中考复习资料：初中数学填空题精选

初中数学填空题精选（二）

777．在直角坐标系中，已知点A（－1，0），点B（9，0），以AB为直径作⊙M，交y轴负半轴于点C，一条抛物线经过A、B、C三点．连接AC、BC，作∠ACB的外角平分线CD交⊙M于点D，连接BD．点P是抛物线上一点，满足∠PDB＝∠CBD，则点P的坐标为_______________________． y M A O B x

C D

778．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，延长CA至D，以AD为直径作⊙O，连接BD与⊙O交于点E，连接CE，CE的延长线交⊙O于另一点F，那么

BD

的值等于____________． CF

C

A

B

O E D F

779．如图，一束光线从点O射出，照在经过A（1，0）、B（0，1）的镜面上的点C，经AB反射后，又照到竖立在y轴位置的镜面上的D点，最后经y轴再反射的光线恰好经过点A，则点C的坐标为____________．

y y

B O P A x C

D D C x O A

B 3

780．已知直线y＝x－6分别交x轴、y轴于A、B两点，线段OA上有一动点P由原点O向点A运动，

4速度为每秒1个单位长度，过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，设运动时间为t秒．以C为顶点的抛物线y＝(x＋m)＋n与直线AB的另一交点为D．设△OCD的OC边上的高为h，则当t＝___________秒时，h的值最大．

2

781．已知在平面直角坐标系中，点A（8，4），点B（0，4），线段CD的长为3，点C与原点O重合，点D在x轴正半轴上．线段CD沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度向右平移，过点D作x轴的垂线交线段AB于点E，交OA于点G，连接CE交OA于点F，设运动时间为t（秒）．当E点与A点重合时停止运动．

（1）当t＝___________秒时，△CDF为直角三角形；

（2）当t＝___________________秒时，△CDF为等腰三角形； （3）当t＝___________秒时，△CDF的外接圆与OA相切． y y

E E A A B B

G F

G

x x O (C) D O C D

782．如图，四边形OABC是梯形，O是坐标原点，A（0，2），B（4，2），点C是x轴正半轴上一动点，M是线段BC中点．

（1）如果以AO为直径的⊙D和以BC为直径的⊙M外切，则点C的坐标为______________；

（2）连接OB交线段AM于N，如果以A、N、B为顶点的三角形与△OMC相似，则直线CN的解析式为____________________________________．

y A B

M D

x O C

783．如图，正方形ABCD的边长为10，内部有6个大小相同的小正方形，小正方形的顶点E、F、G、H分别落在边AD、AB、BC、CD上，则小正方形的边长为_____________．

D H C

2

2

E

G

A F B

784．已知关于x的方程x－(4m＋1)x＋3m＋m＝0的一个根大于2，另一个根小于7． （1）m的取值范围是________________；

（2）抛物线y＝x－(4m＋1)x＋3m＋m与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，当m取（1）中符合题意的最小整数时，将此抛物线向上平移n个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在△ABC的内部（不包括△ABC的边界），则n的取值范围是________________．

2

2

初中数学填空题答案及参考解答（二）

9＋41－29＋41777．（，）或（14，25）

26

解：∵AB是⊙M的直径，∴∠OCA＋∠OCB＝90° ∵∠OCB＋∠OBC＝90°，∴∠OCA＝∠OBC 又∵∠AOC＝∠COB＝90°，∴△AOC∽△COB OAOC2

y ∴＝，∴OC ＝OA·OB＝1×9＝9

OCOB∴OC＝3

∵点C在y轴负半轴上，∴C（0，－3）

设抛物线的解析式为y＝a(x＋1)(x－9)，把C（0，－3）代入，得：

1

－3＝a(0＋1)(0－9)，解得a＝ A O 3

1128

C ∴抛物线的解析式为y＝(x＋1)(x－9)，即y＝x－x－3

333

由于∠PDB＝∠CBD

①当点P在点B下方时，则PD∥BC ∵AB是⊙M的直径，且A（－1，0），B（9，0） ∴∠ACB＝90°，OM＝4，∴M（4，0）

∵CD是∠ACB的外角平分线，∴∠BCD＝45°

1

连接MD，则∠BMD＝2∠BCD＝90°，MD＝AB＝5

2

∴D（4，－5）

1

由B（9，0），C（0，－3），得直线BC的解析式为y＝x－3

3

119

设直线PD的解析式为y＝x＋b，把D（4，－5）代入，求得b＝－

33119

∴直线PD的解析式为y＝x－

33

9＋419－41119

y＝3x－3x1＝x2＝

22

解方程组 得 （舍去）

128－29＋41－29－41y＝3x－3x－3y1＝y2＝669＋41－29＋41∴P1（，）

26

②当点P在点B上方时，设直线PD交⊙M于点E，连接CE 则∠ECB＝∠PDB

又∵∠PDB＝∠CBD，∴∠ECB＝∠CBD，∴EC∥BD

设直线EC的解析式为y＝x＋b′，把C（0，－3）代入，求得b′＝－3 ∴直线EC的解析式为y＝x－3 设E（m，m－3），作EF⊥AB于F，连接ME 则MF＝m－4，EF＝m－3，ME＝5

222

在Rt△MEF中，MF ＋EF ＝ME

222

∴(m－4)＋(m－3)＝5，解得m1＝0（舍去），m2＝7 ∴E（7，4），从而得直线ED的解析式为y＝3x－17

y3x－17??x1＝3?x2＝14?＝??

?解方程组 ?128 得 （舍去） ? ??y＝－8y＝25y＝x－x－3??12??33

∴P2（14，25）

E M F B D P1 x ???

???????

???

