2019年全国各地中考数学压轴题汇编：几何综合（山东专版）（解析

2019年全国各地中考数学压轴题汇编（山东专版）

几何综合

参考答案与试题解析

1．（2019?青岛）如图，在?ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，延长AE至G，使EG＝AE，连接CG． （1）求证：△ABE≌△CDF；

（2）当AB与AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形？请说明理由．

（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD，OB＝OD，OA＝OC， ∴∠ABE＝∠CDF，

∵点E，F分别为OB，OD的中点， ∴BE＝OB，DF＝OD， ∴BE＝DF，

在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF（SAS）；

（2）解：当AC＝2AB时，四边形EGCF是矩形；理由如下： ∵AC＝2OA，AC＝2AB， ∴AB＝OA， ∵E是OB的中点， ∴AG⊥OB， ∴∠OEG＝90°， 同理：CF⊥OD， ∴AG∥CF， ∴EG∥CF，

，

∵EG＝AE，OA＝OC， ∴OE是△ACG的中位线， ∴OE∥CG， ∴EF∥CG，

∴四边形EGCF是平行四边形， ∵∠OEG＝90°， ∴四边形EGCF是矩形．

2．（2019?淄博）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，点E在AC上，以AE为直径的⊙O经过点D． （1）求证：①BC是⊙O的切线； ②CD＝CE?CA；

（2）若点F是劣弧AD的中点，且CE＝3，试求阴影部分的面积．

2

解：（1）①连接OD，

∵AD是∠BAC的平分线，∴∠DAB＝∠DAO， ∵OD＝OA，∴∠DAO＝∠ODA， ∴∠DAO＝∠ADO， ∴DO∥AB，而∠B＝90°， ∴∠ODB＝90°， ∴BC是⊙O的切线； ②连接DE，

∵BC是⊙O的切线，∴∠CDE＝∠DAC，

∠C＝∠C，∴△CDE∽△CAD， ∴CD＝CE?CA；

（2）连接DE、OE，设圆的半径为R，

∵点F是劣弧AD的中点，∴是OF是DA中垂线， ∴DF＝AF，∴∠FDA＝∠FAD， ∵DO∥AB，∴∠PDA＝∠DAF， ∴∠ADO＝∠DAO＝∠FDA＝∠FAD， ∴AF＝DF＝OA＝OD，

∴△OFD、△OFA是等边三角形， ∴∠C＝30°，

∴OD＝OC＝（OE+EC），而OE＝OD， ∴CE＝OE＝R＝3， S阴影＝S扇形DFO＝

×π×3＝

2

2

．

3．（2019?枣庄）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径作⊙O，点D为⊙O上一点，且CD＝CB，连接DO并延长交CB的延长线于点E． （1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若BE＝2，DE＝4，求圆的半径及AC的长．

（1）证明：连接OC．

∵CB＝CD，CO＝CO，OB＝OD， ∴△OCB≌△OCD（SSS）， ∴∠ODC＝∠OBC＝90°， ∴OD⊥DC， ∴DC是⊙O的切线；

（2）解：设⊙O的半径为r． 在Rt△OBE中，∵OE＝EB+OB， ∴（4﹣r）＝r+2， ∴r＝1.5， ∵tan∠E＝∴

＝

＝，

，

2

2

2

2

2

2

∴CD＝BC＝3， 在Rt△ABC中，AC＝

∴圆的半径为1.5，AC的长为3

＝．

＝3

．

4．（2019?青岛）已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，OD垂直平分A C．点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度为1cm/s；当一个点停止运动，另一个点也停止运动．过点P作PE⊥AB，交BC于点E，过点Q作QF∥AC，分别交AD，OD于点F，G．连接OP，EG．设运动时间为t（s）（0＜t＜5），解答下列问题：

（1）当t为何值时，点E在∠BAC的平分线上？

（2）设四边形PEGO的面积为S（cm），求S与t的函数关系式；

（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使四边形PEGO的面积最大？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；

（4）连接OE，OQ，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使OE⊥OQ？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

2

解：（1）在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm， ∴AC＝

＝6（cm），

∵OD垂直平分线段AC，

∴OC＝OA＝3（cm），∠DOC＝90°， ∵CD∥AB， ∴∠BAC＝∠DCO， ∵∠DOC＝∠ACB， ∴△DOC∽△BCA， ∴

＝

＝＝

， ，

∴＝

∴CD＝5（cm），OD＝4（cm）， ∵PB＝t，PE⊥AB， 易知：PE＝t，BE＝t， 当点E在∠BAC的平分线上时， ∵EP⊥AB，EC⊥AC， ∴PE＝EC， ∴t＝8﹣t， ∴t＝4．

