湖北省黄冈中学高三适应性考试数学试题(理科).docx

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湖北省黄冈中学2016届高三适应性考试数学试题（理科）

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试卷满分150分考试用时120分钟

第I卷（选择题共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知全集U＝R，集合A＝｛x|y＝｝，B＝｛x|x2－2x<0｝，则A∪()＝（）

A．[－1， 0] B．[1， 2]

C．[0， 1] D．(－∞，1]∪［2，＋∞）

答案与解析：

D

2．已知向量＝(2m＋1，3，m－1)，＝(2，m，－m)，且∥，则实数m的值等于（）

A． B．－2

C．0 D．或－2

答案与解析：

B

3．已知复数z满足（1－2i）z＝|1＋2i|·（1－i），则复数z的虚部为（）

A．B．

C．D．－i

答案与解析：

C

4．将函数的图像向右平移个单位长度，所得图像对应的函数（）

A．在区间上单调递增

B．在区间上单调递增

C．在区间上单调递减

D. 在区间上单调递减

答案与解析：

A

5．已知一个几何体的三视图如图所示，正视图和侧视图是两个的全等的等腰梯形，梯形上底、下底分别为2，4，腰长为，则该几何体的体积为（）

A． B．28－2π

C．28－3πD．

答案与解析：

C

6．已知某产品质量指标服从正态分布 N(200，25)，某用户购买了 10000 件这种产品，记 X 表示 10000 件这种产品中质量指标值大于 210 的产品件数，则随机变量 X 的数学期望 EX＝（）

附：（随机变量ξ服从正态分布N（μ，δ2），则P(μ－δ<ξ<μ＋δ)＝68.26%，P（μ－2δ<ξ<μ＋2δ）＝95.44％）

A．6826 B．3174

C．228 D．456

答案与解析：

C

7．图中x1，x2，x3为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分，p为该题的最终得分，当x1＝6，x2＝9，p＝8.5时，x3等于（）

A．11 B．8.5

C．8 D．7

答案与解析：

C

8．设α，β，γ为不同的平面，m，n，l为不同的直线，则m⊥β的一个充分条件为（）

A．α⊥β，α∩β＝l，m⊥l

B．α∩γ＝m，α⊥γ，β⊥γ

C．α⊥γ，β⊥γ，m⊥α

D．n⊥α，n⊥β，m⊥α

答案与解析：

D

9．数列{a n}是等差数列，若 a1＋2，a5＋5，a9＋8 构成公比为 q 的等比数列，则 q＝（）

A．－1 B．1

C．±1 D．2

答案与解析：B

10．某同学准备参加学校组织的“社区卫生服务”、“进福利院演出慰问”、“参观伊利工厂”、“游学遗爱湖公园”、“市中心环保宣传”五个项目的社会实践活动，每天只安排一项活动，并要求在周一至周五内完成.其中“参观伊利工厂”与“市中心环保宣传”两项活动必须安排在相邻两天，“游学遗爱湖公园”活动不能安排在周一.则不同安排方法的种数是（）

A．48 B．24

C．36 D．64

答案与解析：C

11. 1＋7＋72＋…＋72016被6除所得的余数为（）

A．0 B．1

C．2 D．3

答案与解析：B

12. 已知椭圆E：，过焦点(0，2)的直线l与椭圆交于M，N两点，点A坐标为(0，)，，则直线l斜率为（）

A． B．

C． D．

答案与解析： A

第Ⅱ卷（非选择题共90分）

二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．

13．已知实数 x， y 满足，则z＝2x－y的取值范围是__________.

答案与解析：

13．[－5，7]；

14．已知函数 f (x)＝x a的图象过点 (4，2) ，令，n∈N*，记数列{a n}的前n项和为S n，则S99＝___________.

答案与解析：

14. 9；

15．双曲线的两条渐近线与圆：(x－3)2＋y2＝1都相切，则双曲线C 的离心率是_____.

答案与解析：

15.

16．已知函数，若存在实数a，使得函数g(x)＝f(x)－a 有两个零点，则m的取值范围是___________.

答案与解析：

16.

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．(本小题满分 12 分)设ΔABC的三个内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c．平面向量＝(cos A，cos C)，＝ (c，a)，=(2b，0)，且·(－)＝0．

（Ⅰ）求角A的大小；

（Ⅱ）若b＝1，a＝2，D是边BA上一点且∠B＝∠DCA，求CD．

答案与解析：

(Ⅰ)，

sinB≠0，∴，∴.

(Ⅱ)，a＝2，b＝1，，∴

∴，

∴

18．(本小题满分 12 分)某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如下：

（Ⅰ）在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；两个变量y与x的回归模型中，分别选择了2个不同模型，模型①：，模型②：，求，，，（精确到0.1）；

（Ⅱ）比较两个不同的模型的相关指数R12，R22，指出哪种模型的拟合效果最好，并说明理由.

