河南省南阳市2022届高三上学期期末考试数学(理)试卷 Word版含解

2019-2020学年普通高中高三第二次教学质量检测

数学（理科）

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合{}2|160A x x =-≤，{}lg 20B x x =-，则A

B =（ ） A. [)(]4,13,4-?

B. [)(]4,31,4--?-

C. ()

()4,13,4- D. ()()4,31,4--?- 【答案】A

【解析】

求解二次不等式可得：{}|44A x x =-≤≤， 求解对数不等式可得：{}31B x x x =<或，

结合交集的定义有：[)(]4,13,4A B ?=-?.

本题选择A 选项.

2.复数z 的共轭复数记作z ，已知复数1z 对应复平面上的点()1,1--，复数2z 满足122z z ?=-，则2||z =（ ） 2

B. 2 10 D. 10 【答案】A

【解析】

【分析】

由已知可得z 1＝﹣1﹣i ，则11z i =-+，代入1z ?z 2＝﹣2，变形后利用复数代数形式的乘除运算化简求得z 2，则答案可求．

【详解】解：由已知可得z 1＝﹣1﹣i ， 则11z i =-+， 又1z ?z 2＝﹣2，

∴()()()

22121111i z i i i i ----===+-+-+--，

∴|z 2|=

故选A ． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．

3.正项等差数列{}n a 的前n 和为n S ，已知2375150a a a +-+=，则9S =（ ）

A. 35

B. 36

C. 45

D. 54

【答案】C

【解析】

【分析】 由等差数列{}n a 通项公式得2375150a a a +-+=，求出5a ，再利用等差数列前n 项和公式能

求出9S . 【详解】正项等差数列{}n a 的前n 项和n S ，

2375150a a a +-+=，

2552150a a ∴--=，

解得55a =或53a =-（舍），

()91959995452

S a a a ∴=+==?=，故选C. 【点睛】本题主要考查等差数列的性质与求和公式，属于中档题. 解等差数列问题要注意应用等差数列的性质2p q m n r a a a a a +=+=（2p q m n r +=+=）与前n 项和的关系.

4.如图所示，三国时代数学家赵爽在《周髀算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影），设直角三角形有一内角为30，若

向弦图内随机抛掷500颗米粒（米粒大小忽略不计， 1.732≈），则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为（ ）

A. 134

B. 67

C. 182

D. 108 【答案】B

【解析】

【分析】

根据几何概型的概率公式求出对应面积之比即可得到结论.

【详解】解：设大正方形的边长为1，则小直角三角形的边长为13

,

2

，

则小正方形的边长为

31

2

-，小正方形的面积

2

313

1

2

S

??

=-=-

?

?

??

，

则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为

3

13

25001500(10.866)5000.13450067

112

-??

?=-?≈-?=?=

?

?

???

，

故选：B.

【点睛】本题主要考查几何概型的概率的应用，求出对应的面积之比是解决本题的关键. 5.在ABC

?中，H为BC上异于B，C的任一点，M为AH的中点，若AM AB AC

λμ

=+，则λμ

+等于（）

A.

1

2

B.

2

3

C.

1

6

D.

1

3

【答案】A

【解析】

【分析】

根据题意，用,AB AC 表示出,AH BH 与AM ，求出,λμ的值即可.

【详解】解：根据题意，设BH xBC =，则 11111()()()22222

AM AH AB BH AB xBC AB x AC AB ==+=+=+-11(1)22

x AB xAC =-+， 又AM AB AC λμ=+，

11(1),22

x x λμ∴=-=， 111(1)222

x x λμ∴+=-+=， 故选：A.

【点睛】本题主要考查了平面向量基本定理的应用，关键是要找到一组合适的基底表示向量，是基础题.