∴当t为4秒时，点E在∠BAC的平分线上． （2）如图，连接OE，PC．

S四边形OPEG＝S△OEG+S△OPE＝S△OEG+（S△OPC+S△PCE﹣S△OEC）

＝?（4﹣t）?3+[?3?（8﹣t）+?（8﹣t）?t﹣?3?（8﹣t） ＝﹣t+

2

t+6（0＜t＜5）．

（3）存在． ∵S＝﹣（t﹣）+

2

（0＜t＜5），

．

∴t＝时，四边形OPEG的面积最大，最大值为（4）存在．如图，连接OQ． ∵OE⊥OQ，

∴∠EOC+∠QOC＝90°， ∵∠QOC+∠QOG＝90°， ∴∠EOC＝∠QOG，

∴tan∠EOC＝tan∠QOG， ∴

＝

，

∴＝，

整理得：5t﹣66t+160＝0， 解得t＝∴当t＝

或10（舍弃） 秒时，OE⊥OQ．

2

5．（2019?淄博）如图1，正方形ABDE和BCFG的边AB，BC在同一条直线上，且AB＝2BC，取EF的中点M，连接MD，MG，MB． （1）试证明DM⊥MG，并求

的值．

（2）如图2，将图1中的正方形变为菱形，设∠EAB＝2α（0＜α＜90°），其它条件不变，问（1）中

的值有变化吗？若有变化，求出该值（用含α的式子表示）；若无变化，说明理由．

（1）证明：如图1中，延长DM交FG的延长线于H．

∵四边形ABCD，四边形BCFG都是正方形， ∴DE∥AC∥GF， ∴∠EDM＝∠FHM，

∵∠EMD＝∠FMH，EM＝FM， ∴△EDM≌△FHM（AAS）， ∴DE＝FH，DM＝MH， ∵DE＝2FG，BG＝DG， ∴HG＝DG，

∵∠DGH＝∠BGF＝90°，MH＝DM， ∴GM⊥DM，DM＝MG，

连接EB，BF，设BC＝a，则AB＝2a，BE＝2∵∠EBD＝∠DBF＝45°， ∴∠EBF＝90°， ∴EF＝∵EM＝MF， ∴BM＝EF＝

a， ＝

a，

a，BF＝

a，

∵HM＝DM，GH＝FG， ∴MG＝DF＝

a，

∴＝＝．

（2）解：（1）中的值有变化．

理由：如图2中，连接BE，AD交于点O，连接OG，CG，BF，CG交BF于O′．

∵DO＝OA，DG＝GB， ∴GO∥AB，OG＝AB， ∵GF∥AC， ∴O，G，F共线， ∵FG＝AB， ∴OF＝AB＝DF， ∵DF∥AC，AC∥OF， ∴DE∥OF，

∴OD与EF互相平分， ∵EM＝MF，

∴点M在直线AD上， ∵GD＝GB＝GO＝GF， ∴四边形OBFD是矩形，

∴∠OBF＝∠ODF＝∠BOD＝90°， ∵OM＝MD，OG＝GF，

∴MG＝DF，设BC＝m，则AB＝2m，

易知BE＝2OB＝2?2m?sinα＝4msinα，BF＝2BO°＝2m?cosα，DF＝OB＝2m?sinα， ∵BM＝EF＝

＝

，GM＝DF＝m?sinα，

∴＝＝．

6．（2019?潍坊）如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，连接DG，过点A作AH∥DG，交BG于点H．连接HF，AF，其中AF交EC于点M． （1）求证：△AHF为等腰直角三角形． （2）若AB＝3，EC＝5，求EM的长．

证明：（1）∵四边形ABCD，四边形ECGF都是正方形 ∴DA∥BC，AD＝CD，FG＝CG，∠B＝∠CGF＝90° ∵AD∥BC，AH∥DG ∴四边形AHGD是平行四边形 ∴AH＝DG，AD＝HG＝CD

∵CD＝HG，∠ECG＝∠CGF＝90°，FG＝CG ∴△DCG≌△HGF（SAS） ∴DG＝HF，∠HFG＝∠HGD ∴AH＝HF，

∵∠HGD+∠DGF＝90° ∴∠HFG+∠DGF＝90° ∴DG⊥HF，且AH∥DG ∴AH⊥HF，且AH＝HF ∴△AHF为等腰直角三角形． （2）∵AB＝3，EC＝5， ∴AD＝CD＝3，DE＝2，EF＝5 ∵AD∥EF ∴

＝

，且DE＝2

∴EM＝

7．（2019?枣庄）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC于点D．

（1）如图1，点M，N分别在AD，AB上，且∠BMN＝90°，当∠AMN＝30°，AB＝2时，求线段

AM的长；

（2）如图2，点E，F分别在AB，AC上，且∠EDF＝90°，求证：BE＝AF；

（3）如图3，点M在AD的延长线上，点N在AC上，且∠BMN＝90°，求证：AB+AN＝（1）解：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC，