778．2

解：连接AE、AF、DF

∵AD为直径，∴∠AFD＝90°，∠AED＝∠AEB＝∠ACB＝90° ∴A、C、B、E四点共圆，∴∠BEC＝∠BAC＝45°，∠ACF＝∠ABD 又∵∠AFC＝∠ADB，∴△AFC∽△ADB ∴BDCF＝ADAF

∵∠DAF＝∠DEF＝∠BEC＝45°，∴AD＝2AF ∴BD2AFCF＝AF＝2

779．（123，3

）

解：作CE⊥x轴于E，CF⊥y轴于F 易求直线AB的解析式为y＝－x＋1 设点C的坐标为（a，1－a）

由光的反射定律可知，∠BCD＝∠ACO 又∵∠B＝∠OAC＝45°，∴△BCD∽△ACO ∴

CFBDaCE＝AO，即

1－a＝BD1，∴BD＝a

1－a

2

∴DF＝BD－BF＝BD－CF＝a

a

1－a

－a＝1－a

OD＝OB－BD＝1－a

1－2a1－a＝1－a

由光的反射定律可知，∠CDF＝∠ADO ∴Rt△CDF∽Rt△ADO，∴CFDF

AO＝DO

a

2

即a

1＝1－a2

1－2a＝a1－2a

，∵a≠0 1－a∴3a＝1，a＝1

3

∴点C的坐标为（13，2

3）

780．7225

解：由题意得：A（8，0），B（0，－6），C（t，3

4

t－6）

以C为顶点的抛物线解析式是y＝(x－t)2＋3

4

t－6

由(x－t)2＋3

334t－6＝4x－6，解得：x1＝t，x2＝t＋4 过点D作DE⊥PC于点E，则△DEC∽△AOB ∴DEAO＝DCAB

C A B O D F E y B F C D O E A x y O P A x E C D B 在Rt△AOB中，由勾股定理得AB＝10 33

∵AO＝8，AB＝10，DE＝(t＋)－t＝

443

×10

DE·AB415

∴CD＝＝＝

AO816

6×824115249

又CD边上的高＝＝，∴S△OCD＝××＝

10521654

9

由于S△OCD为定值，要使OC边上的高h的值最大，只要OC最短

4

当OC⊥AB时OC最短，此时OC的长为

24 5

∵∠COP＝∠ABO＝90°－∠BOC，∴Rt△PCO∽Rt△OAB 24

×6

OPOCOC·BO572∴＝，∴OP＝＝＝ BOBABA102572

∴当t＝秒时，h的值最大

25

951815

781．（1） （2）3或或 （3） 52511

y B F O C H E G D x A 解：（1）在Rt△CDE中，CD＝3，DE＝4 ∴CE＝3＋4＝5

作FH⊥CD于H

∵AB∥OD，∴△OCF∽△AEF CFOCt∴＝＝ EFAE8－3－t

又∵CF＋EF＝5，∴CF＝t ∵∠FCD＜90°，∠FDC＜90°

∴若△CDF为直角三角形，只能∠CFD＝90° 于是△CDF∽△CED，∴t39即＝，∴t＝ 355

22y B F O C E G D x A CFCD

＝ CDCE

（2）①由（2）知CF＝t （i）当CF＝CD时，则t＝3 1

（ii）当CF＝DF时，则CH＝CD

2155

∵FH∥ED，∴CF＝CE＝，∴t＝

222（iii）当DF＝CD时

11

作DK⊥CF于K，则CK＝CF＝t

22

1318

∵CK＝CD·cos∠ECD，∴t＝3×，∴t＝

255

y B F K O C G D x E A

518

综上，当t＝3或或时，?CDF为等腰三角形.

25

（3）作FH⊥CD于H，则△FCH∽△ECD CHFHCFCHFHt

∴＝＝，即＝＝ CDEDCE345

y B E G D x A 3438∴CH＝t，FH＝t，OH＝t＋t＝t

5555

若△CDF的外接圆与OA相切，则F点为切点 由切割线定理，得：OF ＝OC·OD

824215

∴(t)＋(t)＝t(t＋3)，解得t＝ 5511

4312

782．（1）（，0） y＝3x－6或y＝－x＋

3105

2

F O C H 解：（1）设点C的坐标为（x，0），⊙M的半径为r，⊙M与AB交于点E，连接CE、DM

则∠BEC＝90°，OC＝AE＝x，BE＝4－x，CE＝2 在Rt△BCE中，(4－x)＋2＝(2r) ① x＋4又DM＝1＋r＝ ②

24

由①、②解得x＝

34

∴点C的坐标为（，0）

3

（2）延长AM交x轴于点F

则△CMF≌△BMA，∴CF＝AB＝4，OF＝x＋4 ANAB4

∵AB∥OF，△ANB∽△FNO，∴＝＝ NFOFx＋4444222∴AN＝AF＝2＋(x＋4)＝x＋8x＋20

x＋8x＋8x＋8∵DM⊥OA，AD＝OD，∴AM＝OM

∴∠DAM＝∠DOM，∴∠BAN＝∠MOC ABOM①若＝，则△ABN∽△OMC

ANOC

44

x＋8x＋20

222

2

2

y A D O C E N M x B y A N D O C M F x B 于是＝x＋422(2)＋1

x

x＋8

整理得：x＋8x－20＝0，解得：x1＝－10（舍去），x2＝2 ∴C（2，0），F（6，0） 11可得直线AF的解析式为y＝－x＋2，直线OB的解析式为y＝x

32112

y＝－3x＋2x＝

5126

由 解得 ∴N（，）

5516

y＝2xy＝5

??????

设直线CN的解析式为y＝kx＋b，则：

126???5k＋b＝5?k＝3? 解得?

