有限元法在分析不规则多边形板稳定中应用 - 论文 - 图文

1绪论

1.1研究目的和意义

板的稳定问题一直受到研究者的关注。已有大量的文献在不同的刊物上出版和发表。从我们所能得到的文献可以看出，多数的稳定分析都集中在：矩形板、圆板在均布荷载或集中荷载的作用下，且边界条件较简单的情况。其中对面内均布荷载作用下圆板力学特性的研究是比较成熟的。因为这种荷载作用下的面内应力问题可以得到解析解，从而大大地简化了分析过程。而对于不规则形状板的稳定问题（屈曲），就我们可搜集到的文献来看，这方面的研究结果是比较少的。这主要是由于在研究薄板的稳定问题时，常会遇到一些较复杂的超越方程，即用这些超越方程的最小根来确定其临界载荷。边界条件复杂，超越方程也趋于复杂。另一方面，基于能量原理的各种解法也会由于边界条件的复杂性，产生挠曲函数选择的困难。这使得某些情况下不得不放弃其解析解而采用近似解法或数值解法。而随着计算机技术的高速发展，近年来，以有限元法、边界元法为代表的数值方法获得了极大的发展，很多解析法无法解决的问题。例如几何形状不规则或者板面上有缺损的板的稳定问题，借助于这些方法，问题变得可解了。这正是本论文将重点展开研究的内容。

薄板结构在近代的科学技术及工程结构的设计和分析中有着广泛的应用价值，如：楼板、飞行器躯体及机翼、舰船甲板和外壳、海洋平台导管架、桥梁、化工设备与能源工程等主体结构都采用板构件。而且由于薄板的二维结构作用，结果使整个结构比较轻，因此也就具有很大的经济价值。这就使薄板在工程中能够得到广泛的应用。很多结构，如集装箱、船舶等要求完全封闭的结构，使用板就能很容易的满足这一要求，而不需要另外再增加护盖，这样又进一步的达到了节省材料和劳动力的效果。虽然薄壳结构也可以达到上述优点，甚至效果能更好些，但是由于很多的结构构件需要有平面条件，因此妨碍了使用具有单曲面或双曲面的结构。利用壳体的三维承载能力可以达到更多的节省材料的效果，但是，由于它的造价较高，这一效果也就被抵消了，所以还是愿意采用薄板结构。因此就需要我们对这些薄板结构进行力学分析，以确保其稳定可靠，经济合理。所以对板结构的研究也就日益受到广大学者的重视。还有，虽然历史上我们对薄板的理论研究已经有一些成果，但研究对象主要集中在圆板、矩形板和三角形板，以及其他一些规则形状的薄板，且边界条件也很简单。研究方法往往受结构形状和边界条件的限制，对于不同的形状、不同的边界条件会有不同的理论公式。然而在实际生活中，必然会遇到各种形状的复杂薄板结

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构，这就需要实际工程人员掌握不同的理论背景以及高深的数学知识，而这就加大了实际工程人员对不同情况板结构的分析计算难度，也加大了他们的工作量。而且从广义上来说，板结构的研究理论也有助于广泛结构的力学分析计算。所以，我们研究复杂薄板结构的稳定问题不但有理论上的重要意义，还有实际工程意义。

随着大型高速电子计算机和先进的测试技术的出现，使解决工程中复杂的稳定问题成为可能。所以，本文就适应性广、易于掌握的有限元方法进行了研究，以期用它解决不规则形状的薄板结构稳定问题时能得到较好的应用效果。

1.2研究现状

结构力学的发展总的来说是从研究静力问题开始的，然而关于板的首次分析和实验研究，几乎可以说是从板的自由振动开始的。

板的薄膜理论的第一个数学表达式是由欧拉（L. Euler）于1766年发表的，他利用两组互相垂直张拉的弹簧的比拟，解决了矩形和圆形弹性薄膜的自由振动问题。欧拉的学生柏努里（J. Bernoulli）引用了格构比拟，将欧拉的比拟推广到板上。德国物理学家启拉第尼（E. F. F. Chiladni）发现了各种自由振动的振型。他在水平板上进行了实验，将粉末均匀地撒在水平板上，振动以后便形成了有规则的图形，从而得到平板各阶振型的节线和其相应的频率。这个实验引起了法国人的极大兴趣，1804年，法国科学院邀请启拉第尼表演了这一实验，拿破仑亲临参加并对这次实验留下了深刻影响，在他的提议下，法国科学院悬赏征求平板的数学理论。1811年10月，莎非格门（Sophie—Germain）利用欧拉在梁弹性曲线方面的工作，对弯曲变形能的积分式进行变分，导出挠度曲线的微分方程，从而推演出它的解。但其中却少了有关翘曲影响的一项。这个缺陷被当时的一位鉴定人拉格朗日（J. L. Lagrange）所察觉，他加进了遗漏项，因此成为正确使用板的微分方程的第一人，这个未经推导的微分方程是在拉格朗日死后才从他的手稿中被发现的。随后，泊松（S. D. Poisson）进一步改进了板的理论，他设想板由许多质点组成，相互之间有分子力的作用，通过一组质点的平衡条件成功的得到了薄板的微分方程，但在这个解答中，板的抗弯刚度D被规定为一常量[1]。

提出第一个令人满意的板弯曲理论要归功于纳维（C. L. Navier），他在1823年发表的论文中，同样认为平板由许多质点组成，但假定质点分布在板的厚度内，弯曲时，质点的位移与板的中面平行，且与该平面间的距离成正比，由此得到板弯曲的正确微分方程。由于纳维认为质点之间相互作用力只与它们之间的距离改变成正比而与方向无关，所以他的

