2019北京昌平区初三（上）期末数学

2019北京昌平区初三（上）期末

数 学

2019．1

一、选择题（共8道小题，每小题2分，共16分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合．．题意的．

1．右图是某个几何体的三视图，该几何体是

（A）圆柱 （B）圆锥 （C）长方体 （D）三棱柱

主视图左视图考 生 须 知 1. 本试卷共7页，五道大题，28个小题，满分100分。考试时间120分钟。 2. 请在试卷上准确填写学校名称、姓名和考试编号。 3. 试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。 4. 在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。 5. 考试结束后，请交回答题卡、试卷。 2．已知∠A为锐角，且sinA ＝

3，那么∠A等于 2俯视图 （A）15° （B）30° （C）45° （D）60°

3．“瓦当”是中国古建筑中覆盖檐头筒瓦前端的遮挡，主要有防水、排水、保护木制飞檐和美化屋面轮廓的作用.瓦当上的图案设计优美，字体行云流水，极富变化，是中国特有的文化艺术遗产.下面“瓦当”图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是

D（A） （B） （C） （D）

ACB4．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，如果∠ACD = 34°，那么∠BAD等于

O（A）34° （B）46° （C）56° （D）66°

5．如图，点A、B、C、D、O都在方格纸上，若△COD是由△AOB绕点O按逆时针方向旋转而得，则

旋转的角度为

A（A）30° （B）45° （C）90° （D）135° D26．若函数y?x?2x?m的图象与x轴没有交点，则m的取值范围是

COB（A）m＞1 （B）m＜1 （C）m≤1 （D） m=1

27．二次函数y?x?2x，若点A (?1,y1)，B (2,y2)是它图象上的两点，则y1与y2的大小关系

是

（A）y1?y2 （B）y1?y2 （C）y1?y2

（D） 不能确定

8．科学家为了推测最适合某种珍奇植物生长的温度，将这种植物分别放在不同温度的环境中，经过一定时间后，测试出这种植物高度的增长情况，部分数据如下表：

温度t/℃ … -5 -3 2 … 植物高度增长量h/mm … 34 46 41 … 科学家推测出h（mm）与t之间的关系可以近似地用二次函数来刻画．已知温度越适合，植物高度增长量越大，由此可以推测最适合这种植物生长的温度为 （A）-2℃ （B）-1℃ （C）0℃ （D）1℃ 二、填空题（共8道小题，每小题2分，共16分）

9．已知反比例函数y?

k

的图象经过（-1，2），则 k 的值为 . x

yx=110．请写出一个过点（0，1）的函数的表达式_____________.

11．如图，抛物线y?ax?bx?c的对称轴为x?1，点P，点Q是抛物线与x轴的

两个交点，若点P的坐标为（-1，0），则点Q的坐标为 .

12. 在平面直角坐标系xOy中，若点B (-1,2)与点A 关于原点O中心对称，则点A 的坐标

为 .

13．如图，正方形ABCD内接于⊙O，E是劣弧CD上一动点，则∠AEB= °. 14．圆心角为60°的扇形的半径为3 cm，则这个扇形的弧长是

2POx cm．

15．如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，C是优弧AB上的一个动点，若∠P = 40°，

则∠ACB = °.

ADEOCOPAA

BCPBBCQ

（第13题图） （第15题图） （第16题图）

16. 如图，点P是等边三角形ABC内一点，将CP绕点C逆时针旋转60°得到CQ，连接AP，BP，BQ，

PQ，若∠PBQ = 40°，下列结论：①△ACP ≌ △BCQ；②∠APB = 100°；③∠BPQ = 50°，其

中一定成立的是 （填序号）. ．．三、解答题（共6道小题，每小题5分，共30分） 17．计算：2 cos30°－tan60° + sin30° +

1tan45°. 2

18. 如图，在Rt?ABC中，?C?90，tanA?，AC = 2，求AB的长.