6.一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果是

34

，则判断框中应填入的条件是（ ）

A. 5?i >

B. 5?i <

C. 4?i >

D. 4?i < 【答案】D

【解析】

【分析】

首先判断循环结构类型，得到判断框内的语句性质，然后对循环体进行分析，找出循环规律，判断输出结果与循环次数以及i 的关系，最终得出选项．

【详解】经判断此循环为“直到型”结构，判断框为跳出循环的语句， 第一次循环：110112122

S i =+

==+=?，； 第二次循环：1122132233

S i =+==+=?，； 第三次循环：2133143344S i =+==+=?，， 此时退出循环，根据判断框内为跳出循环的语句，4i ∴<？，故选D ．

【点睛】题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题． 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序，（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可．

7.将函数sin(3)y x ?=+的图象向左平移9

π个单位长度后，得到函数()f x 的图象，则6π=?”是()f x 是偶函数”的

A. 充分不必要条件

B. 必婴不充分条件

C. 充分必要条件

D. 既不充分也不必要条仲

【答案】A

【解析】

【分析】 利用三角函数的平移关系式，求解函数的解析式，利用充要条件判断求解即可．

【详解】把函数()sin 3y x ?=+的图像向左平移

9π个单位长度后，得到的图象的解析式是33y sin x π

?=++（） ， 该函数是偶函数的充要条件是

32k k Z ππ?π+=+∈，， 所以则“6π?=

”是“()f x 是偶函数”的充分不必要条件． 故选A ．

【点睛】本题考查三角函数的图象变换以及充分必要条件，属中等题．

8.已知(2)f x +是偶函数，()f x 在(]2-∞，上单调递减，(0)0f =，则(23)0f x ->的解集是 A. 2()(2)3

-∞+∞，， B. 2(2)3， C. 22()33-， D. 22()()33

-∞-+∞，， 【答案】D

【解析】

【分析】

先由(2)f x +是偶函数，得到()f x 关于直线2x =对称；进而得出()f x 单调性，再分别讨论232x -≥和232x -<，即可求出结果.

【详解】因为(2)f x +是偶函数，所以()f x 关于直线2x =对称；

因此，由(0)0f =得(4)0f =；

又()f x 在(]2-∞，上单调递减，则()f x 在[)2,+∞上单调递增；

所以，当232x -≥即0x ≤时，由(23)0f x ->得(23)(4)f x f ->，所以234x ->， 解得23

x <-； 当232x -<即0x >时，由(23)0f x ->得(23)(0)f x f ->，所以230x -<，

解得23

x >； 因此，(23)0f x ->的解集是22()()3

3-∞-+∞，，. 【点睛】本题主要考查由函数的性质解对应不等式，熟记函数的奇偶性、对称性、单调性等性质即可，属于常考题型.

9.函数1()ln 1f x x x =--的图象大致是( )

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】

根据函数表达式,把分母设为新函数,首先计算函数定义域,然后求导,根据导函数的正负判断函数单调性,对应函数图像得到答案.

【详解】设()ln 1g x x x =--，(1)0g =，则1()ln 1

f x x x =--的定义域为(0,1)(1,)x ∈+∞.1()1

g x x

'=-，当(1,)x ∈+∞，()0g x '>，()g x 单增，当(0,1)x ∈，()0g x '<，()g x 单减，则()(1)0g x g ≥=.则()f x 在(0,1)x ∈上单增，(1,)x ∈+∞上单减，()0f x >.选B.

【点睛】本题考查了函数图像判断,用到了换元的思想,简化了运算,同学们还可以用特殊值法等方法进行判断.

10.从5名学生中选出4名分别参加数学，物理，化学，生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案种数为

A. 48

B. 72

C. 90

D. 96 【答案】D

【解析】

因甲不参加生物竞赛，则安排甲参加另外3场比赛或甲学生不参加任何比赛

①当甲参加另外3场比赛时，共有13C ?34A =72种选择方案；②当甲学生不参加任何比赛时，

共有4

4

A=24种选择方案．综上所述，所有参赛方案有72+24=96种

故答案为96

点睛：本题以选择学生参加比赛为载体，考查了分类计数原理、排列数与组合数公式等知识，属于基础题．

11.已知1F、2F是双曲线

22

22

1(0,0)

x y

a b

a b

-=>>的左右焦点，过点2F与双曲线的一条渐近线

平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M，若点M在以线段12

F F为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（）

A. (2,)

+∞ B. 2) C. D.