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结果只包含一个弹性常数。为了求解某些边界值问题，他利用了Fourier三角级数使微分方程转换为代数式，这样就能求出精确正确解[1]。

1850年克希霍夫（G. R. Kirchoff）发表了一篇重要论文。在这篇论文中，他阐述了如今己被接受的两个基本假定: a.原来垂直于平板中面的直线，变形后仍保持为直线且垂直于变形后的中面，即：直法线假设。b.在横向载荷作用下薄板产生微弯时，板中面并不伸长。克希霍夫根据这两个假定列出薄板弯曲变形能的正确算式，并应用虚功原理进行变分运算，导出了著名的薄板弯曲微分方程。同时，他指出边界上只存在两个边界条件。随后，开尔文（Lord Kelvin）提出了沿着板的边缘可把扭矩转换为等效剪力这一有关边界方程条件的见解，从而使得在薄板边缘上只承受两种力的作用，即剪力和弯矩[2]。

虽然薄板微分方程由克希霍夫导出并用于声学，但在工程中运用板的理论直到20世纪才开始。在近代结构中，莱维（M. Levy）首先研究了对边简支另两边为任意支撑条件的矩形板，并成功的得到了正确的解答。这个解具有很大的实用价值，工程师们研究了多种特殊的载荷情况，并积累了最大挠度和最大弯矩的数表。巴泊考维奇创造性地发展了薄板弯曲和稳定性的计算方法，将莱维解推广到对边固定而其它两边为任意支承的矩形板。铁木辛柯（S. P. Timoshenko）对数学上比较困难的四边固定矩形板提出了一种更为一般的解法，它能用于包括集中力在内的各种载荷形式。哥尔布诺夫—巴沙道夫得到了半无限弹性体上薄板弯曲的近似解。张福范研究了复杂情况下简支矩形板、固定矩形板、连续矩形板和悬臂板等的解法，丰富了经典的解析方法。随着航空工业的兴起，各向异性板受到了学者们的关注，胡贝尔（M. T. Huber）研究了正交各向异性板，在这一领域内的主要工作是由前苏联学者完成的，随着这方面一系列专著的出版，标志着这一领域的研究进入了高潮。平板大挠度问题的基本微分方程由克希霍夫和克莱勃许（A. Clebsch）导出，布勃诺夫研究了长矩形板在均布载荷下的弯曲问题，铁木辛柯讨论了圆板大挠度问题。目前最常用的是摄动法和基于变分原理的李兹法、伽辽金法等近似解法[3]。

综上所述，近百年来所出版的有关弹性薄板及其应用理论分析方面的书籍、资料和研究成果，几乎都是在克希霍夫“直法线”假定的前提下来讨论板结构分析的经典理论内容。经典理论的“直法线”假定规定原垂直结构中面（线）的法线变形后仍保持为直线，且垂直于此变形后的中面（线），也就是垂直剪切变形为零。经典理论的假定，对于板理论的发展起着至关重要的作用，同时也为板理论的研究奠定了坚实的基础。我们也注意到，这一假定被推广应用到其它诸多领域，如梁、拱、框架、刚架、薄壳等问题。正是由于这一假定，才使复杂的连续介质力学理论能够应用于大部分结构构件的计算，这一假定的提出

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以及相应的经典理论的建立和进一步的发展，对于近世纪来的科学技术及生产的发展起着巨大的促进与推动作用，它已经成为目前大量的工程结构设计计算的重要基础之一。

随着科学技术的发展，现代工程结构越来越朝着大型化、智能化、复杂化等方向发展，同时还涉及到一系列高压、高速、高温等问题，必然会使结构越来越复杂，这也是复杂板结构日益引起注意与重视的原因之一。承受高压载荷的设备除了提高材料强度之外，增加结构厚度是大家都会想到的方法，但是对于要求结构轻便的构件来说，尤其是在航天航空行业里，这显然不是一个好的选择，而且还会增加材料用量，造价必然抬高。因此，事前对板构件进行稳定分析，得到它的临界载荷并分析出构件的最薄弱部分，以便进行加固。这样就可达到轻质高强、经济合理的效果。

板稳定性研究的重要内容是确定失稳临界荷载。而解析法对于不规则多边形板的求解有很大的困难。有限单元法的应用开辟了数值求解板稳定性的问题的新领域。同时由于大型高速电子计算机和先进的测试技术的出现，更使解决工程中复杂的稳定问题成为可能。

1.3本文的主要内容

本文的研究课题主要是应用有限元理论研究不规则形状薄板的稳定问题。要求的研究方法具有一般性和通用性，换句话说，也就是能够求得各种形状的薄板的屈曲模态及临界载荷。采用的方法属于数值法。此方法的特点主要有两方面：首先、此方法易于掌握、操作方便、精度高且适用范围广；其次、其结果可用列表或云图形式表示，形象直观。无论是从精确性还是普遍性来说，这种方法都有其独特的优越性，与传统的解析法相比，其优越性是不言而喻的。

本论文的主要内容如下：

1）综述薄板理论的发展，介绍板理论研究所面临的问题，阐明了本研究的意义，并且给出本文研究的主要内容。

2）介绍弹性薄板基本理论，以及弹性体动力学基本方程及板稳定理论，并给出了薄板小挠度的控制方程。

3）详细介绍有限元方法，包括有限元基本思想及分析步骤，并介绍了一些单元类型。为更好的理解有限元法及应用有限元法分析板稳定问题打下了理论基础。

4）应用有限元方法分析板的稳定问题。其中介绍了ANSYS软件中的结构分析类型及其分析步骤。重点介绍了ANSYS软件中的屈曲（特征值）分析，并应用ANSYS软件计

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算了几个算例。此部分是本论文的研究重点，即以有限元方法分析板的临界载荷并得出相关变形图，并对结果做必要的说明。

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