附：回归方程其中，为样本平

均数，令z＝，则，，，；

答案与解析：

解：（Ⅰ）散点图如下图：

由表中的数据得：

模型二：

（Ⅱ）模型1：

模型2：

<

∴模型1的拟合效果较好.

19．(本小题满分 12 分) 如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是棱长为2的菱形，∠DAB＝，侧面PAD为等边三角形，PB＝.

（Ⅰ）证明：AD⊥PB；

（Ⅱ）求二面角A－PB－C平面角的余弦值.

答案与解析：

解：（Ⅰ）证明：取AD中点E，连接PE，BE，∵ΔABD，ΔAPD为等边三角形∴PE⊥AD，BE⊥AD，∴AD⊥平面BPE，∴AD⊥PB

（Ⅱ）以E为坐标原点，EA，EB分别为x，y轴，过E作直线垂直于底平面为

z轴建立空间直角坐标系，则E（0，0，0），A（1，0，0）， D（－1，0，0），

C（－2，，0），B（0，，0）， P（0，，）

设平面PBC法向量，

设平面ABP法向量，

∴，，而二面角所成的角为钝角，

∴二面角A－PB－C平面角的余弦值为.

20．(本小题满分 12 分)已知抛物线x2＝2py (p>0)过点(0，4)，作直线l交抛物线于A，B两点，且以AB为直径的圆过原点O.

（Ⅰ）求抛物线方程；

（Ⅱ）若ΔMNP的三个顶点都在抛物线x2＝2py上，且以抛物线的焦点为重心，求ΔMNP面积的最大值．

答案与解析：

解：（Ⅰ）以AB为直径的圆过原点O，设A（x1，y1），B(x2，y2)，则x1x2＋y1y2＝0，设直线l方程为y＝kx＋4，联立，

∴x2－2pkx－8p＝0，x1＋x2＝2pk，x1x2＝－8p，x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋4k(x1

＋x2)＋16＝0p＝2，抛物线方程为x2＝4y；

（Ⅱ）设PF交MN于Q，P(2t，t2)，M(2t1，t12)，N(2t2，t22)，

则，∴，，，

直线MN方程为，

∴

＝＝，

∴，此时

21．(本小题满分12分)已知函数在内的最大值为.

（Ⅰ）求正实数k的值；

（Ⅱ）若对任意的x1，，存在使得

，

证明：.

答案与解析：

（Ⅰ），当时，，

舍去；当时，，k＝1.

（Ⅱ），∴，令，∴

∴在(0，)上递减，要证，只需证明，而

＝

，

∴，，x1－x2<0，只需证明

，也就是证明

，

即证，令，，即是要证明时，

恒成立，

令，，

，，令，

，单减，而，，恒成立，即，

，，在恒成立，.

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答题时请用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.

22．(本小题满分 10 分) 选修 4－1 ：几何证明选讲

如图，已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交△ABC的外接圆于点F，连接FB、FC.

（Ⅰ）求证：FB2＝FA·FD；

（Ⅱ）若AB是△ABC外接圆的直径，∠EAC＝120°，BC＝6 cm，求AD的长．

答案与解析：

解：（Ⅰ）证明：AD平分，，因为四边形FABC内接

于圆，∴，，所以，

，ΔFAB∽ΔFBD，

∴，∴

（Ⅱ）若AB是ΔABC外接圆的直径，，，∵BC＝6，∴

，∴.

23．(本小题满分 10 分) 选修 4－4：坐标系与参数方程

直线l的极坐标方程为，曲线C参数方程为(θ为参数)，已知C与l有且只有一个公共点.

（Ⅰ）求a的值；

（Ⅱ）过P点作平行于l的直线交C于A，B两点，且|PA|·|PB|＝3，求点P轨迹的直角坐标方程.

答案与解析：

解：（Ⅰ）直线l的直角坐标方程为，曲线C的参数方程为

(θ为参数)，消去参数θ，可得曲线C：x2＋y2＝1，∴a＝±1

（Ⅱ）设点P(x0，y0)及过点P的直线为L1：，

由直线L1与直线C相交可得：，

因为，所以，即：

联立

由，点P的轨迹的直角坐标方程为：（夹在

两直线之间的两段圆弧）.

24．(本小题满分 10 分)选修 4－5：不等式选讲

对于任意实数a(a≠0)和b，不等式恒成立，(Ⅰ)求满足条件的实数x的集合A；

（Ⅱ）是否存在x，y，z∈A，使得x＋y＋z＝1，且

同时成立．

答案与解析：

（Ⅰ）由题知，恒成立，故不大于

的最小值，，当且仅当

时取等号，∴的最小值等于2.

∴x的范围即为不等式的解，解不等式得.

（Ⅱ）.

∴，所以不存在这样的x，y，z满足条件.

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