山东省烟台市中考数学试卷(解析版)

A . 5.613 XI011 元

B . 5.613 >1012元

C . 56.13 >1010元

D . 0.5613 XI012元 2014年山东省烟台市中考数学试卷

、选择题（本题共 12小题，每小题3分，满分36 分）

C. ±3

分析： 根据绝对值的性质解答即可.

解：|- 3|=3.故选 B .

点评： 此题考查了绝对值的性质： 一个正数的绝对值是它本身； 一个负数的绝对值是 它的相反数；0的绝对值是0.

分析：根据中心对称图形的定义旋转 180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形, 以及轴对称图形的定义即可判断出.

解：A 、T 此图形旋转180°后不能与原图形重合，.??此图形不是中心对称图形，是轴对 称图形，故此选项错误;

B 、T 此图形旋转180 后不能与原图形重合，?此图形不是中心对称图形，也不是轴对 称图形，故此选项错误;

C 、此图形旋转180。后不能与原图形重合，此图形不是中心对称图形，是轴对称图形, 故此选项错误;

D 、???此图形旋转180 后能与原图形重合，???此图形是中心对称图形， 也是轴对称图形, 故此选项正确.故选： D .

点评：此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，根据定义得出图形形状是解决问 题的关键.

（2014年山东烟台）烟台市通过扩消费、促投资、稳外需的协同发力，激发了区域发展 活力，实现了经济平稳较快发展. 2013年全市生产总值（GDP ）达5613亿元.该数据用科

1. （2014年山东烟台）-3的绝对值等于（

2. （2014年山东烟台）下列手机软件图标中， 既是轴对称图形又是中心对称图形的是 （ ） A 口

3. B . C . D .

学记数法表示为（

A . 5.613 XI011元

B . 5.613 >1012元

C . 56.13 >1010元

D . 0.5613 XI012元

分析：科学记数法的表示形式为 a X10n的形式，其中1

值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同?当原数绝对值〉1时，n是正数；当原数的绝对值v 1时，n是负数.

解：将5613亿元用科学记数法表示为： 5.613 X1011元.故选；A.

点评：此题考查科学记数法的表示方法. 科学记数法的表示形式为a X10n的形式，其

中1

4. （2014年山东烟台）如图是一个正方体截去一角后得到的几何体，它的主视图是（

分析：根据主视图是从正面看到的图形判定则可.

点评：本题考查了三视图的知识，根据主视图是从物体的正面看得到的视图得出是解

题关键.

5. （2014年山东烟台）按如图的运算程序，能使输出结果为3的x, y的值是（）

刀I输入x|->|乘以2、

开始L 相加|一|输出3

A . x=5 , y= - 2

B . x=3, y= - 3 C. x= - 4, y=2 D. x= - 3, y= - 9

分析：根据运算程序列出方程，再根据二元一次方程的解的定义对各选项分析判断利用排除法求解.

解：由题意得，2x- y=3, A、x=5时，y= 7,故本选项错误；

B、x=3时，y=3，故本选项错误；

C、x= - 4时，y= - 11,故本选项错误；

D、x= - 3时，y= - 9，故本选项正确.故选D.

点评：本题考查了代数式求值，主要利用了二元一次方程的解，理解运算程序列出方程是解题的关键.

6. （ 2014年山东烟台）如图，在菱形 ABCD 中，M , N 分别在 AB , CD 上，且 AM=CN , MN 与AC 交于点O ,连接BO .若/ DAC =28 °则/ OBC 的度数为（ ）

分析：根据菱形的性质以及 AM = CN ,利用ASA 可得△ AMOCNO ,可得AO = CO , 然后可得BO 丄AC ,继而可求得/ OBC 的度数.

解：???四边形 ABCD 为菱形，??? AB // CD , AB=BC ,

???/ MAO= / NCO ,Z AMO= / CNO,

V MAO =Z NCO

在厶 AMO 和厶 CNO 中，T ，皿二CN , ?△ AMO ◎△ CNO （ ASA ）,

? AO = CO,T AB=BC ,.?. BO 丄 AC,：/ BOC=90° , DAC =28° ,

???/ BCA=/ DAC =28°, ?/ OBC=90° - 28° =62° .故选 C .