∴AD＝BD＝DC，∠ABC＝∠ACB＝45°，∠BAD＝∠CAD＝45°， ∵AB＝2， ∴AD＝BD＝DC＝∵∠AMN＝30°，

∴∠BMD＝180°﹣90°﹣30°＝60°， ∴∠MBD＝30°， ∴BM＝2DM，

由勾股定理得，BM﹣DM＝BD，即（2DM）﹣DM＝（解得，DM＝

，

﹣

；

2

2

2

2

2

AM．

，

），

2

∴AM＝AD﹣DM＝

（2）证明：∵AD⊥BC，∠EDF＝90°， ∴∠BDE＝∠ADF， 在△BDE和△ADF中，

，

∴△BDE≌△ADF（ASA） ∴BE＝AF；

（3）证明：过点M作ME∥BC交AB的延长线于E， ∴∠AME＝90°， 则AE＝

AM，∠E＝45°，

∴ME＝MA，

∵∠AME＝90°，∠BMN＝90°， ∴∠BME＝∠AMN， 在△BME和△AMN中，

，

∴△BME≌△AMN（ASA）， ∴BE＝AN，

∴AB+AN＝AB+BE＝AE＝

AM．

8．（2019?济宁）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D是且∠CAE＝2∠C，AC与BD交于点H，与OE交于点F． （1）求证：AE是⊙O的切线；

（2）若DH＝9，tanC＝，求直径AB的长．

的中点，E为OD延长线上一点，

解：（1）∵D是∴OE⊥AC， ∴∠AFE＝90°， ∴∠E+∠EAF＝90°，

∵∠AOE＝2∠C，∠CAE＝2∠C， ∴∠CAE＝∠AOE， ∴∠E+∠AOE＝90°， ∴∠EAO＝90°， ∴AE是⊙O的切线； （2）∵∠C＝∠B， ∵OD＝OB， ∴∠B＝∠ODB，

的中点，

∴∠ODB＝∠C， ∴tanC＝tan∠ODB＝

＝，

∴设HF＝3x，DF＝4x， ∴DH＝5x＝9， ∴x＝， ∴DF＝

，HF＝

，

∵∠C＝∠FDH，∠DFH＝∠CFD， ∴△DFH∽△CFD， ∴

＝

，

∴CF＝＝，

∴AF＝CF＝，

设OA＝OD＝x， ∴OF＝x﹣

2

2

，

2

∵AF+OF＝OA， ∴（

）+（x﹣

2

）＝x，

22

解得：x＝10， ∴OA＝10，

∴直径AB的长为20．

9．（2019?潍坊）如图1，菱形ABCD的顶点A，D在直线上，∠BAD＝60°，以点A为旋转中心将菱形ABCD顺时针旋转α（0°＜α＜30°），得到菱形AB′C′D′，B′C′交对角线AC于点M，C′D′交直线l于点N，连接MN．

（1）当MN∥B′D′时，求α的大小．

（2）如图2，对角线B′D′交AC于点H，交直线l与点G，延长C′B′交AB于点E，连接EH．当△HEB′的周长为2时，求菱形ABCD的周长．

解：（1）∵四边形AB′C′D′是菱形， ∴AB′＝B′C′＝C′D′＝AD′， ∵∠B′AD′＝∠B′C′D′＝60°， ∴△AB′D′，△B′C′D′是等边三角形， ∵MN∥B′C′，

∴∠C′MN＝∠C′B′D′＝60°，∠CNM＝∠C′D′B′＝60°， ∴△C′MN是等边三角形， ∴C′M＝C′N， ∴MB′＝ND′，

∵∠AB′M＝∠AD′N＝120°，AB′＝AD′， ∴△AB′M≌△AD′N（SAS）， ∴∠B′AM＝∠D′AN， ∵∠CAD＝∠BAD＝30°， ∠DAD′＝15°， ∴α＝15°．

（2）∵∠C′B′D′＝60°， ∴∠EB′G＝120°， ∵∠EAG＝60°，

∴∠EAG+∠EB′G＝180°， ∴四边形EAGB′四点共圆， ∴∠AEB′＝∠AGD′，

∵∠EAB′＝∠GAD′，AB′＝AD′，

∴△AEB′≌△AGD′（AAS）， ∴EB′＝GD′，AE＝AG， ∵AH＝AH，∠HAE＝∠HAG， ∴△AHE≌△AHG（SAS）， ∴EH＝GH，

∵△EHB′的周长为2，

∴EH+EB′+HB′＝B′H+HG+GD′＝B′D′＝2， ∴AB′＝AB＝2， ∴菱形ABCD的周长为8．

10．（2019?济宁）如图1，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝10，E是CD边上一点，连接AE，将矩形ABCD沿AE折叠，顶点D恰好落在BC边上点F处，延长AE交BC的延长线于点G． （1）求线段CE的长；

（2）如图2，M，N分别是线段AG，DG上的动点（与端点不重合），且∠DMN＝∠DAM，设AM＝x，DN＝y．

①写出y关于x的函数解析式，并求出y的最小值；

②是否存在这样的点M，使△DMN是等腰三角形？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．

解：（1）如图1中，

∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC＝10，AB＝CD＝8， ∴∠B＝∠BCD＝90°，