【答案】A

【解析】

双曲线

2

2

x

a

﹣

2

2

y

b

=1的渐近线方程为y=

b

a

±x，

不妨设过点F2与双曲线的一条渐过线平行的直线方程为y=b

a

（x﹣c），

与y=﹣b

a

x联立，可得交点M（

2

c

，﹣

2

bc

a

），

∵点M在以线段F1F2为直径的圆外，

∴|OM|＞|OF2|，即有

2

4

c

+

22

2

4

b c

a

＞c2，

∴

2

2

b

a

＞3，即b2＞3a2，

∴c2﹣a2＞3a2，即c＞2a．

则e=c

a

＞2．

∴双曲线离心率的取值范围是（2，+∞）．

故选A．

点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.

12.已知函数()2ln 2,03,02x x x x f x x x x ->??=?+≤??

的图像上有且仅有四个不同的点关于直线1y =-的对称点在 1y kx =-的图像上，则实数k 的取值范围是（ ）

A. 1,12?? ???

B. 13,24?? ???

C. 1,13??

??? D. 1,22?? ???

【答案】A

【解析】

【分析】

可将问题转化，求直线 1y kx =-关于直线1y =-的对称直线，再分别讨论两函数的增减性，结合函数图像，分析临界点，进一步确定k 的取值范围即可

【详解】可求得直线 1y kx =-关于直线1y =-的

对称直线为1y mx =-()m k =-， 当0x >时，()ln 2f x x x x =-，()'ln 1f x x =-，当x e =时，()'0f x =，则当()0,x e ∈时，()'0f x <，()f x 单减，当(),x e ∈+∞时，()'0f x >，()f x 单增；

当0x ≤时，()232

f x x x =+，()3'22f x x =+，当34x =-，()'0f x =,当34x <-时，()f x 单减，当304

x -<<时，()f x 单增； 根据题意画出函数大致图像，如图：

当1y mx =-与()232f x x x =+（0x ≤）相切时，得0?=，解得12m =-； 当1y mx =-与()ln 2f x x x x =-（0x >）相切时，满足ln 21ln 1y x x x y mx m x =-??=-??=-?，

解得1,1x m ==-，结合图像可知11,2m ??∈-- ???，即11,2k ??-∈-- ???，1,12k ??∈ ???

故选：A

【点睛】本题考查数形结合思想求解函数交点问题，导数研究函数增减性，找准临界是解题的关键，属于中档题

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置.

13.在2n

x ???的二项展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则该二项展开式中的常数项等于_____.

【答案】112

【解析】

【分析】

由题意可得8n =，再利用二项展开式的通项公式，求得二项展开式常数项的值．

【详解】2)n x

的二项展开式的中，只有第5项的二项式系数最大，8n ∴=， 通项公式为4843318(2)(2)n r r r r r r

r n T C x C x --+=-=-，令8403r -=，求得2r ，

可得二项展开式常数项等于284112C ?=，

故答案为112．

【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．

14.设数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，已知14799a a a ++=，25893a a a ++=.若对任意n *∈N 都有n k S S ≤，成立，则k 的值为__________.

【答案】20

【解析】

【分析】

设出等差数列的公差为d ，由14799a a a ++=，25893a a a ++=，利用等差数列的性质求出4a 和5a 的值，两者相减即可得到d 的值，根据4a 和公差d 写出等差数列的通项公式n a ，

令n a 大于0列出关于n 的不等式，求出解集中的n 的最大正整数解即为满足题意k 的值.

【详解】解：设等差数列{}n a 的公差为d ，

由14799a a a ++=，得4399a =，即433a =.

