t=2s代入式(3)、(4)，可得该时刻质点的速度和加速度。 v?4i?2j a?2i?2j

??Rsin?t?1-6.已知运动函数为r?Rcos?tij (R, ω为常量)，求质点的速度、加速度、切

向加速度和法向加速度。 解：速度：v???d???R?cos?t?r??R?sin?tij

dtd???R?2cos?t?v??R?2sin?tij dt速度大小：v?R? 加速度：a??加速度大小：a?R? 切向加速度：a??2dv?0； 法向加速度：an?a2?a?2?R?2 dt31-7. 质点沿半径为1m的圆周运动, 运动方程为??2?3t（SI）. 求：⑴ t?2s时, 质

0点的切向加速度和法向加速度.⑵ 当加速度的方向和半径成45角时,角位移是多少？ 解： 质点运动的角速度和角加速度分别为：

??d??9t2 dtd????18t

dt切向加速度： a??dv?r??1?18t?18t dt法向加速度： an?r?2?1?(9t2)2?81t4

⑴当t?2s时 a??18t?18?2?36m/s2

an?81t4?81?24?1296m/s2

⑵ 加速度的方向和半径成45时，即 a??an

081t4?18t

t?此时角位移

32 9 ??2?3t?2?3?t?2.67rad

1-8. 飞轮半径为0.4 m，自静止启动，其角加速度为β=0.2 rad·s，求t＝2s时边缘

上各点的速度、法向加速度、切向加速度和合加速度．

?1解：当t?2s时，???t?0.2?2?0.4rad?s ?1则v?R??0.4?0.4?0.16m?s

33?2an?R?2?0.4?(0.4)2?0.064m?s?2

a??R??0.4?0.2?0.08m?s?2

2a?an?a?2?(0.064)2?(0.08)2?0.102m?s?2

1-9. 飞机以100 m·ｓ-1 的速度沿水平直线飞行,在离地面高为100 m时,驾驶员要把物品空

投到前方某一地面目标处,问：(1) 此时目标在飞机正下方位置的前面多远？ (2) 投放物品时,驾驶员看目标的视线和水平线成何角度？(3) 物品投出2.0ｓ后,它的法向加速度和切向加速度各为多少？

解: (1) 取如图所示的坐标,物品下落时在水平和竖直方向的运动方程分别为

x ＝vt, y ＝1/2 gt2

飞机水平飞行速度v＝100 m·s ,飞机离地面的高度y＝100 m,由上述两式可得目标在飞机正下方前的距离

-1

x?v(2) 视线和水平线的夹角为

2y?452m gθ?arctany?12.5o x(3) 在任意时刻物品的速度与水平轴的夹角为

vygtα?arctan?arctan

vxv取自然坐标,物品在抛出2s 时,重力加速度的切向分量与法向分量分别为

gt??at?gsinα?gsin?arctan??1.88m?s?2

v??gt??an?gcos??gcos?arctan??9.62m?s?2

v??

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