2016年3月石景山高三数学（理）试题及答案

石景山区2015—2016学年第一次模拟考试试卷

高三数学（理）

本试卷共6页，150分．考试时长120分钟．请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后上交答题卡．

第一部分（选择题 共40分）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．已知集合M?{x|x?0，x?R}，N?{x|x2?1，x?R}，则M?N＝( ) A．

1?1?1?1? B．?0，C．?0，D．?0，?0，

2i在复平面内所对应的点位于( ) 1?i2．设i是虚数单位，则复数

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为( ) A．y?x?1 B．y??x3 C．y?4．下图给出的是计算

1

D．y?xx

x

1111???????的值的一个框图， 24610其中菱形判断框内应填入的条件是( )

A．i?5 B．i?5 C．i?6 D．i?6

5．某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中最大( ) A．8 B．62 C．10 D．82 6．在数列

“an?1?an”是“数列?an?为递增数列”的( ?an?中，

)

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．函数f(x)?Asin(?x??)(A?0，??0，??则将y?f(x)的图象向右平移为( )

A．y?sin2x B．y?sin(2x?C．y?sin(2x?

?2)的部分图象如图所示，

?6个单位后，得到的函数图象的解析式

2?)3

?6

)D．y?cos2x

高三数学（理科）第1页（共11页）

8．德国数学家科拉茨1937年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数n，如果n是偶数，就将它减半 (即

n)；如果n是奇数，则将它乘3加1(即3n?1)，不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到21．对于科拉茨猜想，目前谁也不能证明，也不能否定，现在请你研究：如果对正整数n(首项)按照上述规则施行变换后的第8项为1（注：1可以多次出现)，则n的所有不同值的个数为( ) A．4 B．6 C．32 D．128

第二部分（非选择题共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．

x229．双曲线?y?1的焦距是________，渐近线方程是________．

2?x?2y?8，?y满足约束条件?0?x?4，则z?2x?y的最大值等于_____．10．若变量x，

?0?y?3，?11．如图，

AB是半圆O的直径，?BAC?30?，BC为半圆的切线，且

BC?43，则点O到AC的距离OD＝________．

12．在平面直角坐标系中，已知直线l的参数方程为??x?1?s，(s为参数)，曲线C的参数方程为

?y?1?s?x?t?2，(t为参数)，若直线l与曲线C相交于A，B两点，则AB＝____． ?2?y?tx?0，?log2x，13．已知函数f(x)??x关于x的方程f(x)?x?a?0有且只有一个实根，则实数a的取值范

3，x?0，?围是________．

14．某次考试的第二大题由8道判断题构成，要求考生用画“√”和画“×”表示对各题的正误判断，每题判断正确得1分，判断错误不得分.请根据如下甲，乙，丙3名考生的判断及得分结果，计算出考生丁的得分． 甲 乙 丙 丁 第1 题 第2题 第3 题 第4 题 第5 题 第6 题 第7题 第8 题 得分 × × √ √ × √ × × √ × √ × × × √ × × √ √ √ √ × × × × √ × × √ × × × 5 5 6 ？ 丁得了_______________分．

高三数学（理科）第2页（共11页）

三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题共13分）

设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，，c且bsinA?3acosB． （Ⅰ）求角B的大小；

c的值． （Ⅱ）若b?3，sinC?2sinA，求a，

16．（本小题共13分）

我市某苹果手机专卖店针对苹果6S手机推出无抵押分期付款购买方式，该店对最近购买苹果6S手机的100人进行统计（注：每人仅购买一部手机），统计结果如下表所示：

付款方式 频数 分1期 35 分2期 25 分3期 分4期 10 分5期 a b 已知分3期付款的频率为0.15,请以此100人作为样本估计消费人群总体，并解决以下问题： （Ⅰ）求a，b的值；

（Ⅱ）求“购买手机的3名顾客中（每人仅购买一部手机），恰好有1名顾客分4期付款”的概率； （Ⅲ）若专卖店销售一部苹果6S手机，顾客分1期付款(即全款)，其利润为1000元；分2期或3期付款，其利润为1500元；分4期或5期付款，其利润为2000元．用X表示销售一部苹果6S手机的利润，求X的分布列及数学期望．