?b＝－6???2k＋b＝0

∴直线CN的解析式为y＝3x－6

ABOC②若＝，则△ABN∽△OCM

ANOMy A x

B 于是

44

＝x2＋8x＋20

(＋2)＋1

D N M x＋8

x422 整理得：x＋8＝2x，解得：x＝8 O C ∴C（8，0），F（12，0）

可得直线AF的解析式为y＝－116x＋2，直线OB的解析式为y＝2x

?

y＝－1

由?6x＋2? 解得?x＝3?3 ∴N（3，3

?

y＝12x

??y＝22）

设直线CN的解析式为y＝k′x＋b′，则： ??3?k′＝－3

?3k′＋b′＝2

? 解得10

?8k′＋b′＝0??

b′＝125

∴直线CN的解析式为y＝－310x＋12

5

783．2345

解：作EI⊥BC于I，易知△DEH∽△IEG D H C ∴

DEIE＝EHEG，即DE

10＝1

5

，∴DE＝2 E

I

同理BG＝2

∴IG＝10－2－2＝6

G

∴EG＝IE2222 ＋IG ＝10＋6＝234 A F B

∴小正方形的边长为234

5

784．（1）13＜m＜7 （2）915

4＜n＜4

y 解：（1）解方程x2

－(4m＋1)x＋3m2

＋m＝0，得x1＝3m＋1，x2＝m

由题意得??3m＋1＞2??3m＋1＜7

?C ??m＜7 或 ???