由翻折可知：AD＝AF＝10．DE＝EF，设EC＝x，则DE＝EF＝8﹣x．

在Rt△ABF中，BF＝∴CF＝BC﹣BF＝10﹣6＝4，

＝6，

在Rt△EFC中，则有：（8﹣x）＝x+4， ∴x＝3， ∴EC＝3． （2）①如图2中，

222

∵AD∥CG， ∴∴

＝

，

＝，

∴CG＝6，

∴BG＝BC+CG＝16， 在Rt△ABG中，AG＝在Rt△DCG中，DG＝∵AD＝DG＝10， ∴∠DAG＝∠AGD，

∵∠DMG＝∠DMN+∠NMG＝∠DAM+∠ADM，∠DMN＝∠DAM， ∴∠ADM＝∠NMG， ∴△ADM∽△GMN， ∴∴∴y＝当x＝4

＝

， ＝x﹣

2

＝8＝10，

，

， x+10．

时，y有最小值，最小值＝2．

②存在．有两种情形：如图3﹣1中，当MN＝MD时，

∵∠MDN＝∠GMD，∠DMN＝∠DGM， ∴△DMN∽△DGM， ∴

＝

，

∵MN＝DM， ∴DG＝GM＝10， ∴x＝AM＝8

﹣10．

如图3﹣2中，当MN＝DN时，作MH⊥DG于H．

∵MN＝DN， ∴∠MDN＝∠DMN， ∵∠DMN＝∠DGM， ∴∠MDG＝∠MGD， ∴MD＝MG， ∵BH⊥DG， ∴DH＝GH＝5， 由△GHM∽△GBA，可得∴

＝

， ， ﹣

＝

． ＝

，

∴MG＝∴x＝AM＝8

综上所述，满足条件的x的值为8﹣10或．

11．（2019?泰安）在矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，点P是边AD上一点．

（1）若BP平分∠ABD，交AE于点G，PF⊥BD于点F，如图①，证明四边形AGFP是菱形； （2）若PE⊥EC，如图②，求证：AE?AB＝DE?AP； （3）在（2）的条件下，若AB＝1，BC＝2，求AP的长．

（1）证明：如图①中，

∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD＝90°， ∵AE⊥BD， ∴∠AED＝90°，

∴∠BAE+∠EAD＝90°，∠EAD+∠ADE＝90°， ∴∠BAE＝∠ADE，

∵∠AGP＝∠BAG+∠ABG，∠APD＝∠ADE+∠PBD，∠ABG＝∠PBD， ∴∠AGP＝∠APG， ∴AP＝AG，

∵PA⊥AB，PF⊥BD，BP平分∠ABD， ∴PA＝PF， ∴PF＝AG，

∵AE⊥BD，PF⊥BD， ∴PF∥AG，

∴四边形AGFP是平行四边形，

∵PA＝PF，

∴四边形AGFP是菱形． （2）证明：如图②中，

∵AE⊥BD，PE⊥EC， ∴∠AED＝∠PEC＝90°， ∴∠AEP＝∠DEC，

∵∠EAD+∠ADE＝90°，∠ADE+∠CDE＝90°， ∴∠EAP＝∠EDC， ∴△AEP∽△DEC， ∴

＝

，

∵AB＝CD， ∴AE?AB＝DE?AP；

（3）解：∵四边形ABCD是矩形， ∴BC＝AD＝2，∠BAD＝90°， ∴BD＝∵AE⊥BD，

∴S△ABD＝?BD?AE＝?AB?AD， ∴AE＝∴DE＝

，

＝

，

＝

，

∵AE?AB＝DE?AP；

∴AP＝＝．

12．（2019?威海）如图，在正方形ABCD中，AB＝10cm，E为对角线BD上一动点，连接AE，CE，过E点作EF⊥AE，交直线BC于点F．E点从B点出发，沿着BD方向以每秒2cm的速度运动，当

点E与点D重合时，运动停止．设△BEF的面积为ycm，E点的运动时间为x秒．

2

（1）求证：CE＝EF；

（2）求y与x之间关系的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； （3）求△BEF面积的最大值．