点评： 本题考查了菱形的性质和全等三角形的判定和性质， 注意掌握菱形对边平行以 及对角线相互垂直的性质.

7. （ 2014年山东烟台）如图，已知等腰梯形 ABCD 中，AD // BC ,

ABD 与/ ADB 的关系，根据直角三角形的性质，可得 BC 的长，再根据三角形的中位线，可得答案.

解：已知等腰梯形 ABCD 中，AD // BC , AB=CD=AD=3,

???/ ABC=/ C ,/ ABD=/ ADB , / ADB = / BDC . ?/ ABD= / CBD , / C=2/ DBC . ?/ BD 丄 CD ，?/ BDC=90° , ?/ DBC= / C=30° , BC=2DC=2X3=6 .

?/ EF 是梯形中位线，??? MF 是三角形 BCD 的中位线，??? MF=：BC — 6=3, A . 28° B .

52 D . 72

AB=CD=AD=3 ,梯形中

位线EF 与对角线BD 相交于点 A . 1.5

D . 4.5 分析：

根据等腰梯形的性质, 可得/ ABC 与/ C 的关系，/

ABD 与/ ADB 的关系, 根据等腰三角形的性质，可得/ C . 62 B . 3

2 2

故选：B.

点评：本题考查了等腰梯形的性质，利用了等腰梯形的性质，直角三角形的性质，三角

形的中位线的性质.

& （2014年山东烟台）关于x的方程x2- ax+2a=0的两根的平方和是5,则a的值是（）

A . - 1 或5 B. 1 C. 5 D. - 1

分析：设方程的两根为x1, x2，根据根与系数的关系得到x1+x2=a, x1^X2=2a，由于x12+x22=5, 变形得到（X1+x2）2- 2乂1艇=5，则a2- 4a - 5=0，然后解方程，满足△>0的a的值为所求.

解：设方程的两根为X1, X2，贝U x什x2=a, X1?x2=2a,T X12+X22=5,

2 2

?（X1+X2） - 2x1?X2=5 , ? a - 4a- 5=0, ? a〔=5 , a2= - 1,

=a2 —8a>0 a= —1 ?故选：D.

点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0 （a工0的根与系数的关系：若方程的两根

为X1 , X2,则X什X2=-：, X1?X2—.也考查了一元二次方程的根的判别式.

a a

9. （2014年山东烟台）将一组数:,■, 3, 2 ；,叮1二…，3丨，按下面的方式进行

排列：

二，1 3, 2 \ 下

3二，心，2二3乙不；

若2衍的位置记为（1, 4）, 2衣的位置记为（2, 3）,则这组数中最大的有理数的位置记为（）

A. （5, 2） B . （5, 3）C. （6, 2）D. （6, 5）

分析：根据观察，可得.〒，根据排列方式，可得每行5个，根据有序数对的表示方法，可得答案.

解：3不=厂打I 茁，3 —I得被开方数是「得被开方数的30倍，

3帧在第六行的第五个，即（6, 5）,故选：D.

点评：本题考查了实数，利用了有序数对表示数的位置，发现被开方数之间的关系是解

题关键.

10. （2014年山东烟台）如图，将△ ABC 绕点P 顺时针旋转90。得到△ ABC',则点P 的坐 标是（

） 1>| L-

：-

- 1貝 ........................................ 1 1 ■ ■ 4 ■片■ ■ I. ■] 1 fc 二 乂 ■ IL q . 1- - 1 :: L-

：-i 1 i ▼ "i" — r ■ ■ l — n i i \ i Xi J* i I l fe. L -i JF* - - i ；: ■ ■ V / 1 、 L ■: y ： ： :x

B . (1, 2)

C . (

1 , 3) D . (1 , 4) 分析：先根据旋转的性质得到点

A 的对应点为点 A'，点

B 的对应点为点B'，再根据旋 转的性质得到旋转中心在线段 AA 的垂直平分线,

也在线段 BB ，的垂直平分线，即两垂 直平分线的交点为旋转中心.

解：???将△ ABC 以某点为旋转中心，顺时针旋转 90° 得到△ ABC ',

???点A 的对应点为点 A '，点B 的对应点为点 B ，,

作线段AA 和BB 的垂直平分线，它们的交点为

P （1, 2）, ???旋转中心的坐标为（1, 2）.故选B .