m＞2

解得：1

D 3

＜m＜7

（2）由题意m＝1，抛物线的解析式为y＝x2

－5x＋4 O A B x ∴A（1，0），B（4，0），C（0，4）

F x 易得直线BC的解析式为y＝－x＋4

将抛物线y＝x－5x＋4向上平移n个单位后，抛物线的解析式为y＝x－5x＋4＋n 52959

即y＝(x－)－＋n，抛物线顶点的坐标为（，n－）

2424设抛物线的对称轴与y轴交于点D

5353

把x＝代入y＝－x＋4，得y＝，∴D（，）

2222

22

∵平移后得到的抛物线顶点落在△ABC的内部（不包括△ABC的边界） 93915∴0＜n－＜，即 ＜n＜ 4244

10555

785．（1） （2） 或

3164

解：（1）设BD＝x，AE＝y

∵∠BDE＝∠A，∠B＝∠B，∴△BDE∽△BAC BDBAx56∴＝，即＝，∴y＝5－x BEBC55－y6

∵点E在AB边上且不与点B重合

625

∴0≤y＜5，即0≤5－x＜5，0＜x≤

56

作AM⊥BC于M，设⊙D与AB边相切于点H，连接DH 则DH⊥AB，DH＝DC＝6－x

∵AB＝AC＝5，BC＝6，∴BM＝3，AM＝4

6－x4DHAM10

∵sinB＝＝，∴＝，∴x＝

BDABx53

10

∴当⊙D与AB边相切时，BD的长为 3

（2）∵△BDE∽△BAC，AB＝AC，∴DE＝BD＝x

6

设⊙D、⊙E的半径分别为rD、rE，则rD＝6－x，rE＝5－x

5

若⊙D与⊙E外切，则DE＝rD＋rE

655

即x＝6－x＋5－x，解得x＝

516

若⊙D与⊙E内切，则DE＝rD－rE或DE＝rE－rD

65

即x＝6－x－5＋x，解得x＝

5465

或x＝5－x－6＋x，解得x＝－（舍去）

56

5525525∵＜，＜ 16646

555

∴当⊙D与⊙E相切时，BD的长为 或

164

A E H B C M D A E B D C A E B D C 5256

786．（1） （2）

6125

解：（1）设AP＝x，DE＝y

∵在Rt△ACD中，AC＝4，CD＝3，∴AD＝5 APAE

∵PE∥BC，∴＝

ACAD

x5－y5即 ＝，∴y＝5－x 454

如果以PE为半径的⊙E与以DB为半径的⊙D外切，则有 533DE＝PE＋DB，即5－x＝x＋2，解得x＝

44235

∴PC＝4－＝

22

∵PE∥BC，∴∠DPE＝∠PDC 在Rt△PCD中，tan∠PDC＝5

∴tan∠DPE＝

6

（2）延长AD交BB′ 于F，则AF⊥BB′ ∴∠ACD＝∠BFD＝90°

又∠ADC＝∠BDF，∴∠CAD＝∠FBD

ACAD

∴△ACD∽△BFD，∴∠CAE＝∠CBB′，＝

BFBD即

45816＝，∴BF＝，∴BB′＝ BF255

PC5

＝ CD6

A P E C D B

A P E

∵∠ACE＝∠BCB′，∠CAE＝∠CBB/，∴△ACE∽△BCB′ AEACAE464∴＝，即 ＝，∴AE＝ 16525BB′BC

5APAE

∵△APE∽△ACD，∴＝ ACAD64AP25256即 ＝，∴AP＝ 45125

787．MB＝MD ∠BMD＝180°－2α

解：取AC中点G，CH中点N，连接BG、MG、MN、DN 11

则MG∥HC，MN∥AC，BG＝AC＝MN，MG＝HC＝DN

22由题意，ACB＝∠DCH

∴∠AGB＝2∠ACB＝2∠DCH＝∠DNH

∵MG∥HC，MN∥AC，∴∠1＝∠ACH，∠2＝∠ACH ∴∠1＝∠2，∴∠MGB＝∠DNM

∴△MBG≌△DMN，∴MB＝MD，∠MBG＝∠DMN ∴∠BMD＝∠BMH＋∠HMN＋∠DNM

＝(∠BAM＋∠ABM )＋∠MAG＋∠MBG ＝(∠ABM＋∠MBG )＋(∠BAM＋∠MAG ) ＝∠ABG＋∠BAG ＝180°－∠AGB ＝180°－2∠ACB ＝180°－2α

A M B H E 1 D

C

F

B′

B G D C 2 N F 1788．

3

解：连接OD、OE、BD，作OH⊥AD于H ∵AB是⊙O的直径，∴∠CDB＝∠ADB＝90° 1∵OA＝OB，EC＝EB，∴OE∥AC，且OE＝AC

2∴∠CDF＝∠OEF，∠DCF＝∠EOF 又∵CF＝OF，∴△CDF≌△OEF 1

∴CD＝OE＝AC，∴CD＝AD

2∴BA＝BC，∴∠A＝45°

∵OH⊥AD，∴OH＝AH＝DH ∴CH＝3OH，∴tan∠ACO＝

2210a≤AG≤2b＋a 135° （2） 225

解：（1）当正方形EFGH绕点E旋转到图1所示位置时，AG最小

2

易求此时AG＝2b－a

2

当正方形EFGH绕点E旋转到图2所示位置时，θ＝135°，AG最大

2

易求此时AG＝2b＋a

2

22

∴2b－a≤AG≤2b＋a

22

（2）如图3，在正方形ABCD中，AB＝a 789．（1）2b－∴AE＝

2

a，BD＝2a，∠AED＝90° 2

B OH1＝ CH3

G

A D H O B F C E

H A B E C

图1

F

D

A E C F

G

F

图3

若四边形ABDH是平行四边形，则AH＝BD＝2a，AH∥BD ∴∠EAH＝90°

在Rt△AEH中，AE ＋AH ＝EH 即(

22222a)＋(2a)＝b，∴2b＝5a 2

2

2

2

2

D

A B E C

D H

H

a10∵a＞0，b＞0，∴＝ b5

12524790．

2435

G

图2

解：连接CD交EF于点O ∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝10 1

∵D是AB的中点，∴CD＝AB＝5，∠1＝∠B

215

由折叠知，OC＝CD＝，CD⊥EF

22∴∠COF＝90°，∴Rt△OCF∽Rt△CBA

A E D G C 1 I O 2 H F B

525

得CF＝OC＝ 48

∵∠COF＝90°，∴∠1＋∠2＝90°

∵∠1＝∠B，∠A＋∠B＝90°

∴∠2＝∠A，∴Rt△ECF∽Rt△BCA 5125

得EF＝CF＝

324

由对称性知，四边形ECFD的内切圆的圆心I在折痕EF上

设⊙I的半径为r，⊙I与EC、CF分别相切于点G、H，连接IG、IH 则IH＝IG＝CH＝r，∴HF＝

25－r 8

4

易知Rt△IHF∽Rt△BCA，得IH＝HF

342525∴r＝(－r)，解得r＝

3814

∵∠ECF＝∠EDF＝90°，∴EF是四边形ECFD外接圆的直径 25

1424

∴四边形ECFD的内切圆与外接圆半径之比为：＝ 1253548

791．t＞2

解：延长BA交x轴于点F，则EF＝BF＝4＋t ∴E（6＋t，0） ∵D（4＋2t，0），点E在点D的左侧 ∴4＋2t＞6＋t，∴t＞2 13792．

2

解：延长AE交BC于F，则△ADE≌△FCE ∴FC＝AD＝5，∴BF＝10－5＝5

在Rt△ABF中，由勾股定理得AF＝13 113

∴AE＝AF＝

22

y B C A O F E D x D A

E

793．－4≤a≤－2

解：当A、D两点重合时，PO＝PD－OA＝5－3＝2，此时a＝－2 ︵︵当AB与CD相交于点B时，连接PB

由勾股定理，得PO＝PB －OB ＝5－3＝4，此时a＝－4 故实数a的取值范围是－4≤a≤－2

C

B

60° 2222B

F

C

C B 60° P O D (A) P O D A 34794．

15

解：设BG与EF相交于点O，则OB＝OG ∵△ABG为直角三角形，且∠A＝90° ∴O为△ABG外接圆的圆心 过O作OH⊥CD于H

当⊙O与直线CD相切时，则H为切点，OH为⊙O的半径，BG＝2OH 设AG＝x，则GD＝4－x，

易知OH为梯形GBCD的中位线

111

∴OH＝(GD＋BC)＝(4－x＋4)＝(8－x)