（1）证明：如图1，过E作MN∥AB，交AD于M，交BC于N，

∵四边形ABCD是正方形， ∴AD∥BC，AB⊥AD， ∴MN⊥AD，MN⊥BC，

∴∠AME＝∠FNE＝90°＝∠NFE+∠FEN， ∵AE⊥EF，

∴∠AEF＝∠AEM+∠FEN＝90°， ∴∠AEM＝∠NFE，

∵∠DBC＝45°，∠BNE＝90°， ∴BN＝EN＝AM，

∴△AEM≌△EFN（AAS）， ∴AE＝EF，

∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝CD，∠ADE＝∠CDE， ∵DE＝DE，

∴△ADE≌△CDE（SAS），

∴AE＝CE＝EF；

（2）解：在Rt△BCD中，由勾股定理得：BD＝∴0≤x≤5

，

＝10

，

由题意得：BE＝2x， ∴BN＝EN＝

x，

由（1）知：AE＝EF＝EC， 分两种情况： ①当0≤x≤

时，如图1，

∵AB＝MN＝10， ∴ME＝FN＝10﹣

x，

x﹣

x＝10﹣2

x，

2

∴BF＝FN﹣BN＝10﹣∴y＝②当

＝＜x≤5

x，

x，

＝﹣2x+5x；

时，如图2，过E作EN⊥BC于N，

∴EN＝BN＝

∴FN＝CN＝10﹣

∴BF＝BC﹣2CN＝10﹣2（10﹣∴y＝

＝

x）＝2

2

x﹣10，

x；

＝2x﹣5

综上，y与x之间关系的函数表达式为：；

（3）解：①当0≤x≤y＝﹣2x+5∵﹣2＜0， ∴当x＝②当

22

时，如图1，

）+

2

x＝﹣2（x﹣，

时，y有最大值是＜x≤5

时，如图2，

；

∴y＝2x﹣5∵2＞0，

x＝2（x﹣）﹣

2

，

∴当x＞∴当x＝5

时，y随x的增大而增大 时，y有最大值是50；

综上，△BEF面积的最大值是50．

13．（2019?临沂）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点O作OD⊥AB，交BC的延长线于D，交AC于点E，F是DE的中点，连接CF． （1）求证：CF是⊙O的切线． （2）若∠A＝22.5°，求证：AC＝DC．

（1）证明：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝∠ACD＝90°， ∵点F是ED的中点， ∴CF＝EF＝DF，

∴∠AEO＝∠FEC＝∠FCE， ∵OA＝OC， ∴∠OCA＝∠OAC， ∵OD⊥AB，

∴∠OAC+∠AEO＝90°，

∴∠OCA+∠FCE＝90°，即OC⊥FC，

∴CF与⊙O相切；

（2）解：∵OD⊥AB，AC⊥BD， ∴∠AOE＝∠ACD＝90°， ∵∠AEO＝∠DEC， ∴∠OAE＝∠CDE＝22.5°， ∵AO＝BO， ∴AD＝BD，

∴∠ADO＝∠BDO＝22.5°， ∴∠ADB＝45°，

∴∠CAD＝∠ADC＝45°， ∴AC＝CD．

14．（2019?泰安）如图，四边形ABCD是正方形，△EFC是等腰直角三角形，点E在AB上，且∠CEF＝90°，FG⊥AD，垂足为点C．

（1）试判断AG与FG是否相等？并给出证明；

（2）若点H为CF的中点，GH与DH垂直吗？若垂直，给出证明；若不垂直，说明理由．

解：（1）AG＝FG，

理由如下：如图，过点F作FM⊥AB交BA的延长线于点M

∵四边形ABCD是正方形 ∴AB＝BC，∠B＝90°＝∠BAD ∵FM⊥AB，∠MAD＝90°，FG⊥AD ∴四边形AGFM是矩形 ∴AG＝MF，AM＝FG， ∵∠CEF＝90°，

∴∠FEM+∠BEC＝90°，∠BEC+∠BCE＝90° ∴∠FEM＝∠BCE，且∠M＝∠B＝90°，EF＝EC ∴△EFM≌△CEB（AAS） ∴BE＝MF，ME＝BC ∴ME＝AB＝BC ∴BE＝MA＝MF ∴AG＝FG， （2）DH⊥HG

理由如下：如图，延长GH交CD于点N，

∵FG⊥AD，CD⊥AD ∴FG∥CD

∴，且CH＝FH，

∴GH＝HN，NC＝FG ∴AG＝FG＝NC 又∵AD＝CD，

∴GD＝DN，且GH＝HN ∴DH⊥GH

15．（2019?德州）如图，∠BPD＝120°，点A、C分别在射线PB、PD上，∠PAC＝30°，AC＝2

．

（1）用尺规在图中作一段劣弧，使得它在A、C两点分别与射线PB和PD相切．要求：写出作法，并保留作图痕迹；

（2）根据（1）的作法，结合已有条件，请写出已知和求证，并证明； （3）求所得的劣弧与线段PA、PC围成的封闭图形的面积．

解：（1）如图，

（2）已知：如图，∠BPD＝120°，点A、C分别在射线PB、PD上，∠PAC＝30°，AC＝2过A、C分别作PB、PD的垂线，它们相交于O，以OA为半径作⊙O，OA⊥PB， 求证：PB、PC为⊙O的切线； 证明：∵∠BPD＝120°，PAC＝30°， ∴∠PCA＝30°， ∴PA＝PC， 连接OP，