由25893a a a ++=，得5393a =，即531a =.

所以42,(4)241n d a a n d n =-=+-=-+.

由0n a >，得20.5n <，

所以n S 的最大值为20S ，所以20k =，

故答案为：20.

【点睛】本题考查学生灵活运用等差数列的性质及等差数列的通项公式化简求值，是一道中档题.

15.已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，过焦点F 且斜率为13

的直线与抛物线相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，则cos AOB ∠=__________. 【答案】313

- 【解析】

【分析】

求得抛物线的焦点，设出直线AB 的方程，以及,A B 的坐标，联立抛物线方程，运用韦达定理和向量的数量积的坐标表示和夹角公式，计算可得所求值.

【详解】解：抛物线()220y px p =>的焦点为,02p F ?? ???

， 设1:32p AB y x ??=- ???

，联立22y px =， 可得22

4760x px p -+=，

设()()1122,,,A x y B x y ， 则2

212121219,,4p x x p x x y y p +===-，

则2121234

OA OB x x y y p ?=+=-，

(

||||OA OB x ?==2134p ===， 则22

334cos 1313||||4

p OA OB AOB OA OB p -

?∠

===-?，

故答案为：313-. 【点睛】本题考查抛物线的方程和性质，考查直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理，以及向量的数量积的坐标表示，考查化简运算能力，属于中档题.

16.若函数f （x ）=﹣56x ﹣112

cos2x+m （sinx ﹣cosx ）在（﹣∞，+∞）上单调递减，则m 的取值范围是____________．

【答案】[3-

，3] 【解析】

【分析】

先求导得f ′（x ）=﹣56+16

sin2x +m （sin x +cos x ），令sin x +cos x =t ，（

t ≤≤则sin2

x =t 2

﹣1那么y

=216t +

m t -1，h （t ）=216t + m t -1≤0在t∈[]恒成立．可得(00

h h ?≤??≤??，解不等式得解.

【详解】函数f （x ）=﹣56

x ﹣112

cos2x +m （sin x ﹣cos x ）,则f ′（x ）=﹣56+16sin2x +m （sin x +cos x ），令sin x +cos x =t ，（

t ≤≤sin2x

=t 2﹣1那么y =2

16

t +

m t -1，因为f （x ）在（﹣∞，+∞）上单调递减，则h （t ）=216t + m

t -1≤0在

t∈[]恒成立．可得(00

h h ?≤

??≤??

，即11031103?-≤????+≤??解得：33m -≤≤，故答案为[3-，

2]． 【点睛】本题考查了利用导函数研究单调性，求解参数范围问题．属于中档题.

三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.如图，在ABC 中，已知点D 在边BC 上，且DAC 90∠=，22sin BAC 3∠=，AB 32=，AD 3=．

()1求BD 长；

()2求cosC

【答案】（13；（26. 【解析】

【分析】 ()1由已知利用诱导公式可求cos BAD ∠的值，利用余弦定理即可计算BD 的长． ()2由()1可求cos BAD ∠的值，利用同角三角函数基本关系式可求sin BAD ∠，由正弦定理可求sin ADB ∠的值，根据诱导公式可求cosC 的值．

【详解】（1）由题意，因为DAC 90∠=，

πsin BAC sin BAD cos BAD 2∠∠∠??∴=+= ???，22cos BAD 3

∠∴=， 在ABD 中，由余弦定理得，222BD AB AD 2AB AD cos BAD ∠=+-??， 即22BD 189232333

=+-??=，得BD 3.= ()2由22

cos BAD 3∠=，得1sin BAD 3∠=，

在ABD 中，由正弦定理，得：BD AB sin BAD sin ADB

∠∠=．

1AB sin BAD sin ADB BD ∠∠?∴===

πADB DAC C C 2∠∠=+=+

，cosC 3

∴= 【点睛】本题主要考查了三角函数的诱导公式，余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．

18.设数列{}n a ，其前n 项和23n S n =-，又{}n b 单调递增的等比数列， 123512b b b =，11a b +

33a b =+.