点评：本题考查了坐标与图形变化-旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形 的特殊性质来求出旋转后的点的坐标.常见的是旋转特殊角度如: 30° 45° 60° 90° 180 °

2

11. （2014年山东烟台）二次函数 y=ax+bx+c （a^0的部分图象如图，图象过点（-1, 0）, 对称轴为直线x=2，下列结论:

①4a+b=0:②9a+c >3b ;③8a+7b+2c >0;④当x >- 1时，y 的值随x 值的增大而增大. 其中正确的结论有（

A .( 1,1) ! C . 3个

分析：根据抛物线的对称轴为直线x= -A =2，则有4a+b=0;观察函数图象得到当x=

2a

-3 时，函数值小于0，贝U 9a - 3b+cv 0,即9a+cv 3b;由于x= - 1 时，y=0,贝U a - b+c=0, 易得c= - 5a,所以8a+7b+2c=8a-28a- 10a= - 30a，再根据抛物线开口向下得a v 0, 于是有8a+7b+2c> 0;由于对称轴为直线x=2，根据二次函数的性质得到当x> 2时，y 随x的增大而减小.

解：.??抛物线的对称轴为直线x= -—-=2,??? b= - 4a,即4a+b=0,所以①正确；

2a

??当x= - 3 时，yv 0,??? 9a - 3b+cv 0,即9a+cv 3b,所以②错误；

??抛物线与x轴的一个交点为（-1, 0）, ? a- b+c=0,

而b= - 4a,「. a+4a+c=0, 即卩c= - 5a,「. 8a+7b+2c=8a - 28a - 10a= - 30a,

??抛物线开口向下，? av 0, ? 8a+7b+2c>0，所以③正确；

? ?对称轴为直线x=2,

?当-1 v xv 2时，y的值随x值的增大而增大，当x>2时，y随x的增大而减小，所

以④错误?故选B.

点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c （a^0,二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a>0时，抛物线向上开口；当av 0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，当a与b同号时（即ab> 0）,对称轴在y轴左；当a与b异号时（即abv 0）,对称轴在y轴右；常数项c 决定抛物线与y轴交点.抛物线与y轴交于（0, c）；抛物线与x轴交点个数由△决定，

△ = b2- 4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点；△ =b2- 4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△ =b2- 4acv 0时，抛物线与x轴没有交点.

12. （2014年山东烟台）如图，点P是?ABCD边上一动点，沿B的路径移动，

设P点经过的路径长为x, △ BAP的面积是y,则下列能大致反映y与x的函数关系的图象是（）

分析：分三段来考虑点P沿A T D运动，△ BAP的面积逐渐变大；点P沿D T C移动，△ BAP的面积不变；点P沿C T B的路径移动，△ BAP的面积逐渐减小，据此选择即可. 解：点P沿A T D 运动，△ BAP的面积逐渐变大；点P沿D T C移动，△ BAP的面积不变；

点P沿C T B的路径移动，△ BAP的面积逐渐减小.故选：A.

点评：本题主要考查了动点问题的函数图象?注意分段考虑.

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）

13.（2014 年山东烟台）（:-1）0+ （' ）「1= .

2014

分析：分别根据0指数幕及负整数指数幕的计算法则计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可.

解：原式=1+2014=2015 .故答案为：2015.

点评：本题考查的是实数的运算，熟知0指数幕及负整数指数幕的计算法则是解答此题的关键.

1 —X

14.（2014年山东烟台）在函数 ___ 中，自变量x的取值范围是.

x+2

分析：根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0,分母不等于0,就可以求解.

解：根据二次根式有意义，分式有意义得： 1 - x》0且X+2M0,解得：xWl且XM- 2.

点评：本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数.

15.（2014年山东烟台）在一个不透明的袋子中装有若干个除颜色外形状大小完全相同的球，

如果其中有3个白球，且摸出白球的概率是，那么袋子中共有球个.

4 —

分析：设袋中共有球x个，根据概率公式列出等式解答.

解：设袋中共有球x个，T有3个白球，且摸出白球的概率是，

4

3 1

??? = ?，解得x=12 （个）.故答案为：12.

