合肥工业大学工程力学练习册答案—章重点

五 轴向拉伸与压缩

5– 1 试求图示各杆横截面1-1、2-2、3-3上的轴力，并作轴

5 – 2 一根中部对称开槽的直杆如图所示。试求横截面1-1和

2-2上的正应力。

力图。 3PP2P1P=2kN2kN321N32kNN2N12kNN1=2kNNP2=0kNN3=-2kNN (kN)22PP2=3kN2P3=25kN11=18kN3P4=10kN32118kNN33kNN10kN1N1= 10kN18kNN2= -15kNN2N3= -18kN10N (kN)1815 12P=14kNPA1C2DB20102044

解： 1．轴力

由截面法可求得，杆各横截面上的轴力为 N??P 2．应力 ??N?P?14?1031?1A??Pa1?1A1?120?4?10?6??175MPa ?2?2?N?P?14?103A??Pa??2?2A2?2?20?10??4?10?6350MPa

11-1

5 – 3 一桅杆起重机如图所示。起重杆AB的横截面是外径为

2

5– 4由铜和钢两种材料组成的等直杆如图所示。铜和钢的弹性模量分

20 mm、内径为18 mm的圆环，钢丝绳CB的横截面面积为10 mm。别为E1?100GPa和E2?210GPa。若杆的总伸长为?l?0.126 mm，

试求起重杆和钢丝绳横截面上的应力。 y45?BBCNBC30o15oxNABP 15?

P=2kN A

解： 1．轴力

取节点B为研究对象，受力如图所示，

?X?0： N?N?BCABcos30?Pcos45??0 ?Y?0： ?Psin45??N?ABsin30?0

由此解得： NAB??2.83kN， NBC?1.04kN 2．应力

起重杆横截面上的应力为 ??NABA??2.83?103AB?Pa??47.4MPa 4??202?182??10?6 钢丝绳横截面上的应力为

?NBC1BC?A?.04?10310?10?6Pa?104MPa 试求杆横截面上的应力和载荷P。

?402钢1铜PA400B600C 解：

1．横截面上的应力 由题意有 ?l??lPl11??l2??Pl2?l1l2?E????1AE2A??E?1E2?? 由此得到杆横截面上的应力为

???ll?0.126Pa?15.9MPa

1l2600400E?E?12100?109210?109 2．载荷

P??A?15.9?106??4?402?10?6N?20kN

11-2

5– 5一阶梯状钢杆如图所示。材料的弹性模量E?200GPa。试求杆横截面上的最大正应力和杆的总伸长。

5– 6一水压机如图所示。若两立柱材料的许用应力[?]?80MPa，试校核立柱的强度。 ?40B40040N (kN)?20C800P=40kN1工件802A? P=600KN

解：

1．最大正应力

由于杆各横截面上的轴力相同，故杆横截面上的最大正应力发生在BC段的任一横截面上，即

解： 立柱横截面上的正应力为 P2600?1032 ???Pa?59.7MPa?[?] 2?6A??80?104所以立柱满足强度条件。 N40?103 ?max??Pa?127.3M PaAmin??202?10?64 2．杆的总伸长

PlPl?l??lAB??lBC?AB?BCEA1EA2? PlABE?d124?PlBCE2?d2?4PE??lABlBC????d2?d2?2??1??m?0.57mm??

4?400?10?3800?10?3??402?10?6?202?10?6?4?40?103 ?200?109?

11-3

5– 7电子秤的传感器为一空心圆筒形结构如图所示。圆筒材料的弹性模量E?200GPa。在秤某一沿筒轴向作用的重物时，测得筒壁产生的5– 8油缸盖与缸体采用6个螺栓连接如图所示。若螺栓材料的许用应力[?]?40MPa，试确定螺栓的内径。 轴向线应变???49.8?10?6，试求此重物的重量P。 P 9 80 解： 由虎克定律 ???PE?EA 可以得到此重物的重量为 P?? EA ?49.8?10?6?200?109??4??802??80?9?2?2??10?6N ?20kN 053Pp=1MPa 解： 由于内压的作用，油缸盖与缸体将有分开的趋势，依靠六个螺栓将它们固定在一起。 油缸盖受到的压力为 P?p??D24 每个螺栓承受的轴向为 ?P1?D2 N6?6p?4 由螺栓强度条件 1?D2 ??N?p?pD2A?64?d2?6d2≤[?] 4可得螺栓的直径应为 d≥p16[?]D?6?40?350 mm?22.6mm 11-4