∵OA⊥PA，PC⊥OC， ∴∠PAO＝∠PCO＝90°， ∵OP＝OP，

∴Rt△PAO≌Rt△PCO（HL） ∴OA＝OC，

∴PB、PC为⊙O的切线；

（3）∵∠OAP＝∠OCP＝90°﹣30°＝60°， ∴△OAC为等边三角形，

，

∴OA＝AC＝2，∠AOC＝60°，

∵OP平分∠APC， ∴∠APO＝60°， ∴AP＝

×2

＝2，∴劣弧AC与线段PA、PC围成的封闭图形的面积＝S四边形APCO﹣S扇形AOC＝2

××2×2﹣＝4﹣2π．

16．（2019?临沂）如图，在正方形ABCD中，E是DC边上一点，（与D、C不重合），连接AE，将△ADE沿AE所在的直线折叠得到△AFE，延长EF交BC于G，连接AG，作GH⊥AG，与AE的延长线交于点H，连接CH．显然AE是∠DAF的平分线，EA是∠DEF的平分线．仔细观察，请逐一找出图中其他的角平分线（仅限于小于180°的角平分线），并说明理由．

解：过点H作HN⊥BM于N， 则∠HNC＝90°，

∵四边形ABCD为正方形，

∴AD＝AB＝BC，∠D＝∠DAB＝∠B＝∠DCB＝∠DCM＝90°， ①∵将△ADE沿AE所在的直线折叠得到△AFE， ∴△ADE≌△AFE，

∴∠D＝∠AFE＝∠AFG＝90°，AD＝AF，∠DAE＝∠FAE， ∴AF＝AB， 又∵AG＝AG，

∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL）， ∴∠BAG＝∠FAG，∠AGB＝∠AGF，

∴AG是∠BAF的平分线，GA是∠BGF的平分线； ②由①知，∠DAE＝∠FAE，∠BAG＝∠FAG， 又∵∠BAD＝90°，

∴∠GAF+∠EAF＝×90°＝45°， 即∠GAH＝45°， ∵GH⊥AG，

∴∠GHA＝90°﹣∠GAH＝45°， ∴△AGH为等腰直角三角形， ∴AG＝GH，

∵∠AGB+∠BAG＝90°，∠AGB+∠HGN＝90°， ∴∠BAG＝∠NGH，

又∵∠B＝∠HNG＝90°，AG＝GH， ∴△ABG≌△GNH（AAS）， ∴BG＝NH，AB＝GN， ∴BC＝GN，

∵BC﹣CG＝GN﹣CG， ∴BG＝CN， ∴CN＝HN， ∵∠DCM＝90°，

∴∠NCH＝∠NHC＝×90°＝45°， ∴∠DCH＝∠DCM﹣∠NCH＝45°， ∴∠DCH＝∠NCH， ∴CH是∠DCN的平分线；

③∵∠AGB+∠HGN＝90°，∠AGF+∠EGH＝90°， 由①知，∠AGB＝∠AGF，

∴∠HGN＝∠EGH， ∴GH是∠EGM的平分线；

综上所述，AG是∠BAF的平分线，GA是∠BGF的平分线，CH是∠DCN的平分线，GH是∠EGM的平分线．

17．（2019?聊城）如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，作OD⊥AB交AC于点D，延长BC，OD交于点F，过点C作⊙O的切线CE，交OF于点E． （1）求证：EC＝ED；

（2）如果OA＝4，EF＝3，求弦AC的长．

（1）证明：连接OC，

∵CE与⊙O相切，为C是⊙O的半径， ∴OC⊥CE，

∴∠OCA+∠ACE＝90°， ∵OA＝OC， ∴∠A＝∠OCA，

∴∠ACE+∠A＝90°， ∵OD⊥AB，

∴∠ODA+∠A＝90°， ∵∠ODA＝∠CDE， ∴∠CDE+∠A＝90°， ∴∠CDE＝∠ACE， ∴EC＝ED；

（2）解：∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°，

在Rt△DCF中，∠DCE+∠ECF＝90°，∠DCE＝∠CDE， ∴∠CDE+∠ECF＝90°， ∵∠CDE+∠F＝90°， ∴∠ECF＝∠F， ∴EC＝EF， ∵EF＝3， ∴EC＝DE＝3， ∴OE＝

∴OD＝OE﹣DE＝2， 在Rt△OAD中，AD＝在Rt△AOD和Rt△ACB中， ∵∠A＝∠A，∠ACB＝∠AOD， ∴Rt△AOD∽Rt△ACB， ∴即∴AC＝

， ， ．

＝2

，

＝5，

18．（2019?德州）（1）如图1，菱形AEGH的顶点E、H在菱形ABCD的边上，且∠BAD＝60°，请直接写出HD：GC：EB的结果（不必写计算过程）

（2）将图1中的菱形AEGH绕点A旋转一定角度，如图2，求HD：GC：EB；

（3）把图2中的菱形都换成矩形，如图3，且AD：AB＝AH：AE＝1：2，此时HD：GC：EB的结

果与（2）小题的结果相比有变化吗？如果有变化，直接写出变化后的结果（不必写计算过程）；若无变化，请说明理由．

解：（1）连接AG，

∵菱形AEGH的顶点E、H在菱形ABCD的边上，且∠BAD＝60°， ∴∠GAE＝∠CAB＝30°，AE＝AH，AB＝AD， ∴A，G，C共线，AB﹣AE＝AD﹣AH， ∴HD＝EB，

