数字信号处理 答案 第二章

1

第二章

2.1 判断下列序列是否是周期序列。若是，请确定它的最小周期。 （1）x(n)=Acos(6

85ππ+n ) （2）x(n)=)8(

π-n

e j

（3）x(n)=Asin(3

43π

π+n )

解 (1)对照正弦型序列的一般公式x(n)=Acos(?ω+n )，得出=ω85π。因此5

16

2=ωπ是有理数，所以是周期序列。最小周期等于N=

)5(165

16

取k k =。 （2）对照复指数序列的一般公式x(n)=exp[ωσj +]n,得出8

1

=ω。因此πωπ162=是无理数，所以不

是周期序列。

（3）对照正弦型序列的一般公式x(n)=Acos(?ω+n )，又x(n)=Asin(343ππ+n )＝Acos(-2π3

43ππ-n )＝Acos(6143-n π)，得出=ω43π。因此3

8

2=ωπ是有理数，所以是周期序列。最小周期等于

N=

)3(83

8

取k k =

2.2在图2.2中，x(n)和h(n)分别是线性非移变系统的输入和单位取样响应。计算并列的x(n)和h(n)的线性卷积以得到系统的输出y(n)，并画出y(n)的图形。

(a)

1

11

1

(b)

(c)

11

111

0 0

-1-1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

2

2

2

222 3

3

3

3 34

44

…

…

…n

n

n n

n

n

x(n)x(n)

x(n)

h(n)h(n)

h(n)2

1

u(n)

u(n)

u(n)a n ===2

2

解利用线性卷积公式

y(n)=∑∞

-∞

=-

k

k

n

h

k

x)

(

)

(

按照折叠、移位、相乘、相加、的作图方法，计算y(n)的每一个取样值。

(a) y(0)=x(O)h(0)=1

y(l)=x(O)h(1)+x(1)h(O)=3

y(n)=x(O)h(n)+x(1)h(n-1)+x(2)h(n-2)=4,n≥2

(b) x(n)=2δ(n)-δ(n-1)

h(n)=-δ(n)+2δ(n-1)+ δ(n-2)

y(n)=-2δ(n)+5δ(n-1)= δ(n-3)

(c) y(n)= ∑∞

-∞

=--

k

k

n k

n

u

k

u a)

(

)

(=∑∞

-∞

=

-

k

k

n

a=

a

a n

-

-+

1

11

u(n)

2.3 计算线性线性卷积

(1) y(n)=u(n)*u(n)

(2) y(n)=λn u(n)*u(n)

解：(1) y(n)= ∑

∞

-∞

=

-

k

k

n

u

k

u)

(

)

(

=∑

∞

=

-

)

(

)

(

k

k

n

u

k

u=(n+1),n≥0 即y(n)=(n+1)u(n)

(2) y(n)=∑∞

-∞

=

-

k

k k

n

u

k

u)

(

)

(

λ

2

=∑∞

=

-0

)

(

)

(

k

k k

n

u

k

u

λ=

λ

λ

-

-+

1

11n

,n≥0

即y(n)=

λ

λ

-

-+

1

11n u(n)

2.4 图P2.4所示的是单位取样响应分别为h

1

(n)和h

2

(n)的两个线性非移变系统的级联，已知x(n)=u(n),

h

1

(n)=δ(n)-δ(n-4), h2(n)=a n u(n),|a|<1,求系统的输出y(n).

解ω(n)=x(n)*h1(n)

=∑∞

-∞

=

k

k

u)

([δ(n-k)-δ(n-k-4)]

=u(n)-u(n-4)

y(n)=ω(n)*h2(n)

=∑∞

-∞

=

k

k k

u

a)

([u(n-k)-u(n-k-4)]

=∑∞

-

=3

n

k

k

a,n≥3

2.5 已知一个线性非移变系统的单位取样响应为h(n)=a n-u(-n),0

2.6 试证明线性卷积满足交换率、结合率和加法分配率。

3

证明（1）交换律

X(n) * y(n) = ∑∞

-∞

=-

k

k

n

y

k

x)

(

)

(

令k=n-t,所以t=n-k,又-∞

` x(n) * y(n) =∑∞

-∞

=

-

-

-

t

t

n

n

y

t

n

x)]

(

[

)

(

=∑∞

-∞

=-

t

t

y

t

n

x)(

)

(=y(n) * x(n)

交换律得证.

(2)结合律

[x(n) * y(n)] * z(n)

=[∑∞

-∞

=-

k

k

n

y

k

x)

(

)

(] * z(n)

=∑∞

-∞

=t [∑∞

-∞

=

-

k

k

t

y

k

x)

(

)

(]z(n-t)

=∑∞

-∞

=

k x(k) ∑∞

-∞

=t

y(t-k)z(n-t)

=∑∞

-∞

=

k x(k) ∑

m

y(m)z(n-k-m)

=∑∞

-∞

=

k

x(k)[y(n-k) * z(n-k)]

=x(n) * [y(n) * z(n)]

结合律得证.