5– 9一铰接结构由杆AB和AC组成如图所示。杆AC的长度为杆AB

的两倍，横截面面积均为A?200mm。两杆材料相同，许用应力2

y[?]?160MPa，试求结构的许可载荷。

yCNB?AB4530?NACAxAPP 解： 由

?X?0： NABsin45??N?ACsin30?0

可以得到： NAC?2NAB?NAB，即AC杆比AB杆危险，故 N?]A?160?106?200?10?6AC?[ N?32kN N1AB?2NAC?162kN

由

?Y?0： N??ABcos45?NACcos30?P?0

可求得结构的许可荷载为 P?43.7kN

5– 10试求图示等直杆AB各段内的轴力。

RARARAAaC2PNAC2a2P2PNDBDPBaPNCDRBRB 解：

为一次超静定问题。设支座反力分别为RA和RB，如图所示。 由截面法求得各段轴力分别为

NAC?RA， NCD?RB?P， NDB?RB ①静力平衡方程为

?Y?0： RA?2P?P?RB?0 ②

变形协调方程为

?l??lAC??lCD??lDB?0 ③

物理方程为

?lNACaAC?， ?lNCD2aNaEACD?EA， ?lDB?DBEA ④由①②③④联立解得：R?74P，R?5AB?4P

故各段的轴力为：N7P5AC?4P，NCD??4，NDB??4P。

11-5

5– 11一结构如图所示。横梁AB可视为刚体。杆1、2和3的横截面

面积均为A。各杆材料相同，其许用应力为[?]。试求许可载荷。

E2lCaPaylB5– 12图示为铰接的正方形结构，各杆材料均为铸铁，其许用压应力[?]与许用拉应力的比值为??3。各杆横截面面积均为Ａ。试求该结

[??]构的最大许可载荷Ｆ。

NDlAFNADFNCE NBFPADaBN(a)DNNN ‘F CaB

解：

为一次超静定问题。

由对称性可知，NAD?NBF，?lAD??lBF。 静力平衡条件：

F (b) 解：

B点受力如图(a)所示，由平衡条件可得：N?F拉杆强度条件 ????Y?0： NAD?NCE?NBF?P?0 ①

2

2，由

变形协调条件：

?lAD??lCE

由对称性可知，AD、BD、AC、BC四杆受拉，拉力为FNlN?2l即 AD?CE

EAEA即 NAD?2NCE ②

2由①②解得：NAD?NBF?2NCE?P

52P5 由AD、BF杆强度条件?AD??BF?≤[?]，可得该结构的

A许可载荷为

P≤[?]A

F2A可得 F≤2[??]A ①

D点受力如图(b)所示，由平衡条件可得：N'??2N??F CD杆受压，压力为F，由压杆强度条件

≤[??]

F≤[??]?3[??] A可得 F≤3[??]A ②

???由①①可得结构的最大许可载荷为F?2[??]A。

5211-6

六 剪 切

6– 2 如图所示凸缘联轴节。凸缘之间用四只对称分布在D0?80mm圆周上的螺栓联接，螺栓内径d?10mm，材料的许用剪应力[?]?60MPa。若联轴节传递转矩M0?200N?m，试校核螺栓的剪切强度。 6– 1 如图所示拉杆接头。已知销钉直径d?30mm，材料的许用剪应力[?]?60MPa，欲传递拉力P?100kN，试校核销钉的剪切强度。若强度不够，则设计销钉的直径。 PP解： 1．校核销钉的剪切强度 ??P22P2?100?103 ?d24??d2???302?10?6Pa?70.7MPa?[?] ∴ 销钉的剪切强度不够。 2．设计销钉的直径 由剪切强度条件??P2?d24≤[?]，可得 d≥2P2?100?103?[?]???60?106m?32.6mm QMD0M0Q00DQQM0 解： 设每个螺栓承受的剪力为Q，则由 Q?D02?4?M0 可得 Q?M02D 0 螺栓的剪应力 M0 ??Q2D02M02?A??d2??d2D?2006?80?10?3Pa 0??102?10?4 ?15.9MPa?[?] ∴ 螺栓满足剪切强度条件。 11-7