高三数学（理科）第3页（共11页）

17．（本小题共14分）

如图，三棱柱ABC?A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，BC?AC，BC?AC?2，AA1?3，D为AC的中点．

（Ⅰ）求证：AB1∥平面BDC1； （Ⅱ）求二面角C1?BD?C的余弦值；

（Ⅲ）在侧棱AA1上是否存在点P，使得CP⊥平面BDC1？ 若存在，求出AP的长；若不存在，说明理由．

18．（本小题共13分）

已知函数f(x)?sinx?xcosx．

（Ⅰ）求曲线y?f(x)在点(π，f(π))处的切线方程；

?1（Ⅱ）求证：当x?(0，)时，f(x)?x3；

23（Ⅲ）若f(x)?kx?xcosx对x?(0，)恒成立，求实数k的最大值．

2

高三数学（理科）第4页（共11页）

?

19．（本小题共14分）

x2y22C:??1(a?b?0)2已知椭圆的短轴长为，离心率为，直线 a2b221B两点，且线段AB的垂直平分线通过点(0，l:y?kx?m与椭圆C交于A，?)．

2（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）求△AOB（O为坐标原点）面积的最大值．

20．（本小题共13分）

若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得数列{an}的前n项和Sn?am，则称{an}是“回归数列”． （Ⅰ）①前n项和为Sn?2n的数列{an}是否是“回归数列”？并请说明理由；

②通项公式为bn?2n的数列{bn}是否是“回归数列”？并请说明理由；

（Ⅱ）设{an}是等差数列，首项a1?1，公差d?0，若{an}是“回归数列”，求d的值；

（Ⅲ）是否对任意的等差数列{an}，总存在两个“回归数列”{bn}和{cn}，使得an?bn?cn(n?N*)成立，请给出你的结论，并说明理由．

高三数学（理科）第5页（共11页）

石景山区2015—2016学年第一次模拟考试

高三数学（理）参考答案

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．

题号 答案 1 D 2 B 3 D 4 A 5 C 6 B 7 C 8 B 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． (第9题第

第二三、解答题

共80

15．（本小题共13分）

解：（Ⅰ）?bsinA?3acosB， ?????2分

由正弦定理得sinBsinA?3sinAcosB，

答案 题号 9 10 11 12 13 14 一空2分，空3分)

23，y??2x 210 3 2 (1，??) 6 共6小题，分．

π)， ?????4分 在△ABC中，sinA?0，即tanB?3，B?(0，?B?π． ?????6分 3（Ⅱ）?sinC?2sinA，由正弦定理得c?2a， ?????8分

由余弦定理b?a?c?2accosB， 得9?a?4a?2a?(2a)?cos22222π， ?????10分 3解得a?3，∴c?2a?23． ?????13分

16．（本小题共13分） 解：（Ⅰ）由题意得

a?0.15， 100所以a?15，

又35?25?a?10?b?100，所以b?15． ?????3分

高三数学（理科）第6页（共11页）

（Ⅱ）设事件A为“购买一部手机的3名顾客中，恰好有1名顾客分4期付款”， ?????4分

由题意得：随机抽取一位购买者，分4期付款的概率为0.1， ?????5分 所以P(A)?C3?0.1?0.9?0.243． ?????7分

（Ⅲ）记分期付款的期数为ξ，依题意得P(ξ?1)?0.35，P(ξ?2)?0.25，P(ξ?3)?0.15，

12P(ξ?4)?0.1，P(ξ?5)?0.15，

因为X可能取得值为1000元，1500元，2000元， ?????8分 并且易知P(X?1000)?P(ξ?1)?0.35， ?????9分

P(X?1500)?P(ξ?2)?P(ξ?3)?0.4， ?????10分 P(X?2000)?P(ξ?4)?P(ξ?5)?0.25， ?????11分

所以X的分布列为

X 1000 0.35 1500 0.4 2000 0.25 P 所以X的数学期望EX?1000?0.35?1500?0.4?2000?0.25?1450．?13分 17．（本小题共14分）