2

219．已知：二次函数的表达式y?x?2x?3.

1BAC2（1）用配方法将其化为y?a(x?h)?k的形式；

（2）画出这个二次函数的图象，并写出该函数的一条性质.

20．尺规作图：如图，AD为 ⊙O的直径．

（1）求作：⊙O的内接正六边形ABCDEF．（要求：不写作法，保留作图痕迹）； （2）已知连接DF，⊙O的半径为4，求DF的长.

小明的做法如下，请你帮助他完成解答过程. 在⊙O中，连接OF.

∵ 正六边形ABCDEF内接于⊙O ∴AB?BC?CD?DE?EF?AF ∴∠AOF=60°

AOD∴∠ADF=

1∠AOF=30°____________________________ (填推理的依据） 2∵AD为⊙O直径 ∴∠AFD=90°

∵cos30°=

3DF=AD2

∴DF=____________.

21．港珠澳大桥，从2009年开工建造，于2018年10月24日正式通车. 其全长55公里，连接港珠

澳三地，集桥、岛、隧于一体，是世界上最长的跨海大桥.

下图是港珠澳大桥的海豚塔部分效果图，为了测得海豚塔斜拉索顶端A距离海平面的高度，先测出斜拉索底端C到桥塔的距离（CD的长）约为100米， 又在C点测得A点的仰角为30°，测得B点的俯角为20°，求斜拉索顶端A点到海平面B点的距离（AB的长）. （已知 3?1.73，tan20°≈0.36，结果精确到0.1 ）

A

BDC

22．如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD 于点E，BF∥OC,连接BC和CCF ，CF交AB于点G.

（1）求证：∠OCF=∠BCD ；

ABOGE（2）若CD=4，tan∠OCF=

1，求⊙O半径的长. 2DF

四、解答题（共4道小题，每小题6分，共24分）

23．在平面直角坐标系xOy中，一次函数y?2x?b的图象与x轴的交点为A（2，0），与y轴的交

点为B，直线AB与反比例函数y?

k

的图象交于点C（-1，m）. x

（1）求一次函数和反比例函数的表达式；

（2）点P是这个反比例函数图象上的点，过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，连接OP，BP，当 S△

ABM ＝ 2 S△OMP 时，请直接写出点P的坐标.

24． 如图，△ABC内接于⊙O，过点C作BC的垂线交⊙O于D，点E在BC的延长线上，且∠DEC = ∠BAC． （1）求证：DE是 ⊙O的切线；

DA（2）若AC∥DE，当AB = 8，CE = 2时，求⊙O直径的长． O

BCE

25．有这样一个问题：

如图，Rt△ABC的内切圆与斜边AB相切于点D，AD = m，BD = n， 求△ABC的面积（用含m，n的式子表示）． 小冬根据学习几何的经验，先从特殊情况开始探究： 解：如图，令AD = 3，BD = 4，

设△ABC的内切圆分别与AC、BC相切于点E、F，CE的长为 x．

A根据切线长定理，得AE = AD = 3，BF = BD = 4，CF = CE = x． 222根据勾股定理得，(x?3)?(x?4)?(3?4).

DE

CFB

整理，得x?7x?12 所以S2??ABC12AC?BC?12(x?3)(x?4)

12第（1）问图

?12(x?7x?12)?2?(12?12)?12

请你参考小冬的做法.

解决以下问题：（1）当AD = 5，BD = 7时，求△ABC的面积；

（2）当AD = m，BD = n时，直接写出求△ABC的面积（用含m，n的式子表示）

为___ __．

26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线 y＝mx－4mx＋4m－2 的顶点为M. （1）顶点M的坐标为_______ __.

（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点. 若MN∥y轴且MN = 2.

①点N的坐标为_____________；

②过点N作y轴的垂线l，若直线l与抛物线交于P、Q两点，该抛物线在P、Q之间的部分与线段PQ所围成的区域（包括边界）恰有七个整点，结合函数图象，求m的取值范围.