(Ⅰ)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；

(Ⅱ)若()()21n n n n b c b b =-- ，求数列{}n c 的前n 项和n T ，并求证：213

n T ≤<. 【答案】（1）63n a n =-+，12n n b +=；（2）详见解析.

【解析】

【详解】（1）当1n =时，13n a S ==-，当2n ≥时，2213[3(1)]63n n n a S S n n n -=-=----=-+，

当1n =时，也满足63n a n =-+，∴63n a n =-+，∵等比数列{}n b ，∴2132b b b =，

∴3123225128b b b b b ==?=，又∵1133a b a b +=+， ∴831582q q q -+=-+?=或12

q =-（舍去）， ∴2122n n n b b q -+==；

（2）由（1）可得：111112211(22)(21)(21)(21)2121

n n n n n n n n n c +++++===-------， ∴123n n T c c c c =++++2231111111()()()212121212121n n +=-+-++-------

11

1121

n +=-

<-，显然数列{}n T 是递增数列， ∴123n T T ≥=，即213n T ≤<.） 19.已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>

的离心率2

e =

，且椭圆过点. （1）求椭圆C 的标准方程；

（2）设直线l 与C 交于M ，N 两点，点D 在C 上，O 是坐标原点，若OM ON OD +=，判断四边形OMDN 的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；如果不是，请说明理由. 【答案】(1) 22

142

x y += (2)见解析 【解析】

【分析】

（1）根据离心率和椭圆经过的点的坐标，建立方程组求解椭圆的方程；（2）写出四边形的面积表达式，结合表达式的特征进行判断.

【详解】解：（1）因为椭圆C

的离心率2e =

，所以2

a =，即222a

b =.

因为点)在椭圆C 上，所以22211a b

+=. 由22

22

2211a b a b ?=??+=??， 解得2242

a b ?=?=?.

所以椭圆C 的标准方程为22

142

x y +=. （2）当直线l 的斜率不存在时，直线MN 的方程为1x =-或1x =，此时四边形OMDN 的面

.

当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程是y kx m =+，

联立方程组22142y kx m x y =+???+=??，消去y ，得()22

2124240k x kmx m +++-=， ()228420k m ?=+->，122412km x x k -+=+，21222412m x x k

-=+， ()121222212m y y k x x m k +=++=

+. 22

222242112k m MN k k

+-=+?+， 点O 到直线MN 的距离是21m d k =

+. 由OM ON OD +=，得2412D km x k -=+，2

212D m y k =+. 因为点D 在曲线C 上，所以有2222421212142

km m k k -????

? ?++????+=，整理得22122k m +=.

由题意，四边形OMDN 为平行四边形，所以四边形OMDN 的面积为

222

2222421121OMDN m k m S MN d k k k +-==+?++ 222242m k m +-=. 由22122k m +=，得6OMDN S ?=，故四边形OMDN 的面积是定值，其定值为6.

【点睛】本题主要考查椭圆的性质和直线与椭圆的位置关系，椭圆方程求解一般是采用待定系数法；直线和椭圆的关系问题一般是求出目标表达式，根据表达式的特征选择合适的方法.

20.在某市高中某学科竞赛中，某一个区4000名考生的参赛成绩统计如图所示.

（1）求这4000名考生的竞赛平均成绩x （同一组中数据用该组区间中点作代表）；

（2）由直方图可认为考生竞赛成绩z 服正态分布2(,)N μσ，其中μ，2σ分别取考生的平均

成绩x 和考生成绩的方差2s ，那么该区4000名考生成绩超过84.81分（含84.81分）的人数估计有多少人？

（3）如果用该区参赛考生成绩的情况来估计全市的参赛考生的成绩情况，现从全市参赛考生中随机抽取4名考生，记成绩不超过．．．84.81分的考生人数为ξ，求(3)P ξ≤.（精确到0.001）

附：①2204.75s =14.31=；②2(,)z N μσ，则()0.6826P z μσμσ-<<+=，(22)0.9544P z μσμσ-<<+=；③40.84130.501=.