X 4

点评：本题考查了概率公式，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同,

其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）.

n

已知函数y=2x+b与函数y=kx- 3的图象交于点P,则不等式kx-3>2x+b的解集是_______

v=2x-&

4/ >

-

6

/

T\

V

2x+b的解集.

解：把P （4,- 6）代入y=2x+ b 得，-6=2X4+b

解得，b= - 14 把P （4,- 6）代入y=kx- 3 解得，k=-

4

把b= - 14, k= - _代入kx- 3>2x+b 得-—x- 3>2x- 14 解得xv 4.故答案为：xv4.

4 4

点评：本题主要考查一次函数和一元一次不等式，解题的关键是求出k, b的值求解集.

17. （2014年山东烟台）如图，正六边形ABCDEF内接于O O,若O O的半径为4,则阴影

部分的面积等于

分析：先正确作辅助线，构造扇形和等边三角形、直角三角形，分别求出两个弓形的面积和两个三角形面积，即可求出阴影部分的面积.

解：连接OC、OD、OE, OC交BD于M , OE交DF于N,过O作OZ丄CD于Z, ???六边形ABCDEF 是正六边形，

??? BC=CD = DE = EF，/ BOC= / COD= / DOE= / EOF=60° ,

由垂径定理得：OC 丄BD, OE丄DF , BM=DM , FN=DN ,

16. （2014年山东烟台）如图,

分析：把P分别代入函数y=2x+b与函数y=kx- 3求出k, b的值，再求不等式kx - 3>

???在 RtA BMO 中，OB=4，/ BOM =60°

??? BM=OBXsin60°=2占,OM =OB?;os60o =2 BD=2BM=4丘,

???△ BDO 的面积是-l^BD >OM=：用 7>2=4二，同理△ FDO 的面积是4 7;

2 2

???/ COD=60° , OC = OD=4,「.A COD 是等边三角形，?/ OCD= / ODC =60° 在 Rt A CZO 中，OC=4 , OZ=OC >sin60°=2 二,

2

? S 扇形 OCD — S A COD = "-丄 >4 >2 i= ' n _

4寸】i , 360 2

3 ?阴影部分的面积是：4逅+4伍+卫n- 4讥+卫n- 4届兰n 故答案为：丄！ n

3 3 3 3 点评：本题考查了正多边形与圆及扇形的面积的计算的应用，解题的关键是求出两个弓 形和两个三角形面积，题目比较好，难度适中.

18. (2014年山东烟台)如图，/ AOB=45 °点O i 在OA 上，OO i =7,O O i 的半径为2,点 02在射线OB

上运动，且O 。2始终与OA 相切，当O 。2和O O i 相切时，O O 2的半径等 于

分析： 作O 2C 丄OA 于点C ,连接O 1O 2,设02C=r ，根据O O i 的半径为2, OO i =7,

表示出OQ 2=r+2, O i C=7 - r ，利用勾股定理列出有关 r 的方程求解即可.

解：如图，作 O 2C 丄OA 于点C ,连接O 1O 2,

设 02C=r ,???/ AOB=45 ° ? OC=O 2C=r ,

TO O i 的半径为2, OO i =7,

?- O i O 2 = r+2, O i C=7 - r ,

???( 7 - r ) 2+r 2= (r+2) 2

,解得：r=3 或 15,

故答案为：3或15.

点评：本题考查了圆与圆的位置关系，解题的关键是正确的作出图形，难度中等.

三、解答题(本大题共 8个小题，满分66分)

19. （2014年山东烟台）先化简，再求值：聖护（x -^%，其中x 为数据0- 1,

-3, 1 , 2的极差.

分析：原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算,

约分得到最简结果，求出数据的极差确定出

x ,代入计算即可求出值. 当 x =2 -（- 3） =5

时，原式=「［〔 点评：此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

20. （2014年山东烟台）2014年世界杯足球赛 6月12 日- 7月13日在巴西举行，某初中学 校为了了解本校2400名学生对本次世界杯的关注程度，以便做好引导和教育工作，随机抽 取了 200名学生进行调查，按年级人数和关注程度，分别绘制了条形统计图（图 统计图（图2）.

（1）四个年级被调查人数的中位数是多少?

界杯的学生大约有多少名?

是甲和乙的概率.