6– 3 矩形截面木拉杆的接头如图所示。已知轴向拉力P?50kN，截面宽度b?250mm，木材的顺纹容许挤压应力[?jy]?10MPa，顺纹的6– 4 螺栓接头如图所示。已知P?40kN，螺栓的许用剪应力[?]?130MPa，许用挤压应力[?jy]?300MPa。试按强度条件计算螺容许剪应力[?]?1MPa，求接头处所需的尺寸L和a。 bPPaLL解： 1． 由挤压强度条件 ?Pjy?ab≤[?jy]，可得 a≥P50?103b[??m?20mm jy]250?10?3?10?106 2．由剪切强度条件 ??PbL≤[?]，可得 L≥P50?103b[?]?250?10?3?1?106m?200mm 栓所需的直径。 01P0d2P01 解： 设螺栓的直径为d。 1．由螺栓的剪切强度条件 ??P2?d24≤[?]，可得 d≥2P2?40?103 ?[?]???130?106m?14mm 2．由螺栓的挤压强度条件 ?Pjy?d?20?10?3≤[?jy]，可得 d≥P40?103 20?10?3[???36m?6.7mm jy]20?10?300?10综合1、2，螺栓所需的直径为d≥14mm。 七 扭 转 11-8

7– 2如图所示一传动轴AC，主动轮A传递外扭矩m1?1kN?m，从

动轮B、C分别传递外扭矩为m2?0.4kN?m，m3?0.6kN?m，已7– 1 某圆轴作用有四个外力偶矩m1?1kN?m，m2?0.6kN?m，

m3?m4?0.2kN?m。

(1) 试作轴扭矩图；

(2) 若m1、m2位置互换，扭矩图有何变化？

m4m3m2m12m2.5m2.5m解：

T ( kN . m)1.00.4(1)0.20.20.4(2)

0.6

知轴的直径d?4cm，各轮间距l?50cm，剪切弹性模量G?80GPa，试求：

(1) 合理布置各轮位置； m1m2m3m2m1m3ABCBACllll(2) 求出轮在合理位置时轴的最大剪应力、轮A与轮C 之间的

相对扭转角。 T ( kN·m )1.00.60.6

0.4 解：

1．由扭矩图可以看出：按原先的布置，轴的最大扭矩为1.0 kN?m； 当主动轮A位于中间位置时，轴的最大扭矩降低为0.6 kN?m，因此，将主动轮A布置在两从动轮B和C中间较为合理。

2．?TAC0.6?103max?W?Pa?47.7MPa

t?16?43?10?6 ?TACl0.6?103?50?10?2 ?AC?GI??0.014r9ad?0.854 p80?109???44?10?832或 ??lTlTlAC?max?AC?ACGdGIp2GWd

t211-9

7– 3 一空心圆轴的外径D?90mm，内径d?60mm，试计算该轴的

抗扭截面模量Wt；若在横截面面积不变的情况下，改用实心圆轴，试比较两者的抗扭截面模量Wt，计算结果说明了什么？ 解：

1．空心圆轴的抗扭截面模量

7– 4 阶梯形圆轴直径分别为d1?4cm，d2?7cm，轴上装有三个皮

带轮，如图所示。已知由轮3输入的功率为P3?30kW，轮1输出的功率为P1?13kW，轴作匀速转动，转速n?200r/min，材料的许用剪应力[?]?60MPa，剪切弹性模量G?80GPa，许用扭转角[?]?2?/m，试校核轴的强度和刚度。

Wt??D?dD2?44?32???D??d16D44????90?6016?9044??11.5?104mm3

2．实心圆轴的抗扭截面模量

设实心圆轴的直径为d?，由实心圆轴与空心圆轴的横截面面积相等，即

?4d?2??D42?d2，可得

?

解：

m1?9.55? 1mAm2CD1mm3B0.5m0.3mT (kN·m) d??D2?d2?902?602?67.1mm 故实心圆轴的抗扭截面模量为 Wt???16d?3?5.9?104mm3

3．比较1和2可知：在横截面相同的情况下，空心圆截面要比实心

圆截面的抗扭截面模量大，因而，在扭转变形中，采用空心圆截面要比实心圆截面合理。

13?0.62kN?m 0.622001.4330 m3?9.55??1.43kN?m

200TAC0.62?103??AC?max??Pa?49.3MPa?[?]

?Wt?AC??43?10?616TAC0.62?103?AC???0.031 radm?1.77?m?[?]

?G?Ip?AC80?109??44?10?832TDB1.43?103??DB?max??Pa?21.2MPa?[?]

?Wt?DB??73?10?616?DBTDB??GIpDB??1.43?10380?109??32?0.008 radm?0.43?m?[?]