222∴BG＝8－x

在Rt△ABG中，AB ＋AG ＝BG 15222

∴2＋x＝(8－x)，∴x＝

4

A E O G D H

F

C

222

B

17117

∴BG＝8－x＝，∴OB＝BG＝

428OFAB

易知△OBF∽△AGB，∴＝ OBAGAB1734

∴OF＝·OB＝，∴EF＝2OF＝

AG1515

2n

795．（1） （2）

3n＋1

解：方法一：

（1）设BF、DE相交于点G，易知四边形CEGF∽四边形ABGD S四边形CEGFCE 11∴＝2＝，∴S四边形CEGF＝S阴影

4S阴影AB 4∵S阴影＝S正方形ABCD－S△BFC－S△DEC＋S四边形CEGF 11111

∴S阴影＝1×1－×1×－×1×＋S阴影

222242

∴S阴影＝

3

S四边形CEGFCE 11（2）＝2＝2，∴S四边形CEGF＝2S阴影

S阴影AB nn∵S阴影＝S正方形ABCD－S△BFC－S△DEC＋S四边形CEGF

11111

∴S阴影＝1×1－×1×－×1×＋2S阴影

2n2nnn

∴S阴影＝

n＋1

方法二：

（1）设BF、DE相交于点G，连接CG 11

∵正方形ABCD，EC＝CB，CF＝CD

22∴S△BGE＝S△CGE＝S△CGF＝S△DGF

B 22

A D

G E F

C 11111

∴S△BGE＝S△DEC＝×S正方形ABCD＝S正方形ABCD＝

3341212∴S阴影＝S正方形ABCD－S△BGE－S△DEC＝1－11

（2）∵EC＝CB，CF＝CD

nn∴S△BFC＝S△DEC＝

1111

S正方形ABCD＝，S△CGE＝S△CGF＝S△BGE＝S 2n2nn－1n－1△DGF

112

－＝ 1243

∵S△BGE＋S△CGE＋S△CGF＝S△BFC∴S△BGE＋

2

n－11

S△BGE＝，∴S△BGE＝ n－12n2n(n＋1)

∴S阴影＝S正方形ABCD－S△BGE－S△DEC＝1－ 5

796．

3

n－11n

－＝

2n(n＋1)2nn＋1

解：作点A关于BC的对称点A′，作A′F∥BC且A′F＝PQ＝3，连接EF交BC于点Q，作A′P∥FQ交BC于点P，则四边形AFQP为平行四边形，得PA＝PA′＝QF

又AE、PQ的长为定值，所以此时得到的点P、Q使四边形APQE的周长最小 作FG⊥BC于G，则△FQG∽△EQC，得QG＝2QC

A D

∵BG＋QG＋QC＝BC，∴3＋2QC＋QC＝8 5

∴QC＝ 3

797．45－8≤PD＜45

解：连接DB、PB，则PD≥DB－PB 当且仅当点P在线段DB上时取等号

而当点F在线段AD上且点E与点B重合时，PB最大 即等于AB

所以PD的最小值为DB－AB PD＝4＋8－8＝45－8

又PF与AD不平行，所以PD＜BD＝4＋8＝45 故线段PD长的变化范围是45－8≤PD＜45

798．4 4(2n－1)

2222E

B

G P Q

C

A′ F F

D CD F

P CP A

E

B

A

B (E)

1

解：由题意并结合图可得，S1＝(1＋3)×2＝4＝4(2×1－1)

21

S2＝(5＋7)×2＝12＝4(2×2－1)

21

S3＝(9＋11)×2＝20＝4(2×3－1)

2

…

∴Sn＝4(2n－1)

1533

799．（1）2＋26 （2） 5＋11 （3）3

442

解：（1）设折叠后的圆弧所在圆心为O′，连接O′E、O′O、O′G、O′F，O′O、O′G分别交EF于M、N

则EF垂直平分O′O，∠1＝∠2，OF＝O′G＝6，O′G⊥OB ∴O′E＝OE＝4，O′N＝ON

∵∠AOB＝90°，∴O′G∥AO，∴∠3＝∠1 又∵∠3＝∠4，∴∠2＝∠4

∴O′N＝O′E＝4，∴ON＝4，NG＝2 ∴∠5＝60°，四边形OEO′N是菱形 ∴∠4＝60°，△O′EN是等边三角形

∴EM＝1

2

O′E＝2，O′M＝3EM＝23

在Rt△O′MF中，MF＝O′F2222 －O′M ＝6 －(23)＝26 ∴EF＝EM＋MF＝2＋26

（2）若G是OB中点，则OG＝BG＝3 设OE＝x，则O′N＝ON＝x，NG＝6－x

在Rt△ONG中，OG222

＋NG ＝ON ∴32

＋(6－x)2

＝x2

，解得x＝154

即OE的长为

15

4

过E作EH⊥O′G与H，则GH＝OE＝15

4

∴O′H＝O′G－GH＝6－

154＝94，NH＝O′N－O′H＝154－934＝2

在Rt△O′EH中，EH＝O′E22 －O′H ＝3 在Rt△EHN中，EN＝EH22＝3 ＋NH 25 ∴EM＝MN＝13

2EN＝45

由△O′MN∽O′GO，得O′M＝2MN＝3

25

∴MF＝O′F2 －O′M23 ＝

211 ∴EF＝EM＋MF＝33

45＋211

（3）①当G与O重合时，OE最小

此时O′O⊥OB且O′O＝OA＝6，∴O′

与A重合

∴E是OA中点，OE＝1

2

OA＝3

②当E与A重合时，F、G均与B重合，OE最大 此时OE＝6

∴点E可移动的最大距离为3

O E 1 G 2 5 A M 4 3 N F B O′ O E G M A H N B F O′ O (G) E A O′) B

F O (A E) (F) (GB )

O′ (证明如下：

将扇形AOB沿AB对折（即E与A重合，F、G均与B重合），连接O′A、O′B 则∠O′BA＝∠OBA＝45°，∴∠O′BO＝90° ∴OB与折叠后的圆弧相切

800．（1）43－6 （2）15°≤θ≤45°

解：（1）当F与C重合时（如图1），AE最大 此时B′C＝BC＝4，CD＝2 ∴∠DB′C＝30°，B′D＝23 ∴AB′＝4－23，∠AEB′＝30° ∴AE＝3AB′＝43－6

当E与A重合时（如图2），AE最小，AE＝0 ∴点E在边AB上可移动的最大距离为43－6 （2）当F与C重合时（如图1），θ最小 2θ＝∠DB′C＝30°，∴θ＝15°

当E与A重合时（如图2），θ最大，θ＝45° ∴θ的取值范围为15°≤θ≤45°

801．（1）a≤x≤5＋112 （2）a≤h≤a 222

B′ A

E

图1

D

θ θ C (F) D C

B′ θ F

θ B

A (E)