解：（Ⅰ）证明：连接B1C，与BC1相交于O，连接OD．

∵BCC1B1是矩形，∴O是B1C的中点．

又D是AC的中点，∴OD∥AB1． ???2分 ∵AB1?平面BDC1，OD?平面BDC1， ???3分 ∴AB1∥平面BDC1． ???4分

32)，00)，B(0，，（Ⅱ）如图，建立空间直角坐标系，则C1(0，，C(0，，30)，A(2，，30)，D(1，，30)， ???5

分

?设n?(x1，y1，z1)是平面BDC1的一个法向量，

????????n?C1B?0，?3y1?2z1?0，则??????即? ?x?3y?0，1??n?C1D?0，?1?11令x1?1，则n?(1，?，)， ???7分

32

高三数学（理科）第7页（共11页）

?????易知C1C?(0，，30)是平面ABC的一个法向量， ???8分

????????????n?C1C?12C1C?????????， ???9分 ∴cos?n，??7n?C1C7?36由题意知二面角C1?BD?C为锐角，

∴二面角C1?BD?C的余弦值为． ???10分

27y，0) (0?y?3)，使得CP?平面BDC1． （Ⅲ）假设侧棱AA1上存在一点P(2,，则????????????CP??????C????1B??0，，即??CP?C?3(y?3)?0，??y?3，1D?0，?2?3(y?3)?0，∴??7． ?y?3∴方程组无解．∴假设不成立．

∴侧棱AA1上不存在点P，使CP⊥平面BDC1． 18．（本小题共13分）

解：f?(x)?cosx?(cosx?xsinx)?xsinx （Ⅰ）f?(?)?0，f(?)??．

所以切线方程为y??． （Ⅱ）令g(x)?f(x)?13x3， 则g?(x)?xsinx?x2?x(sinx?x)， 当x?(0，?2)时，设t(x)?sinx?x，则t?(x)?cosx?1?0

所以t(x)在x?(0，?2)单调递减，t(x)?sinx?x?t(0)?0

即sinx?x，所以g?(x)?0???6分

所以g(x)在(0，?2)上单调递减，所以g(x)?g(0)?0， 所以f(x)?13x3．???8分 （Ⅲ）原题等价于sinx?kx对x?(0，?2)恒成立，

即k?sinxx对x?(0，?2)恒成立，???9分 令h(x)?sinxx，则h?(x)?xcosx?sinxx2??f(x)x2．

高三数学（理科）第8页（共11页）

???12分

???14分 ???1分

???3分 ???4分 ???7分

???10分

易知f?(x)?xsinx?0，即f(x)在(0,?2)单调递增，

所以f(x)?f(0)?0，所以h?(x)?0， ???11分 故h(x)在(0，)单调递减，所以k?h()???222?．

综上所述，k的最大值为2．???13分 ?

19．（本小题共14分）

??e?c?2，解：（Ⅰ）由已知可得??a2?2b?2，解得a2?2，b2?1， ??a2?b2?c2，??故椭圆C的标准方程为x22?y2?1． （Ⅱ）设A(x1，y1)，B(x2，y2)， ?y?kx?联立方程?m，?x2 ??2?y2?1，消去y得(1?2k2)x2?4kmx?2m2?2?0． 当??8(2k2?m2?1)?0，

即2k2?m2?1时， x?4km2m2?21?x2?1?2k2，x1?x2?1?2k2． 所以

x1?x22??2kmy1?y21?2k2，2?m1?2k2． 当k?0时，线段AB的垂直平分线显然过点(0，?12)

高三数学（理科）第9页（共11页）

???2分

???3分 ???4分 ???5分

???6分

S?AOB?11AB?m??m?22?1?m2 22?2?(1?m2)?m2

因为m?(?1,0)?(0,1),所以m2?(0,1)