?74?10?811-10

7– 5如图所示，有一外径D?100mm，内径d?80mm的空心圆轴与

直径D1?80mm的实心圆轴用键相连。轴的两端作用外力偶矩

7–6 如图所示，两圆轴用法兰上的12个螺栓联接。已知轴的传递扭

矩m?50kN?m，法兰边厚t?2cm，平均直径D?30cm，轴的

[?]1?40MPa，螺栓的[?]2?60MPa，[?bs]?120MPa，试求轴的直径d和螺栓直径d1值。 m?6kN?m，轴的许用剪应力[?]1?80MPa；键的尺寸为10?10?30mm3，键的许用剪应力[?]2?100MPa，许用挤压应力

[?bs]?280MPa，试校核轴的强度并计算所需键的个数n。 mmFdDD1 m103010解：

1．校核轴的强度 空心轴：

mD32?6?103?100?10?3 ?max?22??D4?d4?32????1004?804??10?12Pa?51.8MPa?[?]1 实心轴： ?m?6?103max???D33

116?16??80?10?9Pa?59.7MPa?[?]1∴ 轴满足强度条件。

2．求所需键的个数

F?m2?6?103D?0?10?3N?150kN 128由??Fn?10?30?10?6≤[?]150?1032可得：n≥10?30?10?6?100?106?5

?Fn?5?30?10?6≤[?≥150?103由?bsbs]可得：n150?10?6?280?106?3.6∴ 所需键的个数n≥5。

m..md1.d..D.....解： tt 1．求轴的直径 由轴的剪切强度条件：??mmax?1??d316≤[?]1，可得

d≥316m?316?50?103 [?]?1??40?106m?185mm 2．求螺栓的直径

每个螺栓所受到的力为 F?1m5012D2??1036?30?10?2N?27.8kN 由螺栓的剪切强度条件：??Q?d2?4Fd2≤[?]2，可得 14?1 d4F4?27.8?1031≥?[?]?2??60?106m?24mm 由螺栓的挤压强度条件：?PbsFbs?A?≤[?bs]，可得

bstd1 dF27.8?1031≥t[??2?10?2?120?106m?12mm bs]∴ d1≥24mm。

11-11

八 弯曲内力 8– 1 试用截面法求下列各梁中n-n截面上的剪力和弯矩。 8– 2试用截面法求下列各梁中1-1、2-2截面上的剪力和弯矩。并讨

论该两截面上内力值的特点。设1-1、2-2截面无限接近于载荷作用位置。 Pm1122ABAB1212RARBRARBCl/2l/2l/2l/2(a)M1M2P/2P/2m/l(b)M1M2m/lA1mnnC1mP1=8kNP2=6kNBARA6kN2mnn2m(b)OMQq=4kN/mB2m2m(a)8kN4kN/m6kN MQOQ1Q2Q1Q2解：

(a) 以整个梁为研究对象，求得支反力： RA?RB?解： (a) 将梁从n-n截面处截开，截面形心为O，取右半部分研究。 P 2由截面法，分别以1-1截面左半部分、2-2截面右半部分为研究对象，

?Y?0： Q?8?6?0， Q?14kN ?M?0： M?8?1?6?3?0， M??26kN?m O (b) 对整个梁 PPl， M1? 24PPl Q2??， M2?

24求得： Q1?可见，集中力作用处，剪力有突变，突变值为P，弯矩不变。 (b) 以整个梁为研究对象，求得支反力： RA???MB?0： RA?4?4?6?1?0， RA?6kN mm，RB? ll由截面法，分别以1-1截面左半部分、2-2截面右半部分为研究对象，

将梁从n-n截面处截开，截面形心为O，取左半部分研究。 ?Y?0： 6?4?2?Q?0 Q??2kN 1： M?06?2??4?2?M?0 M?4kN?m ?22Omm，M1?? l2mm Q2??，M2?

l2求得： Q1??可见，集中力偶作用处，弯矩有突变，突变值为m，剪力不变。

11-12

8– 3试写出下列梁的内力方程，并作剪力图和弯矩图。

m=12kN·mP=10kNAxx(a)BCxRA3m3mRB12kN·mQ(x)Q(x)(a1)7kNM(x)M(x)3kN7(a2)Q(kN)93(a3)M(kN·m)12

解：

1．求支反力，图(a)，

?MC?0： RA?6?12?10?3?0， RA?7kN

?Y?0： RA?RB?10?0， RB?3kN

2．列内力方程，图(a)和(a1)，

Q(x)???7 kN 0?x?3??3 kN 3?x?6

M(x)???7x?12 k N ?m 0 ? x ?3?3(6?x) k N ?m 3 ? x ?6

3．作内力图，图(a2)，(a3)。

xqxql(b)ABCRARBll/2qM(x)M(x)ql(b1)Q(x)Q(x)ql(b2)Qql(b3)Mql2/2解：

1．求支反力，图(b)，

?M?0： RA?l?12ql2?ql?lB2?0， RA?0

?Y?0： RA?RB?q?l?ql?0， RB?2ql

2．列内力方程，图(b)和(b1)，

Q(x)????qx 0?x?l?ql l ? x ?3l2

M(x)????qx22 0?x?l??ql(3l2?x) l?x?3l2

3．作内力图，图(b2)，(b3)。

11-13

8– 4试作出下列梁的剪力图和弯矩图。

2PABPaCA8– 5试作下列各梁的剪力图和弯矩图。

qqCBAP=20kNCq=30kN/mBqa2qBCADEaa(a)2PQPaMPaaa(b)2qaQqa2/2Mqa2qa2/2RA=3ql/8RB=ql/8l/2l/2(a)Q3ql/83l/8ql/89ql2/1282Mql/16