（2）根据扇形统计图找出关注本届世界杯的百分比，乘以 （3）画树状图得出所有等可能的情况数，找出恰好是甲与乙的情况，即可确定出所求 概率.

解：（1）四个年级被抽出的人数由小到大排列为 同时利用除法法则变形, 解:原式=—■

■ x-3 x+1 x-3 2 (I _ 3) (x+1) ( K _ 1) 2x ~ 2

1）和扇形

（2）如果把 特别关注”、一般关注 ”、偶尔关注 ”都统计成关注，那么全校关注本届世

（3）在这次调查中，初四年级共有甲、 乙、丙、丁四人

特别关注”本届世界杯，现准 备从四人中随机抽取两人进行座谈,

请用列表法或画树状图的方法求出抽取的两人恰好

分析：（1）根据条形统计图中的数据, 找出中位数即可;

2400即可得到结果; 30, 40, 50, 80,

不关注

分析： 延长OA 交BC 于点D .先由倾斜角定义及三角形内角和定理求出Z CAD=180° -Z ODB -Z ACD=90° ,解 RtA ACD ，得出 AD=AC?tan /ACD=」米，CD=2AD=3 米,

2

再证明△ BOD 是等边三角形，得到 BD=OD = OA+AD=4.5米，然后根据 BC=BD - CD 即 可求出浮漂B 与河堤下端C 之间的距离.

解：延长0A 交BC 于点D .??? A0的倾斜角是60°

? Z ODB=60° . T Z ACD=30° , CAD=180° -Z ODB -Z ACD=90° .

在 RtAACD 中，AD=AC?tanZACD=^-? -；=：（米）,

2 3 2

??? CD=2AD=3 米，又???/ 0=60° ???△ BOD 是等边三角形,

? BD = OD = OA+AD=3+==4.5 （米），? BC=BD - CD=4.5 - 3=1.5 （米）. ??冲位数为丄二二=45 (人);

2

(2)根据题意得：2400X (1 - 45%) =1320 (人)，

则该校关注本届世界杯的学生大约有 1320人;

(3 )画树状图，如图所示:

甲 /1\

乙丙丁

丙 /1\ 甲丙丁 甲乙丁 所有等可能的情况有 12种，其中恰好是甲与乙的情况有

丁 /1\ 曰乙丙

2种， 点评： 此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率

=所求情况数与总情况 数之比.

21.(2014年山东烟台)小明坐于堤边垂钓，如图，河堤AC 的坡角为30

° AC 长琴米， 钓竿AO 的倾斜角是60°其长为3米，若AO 与钓鱼线0B 的夹角为60°求浮漂B 与

河堤下端C 之间的距离.

答：浮漂B 与河堤下端C 之间的距离为1.5米.

点评：本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，作出辅助线得到 解题的关键. 22. (2014年山东烟台)如图，点 A ( m , 6), B (n , 1)在反比例函数图象上， AD 丄x 轴于

点D , BC 丄x 轴于点C , DC=5.

(1 )求m , n 的值并写出反比例函数的表达式； (2) 连接AB ，在线段DC 上是否存在一点 丘，使厶ABE 的面积等于5?若存在，求出 点E 的坐标；若不存在，请说明理由.

确定出A 与B 坐标，设出反比例函数解析式，将 A 坐标代入即可确定出解析式; (2)存在，设E (X , 0),表示出DE 与CE ，连接AE , BE ，三角形ABE 面积=四边形 ABCD 面积-三角形 ADE 面积-三角形 BCE 面积，求出即可.

解: (1)由题意得：(如口，解得：严 1,.. A ( 1, 6), B (6, 1),

t nH-5=n

n=6 设反比例函数解析式为 沪，将A (1, 6)代入得：k=6，则反比例解析式为 y-';

x x (2)存在，设 E (x , 0),则 DE=x - 1, CE=6- x ,

?/ AD 丄 x 轴，BC 丄x 轴，???/ ADE = / BCE=90°

连接AE , BE ,

则 S A ABE =S 四边形 ABCD - S A ADE - S A BCE == ( BC+AD ) ?DC -二DE?AD -二CE?BC=— X (1+6)

H W H -W

1

1 35 5 拓-专(x - 1) X5-专(6 - x ) X

七--x=5，解得：x=5，贝V E (5, 0). W W W H 点评： 此题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特

征，熟练掌握待定系数法是解本题的关键.