11122，当m?时，取到等号. ???8分 S?AOB?2?(1?)??2222当k?0时，因为线段AB的垂直平分线过点(0，?12)， y1?y2?(1所以

x2?2)??1， 1?x22?0k化简整理得2k2?1?2m． 由???2k2?1?2m，2得0?m?2． ??2k?1?m2， 又原点O到直线AB的距离为d?m．

1?k2AB?1?k2x21?x2?21?k24k2?2m2?1?2k2 所以S?12AB?d?m4k2?2m2?2?AOB1?2k2 而2k2?1?2m且0?m?2， 则S1?AOB?24m?2m2,0?m?2． 所以当m?1，即k2?12时，S取得最大值2?AOB2． 综上，S2?AOB最大值为2．

20．（本小题共13分）

解:（Ⅰ）①∵Snn?1n?2，作差法可得an?Sn?Sn?1?2(n?2)，

当n?1时，S1?a1；

高三数学（理科）第10页（共11页）

???9分

???10分 11分 ???12分 ???13分 ???14分 ???

当n?2时，Sn?an?1，存在m?n?1，使得Sn?am ∴数列{an}是“回归数列”．???2分

②∵bn?2n，∴前n项和Tn?n?n，根据题意n?n?2m ∵n(n?1)一定是偶数，∴存在m?22n(n?1)，使得Tn?bm 2∴数列{bn}是“回归数列”．???4分 （Ⅱ）Sn?n?n(n?1)d，根据题意，存在正整数m，使得S2?am成立 21?0，m?2，m?N* m?2即2?d?1?(m?1)d，d?∴m?1，即d??1．???8分 （Ⅲ）设等差数列an?a1?(n?1)d

总存在两个回归数列bn?a1?(n?1)a1，cn?(n?1)(a1?d) 使得an?bn?cn???9分 证明如下：

bn?cn?a1?(n?1)a1?(n?1)a1?(n?1)d?an

数列{bn}前n项和Bn?na1?n(n?1)a1， 2n?1时，m?1；n?2时，m?1； n?3时，2?(n?3)n(n?3)n为正整数，当m?2?时，bm?Bn. 22(n?3)n，使得Bn?bm，∴{bn}是“回归数列”??11分 2n(n?1)n(n?1)(a1?d)存在正整数m??1，使得Cn?cm，∴{cn}是“回22∴存在正整数m?2?数列{cn}前n项和Cn?归数列”，所以结论成立．???13分

【注：若有其它解法，请酌情给分】

高三数学（理科）第11页（共11页）

当n?2时，Sn?an?1，存在m?n?1，使得Sn?am ∴数列{an}是“回归数列”．???2分

②∵bn?2n，∴前n项和Tn?n?n，根据题意n?n?2m ∵n(n?1)一定是偶数，∴存在m?22n(n?1)，使得Tn?bm 2∴数列{bn}是“回归数列”．???4分 （Ⅱ）Sn?n?n(n?1)d，根据题意，存在正整数m，使得S2?am成立 21?0，m?2，m?N* m?2即2?d?1?(m?1)d，d?∴m?1，即d??1．???8分 （Ⅲ）设等差数列an?a1?(n?1)d

总存在两个回归数列bn?a1?(n?1)a1，cn?(n?1)(a1?d) 使得an?bn?cn???9分 证明如下：

bn?cn?a1?(n?1)a1?(n?1)a1?(n?1)d?an

数列{bn}前n项和Bn?na1?n(n?1)a1， 2n?1时，m?1；n?2时，m?1； n?3时，2?(n?3)n(n?3)n为正整数，当m?2?时，bm?Bn. 22(n?3)n，使得Bn?bm，∴{bn}是“回归数列”??11分 2n(n?1)n(n?1)(a1?d)存在正整数m??1，使得Cn?cm，∴{cn}是“回22∴存在正整数m?2?数列{cn}前n项和Cn?归数列”，所以结论成立．???13分

【注：若有其它解法，请酌情给分】

高三数学（理科）第11页（共11页）

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