RC=40kNRE=40kN1m1m1m1m(b)30Q(kN)103010M(kN·m)51515

11-14

8– 6起吊一根单位长度重量（力）为q (kN/m)为的等截面钢筋混

凝土梁（如图），要想在起吊中使梁内产生的最大正弯矩与最大负弯

矩的绝对值相等，应将起吊点A、B放在何处（即a??）？

P=qlABalaqql/2ql?2ql/22?l?2?a??q?l???2??2??Mqa2qa222 解：

作梁的计算简图及其M图。由M?max?M?max，

2即 ql?2?l?q?l?qa2?2?a???2??2???2

即 a2?la?l24?0 求得 a?2?12l?0.207l。 11-15

试用叠加法作下列各梁的弯矩图。

P=ql/4qACBDl/2l/2l/2(a)ql/4qql/4q=+3ql/4ql/8ql/8ql/85ql/8ql/2ql/2ql/8Q=+ql/4ql/8ql/8ql2/16M=+ql2/8ql2/8

11-168– 7

八（2）

qACBqaa2a(b)q3qa2qaqa2qaQqaM2qa23qa2弯曲应力

8–8长度为250 mm，截面尺寸为h?b?0.8mm?25mm的薄钢尺，由

q=qa2+4qa2qaqa2qa2qa=+qaqa2=+2qa24qa2

于两端外力偶的作用而弯成中心角为60?的圆弧。已知弹性模量E?210GPa。试求钢尺横截面上的最大正应力。

解：

根据题意

11-17

??可以得到

l?，

1??M EIz40?150??103???40??10?3My11?2??a?1?1a?Pa?6.03 MPa Iz21.09?10?6*Q1?1Sz?a??bIzME???E? Iz?l故钢尺横截面上的最大正应力为

Mymax?h?max??E??Izl2?90.8?103?210?10?? Pa 2250?10?3 ?352 MPa 8– 9矩形截面简支梁如图所示。试计算1-1截面上a、b两点的正应力和剪应力。

解： 1．求1-1截面上的剪力和弯矩

40MB?0： RA?2.2?8?1?0， RA? kN

114040∴ 1-1截面上的剪力和弯矩为：Q1?1? kN，M1?1? kN?m

1111 2．求1-1截面上a、b两点的应力

75?1503?10?12?21.09?10?6 m4 Iz?12?3 Pa?0.38 MPa75?10?3?21.09?10?640?150??103????10?3?My11?2?Pa??12.93 MPa?b?1?1b? ?6Iz21.09?10?b?0

??40?15040??103??75?40?????10?9?112??2??5– 10 一正方形截面悬臂木梁的尺寸及所受载荷如图所示。木料的许

用弯曲正应力[?]?10MPa。现需要在梁的截面Ｃ上中性轴处钻一直径

为d的圆孔，问在保证该梁强度的条件下，圆孔的最大直径d（不考虑圆孔处应力集中的影响）可达多少？

2kN/m5kNA250C1000B160160zyC截面 解：

1A1RA100012001000RB150758kNB10b?a40 11-18

C截面为危险截面。 MC??5??1000?250??10?3? ??4.31 kN?m

1．作M图，求IzC

12?2??1000?250??10?6 kN?m 2160?1603160?d340? mm4?1603?d3 mm4 Iz?12123160 ymax?mm?80 mm

2MCymaxMCymax由?max?? ≤[?]，可得

40Iz1603?d3?10?123??200?30?215?200?30?100?157.5 mm

200?30?200?30200?30330?20032IzC??200?30?57.5??200?30?57.52 1212 ?6.01?107 mm4 yC? 2．强度校核 B截面：?Bl??B上 ?By??B下??20?103?72.5?10?3? Pa?24.1MPa?[?l]

IzC20?103?157.5?10?3?Pa?52.2MP?a[?y]

IzC10?103?72.5?10?3?Pa?12.1MPa?[?y]

IzC10?103?157.5?10?3?Pa?26.2M?P[a?l]