(3)加法分配律

x(n) * [y(n) + z(n)]

= ∑∞

-∞

=

k

x(k)[y(n - k) +z(n - k)]

=∑∞

-∞

=

k x(k)y(n-k)+ ∑∞

-∞

=

k

x(k)z(n - k)

=x(n) * y(n) + x(n) *z(n)

加法分配律得证.

2.7 判断下列系统是否为线性系统、非线性系统、稳定系统、因果系统。并加以证明

4

5 (1)y(n)= 2x(n)+3 (2)y(n)= x(n)sin[32πn+6

π] (3)y(n)=

∑∞-∞=k k x )( (4)y(n)= ∑=n

n k k x 0)( (5)y(n)= x(n)g(n)

解 （1）设y 1(n)=2x 1(n)+3,y 2(n)=2x 2(n)+3,由于

y(n)=2[x 1(n)+x 2(n)]+3

≠y 1(n)+ y 2(n)

=2[x 1(n)+x 2(n)]+6

故系统不是线性系统。

由于y(n-k)=2x(n-k)+3,T[x(n-k)]=2x(n-k)+3,因而

y(n-k) = T[x(n-k)]

故该系统是非移变系统。

6

故系统是稳定系统。

因y(n)只取决于现在和过去的输入x(n),不取决于未来的输入，故该系统是因果系统。 （3）设 y 1(n)=

∑-∞=n k k x )(1 ，y 2(n)=∑-∞

=n k k x )(2，由于 y(n)=T[ax 1(n)+ bx 2(n)]=

∑-∞

=+n

k k k )](bx )(ax [21 =a

∑-∞=n k k x )(1+ b ∑-∞

=n k k x )(2=ay 1(n)+by 2(n) 故该系统是线性系统。

因 y(n-k)=

∑--∞=t n k k x )(= ∑-∞=-n

m t m x )( =T[x(n-t)]

所以该系统是非移变系统。

设 x(n)=M<∞ y(n)=

∑-∞=n k M =∞，所以该系统是不稳定系统。

因y(n)只取决于现在和过去的输入x(n)，不取决于未来的输入，故该系统是因果系统。

（4）设 y 1(n)=

∑=n n k k x 01)( ，y 2(n)=∑=n n k k x 0

2)(，由于 y(n)=T[ax 1(n)+ bx 2(n)]=

∑=+n

n k k k 021)](bx )(ax [ = a

∑=n n k k x 01)(+b ∑=n n k k x 0

2)(=ay 1(n)+by 2(n) 故该系统是线性系统。

因 y(n-k)=

∑-=t n n k k x 0)(= ∑+=-n

t n m t m x 0)( ≠T[x(n-t)]=

∑=-n

n k t m x 0)( 所以该系统是移变系统。 设x(n)=M,则lim n →∞y(n)= lim n →∞

(n-n 0)M=∞,所以该系统不是稳定系统。 显而易见，若n ≥n 0。则该系统是因果系统；若n

(5)设y 1(n)=x 1(n)g(n),y 2(n)=x 2(n)g(n),由于

7 y(n)=T[ax 1(n)+bx 2(n)]=(ax 1(n)+bx 2(n))g(n)

=ax 1(n)g(n)+b 2(n)=ay 1(n)+by 2(n)

故系统是线性系统。

因y(n-k)=x(n-k),而

T[x(n-k)]=x(n-k)g(n)≠y(n-k)

所以系统是移变系统。

设|x(n)|≤M<∞,则有

|y(n)|=|x(n)g(n)|=M|g(n)|

所以当g(n)有限时该系统是稳定系统。

因y(n)只取决于现在和过去的输入x(n)，不取决于本来的输入，故该系统是因果系统。

2.8 讨论下列各线性非移变系统的因果性和稳定性

（1）h(n)=2n u(-n) (4) h(n)=(

12)n u(n) (2) h(n)=-a n u(-n-1) (5) h(n)=1n

u(n) (3) h(n)=δ(n+n 0), n 0≥0 (6) h(n)= 2n R n u(n)