延长HG交BC于点M，延长EG交DC于点N，连接MN，交GC于点O，则GMCN也为菱形， ∴GC⊥MN，∠NGO＝∠AGE＝30°， ∴

＝cos30°＝

，

∵GC＝2OG， ∴

＝

，

∵HGND为平行四边形， ∴HD＝GN， ∴HD：GC：EB＝1：

：1．

（2）如图2，连接AG，AC， ∵△ADC和△AHG都是等腰三角形， ∴AD：AC＝AH：AG＝1：∴∠DAH＝∠CAG， ∴△DAH∽△CAG，

，∠DAC＝∠HAG＝30°，

∴HD：GC＝AD：AC＝1：∵∠DAB＝∠HAE＝60°， ∴∠DAH＝∠BAE， 在△DAH和△BAE中，

∴△DAH≌△BAE（SAS） ∴HD＝EB， ∴HD：GC：EB＝1：

，

：1．

（3）有变化．

如图3，连接AG，AC，

∵AD：AB＝AH：AE＝1：2，∠ADC＝∠AHG＝90°， ∴△ADC∽△AHG， ∴AD：AC＝AH：AG＝1：∵∠DAC＝∠HAG， ∴∠DAH＝∠CAG， ∴△DAH∽△CAG， ∴HD：GC＝AD：AC＝1：∵∠DAB＝∠HAE＝90°， ∴∠DAH＝∠BAE，

∵DA：AB＝HA：AE＝1：2， ∴△ADH∽△ABE，

∴DH：BE＝AD：AB＝1：2， ∴HD：GC：EB＝1：

：2

， ，

19．（2019?滨州）如图，矩形ABCD中，点E在边CD上，将△BCE沿BE折叠，点C落在AD边上的点F处，过点F作FG∥CD交BE于点G，连接CG． （1）求证：四边形CEFG是菱形；

（2）若AB＝6，AD＝10，求四边形CEFG的面积．

（1）证明：由题意可得， △BCE≌△BFE，

∴∠BEC＝∠BEF，FE＝CE， ∵FG∥CE， ∴∠FGE＝∠CEB， ∴∠FGE＝∠FEG， ∴FG＝FE， ∴FG＝EC，

∴四边形CEFG是平行四边形， 又∵CE＝FE，

∴四边形CEFG是菱形；

（2）∵矩形ABCD中，AB＝6，AD＝10，BC＝BF， ∴∠BAF＝90°，AD＝BC＝BF＝10， ∴AF＝8， ∴DF＝2，

设EF＝x，则CE＝x，DE＝6﹣x， ∵FDE＝90°， ∴2+（6﹣x）＝x， 解得，x＝

，

2

2

2

∴CE＝，

×2＝

．

∴四边形CEFG的面积是：CE?DF＝

20．（2019?菏泽）如图，△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°．

（1）如图1，连接BE，CD，BE的廷长线交AC于点F，交CD于点P，求证：BP⊥CD； （2）如图2，把△ADE绕点A顺时针旋转，当点D落在AB上时，连接BE，CD，CD的延长线交BE于点P，若BC＝6

，AD＝3，求△PDE的面积．

解：（1）∵△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°． ∴AD＝AE，AB＝AC，∠BAC﹣∠EAF＝∠EAD﹣∠EAF， 即∠BAE＝∠DAC， 在△ABE与△ADC中，∴△ABE≌△ADC（SAS）， ∴∠ABE＝∠ACD，

∵∠ABE+∠AFB＝∠ABE+∠CFP＝90°， ∴∠CPF＝90°， ∴BP⊥CD；

（2）在△ABE与△ACD中，∴△ABE≌△ACD（SAS）， ∴∠ABE＝∠ACD，BE＝CD， ∵∠PDB＝∠ADC， ∴∠BPD＝∠CAB＝90°， ∴∠EPD＝90°，BC＝6∵BC＝6∴DE＝3

，AD＝3， ，AB＝6，

＝3

，

，AD＝3，求△PDE的面积．

，

，

∴BD＝6﹣3＝3，CD＝

∵△BDP∽△CDA， ∴∴∴PD＝∴PE＝3

＝＝

＝＝

， ，

， ×

＝

．

，PB＝﹣

＝

∴△PDE的面积＝×

21．（2019?滨州）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F． （1）求证：直线DF是⊙O的切线； （2）求证：BC＝4CF?AC；

（3）若⊙O的半径为4，∠CDF＝15°，求阴影部分的面积．

2

解：（1）如图所示，连接OD，

∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，而OB＝OD，∴∠ODB＝∠ABC＝∠C， ∵DF⊥AC，∴∠CDF+∠C＝90°，∴∠CDF+∠ODB＝90°， ∴∠ODF＝90°， ∴直线DF是⊙O的切线；

