专题一：立体几何大题中有关体积的求法(1)

高二（上）数学专题系列 立体几何-体积有关问题 专题1 分割法也是体积计算中的一种常用方法，在求一些不规则的几何体的体积以及求两个几何体的体积之比时经常要用到分割法．

7例已知三棱锥P?ABC，其中PA?4,PB?PC?2,

专题一：立体几何大题中有关体积的求法

角度问题、距离问题、体积问题是立体几何的三大基本问题。以下是求体积的一些常用方法及有关问题。 一公式法

1．正三棱柱的侧面展开图是边长分别为2和4的矩形，则它的体积为 ． 2.（2011广东卷文9）如图，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，则该几何体的体积为（ ）． A．43 B．4 C．23 D．2

练习

3.一个几何体的俯视图是一个圆，用斜二侧画法画出正视图和俯视图都是边长为 6和4的平行四边形，则该几何体的体积为___________.

4.一个圆柱的轴截面是正方形，其侧面积与一个球的表面积相等，那么这个圆柱的体积与这个球的体积之比为 ▲ [来

?APB??APC??BPC?60求：三棱锥P?ABC的体积。

?PCAHBD8练习 如图2，在三棱柱ABC?A1B1C1中，E，F分别为AB，AC的中点，平面EB1C1F将三棱柱分成两部分，求这两部分的体积之比

9练习。如图（3），是一个平面截长方体的剩余部分， 已知AB?4,BC?3,AE?5,BF?8,CG?12，

HG二、转换法

当所给几何体的体积不能直接套用公式或套用公式时某一量（底面积或高）不易求出时，可以转换一下几何体

中有关元素的相对位置进行计算求解，该方法尤其适用于求三棱锥的体积．

，P分别是棱 5例 在边长为a的正方体ABCD?A1BC11D1中，M，N且满足A1M?A1B1，A1D1，A1A上的点，试求三棱锥A1?MNP的体积．

13A1B1，A1N?2ND1，A1P?A1A（如24图1），

6练习（2013年高考江西卷（文））如图,直四棱柱ABCD – A1B1C1D1中,AB//CD ,AD⊥AB,AB=2,AD=

求几何体ABCD?EFGH的体积。

10四面体S?ABC的三组对棱分别相等，且依次为25,13,5， 求四面体S?ABC的体积。

巩固练习

F E DCABS,AA1=3,E为CD上一点,DE=1,EC=3. 求点B1 到平面EA1C1 的距离

ACB三、割补法

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?11. 如图，在四棱锥P?ABCD中，底面为直角梯形，AD//BC,?BAD?90，PA垂直于底面ABCD，

高二（上）数学专题系列 立体几何-体积有关问题 专题1 (2)若??，求三棱锥A?BEF的体积．

?P是AD1上的动点． 15. 如图，已知ABCD?A1B1C1D1是底面为正方形的长方体，?AD1A1?4，点1?60，ADPA?AD?AB?2BC?2,M,N分别为PC,PB的中点。

(1) 求四棱锥P?ABCD的体积V；（2）求截面ADMN的面积。

12

12. 如图, 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB?5，AA1＝4，点D是AB的中点.

求多面体ADC?A1B1C1的体积.

A

13. 如图3，直四棱柱ABCD?A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，

ADCPBB1试求四棱锥P?A1BC11D1体积的最大值；

BA1D1B1C1DCA1C116. 如图，AB为圆O的直径，点E、F在圆O上，AB//EF，矩形ABCD所在的平面

和圆O所在的平面互相垂直，且AB?2，AD?EF?1.

设平面CBF将几何体EFABCD分成的两个锥体的体积分别为VF?ABCD，VF?CBE，求VF?ABCD:VF?CBE．

C

A1 E C1?ABC?600，其侧面展开图是边长为8的正方形。E、F分别是侧棱AA1、

B1 CC1上的动点，AE?CF?8．

问多面体AE?BCFB1的体积V是否为常数？若是，求这个常数，若不是，求V的取值范围．

D1

O A F D B M E

A D

F B 图3

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C 14. 如图，已知?BCD中，?BCD?90?，BC?CD?1，AB⊥平面BCD，?ADB?60?，E、F分别是AC、

AEAF???(0???1)． AD上的动点，且

ACAD(1)求证：不论?为何值，总有EF⊥平面ABC；

高二（上）数学专题系列 立体几何-体积有关问题 专题1 专题一：立体几何大题中有关体积的求法

1-4略 5解：

V?1A1?MNP?VP?A1MN3·S13?12·A1112313△A1MN·h?1M·A1N·A1P?3?2?2a·3a·4a?24a． 6

7解：作BC的中点D，连接PD、AD，

过P作PH?AD，垂足H

易证PH即为三棱锥P?ABC的高，

由棱锥体积公式 V1P?ABC?3S?ABC?PH 即得 三棱锥P?ABC的体积V4P?ABC?32。 8设棱柱的底面积为S，高为h，其体积V?Sh．

则三角形AEF的面积为14S．

由于V?1?SAEF?A1B1C13·h·??4?S?S?2???712Sh， 则剩余不规则几何体的体积为V??V?V7AEF?A1B1C1?Sh?12Sh?512Sh， 所以两部分的体积之比为VAEF?A1B1C1:V??7:5．

9首先通过梯形ACGE,BFHD的中位线重合，我们可以求得DH?9,

分别延长AE,BF,CG,DH到A',B'C',D',使得AA'?BB'?CC'?DD'?17, 则我们可得

故长方体ABCD?A'B'C'D'的体积是几何EA'?12,FB'?9,GC'?5,HD'?8体ABCD?EFGH的二倍。

CG故V?11ABCD?EFGH2VABCD?A'B'C'D'?2?3?4?17?102

10 把四面体S?ABC补形成一个长方体ADBE?FSGC，

FS三度分别是2,3,4则 VS?ABC?VADBE?FSGC?4VA?FSC?2?3?4?4?13?12?2?3?4?8

11 EB AD

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