解 （1）因为在n<0时，h(n)= 2n

≠0,故该系统不是因果系统。 因为S=

n ∞=-∞∑|h(n)|= 0n ∞=∑|2n |=1<∞，故该系统是稳定系统。

(2) 因为在n

因为S=

n ∞=-∞∑

|h(n)|= 1n -=-∞∑| a n |=n ∞=∞∑a n -，故该系统只有在|a|>1时才是稳定系统。 (3) 因为在n

|h(n)|= n ∞=-∞∑|δ(n+n 0)|=1<∞，故该系统是稳定系统。 (4) 因为在n

因为S=n ∞=-∞∑|h(n)|=

0n ∞=∑|(12

)n |<∞，故该系统是稳定系统。 (5) 因为在n

u(n)=0，故该系统是因果系统 。 因为S=

n ∞=-∞∑|h(n)|= n ∞=-∞∑|1n u(n)|= 0

n ∞=∑1n =∞，故该系统不是稳定系统。 (6) 因为在n

8 因为S=

n ∞=-∞∑|h(n)|= 10N n -=∑|2n |=2N -1<∞，故该系统是稳定系统。

2.9 已知y(n)-2cos βy(n-1)+y(n-2)=0,且y(0)=0,y(1)=1,求证y(n)=

sin()sin n ββ 证明 题给齐次差分方程的特征方程为

α2-2cos β·α+1=0

由特征方程求得特征根

α1=cos β+jsin β=e j β,α2=cos β-jsin β= e j β-

齐次差分方程的通解为

y(n)=c 1α1n +c 2α2n =c 1e j n β+c 2e j n β-

代入初始条件得

y(0)=c 1+c 2=0 y(1)= c 1e j n β+c 2e j n β-=1

由上两式得到

c 1=1j n j n e e

ββ--=12sin β，c 2=- c 1=-12sin β 将c 1和c 2代入通解公式，最后得到

y(n) =c 1e j n β+c 2e j n β-=12sin β( e j n β+ e j n β-)=sin()sin n ββ

2.10 已知y(n)+2αy(n-1)+β(n-2)=0,且y(0)=0,y(1)=3,y(2)=6,y(3)=36,求y(n) 解 首先由初始条件求出方程中得系数a 和b

由 (2)2(1)(0)660(3)2(2)(1)361230y ay by a y ay by a b ++=+=??++=++=?

可求出 a=-1,b=-8

于是原方程为

y(n)-2y(n-1)-iy(n-2)=0

由特征方程α

2－2α－8＝0求得特征根 α1＝4 ，α2＝-2

齐次差分方程得通解为

9 y(n)=c 1α1n +c 2α2n = c 14n +c 2(-2n )

代入初始条件得

y(n)= c 1α1+c 2α2= 4α1+2α2=3

由上二式得到

c 1＝12，c 2＝－12

将c 1和c 2代入通解公式，最后得到

y(n)=c 1α1n +c 2α2n ＝12

[4n -(-2) n ]

2.11 用特征根法和递推法求解下列差分方程：

y(n)-y(n-1)-y(n-2)=0,且y(0)=1,y(1)=1

解 由特征方程α2－α－1＝0求得特征根

α1

＝12

，α2

＝12 通解为y(n)=c 1α

1n

+c 2α2n ＝c 1

（

12）n ＋c 2

（12-）n 代入初始条件得

121211c c c c +=???+=?? 求出 c 1

，c 2

最后得到通解

y(n)= c 1

()n + c 2

)n

)1n +

)1n +]

2.12 一系统的框图如图P2.12所示，试求该系统的单位取样响应h(n)和单位阶跃响应

10 解 由图可知

?

y(n)=x(n)+ βy(n-1) 为求单位取样响应，令x(n)=δ(n),于是有

h(n)= δ(n)+ βh(n-1)

由此得到

h(n)=()1n D

δβ-=βn u(n) 阶跃响应为

y(n)=h(n)*u(n)=0n k =∑βk y(k)u(n-k)

=111n ββ

+--u(n) 2.13 设序列x(n)的傅立叶变换为X(e jw ),求下列各序列的傅立叶变换

解 （1）F[ax 1(n)+bx 2(n)]=aX 1(e

jw )+bX 2(e jw ) (2)F[x(n-k)]=e

jwk -X(e jw ) (3)F[e 0jw n x(n)]=X[e

0()j w w -] (4)F[x(-n)]=X(e

jw -) (5)F[x *(n)]=X *(e jw -)

(6)F[x *(-n)]= X *(e

jw

) (7)

11 (8)jIm[x(n)]=

12[X(e jw )-X *(e jw -)] (9)12π

X(e j θ)*X(e jw ) (10)j ()jw dx e dw

2.14 设一个因果的线性非移变系统由下列差分方程描述 y(n)-

12y(n-1)=x(n)+ 12x(n-1) (1) 求该系统的单位取样响应h(n)