（2）连接AD，则AD⊥BC，则AB＝AC， 则DB＝DC＝

，

∵∠CDF+∠C＝90°，∠C+∠DAC＝90°，∴∠CDF＝∠DCA， 而∠DFC＝∠ADC＝90°，∴△CFD∽△CDA， ∴CD＝CF?AC，即BC＝4CF?AC； （3）连接OE，

∵∠CDF＝15°，∠C＝75°，∴∠OAE＝30°＝∠OEA， ∴∠AOE＝120°，

S△OAE＝AE×OEsin∠OEA＝×2×OE×cos∠OEA×OEsin∠OEA＝4S阴影部分＝S扇形OAE﹣S△OAE＝

×π×4﹣4

2

2

2

，

＝﹣4．

22．（2019?聊城）在菱形ABCD中，点P是BC边上一点，连接AP，点E，F是AP上的两点，连接DE，BF，使得∠AED＝∠ABC，∠ABF＝∠BPF． 求证：（1）△ABF≌△DAE； （2）DE＝BF+EF．

证明：（1）∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD，AD∥BC， ∴∠BPA＝∠DAE， ∵∠ABC＝∠AED， ∴∠BAF＝∠ADE，

∵∠ABF＝∠BPF，∠BPA＝∠DAE， ∴∠ABF＝∠DAE， ∵AB＝DA，

∴△ABF≌△DAE（ASA）； （2）∵△ABF≌△DAE， ∴AE＝BF，DE＝AF，

∵AF＝AE+EF＝BF+EF， ∴DE＝BF+EF．

23．（2019?菏泽）如图，BC是⊙O的直径，CE是⊙O的弦，过点E作⊙O的切线，交CB的延长线于点G，过点B作BF⊥GE于点F，交CE的延长线于点A． （1）求证：∠ABG＝2∠C； （2）若GF＝3

，GB＝6，求⊙O的半径．

（1）证明：连接OE， ∵EG是⊙O的切线， ∴OE⊥EG， ∵BF⊥GE， ∴OE∥AB， ∴∠A＝∠OEC， ∵OE＝OC， ∴∠OEC＝∠C， ∴∠A＝∠C， ∵∠ABG＝∠A+∠C， ∴∠ABG＝2∠C； （2）解：∵BF⊥GE， ∴∠BFG＝90°， ∵GF＝3∴BF＝∵BF∥OE，

，GB＝6，

＝3，

∴△BGF∽△OGE， ∴∴

＝＝

， ，

∴OE＝6， ∴⊙O的半径为6．

24．（2019?威海）（1）方法选择

如图①，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，BD，AB＝BC＝AC．求证：BD＝AD+CD． 小颖认为可用截长法证明：在DB上截取DM＝AD，连接AM… 小军认为可用补短法证明：延长CD至点N，使得DN＝AD… 请你选择一种方法证明． （2）类比探究 【探究1】

如图②，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，BD，BC是⊙O的直径，AB＝AC．试用等式表示线段AD，BD，CD之间的数量关系，井证明你的结论． 【探究2】

如图③，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，BD．若BC是⊙O的直径，∠ABC＝30°，则线段AD，BD，CD之间的等量关系式是 BD＝（3）拓展猜想

如图④，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，BD．若BC是⊙O的直径，BC：AC：AB＝a：b：c，则线段AD，BD，CD之间的等量关系式是 BD＝CD+AD ．

CD+2AD ．

解：（1）方法选择：∵AB＝BC＝AC，

（2）类比探究：如图②， ∵BC是⊙O的直径， ∴∠BAC＝90°， ∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB＝45°， 过A作AM⊥AD交BD于M， ∵∠ADB＝∠ACB＝45°， ∴△ADM是等腰直角三角形， ∴AM＝AD，∠AMD＝45°， ∴DM＝

AD，

∴∠AMB＝∠ADC＝135°， ∵∠ABM＝∠ACD， ∴△ABM≌△ACD（AAS）， ∴BM＝CD， ∴BD＝BM+DM＝CD+

AD；

【探究2】如图③，∵若BC是⊙O的直径，∠ABC＝30°，∴∠BAC＝90°，∠ACB＝60°， 过A作AM⊥AD交BD于M， ∵∠ADB＝∠ACB＝60°， ∴∠AMD＝30°， ∴MD＝2AD，

∵∠ABD＝∠ACD，∠AMB＝∠ADC＝150°， ∴△ABM∽△ACD， ∴∴BM＝

＝

，

CD，

CD+2AD； CD+2AD；

∴BD＝BM+DM＝故答案为：BD＝

（3）拓展猜想：BD＝BM+DM＝CD+AD； 理由：如图④，∵若BC是⊙O的直径， ∴∠BAC＝90°，

过A作AM⊥AD交BD于M， ∴∠MAD＝90°， ∴∠BAM＝∠DAC， ∴△ABM∽△ACD， ∴

＝，

∴BM＝CD，

∵∠ADB＝∠ACB，∠BAC＝∠NAD＝90°， ∴△ADM∽△ACB， ∴

＝

＝，

∴DM＝AD，

∴BD＝BM+DM＝CD+AD． 故答案为：BD＝CD+AD

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