RtA ACD 是

分析

:

(1)根据题意列出关于 m 与n 的方程组,

23. （2014年山东烟台）山地自行车越来越受到中学生的喜爱，各种品牌相继投放市场，某 车行经营的A 型车去年销售总额为 5万元，今年每辆销售价比去年降低

400元，若卖出的 数量相同，销售总额将比去年减少 20% .

（1） 今年A 型车每辆售价多少元？（用列方程的方法解答）

（2） 该车计划新进一批 A 型车和新款B 型车共60辆，且B 型车的进货数量不超过 A 型车数量的两倍，应如何进货才能使这批车获利最多？

A ,

B 两种型号车的进货和销售价格如下表：

分析： （1）设今年A 型车每辆售价x 兀，则去年售价每辆为（x+400 ）兀，由卖出

的数量相同建立方程求出其解即可；

（2）设今年新进 A 行车a 辆，则B 型车（60- x ）辆，获利y 元，由条件表示出 y 与a 之间的关系式，由 a 的取值范围就可以求出 y 的最大值.

解：（1）设今年A 型车每辆售价x 元，则去年售价每辆为（x+400 ）元，由题意，得

答：今年A 型车每辆售价1600元; （2）设今年新进 A 行车a 辆，则B 型车（60- x ）辆，获利y 元，由题意，得

y= (1600 - 1100) a+ (2000 - 1400) (60 - a ),

y= - 100a+36000.

?/ B 型车的进货数量不超过 A 型车数量的两倍，??? 60 - a<2a ,

--a A 20 - y= — 100a+36000.? ? k= — 100v 0,

? y 随a 的增大而减小.??? a=20时，y 最大=34000元.

? B 型车的数量为：60 - 20=40辆.

?当新进A 型车20辆，B 型车40辆时，这批车获利最大.

点评：本题考查了列分式方程解实际问题的运，分式方程的解法的运用，一次函数的解 析式的运用，解答时由销售问题的数量关系求出一次函数的解析式是关键. 50000 _50000 (1 - 20%)

7+400~ iT ，解得: x=1600 .经检验，x=1600是元方程的根.

24. (2014年山东烟台)如图，AB是O O的直径，延长AB至P,使BP=OB, BD垂直于弦

BC,垂足为点B,点D在PC上.设/ PCB= a, / POC= 3-

分析：连接AC先求出△ PBDPAC,

证明：连接AC,则/ A=i-/ POC=』,

2 2

?/ AB 是O O 的直径，???/ ACB=90° ??? tan a昱,BD // AC,

BC

???/ BPD = Z A,vZ P= / P ,?△ PBD PAC ,?1 ='"

AC PA

?/ PB=0B=OA，?仝=,? tana?tan二

'PA 3, 2 BC AC AC 3

点评：本题主要考查了相似三角形的判定与性质及圆周角的知识，本题解题的关键是求

出厶PBDPAC,再求出tan atan =.

2 3

25. (2014年山东烟台)在正方形ABCD中，动点E, F分别从D, C两点同时出发，以相同的速度在直线DC, CB上移动.

(1)如图①，当点E自D向C,点F自C向B移动时，连接AE和DF交于点P,请你写出AE与

DF的位置关系，并说明理由；

(2)如图②，当E, F分别移动到边DC , CB的延长线上时，

连接AE和DF , ( 1)中的结论还成立吗？(请你直接回答是”或否”，不需证明)

(3)如图③，当E, F分别在边CD , BC的延长线上移动时，连接AE, DF , (1)中的结论还成

立吗？请说明理由；

(4)如图④，当E, F分别在边DC, CB上移动时，连接AE和DF交于点P,由于点

E,F的移动，使得点P也随之运动，请你画出点P运动路径的草图.若AD=2，试求出线段CP 的最小值.