【答案】（1）70.5分；（2）634人；（3）0.499

【解析】

【分析】

（1）根据平均数公式计算x ；

（2）根据正态分布的对称性计算P （z ≥84.81），再估计人数；

（3）根据二项分布的概率公式计算P （ξ≤3）．

【详解】（1）由题意知：

∴450.1550.15650.2750.3x =?+?+?+? 850.15950.170.5+?+?=，

∴4000名考生的竞赛平均成绩x 为70.5分.

（2）依题意z 服从正态分布()2,N μσ

，其中70.5x μ==，2204.75D σξ==，14.31σ=，∴z 服从正态分布()()22,70.5,14.31N N μσ=，而

()(56.1984.81)0.6826P z P z μσμσ-<<+=<<=，

∴()10.682684.810.15872

P z -≥==.∴竞赛成绩超过84.81分的人数估计为0.158********.8?=人634≈人. （3）全市竞赛考生成绩不超过84.81分概率10.15870.8413-=.而()4,0.8413B ξ~，

∴()()44

431410.8413P P C ξξ≤=-==-? 10.5010.499=-=. 【点睛】关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法

①熟记P (μ－σ

21.已知函数()()211ln 2f x x ax a x =-+-，()ln g x b x x =-的最大值为1e

． ()1求实数b 的值；

()2当1a >时，讨论函数()f x 的单调性；

()3当0a =时，令()()()22ln 2F x f x g x x =+++，是否存在区间[],(1m n ?，)+∞，使得函数()F x 在区间[],m n 上的值域为()()2,2k m k n ??++??？若存在，

求实数k 的取值范围；若不存在，请说明理由．

【答案】(1) 0b =;(2) 2a =时，()f x 在()0,+∞单调增；12a <<时, ()f x 在()1,1a -单调递减，在()()0,1,1,a -+∞单调递增；2a >时,同理()f x 在()1,1a -单调递减，在

()()0,1,1,a -+∞单调递增；

（3）不存在. 【解析】

分析：(1)利用导数研究函数的单调性，可得当1x e

=时， ()g x 取得极大值，也是最大值， 由111g b e e

e ??=+= ???，可得结果；（2）求出()'

f x ，分三种情况讨论a 的范围，在定义域内，分别令()'0f x >求得x 的范围，可得函数()f x 增区间，()'0f x <求得x 的范围，可得函数()f x 的减区间；（3）假设存在区间[](),1,m n ?+∞，使得函数()F x 在区间[]

,m n 上的值域是()()2,2k m k n ??++??，则()()()()

2222{22F m m mlnm k m F n n nlnn k n =-+=+=-+=+，问题转化为关于x 的方程()2

ln 22x x x k x -+=+在区间()1,+∞内是否存在两个不相等的实根，进而可得结果. 详解：(1) 由题意得()'ln 1g x x =--，

令()'0g x =，解得1x e =，

当10,x e ?

?∈ ???

时， ()'>0g x ，函数()g x 单调递增； 当1,x e ??∈+∞ ???时， ()'<0g x ，函数()g x 单调递减. 所以当1x e

=时， ()g x 取得极大值，也是最大值， 所以111g b e e

e ??=+= ???，解得0b =. （2）()

f x 的定义域为()0,+∞.