IzC d≤31603? 3MCymax40?10?12 mm [?]C截面：?Cy??C上 ?Cl??C下?33?4.31?103?80?10?3160? mm?115 mm ?12640?10?10?103 3．若倒置成?形时，?Bl??B上?52.2 MPa?[?l]，∴不合理。

8– 11铸铁梁的载荷及截面尺寸如图所示。许用拉应力[?l]?40MPa，许用压应力[?y]?160MPa。试按正应力强度条件校核梁的强度。若载

荷不变，但将T形横截面倒置成为?形，是否合理？何故？ 200q=10kN/m30P=20kN BCDA30kN2mM(kN·m)203m10kN1m10zC20030yCy

11-19

[?]?100MPa，8– 12 若图示梁的[?]?160MPa，试选用工字钢型号。 8–13 为改善载荷分布，在主梁AB上安置辅助梁CD。设主梁和辅助

10kN/m4kN梁的抗弯截面模量分别为W1和W2，材料相同。试求a的合理长度。

ABCRA=18kNRB=26kN4m2mQ ( kN )18⊕41.8m16.222M(kN·m)8

解：

1．求支反力，作剪力、弯矩图。

Qmax?22 kN，Mmax?16.2 kN?m 2．按正应力强度条件选择工字钢型号

由?Mmax?maxW≤[?]，得到

z WMmax16.2z≥[?]??103160?106?101.25 cm3 查表选14号工字钢，其

W3 mm，I*z?102 cm，b?5.5zSz?12.0 cm

3． 剪应力强度条件校核

Qmax22?103 ?max?bI*? Pa?33.3 MPa?[?]zSz5.5?10?3?12.0?10?2满足剪应力强度条件。

∴ 选择14号工字钢。

PCDABl?aaal?a2222mmPa4MCDP?l?a?4MAB

解：

1．作主梁AB和辅助梁CD的弯矩图 2．求主梁和辅助梁中的最大正应力主 梁： ???

MAB?max P?l?a?4 P?lAB?max?W???a?1W14W1辅助梁： ??MCD?maxCD?max??W?Pa42W?PaW 242 3．求a的合理长度

最合理情况为

??AB?max???CD?max

即： P?l?a?4W?Pa 14W2由此求得： a?W2Wl 1?W2

11-20

受集度为q的均布载荷作用。当支座处截面Ａ、Ｂ上及跨中截面Ｃ上 的最大正应力均为??140MPa时，试问外伸部分的长度a及载荷集 度q各等于多少？ q DEzABC 8– 14图示外伸梁由25a号工字钢制成，其跨长l?6m，且在全梁上l/2yalaq??l2??a2?2??4??M解： qa2/2qa2/2 1．求支反力，作弯矩图 2．确定a和q 查表得：25a号工字钢的I4z?5020 cm，h?250 mm。 对截面A、B： 由?qa22??h2?Amax??Bmax?I?[?]，得到 z qa2?4[?]Izh?4?140?106?5020?10?8250?10?3?1.124?105 N?m ① 对截面C： 由?q?l24?a2?2??h2?q?9?a2?hCmax?I??[?]，得到 z4Iz q?9?a2??4[?]Izh?1.124?105 N?m ② 由①②解得：q?25 kN/m，a?2.12 m。 11-21

39P9?40?10 h≥3?3 m?0.208 m 6h4[?]4?10?10[?]?10MPa。m，试确定抗弯截面模量为最大时矩形截面的高宽比，8– 15 一矩形截面简支梁由圆柱形木料锯成。已知P?5kN，a?1.5

b以及锯成此梁所需木料的最小直径d。 PPABCDhaz3aayMPabd

解：

1．作弯矩图 2．求高宽比 W1bh22z?6?16b?d?b2? 由

dWzdb?0，求得 b?d，h?233d

∴ 抗弯截面模量最大时的高宽比为：hd3b?2，此时，Wz?93

3．确定所需材料的最小直径

由??Mmax93PamaxW?d3≤[?]，得到

z d≥393Pa93?5?103?1.5[?]?310?106 m?0.227 m

由剪应力强度条件?5Qmax?1.maxA?1.5Pbh?9P4h2≤[?]，可得 9P9?40?103 h≥4[?]?4?3?106 m?0.173 m ∴ h≥0.208 m，b?2h3≥0.139 m