五、解答题（共2道小题，每小题7分，共14分）

27．如图，在△ABC中，AC = BC，∠ACB = 90°，D为AC上一点（与点A，C不重合），连接BD，

过点A 作AE⊥BD的延长线于E.

（1）①在图中作出△ABC的外接圆⊙O，并用文字描述圆心O的位置；

②连接OE，求证：点E在⊙O上；

（2）①延长线段BD至点F，使EF = AE，连接CF,根据题意补全图形；

②用等式表示线段CF与AB的数量关系，并证明.

EDA2

CB28．在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：若点P在图形M上，点Q在图形N上，如果PQ两

点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N的“近距离”，记为d（M，N）．特别地，当图形M与图形N有公共点时，d（M，N）= 0. 已知A（- 4，0），B（0，4），C（- 2，0），

（1）d（点A，点B）=________，d（点A，线段BC）=________；

（2）⊙O半径为r，

① 当r = 1时，求 ⊙O与线段AB的“近距离”d（⊙O，线段AB）； ② 若d（⊙O，△ABC）=1，则r =___________.

（3）D 为x轴上一点，⊙D的半径为1，点B关于x轴的对称点为点B'，⊙D与∠BAB' 的“近距离”d（⊙D，∠BA B'）＜1，请直接写出圆心D的横坐标 m的取值范围.

数学试题答案

一、选择题（共8道小题，每小题2分，共16分）

题号 答案 1 A 2 D 3 B 4 C 5 D 6 A 7 C 8 B 二、填空题（共8道小题，每小题2分，共16分） 题号 9 10 答案不唯一 11 12 13 14 15 16 ①②（答对一个1分，答对两个2分，） 答案 -2 (3,0) (1,-2) 45° π 70° 三、解答题（共6道小题，每小题5分，共30分） 17．解：2cos30??tan60??sin30??1tan45? 2?2?311?3??………………………………………………………………………………4222分