图2

B

y C B 解：（1）取AD的中点M，连接OM、BM 115则OM＝AD＝a，MB＝a

222

当O、M、B三点共线时OB最大，即x最大，最大值为 当点B落在x轴上时，A与O重合，x最小，最小值为a ∴a≤x≤5＋1

2

2

≤cosθ≤1 22

a·cosθ 2

D O 25＋1

a 2

D M O A x （2）作PE⊥x轴于E，设PE与PA的夹角为θ 则0°≤θ≤45°，∴h＝PE＝PA·cosθ＝12∴a≤h≤a 22

y C B P E A x 6n－12332

802．（1）（0，） （2）①2 ②8－ ③8－2 32n－1

解：（1）设G到C方向的速度为v，则A到G方向的速度为2v AGGC1AG

t＝＋＝(＋GC) 2vvv2∵v是定值，要使t最小，只需 作CD⊥AB于D，交OA于G

由A（0，33），B（－3，0），知∠BAO＝30°

B AG

＋GC最小 2

y A D G O C x

AG

∴DG＝

2

AG

∵D、G、C三点共线，∴＋GC最小

2∵∠BCD＝∠BAO＝90°－∠ABC ∴∠BCD＝30°，∴OG＝23∴G（0，）

3

（2）①设M到B的速度为v，则A到M的速度为2v AMBM1AMt＝＋＝(＋BM)

2vvv2

323OC＝ 33

∵v是定值，要使t最小，只需

AM

＋BM最小 2

B

在AC下方作∠CAD＝45°，作BD⊥AD于D，交AC于M，BE⊥AC于E

AMAM

则MD＝，且B、M、D三点共线，∴＋BM最小

22此时∠AMD＝45°，∴∠BME＝45° BE3

∵tanA＝＝，设BE＝3k，则AE＝4k

AE4

在Rt△ABE中，由勾股定理得AB＝5k

∵AB＝10，∴5k＝10，k＝2，∴AE＝8，BE＝ME＝6 ∴AM＝2

②设M到B的速度为v，则A到M的速度为3v t＝

AMBM1AM＋＝(＋BM) 3vvv3

A

D

M E C

1

在AC下方作∠CAD，使sin∠CAD＝，作BD⊥AD于D，交AC于M，BE⊥AC于E

3AMAM

则MD＝，且B、M、D三点共线，∴＋BM最小

33设MD＝k，则AM＝3k，AD＝22k

MDk2ME232∴tan∠MAD＝＝＝＝，∴ME＝BE＝

AD22k4BE42∴AM＝8－

B 32 2

③设M到B的速度为v，则A到M的速度为nv t＝

AMBM1AM＋＝(＋BM) nvvvn

A

D

M E C

1

在AC下方作∠CAD，使sin∠CAD＝，作BD⊥AD于D，交AC于M，BE⊥AC于E

nAMAM

则MD＝，且B、M、D三点共线，∴＋BM最小

nn设MD＝k，则AM＝nk，AD＝n－1k

n－1MEn－16n－1MDk

∴tan∠MAD＝＝2＝2＝，∴ME＝2BE＝2

ADn－1n－1n－1kn－1BE

22226n－1

∴AM＝8－2

n－1

2803．（－9－

367

，6）或（－，6） 24

解：过Q作QH⊥OD于H，连接OQ，则QH＝OF＝OC 11

∴S△POQ＝PQ·OC＝OP·QH，∴PQ＝OP

22设BP＝x

1

∵BP＝BQ，∴BQ＝2x

2

①当点P在点B左侧时

OP＝PQ＝BP＋BQ＝3x，PC＝BC＋BP＝8＋x 在Rt△POC中，(8＋x)＋6＝(3x)

3636

解得x＝1＋（舍去负值），∴PC＝8＋x＝9＋

22

y E P B C D A H O x Q F 222

∴P1（－9－

36，6） 2

B D P H y E C Q ②当点P在点B右侧时

OP＝PQ＝BQ－BP＝x，PC＝BC－BP＝8－x 在Rt△POC中，(8－x)＋6＝x

257x＝，∴PC＝8－x＝解得44 7

∴P2（－，6）

4

569257

804．（1） 4－ （2） （3） 33173

222

F A O x 解：（1）当直线EF经过点A时，AF垂直平分PQ 5

∴AP＝AQ，∴2t＝5－t，∴t＝

3

D Q

F

E C

当直线EF经过点C时，CF垂直平分PQ ∴CP＝CQ，∴(6－2t)＋5＝t＋6 ∴t＝4＋

2222

6969（大于5，舍去）或t＝4－ 33

A P

B

（2）∵EF垂直平分PQ，EF∥AC，∴PQ⊥AC APDA

∴△APQ∽△DAC，∴＝

AQDC即

2t525＝，解得t＝ 5－t617

D G E C

（3）若直线EF平分矩形ABCD的面积，则EF必过矩形的中心O 连接PO并延长交CD于G，连接GQ 则OF是△PGQ的中位线，∴OF∥GQ ∴∠GQP＝∠OFP＝90°，∴△DQG∽△APQ ∴

DGDQt1

＝＝＝ AQAP2t2

Q

F A

O P

B

∵直线EF平分矩形ABCD的面积，∴DG＝BP＝6－2t ∴

805．22 22＋2

解：将△ADC沿AC翻折，得△AEC，连接DE，则△AEC≌△ADC ∴∠EAC＝∠DAC，∠ACE＝∠ACD，AE＝AD，EC＝DC ∵∠BAD＝∠BCA＝2∠DAC＝45° ∴∠DAE＝∠BAD＝45°，∠DCE＝90° ∴△CDE是等腰直角三角形，∴DE＝2DC＝22 ∵∠BAD＝∠BCA＝2∠DAC＝45° ∴∠BAC＝67.5°，∴∠B＝∠ADB＝67.5° ∴AB＝AD＝AE，∴△ADE≌△ADB