(2) 用（1）得到的结果求输入为x(n)＝e

jwn 时系统的响应 (3) 求系统的频率响应

(4) 求系统对输入x(n)=cos(

2πn+4

π)的响应

解 （1）令X （n ）=δ(n),得到

h(n)-h(n-1)/2=δ(n)+ δ(n-1)/2

由于是因果的线性非移变系统，故由上式得出

h(n)=h(n-1)/2+δ(n)+ δ(n-1)/2 ,n ≥0 递推计算出

h(-1)=0

h(0)=h(-1)/2+δ(0)=1

h(1)=h(0)/2+1/2=1

h(2)=h(1)/2=1/2 h(3)=21h(2)=(21)2 h(4)=

21h(2)=(21)3 ．

12 ．

．

h(n)=δ(n)+ (21

)n-1u(n-1)

或 h(n)= (21)n [u(n)-u(n-1)]

也可将差分方程用单位延迟算子表示成

(1-D)h(n)=(1+D)δ(n)

由此得到 h(n)=[(1+21D)/(1-21D)]δ(n) =[1+D+21D 2+ (21)2 D 3+…+(21)k-1 D 3+…] δ(n) =δ(n)+ δ(n-1)+ 21δ(n-2)+21δ(n-3)+... +(21)k-1δ(n-1)+… =δ(n)+ (21)n u(n-1)

2）将jwn e n X =)(代入)(*)()(n h n x n y =得到

[]

()jw

jw

jwn

jw

n jw jwn n n jwn jwn e e e e e e D D D D e D D n D D e n y ------+=-+=???

?????????+??? ??+????+??? ??+++=-+

=-+=2112112

1121212112

11211)(211211*)(11322δ （3）由（2）得出

()

jw jw

jw e e e H ---+=211211

13 （4）由（3）可知

12

112112121

2=-+=???? ??--w

j w j w j e e e H ??? ??-=??????--??????+=???

????????? ??--21arctan 2211arctan 211arctan arg 222ππj j w j e e e H 故：()()()[]

????????? ??-+=??????++=21arctan 242cos arg 42cos ππππn e H n e H n y jw jw

2.15 某一因果线性非移变系统由下列差分方程描述

y(n)-ay(n-1)=x(n)-bx(n-1)

试确定能使系统成为全通系统的b 值（b ≠a ），所谓全通系统是指其频率响应的模为与频率ω无关的常数的系统。

解：令

x(n)= (n),则

h(n)=ah(n-1)=(n)-b8(n-1)

或

h(n)=ah(n-1)+

(n)- (n-1),n ≥0

由于是线性的非移变系统，故对上式递推计算得出：

h(-1)=0

h(0)=1

h(1)=ah(0)-b (0)=a-b

h(2)=ah(1)=

-ab

h(3)=ah(2)=

- b

h(n)=ah(n-1)=

-b,n ≥0

h(n)=

u(n)-bu(n-1)

或系统的频率特性为

H(

)=

=

=

=

振幅的特性平方

=

=

=

=

若选取a＝*

1

b或b＝*

1

a，则有|H(e jw)|2=|b|2,即幅度响应等于与频率响应无关的常数，故该系统为全通系统。

2.16 (1)一个线性非移变系统的单位冲激响应为h(n)=a n u(n),其中a为实数，且0

y(n)=(k

1

a n+k

2

βn)u(n)

(2)分别计算x(n)、h(n)和（1）中求得的y(n)的傅立叶变换X(e jw)、H(e jw)、Y(e jw)，并证明

Y(e jw)=H(e jw)X(e jw)

解(1)y(n)=∑∞

-∞

=

-

k

k

n

x

k

h)

(

)

(

=∑∞

-∞

=

--

k

k k

n

u

k

u

a)

(

)

(1

β

14

15 =∑∞-∞=--k k

a )(11ββ=11111])(1[-+----αβαββn =-1111+---n ααββ+111

1----βαβ

β，n ≥0 y(n)=(

n αβα-1-n βββ-1)u(n)

(2)X(iw

e )=ωγβi n e -∞=∑0=-ωβj e

--11 H(e ωj )=ωγαi n e -∞=∑0=

ω

αj e --11 Y(e ωj )=∑∞=----0)(

n j n n e ωββαβ

αβαα

=βα-1(ωααj e --1-n j e

ββαβω--) 由于 βα-1(ωααj e --1-ω

ββj e --1) =

)1)(1(1ωωβαj j e e ----=X(e ωj )H(e ωj ) 故得出 Y(e jw )=H(e jw )X(e jw )

2.17 令x(n)和X(e jw )分别表示一个序号及其傅立叶变换，证明：

**1()()()()2n jw jw n n x n x n X e X e dx π+∞-=-∞=∑?

此式是帕塞瓦尔（Parseval ）定理的一种形式。

证明：证法一

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/yuce.html