九 弯曲变形

9– 1试问下列各梁用积分法求变形时有几个积分常数？试列出相应的边界条件和光滑连续性条件。

11-22

解： mm(a) 四个

当x?0时，

12 y1?0，?1?0； aa 当x?a时，

(a) y1?y2，?1??2。 (b) 六个

Pqm 当x?a时，

y1?y2?0，?1??2； 123 当x?a?b时， aba y2?y3?0， (b) ?2??3。 123(c) 六个

2P2 当x?0时，

y1?0，?ab1?0； l 当x?a时， (c) y1?y2； 当x?a?b时， y2?y3?0， ql1 ?2??3。 (d) 二个

当x?0时，y?0，

l(d) 当x?l时，y???lqll1??12E

1A1（注：E1和A1分别为拉杆的弹性模量和横截面面积）

9– 2试用积分法求图示外伸梁的?A、?B及fA、fD。

yxxP=ql/2qABDCxl/2l/2l 解： AB段(0?x?l2)： EIy1???M?x???12qlx EIy1???14qlx2?C1 EIy??1112qlx3?C1x?D1

BC段(l3l2?x?2)：

EIy?1?3l21?3l2??M?x???2q??2?x????4ql???2?x?? 32 EIy?2?16q??3l?2?x????18ql??3l?2?x????C2 143 EIy2??24q??3l?2?x????124ql??3l?2?x???3l???C2??2?x???D2 q?3l3ql?32BC段：?6EI?2?x????8EI?l?2?x?2????

11-23

q?3lql?3l?? y2????x????x?

24EI?224EI?2??由此可得到：

ql35ql3 ， ?B??1x?l? ?A??1x?0?， 48EI24EI243(a)

1．当P单独作用时，查表得

Pl2 ?AP??

16EIPl3 fCP??

fA?y1?ql4x?0?24EI ， fD?y2x?l?ql4384EI。

9– 3试用叠加法求图示各梁中指定截面的挠度和转角。设梁的抗弯刚

度EI为已知。

Pm0l/2l/2(a)?A，fC

解：

48EI2．当m0单独作用时，查表得

?mlAm0??06EI

fm2 0lCm0??16EI

3．当P和m0共同作用时，

?A????Pl2AP??Am0??m?0l?16EI?6EI??

?? fC?fCP?fCm0????Pl3m0l2????48EI?16EI??11-24

qP=qaABCaa(b)?C,yC?BqfCqPm0=Pa?Bm0P?CP1 b)

1．当q单独作用时，查表得

??qa3qa4Cq??Bq24EI， fCq??Bq?a?24EI

2．当P单独作用时，查表得

qa2?aqa?a25qa3 ?CP??Bm0??CP1??3EI?2EI??6EI fqa3qa?a32qa4CP???Bm0?a?fCP1??3EI?a?3EI??3EI3． 当q和P共同作用时，

???qa35qa319qa3CCq??CP?24EI?6EI??24EI ?fqa42qa45qa4fC?fCqCP?24EI?3EI??8EI

9–4已知一钢轴的飞轮重P?20kN，而轴承B处允许转角[?]B?0.5?，试确定轴所需要的直径d (已知E?200GPa)。

ABdCP=20kNa=1mb=2m轴的受力简图：PPaP

解：

1．作轴的受力简图

2．由刚度条件确定轴的直径 由 ?B?Pa?b?Pab3EI3E?d4≤[?]?B?180 64可得 d≥

64Pab64?20?103?1?24?4 m?112 mm

3?E?180[?]B3??200?109??180?0.5

11-25

(

AF1.75PPl/4MN 切槽后，柱的切槽部分为偏心压缩，其最大压应力为

Paa?P22?2P ???max?2a?2a1a3?2a?a12∴

11– 2 图示起重架的最大起吊重量(包括行走小车等)为P?40 kN，

横梁AB由两根No.18槽钢组成，材料为A3钢，许用应力[?]?120 MPa。试校核横梁的强度。 CzAP3.5 m30。By3P2 应力是原来的8倍。

??max?8，即切槽后柱内的最大压? ?ymaxPMa1???2.9?35.2?32.3MPa?[?y] AIy ∴ 框架立柱满足强度条件。

解： 横梁AB为轴向压缩与弯曲的组合变形，并且以弯曲变形为主要变形，因此，当载荷P移动到横梁的中点时，横梁最危险。由横梁的平衡可求得：F?P。 横梁的内力为 N?3P2?34.64 kN Mmax?P?3.54?35 kN 梁的中间截面为危险截面，其上边缘各点为危险点，为压应力。查表得，A?29.299 cm2，Wy?152 cm3，故横梁的最大压应力

NMmax34.64?1033.5?103 ?ymax???? Pa

AWy2?29.299?10?42?152?10?6 ?5.91?115.13 MPa?121.04 MPa?[?]