∴BD＝DE＝22

∵∠BAD＝∠BCA，∠B＝∠B，∴△ABD∽△CBA ∴

ABBC2

＝，∴AB ＝BC·BD＝(22＋2) BDAB

B

D

6－2t17

＝，解得t＝ 5－t23

A E

C

∴AB＝22＋2

806．2 22

将△ADC沿AC翻折，得△AEC，连接DE，则△AEC≌△ADC ∴∠EAC＝∠DAC，∠ACE＝∠ACD，AE＝AD，EC＝DC ∵∠BAD＝∠BCA＝2∠DAC＝30° ∴∠DAE＝∠BAD＝30°，∠DCE＝60° ∴△CDE是等边三角形，∴DE＝DC

A 在AE上截取AF＝AB，连接DF，则△AFD≌△ABD

∴BD＝DF

在△ABD中，∠ADB＝∠DAC＋∠DCA＝45° ∴∠ADE＝∠AED＝75°，∠ABD＝105° ∴∠AFD＝105°，∴∠DFE＝75° ∴∠DFE＝∠DEF，∴DF＝DE ∴BD＝DC＝2 B

2

作BG⊥AD于点G，则BG＝BD＝2

2

∴AB＝2BG＝22

807．4

1

解：△ABC经n阶分割所得的小三角形的个数为 n 41000

∵S△ABC＝1000，∴Sn＝n 41000

当n＝3时，S3＝3≈15.62

41000

当n＝4时，S4＝4≈3.91

4∴当n＝4时，3＜Sn＜4

F G D

E

C

808．1

解：∵∠A＝90°，∠ABE＝30°，∴∠AEB＝60° ∵BE＝DE，∴∠ADB＝∠DBE＝30° 设AE＝x，则BE＝DE＝2x，AB＝3x，BD＝23x PEPQ∵PQ∥BD，∴＝ DEBD即

2x－133

＝，∴x＝2（舍去负值） 2x23x

∴AB＝3x＝23，BC＝AD＝3AB＝6，BE＝2x＝4 ∵∠QBC＝∠AEB＝60°，∠BCQ＜90°

∴当△BCQ与△ABE相似时，∠BQC＝∠A＝90° 1

∴BQ＝BC＝3

2

∴PE＝QE＝BE－BQ＝4－3＝1

543809．≤t≤ 630

解：∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4 ∴AB＝3＋4＝5

3

∵AD＝5t，∴AE＝AD·cos∠A＝5t·＝3t 5

∴AA′＝2AE＝6t

①当点A′ 落在射线BB1上时，则点A′与点B重合，AA′＝AB＝5

225

∴6t＝5，∴t＝

6

②当点C′落在射线BB1上时，连接CC′，则CC′∥AB ∴四边形ACC′B是平行四边形，∴CC′＝AB＝5 设CC′与DE交于点F

B (A′) E C′

A

C D

B1

39

则CF＝CD·cos∠FCD＝CD·cos∠A＝(5t－3)·＝3t－ 55∴CC′＝2CF＝6t－∴6t－

18

5

E A′ C′ F A

C

D

B1

1843＝5，∴t＝ 530

B 543∴≤t≤ 630

1k810．（1） （2） 22

解：（1）过点D作DG∥CA，与BE的延长线相交于点G，与AB相交于点H

则∠GDB＝∠C，∠BHD＝∠A＝90°＝∠GHB

G 11A ∵∠EDB＝∠C＝∠GDB＝∠EDG

22HDE＝DE，∠DEB＝∠DEG＝90°，∴△DEB≌△DEG

E 1

∴BE＝GE＝BG F 2∵∠A＝90°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝∠GDB

B

D

C

∴BH＝DH

∵∠BED＝∠BHD＝90°，∠BFE＝∠DFH ∴∠EBF＝∠HDF，∴△BGH≌△DFH

1

∴BG＝DF，∴BE＝DF 2∴BE1＝ DF2

（2）过点D作DG∥CA，与BE的延长线相交于点G，与AB相交于点H

1

同理可证△DEB≌△DEG，BE＝BG，∠BHD＝∠GHB＝90°，∠EBF＝∠HDF

2

∴△BGH∽△DFH

G

BGBHBEBH∴＝，即 ＝ DFDHDF2DH

BHBA

又∵DG∥CA，∴△BHD∽△BAC，∴＝＝k

DHCAE BEk

∴＝ DF2

H F B

D

A C

811．1≤d＜23 d＝23 23＜d≤4

解：设直线FG与⊙O相切于点K，连接OD、OE、OF、OK ∵∠CFG＝60°，∴∠DFK＝120°，∴∠DFO＝60° ∵OD＝OE＝AD＝3，∴DF＝1 ∴CF＝DC－DF＝5－1＝4

过点C作CH⊥FG于H，则CH＝CF·sin60°＝23 ∴当1≤d＜23时，直线FG与⊙O相离 当d＝23时，直线FG与⊙O相切 当23＜d≤4时，直线FG与⊙O相交