?1．……………………………………………………………………………………………………

………5分

18．解：（1）在Rt△ABC中

∵tanA=?BC1?,AC=2, ……………………………………………………………………2AC2分

∴

BC=1 ………………………………………………………………………

…………………………3分

∴AB=

?22?12?5……………………………………………………………

…………………5分

19．解：（1）y=x-2x+1-1-3…………………………………………………………………………………1分

=(x-1)-4 ………………………………………………………………………………2分

2

2

2

2

（2）画出图象……………………4分,写出一条性质 ……………………………………5分 20.解：（1）正确画

图………………………………………………………………………………………………3分

（2）一条弧所对的圆周角是圆心角的一半 ……………………………………4分 DF=

43 ………………………………………………………………………………………5分

21.解：在Rt?ADC中，

∵ tan30??ADCD,CD=100,

∴AD=tan30?CD= 33?100?57.7………………………………………………………2分

在Rt?BDC中，

∵ tan20??BDCD,CD=100………………………………………………………………………4分

∴BD=tan20?CD?0.36?100?36 ∴AB=57.7+36=93.7

米…………………………………………………………………………………5分 22.（1）证明：∵AB是直径，AB⊥CD，

∴

BC?BD …………………………………………………………………………………………………1

分

∴∠BCD=∠

BFC …………………………………………………………………………………………2分

∵BF∥OC ∴∠OCF=∠

BFC ……………………………………………………………………………………………3分

∴∠OCF=∠BCD

（2）解：∵CD=4,CE=

1CD 2∴

CE=2 …………………………………………………………………………………………………………4

分

∵∠OCF=∠BCD

∴tan∠OCF=tan∠BCD=

BE1? CE2∵CE=2 ∴BE=1

设OC=OB=x，则OE=x-1 在Rt△OCE中 ∵x?(x?1)?2

222∴x=

5答略……………………………………………………………………………………5分 2

23.解：（1）将A(2,0)代入直线y?2x?b中，得

2?2?b?0

∴

b??4 ………………………………………………………………………………………1分

∴直线： y?2x?4……………………………………………………………………………2

分

将C(?1,m)代入直线y?2x?4中，得

2?(?1)?4?m

∴

m??6 ………………………………………………………………………………………3分

∴C（-1，-6）

将C(?1,?6)代入y?kx

∴k=6

∴反比例函数的解析式为

y?6……………………………………………………………………4分 x（2）点P的坐标为(?1,?6)或(5,)………………………………………………………………6

65分

24.证明：（1）连接BD

∵DC⊥BE

∴∠BCD=∠DCE=90°

∴BD是⊙O直径………………………………………………………………………………1

分

∴∠DEC+∠CDE=90° ∵∠DEC=∠BAC

∴∠BAC+∠CDE=90°…………………………………………………………………………2

分

∵BC?BC

∴∠BAC=∠BDC………………………………………………………………………………3

分

∴∠BDC+∠CDE=90°

∴DE是⊙O切线………………………………………………………………………………4

分

解：（2）∵AC∥DE，BD⊥DE，

∴BD⊥AC. ∵BD是⊙O直径，

∴AF=CF

∴AB=BC=8………………………………………………………………………………………

5分

∵BD⊥DE，DC⊥BE， ∴BD=BC·BE=80. ∴BD=

2

45.……………………………………………………………………………………… 6分

25.解：（1）如图，令AD=5，BD=7，

设△ABC的内切圆分别与AC、BC相切于点E、F，CE的长为x．

根据切线长定理，得AE=AD=5，BF=BD=7，CF=CE=x．…………………… 1分

222(x?5)?(x?7)?(5?7)………………………………………3分 据勾股定理得，

整理，得x?12x?35

?ABC?2所以S11AC?BC?(x?5)(x?7) 2211?(x2?12x?35)??(35?35)?35………………………… 4分 22（2）S△ABC=

mn ………………………………………………………………………………………………6分

26.解：（1）M（2，-2）……………………………………………………………………………………………2分

（2）①N（2,0）或N（2，-4）……………………………………………………………………4分

②

11＜m≤1或?1≤m＜?……………………………………………………………6分 2227.解：（1）①圆心O的位置在线段AB的中点,正确画出图…………………………………2分

②∵AE⊥BD

∴△AEB为直角三角形 ∵点O为线段AB的中点 ∴OE=OA=OB=r ∴点E在⊙O上…………………………………………………………………………………3分

（2）①补全图

形…………………………………………………………………………………………4分

AB?2CF

证明如下：

∵AC=BC，∠ACB=90° ∴∠BAC=∠CBA = 45° ∵BC?BC

∴∠BEC=∠BAC= 45°…………………………………………………………………………5

分

∵AE⊥BD ∴∠BEA =90°

∴∠CEA =90°+ 45°= 135° ∵∠CEF=180°－∠CEB = 135° ∴∠CEA =∠CEF ∵AE=EF,∠CEA =∠CEF,CE=CE,

∴△CEA≌△CEF………………………………………………………………………………6

分

∴CF=CA ∵在等腰Rt?ACB中，AB?2AC

∴

AB?2CF……………………………………………………………………………………7分

28.解：（1）42 2……………………………………………………………………………………………2分

（2）①过程略，答案为22?1 ………………………………………………………………3分 ②5分

（3）?6＜m＜22?4………………………………………………………………………………7分

45?1或5 ………………………………………………………………………………5

1、一知见多识广有本领的人，一定谦虚。——谢觉哉 2、人若勇敢就是自己最好的朋友。 半解的人，多不谦虚； 3、尺有所短；寸有所长。物有所不足；智有所不明。——屈原 4、功有所不全，力有所不任，才有所不足。——宋濂 5、“不可能”只存在于蠢人的字典里。 6、游手好闲会使人心智生锈。

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