?y max?[?]121.04?120?100%??100%?0.87%?5% 但是 [?]120????所以，可认为横梁满足强度要求。 11-31

11– 3 如图所示，铁道路标圆信号板，装在外径D?60 mm的空心11–4 如图所示，手摇绞车轴的直径d?30mm，材料为3号钢，[?]?80MPa。试按第三强度理论求绞车的最大起吊重量P。 圆柱上，信号板所受的最大风载p?2 kNm2，[?]?60 MPa。试按第三强度理论选择空心圆柱的厚度。 0.5m400400dMT0.8m0.6mCAB180PP mAmPBCP/20.2P(a)解： 作用在信号板上的合力为 P?0.P80.P6 P/2M?4D12?p??4?0.52?2?103?39.27N 合力P作用在信号板的形心上，故空心圆柱为弯扭组合变形，作其内力图，由此可知，固定端为危险截面，M?0.8P，T?0.6P 设空心圆柱内径为d，由第三强度理论 ?r3?0.8P???0.6P?M2?T232PD≤[?] ???44?DW???D?dD4?d4??64?2?22????可得 d≤4D4? 解： 1．将载荷向AB轴的轴线简化，作AB轴的计算简图，如图(a)所示 m?0.18P 可见，AB轴为弯扭组合变形； 2．作AB轴的弯矩图和扭矩图，可知C截面为危险截面 由第三强度理论 ?r3?2MC?TC2T0.18P(b)32PD ?[?]?3W??0.2P?2??0.18P?2?d32?788N 3≤[?] 32?392.7?60?10m?54.7mm 6??60?10D?d∴ 空心圆柱厚度 t≥?2.65mm。 2 ?4604?10?12?可得 P≤?d3[?]320.2?0.182211-32

?a??aliabh312bh在俯视图所在平面内，如图(b)所示，压杆的柔度为

?l0.5l3l3?240 ?b?b????103.9

3ibb4hb12bh∵ ?a??b??1，∴为大柔度杆 故压杆的临界力为 ?1?l?23l23?240??138.6 h6十二 压杆稳定 ?2E?2?210?109?4 Pcr?2A??6?4?10N?259kN

?a138.6212– 1 图示压杆的材料为A3钢，?1?100，E?210GPa，在主视图a所在平面内，两端为铰支座，在俯视图b的平面内，两端为固定，试求此压杆的临界力。 h=6cm12– 2 两端固定的矩形截面细长压杆，其截面尺寸为h?60mm，b?30mm，已知材料的比例极限?p?200MPa，弹性模量

E?210GPa，试求此压杆适用于欧拉公式时的最小长度。 解： 由于杆端的约束在各个方向相同，因此，压杆将在抗弯刚度最小的平面内失稳，即杆件横截面将绕其惯性矩为最小的形心主惯性轴转动。 (a)b=4cm(b) imin?=240cmImin?Ahb312?b bh23 欧拉公式适用于?≥?1，即 解： 在主视图所在平面内，如图(a)所示，压杆的柔度为 ?2E ≥ ?iminp?l由此得到 11-33

l≥

b?E23??p?30?10?3??23?0.5210?109m?1.76m

200?106故此压杆适用于欧拉公式时的最小长度为1.76m。 ?d464?d24b?1.12MPa，?1?100，

a??s304?235 ?2???61.6

b1.12故?2????1，AB杆为中柔度杆。

?cr?a?b??304?1.12?80?214.4MPa

? Ncr??crA?214.4?106??42?10?4N?269.4kN

4 Pcr????li?l?4l4?800??80查表得：a?304MPa，d4012– 3 图示托架中，AB杆的直径d?4cm，长度l?80cm，两端

铰支， 材料为A3钢。

(1) 试根据AB杆的失稳来求托架的临界载荷Pcr；

(2) 若已知实际载荷P?70kN，AB杆的规定稳定安全系数

nst?2，问此托架是否安

600300全？ 解：

(1) sin??74 对CD杆，

CAldCBP7Ncr?118.8kN 666P??70?158.7kN (2) N?77N269.4n?cr??1.7?nst?2

N158.7∴ 拖架不安全。

12– 4 某钢材的?p?230MPa，?s?274MPa，E?200GPa，

?cr?338?1.22?。试计算?1和?2值，并绘出临界应力总图（0???150)。

解：

Nsin??600?P??600?300??0

P?7N6 对

AB

杆

，

其

柔

度

?MC?0：

?NP ?2E200?109 ?1????92.6 6?p230?10338??s338?274 ?2???52.5

1.221.22

11-34

?cr (MPa)?cr ?274274?cr ?338?1.22?230??2?Ecr ?252.592.6临界应力总图11-35

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