E

分析：(1) AE=DF , AE丄DF .先证得△ ADE◎△ DCF .由全等三角形的性质得AE=DF ,

/ DAE = Z CDF，再由等角的余角相等可得AE丄DF ;

(2)是.四边形ABCD是正方形，所以AD=DC ,Z ADE= / DCF =90° DE = CF，所以

△ ADE ◎△ DCF，于是AE=DF，/ DAE= / CDF，因为/ CDF+ / ADF=90° / DAE + / ADF

=90° ,所以AE丄DF ;

(3)成立.由(1)同理可证AE=DF，/ DAE = Z CDF，延长FD交AE于点G,再由等角的余角相等可得AE丄DF ;

(4)由于点P在运动中保持/ APD=90°所以点P的路径是一段以AD为直径的弧，设AD的中点为O,连接OC交弧于点P,此时CP的长度最小，再由勾股定理可得

OC的长，再求CP即可.

解：(1) AE=DF , AE丄DF .理由：：?四边形ABCD是正方形，

??? AD = DC ,Z ADC = Z C=90° . ?/ DE=CF ,???△ ADE◎△ DCF .

??? AE=DF，/ DAE=Z CDF，由于/ CDF+ / ADF=90°

???/ DAE + Z ADF =90° . ? AE 丄DF ;

(2)是；

(3)成立.

理由：由(1)同理可证AE=DF，/ DAE = Z CDF

延长FD交AE于点G,

则Z CDF + Z ADG=90° ,

?Z ADG+ Z DAE=90° .

?AE丄DF;

(4)如图：

由于点P在运动中保持Z APD=90°

???点P的路径是一段以AD为直径的弧,

设AD 的中点为0,连接0C 交弧于点P ,此时CP 的长度最小,

在 Rg 0DC 中, 0C 「L 「「L _］二厂

??? CP=0C - 0P=亍-

点评：

本题主要考查了四边形的综合知识?综合性较强，特别是第( 4)题要认真分

析. 26. (2014年山东烟台)如图，在平面直角坐标系中，

RtA ABC 的顶点A , C 分别在y 轴，x 轴上，/ ACB=90° 0A=^，抛物线y=ax 2-ax - a 经过点B (2, ^),与y 轴交于点D .

(1)求抛物线的表达式;

(2)点B 关于直线AC 的对称点是否在抛物线上？请说明理由;

(3)延长BA 交抛物线于点 E ,连接ED ，试说明ED // AC 的理由.

分析：(1)把点B 的坐标代入抛物线的表达式即可求得.

(2) 通过△ A0CCFB 求得0C 的值，通过△ 0CDFCB 得出DC = CB ,

/ 0CD=Z FCB ，然后得出结论.

(3) 设直线AB 的表达式为y=kx+b ,求得与抛物线的交点 E 的坐标，然后通过解三角 函数求得结果.

解：(1)把点B 的坐标代入抛物线的表达式，得 一= a&2

-2a - a ，解得a=', 则/ BCF+Z CBF=90° ???/ ACB=90°

AC0 + Z BCF=90° AC0 = Z CBF , ? / A0C = / CFB =90，?△ A0C s' CFB ，…‘ =%

设 0C= m ,贝U CF=2 - m ,则有

，解得 m=m=1, ? 0C=0F=1,

(2)连接CD ，过点B 作BF 丄x 轴于点F ,

当 x=0 时 y= _ OD=^J , ? BF=OD ,

3

3 ???/ DOC= / BFC=90°

OCDFCB , ? DC=CB ，/ OCD= / FCB ,

%=V3

过点E 作EG 丄y 轴于点G ,设直线 AB 的表达式为y=kx+b , 则*血

k = ■;

?宀x+、代入抛物线的表达式—:x ^= ;x2-

:x - ■

解得x=2或x= - 2,

当 x= - 2 时 y=-二x+ 7= - —X (- 2) + 二=：', 3 3 3

???点E 的坐标为(-2,三伞)，?/ tan /EDG=^=

「才 后=亨， 3丐

???/ EDG=30° ?/ ta n / OAC= ' =一=一，?/ OAC=3O °

OA V3 3

???/ OAC= / EDG ,? ED // AC .

点评：本题考查了待定系数法求解析式，三角形相似的判定及性质，以及对称轴的性质 和解三角函数等知识的理解和掌握.

???点 B 、C 、D 在同一直线上, ???点

B 与点D 关于直线A

C 对称, ???点 B 关于直线AC 的对称点在抛物线上.

(3) 解得

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