()()()21111x x a a x ax a f x x a x x x

-+---+-=-+==' ①11a -=即2a =,则()()21x f x x ='-，故()f x 在()0,+∞单调增

②若11a -<,而1a >,故12a <<,则当()1,1x a ∈-时，()0f x '<;

当()0,1x a ∈-及()1,x ∈+∞时，()0f x '>

故()f x 在()1,1a -单调递减，在()()0,1,1,a -+∞单调递增．

③若11a ->,即2a >,同理()f x 在()1,1a -单调递减，在()()0,1,1,a -+∞单调递增

（3）由（1）知()2

ln 2F x x x x =-+， 所以()'2ln +1F x x x =-，令()()'2ln +1x F x x x ω==-，则()1'20x x

ω=->对()1,x ?∈+∞恒成立，所以()'F x 在区间()1,+∞内单调递增，

所以()()''110F x F >=>恒成立，

所以函数()F x 在区间()1,+∞内单调递增.

假设存在区间[](),1,m n ?+∞，使得函数()F x 在区间[]

,m n 上的值域是()()2,2k m k n ??++??，

则()()()()2222{22F m m mlnm k m F n n nlnn k n =-+=+=-+=+，

问题转化为关于x 的方程()2

ln 22x x x k x -+=+在区间()1,+∞内是否存在两个不相等的实根， 即方程2ln 22

x x x k x -+=+在区间()1,+∞内是否存在两个不相等的实根，

令()2ln 22

x x x h x x -+=+， ()1,x ∈+∞，则()()22342ln '2x x x h x x +--=+， 设()2342ln p x x x x =+--， ()1,x ∈+∞，则()()()2122'230x x p x x x x

-+=+-=>对()1,x ?∈+∞恒成立，所以函数()p x 在区间()1,+∞内单调递增，

故()()10p x p >=恒成立，所以()'0h x >，所以函数()h x 在区间()1,+∞内单调递增，所以方程2ln 22

x x x k x -+=+在区间()1,+∞内不存在两个不相等的实根. 综上所述，不存在区间[](),1,m n ?+∞，使得函数()F x 在区间[]

,m n 上的值域是()()2,2k m k n ??++??.

点睛：本题主要考查利用导数判断函数的单调性以及函数的最值值，属于难题.求函数极值、最值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数 ；(3) 解方程 求出函数定义域内的所有根；(4) 列表检查 在 的根 左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么 在 处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么 在 处取极小值. （5）如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值；（6）如果求闭区间上的最值还需要比较端点值的函数值与极值的大小.

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.

22.在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程1cos sin x y ??=+??=?

（?为参数），以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.

（1）求圆C 的极坐标方程；

（2）直线l 的极坐标方程是2sin 3πρθ??+= ???射线:3OM πθ=与圆C 的交点为O 、P ，

与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长.

【答案】（1）2cos ρθ=；（2）2

【解析】

【分析】

（1）首先利用221cos sin ??+=对圆C 的参数方程1{x cos y sin ??

=+=（φ为参数）进行消参数运算，化为普通方程，再根据普通方程化极坐标方程的公式得到圆C 的极坐标方程．（2）设11P ρθ（，），联立直线与圆的极坐标方程，解得11ρθ，；设22Q ρθ（，），联立直线与直线的极坐标方程，解得22ρθ，，可得PQ ．

【详解】

（1）圆C 的普通方程为()2

211x y -+=，又cos x ρθ=，sin y ρθ=

所以圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=. （2）设()11,ρθP ，则由2{3

cos ρθπθ==解得11ρ=，13πθ=，得1,3P π?? ???； 设()22Q ,ρθ

，则由2sin 3{

3πρθπ

θ??+= ???=解得23ρ=，23πθ=，得3,3Q π?? ???； 所以Q 2P =

【点睛】本题考查圆的参数方程与普通方程的互化，考查圆的极坐标方程，考查极坐标方程的求解运算，考查了学生的计算能力以及转化能力，属于基础题.

23.已知函数f (x )＝|x －1|.

(1)解不等式f (x )＋f (x ＋4)≥8；

(2)若|a |＜1，|b |＜1，且a ≠0，求证：f (ab )＞|a |·f b a ?? ???

. 【答案】（1）{x |x ≥3或x ≤－5}．（2）证明见解析

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