812．（1，403） 解：x1＝1，x2＝2

21

x3＝x2＋1－5([]－[])＝x2＋1＝2＋1＝3

5532

x4＝x3＋1－5([]－[])＝x3＋1＝3＋1＝4

5543

x5＝x4＋1－5([]－[])＝x4＋1＝4＋1＝5

5554

x6＝x5＋1－5([]－[])＝x5＋1－5＝5＋1－5＝1

5565

x7＝x6＋1－5([]－[])＝x6＋1＝1＋1＝2

5576

x8＝x7＋1－5([]－[])＝x7＋1＝2＋1＝3

5587

x9＝x8＋1－5([]－[])＝x8＋1＝3＋1＝4

5598

x10＝x9＋1－5([]－[])＝x9＋1＝4＋1＝5

55

……

y1＝1，y2＝1

A E D F K O H G C B 21

y3＝y2＋[5]－[5]＝y2＝1

843．5

65 5

∵B（14，0），A、B关于直线x＝4对称，∴A（－6，0） 在Rt△AOC中，AC＝6＋8＝10＝AD

∴∠PDC＝∠ACD 连接DQ

∵直线CD垂直平分线段PQ，∴∠PDC＝∠QDC ∴∠QDC＝∠ACD，∴DQ∥AC

∵BD＝DA，∴DQ为△ABC的中位线 1

∴DQ＝AC＝5

2

AP＝AD－PD＝AD－DQ＝10－5＝5 ∴t＝5÷1＝5（秒）

∴当t＝5秒时，直线CD垂直平分线段PQ

在Rt△BOC中，BC＝14＋8＝265，∴CQ＝65 ∴点Q的运动速度为每秒 844．

6 3

65

单位长度 5

22y x＝4 D B Q x P O A C 22

解：作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，设A（xA，yA），B（xB，yB） AOACOC易证△AOC∽△OBD，∴＝＝

OBODBD即

AOyAxA＝＝ OB－xByB

y A 6yAyA69

∵xA＝，yB＝－，∴＝ xB－xB9yA

－xB

B yA6∴2＝ xB9

yA6

∵yA＞0，xB＜0，∴＝－

xB3

AOyA6∴tan∠OBA＝＝＝ OB－xB3 7845．

3

2

D O C x y 解：作CE关于x轴的对称线段CE′，将CE′ 沿x轴向右平移至FE′′， 当FE′′ 与AF共线时，四边形AECF的周长最小

y＝－x＋6????x＝4联立?1 解得：? ∴A（4，2）

?y＝2y＝x???2

∵点E为线段OA的中点，∴E（2，1），∴E′′（3，－1）

设直线AE′′ 的解析式为y＝kx＋b，则：

O A E C F D E′ E′′ B x ???4k＋b＝2?k＝3? 解得：? ∴y＝3x－10 ??3k＋b＝－1b＝－10??

∵C（t，0），CD＝2，点F为线段CD的中点 ∴CF＝1，∴F（t＋1，0）

7

当点F在直线AE′′上时，3(t＋1)－10＝0，∴t＝

3

7

即当t＝秒时，四边形AECF的周长最小

3

846．（15＋3，5－1） 解：作CF⊥x轴于F

∵△AOB和△CDE都是等腰三角形，∠ABO＝∠CED＝120° ∴∠AOD＝∠CDF＝30°，∴OD＝3AD，DF＝3CF 设A（3m，m），则3m·m＝43，∴m＝2（舍去负值） ∴A（23，2）

设C（23＋3n，n），则(23＋3n)·n＝43 ∴n＝5－1（舍去负值） ∴C（15＋3，5－1）

2618

847．3

77

解：由题意得：A（0，6），B（63，0） ∴OA＝6，OB＝63，AB＝OA ＋OB ＝12

OB

∴tan∠OAB＝＝3，∴∠OAB＝60°，∠OBA＝30°

OA

设t1秒时直线l与⊙C第一次相切，此时直线l在⊙C上方，如图1 设直线l与AB交于点D，则OP＝2t1，BC＝3t1，CD＝2 ∴PA＝6－2t1，∴AD＝12－4t1

∵AD＋CD＋BC＝AB，∴12－4t1＋2＋3t1＝12 解得t1＝2（秒）

设t2秒时直线l与⊙C第二次相切，此时直线l在⊙C上方，如图2 则AD＝2(2t2－6)，CD＝2，BC＝3t2

∵AD＋CD＋BC＝AB，∴2(2t2－6)＋2＋3t2＝12

22

解得t2＝（秒）

7

设t3秒时直线l与⊙C第三次相切，此时直线l在⊙C下方，如图3 则AD＝2(2t3－6)，CD＝2，BC＝3t3

∵AD－CD＋BC＝AB，∴2(2t3－6)－2＋3t3＝12

26

解得t3＝（秒）

7262218

∴t总＝t1＋t3－t2＝2＋－＝（秒）

777

22y A O C x B D E F y A P D C B 图1 l O x y A P D C l O B 图2 x y A P C D l O 图3

B x 26

∴在整个运动过程中直线l与⊙C共有3次相切；直线l与⊙C最后一次相切时t＝秒

7

18

直线l与⊙C有交点的时间共有秒

7

848．3 解：连接BE

∵△ABC、△CDE都是等边三角形

∴AC＝BC，DC＝EC，∠ACD＝∠BCE＝60°－∠DCM ∴△ACD≌△BCE，∴∠EBC＝∠DAC ∵△ABC是等边三角形，AM是中线 ∴∠DAC＝30°，∴∠EBC＝30°，为定值

B ∴E的运动路径是一条线段

当点D与点A重合时，点E与点B重合； 12

当点D与点M重合时，BE＝＝3

cos30°

1＋

A D A

M

C

E

B

(D) M

C

∴点E所经过的路径长为 3

849．9

解：连AM、AN

因为△ABC、△BDM是顶角为120°的等腰三角形 ∴∠ABC＝∠BMD，∴AB∥MD ∴S△ABM＝S△ABD＝32 同理，S△ACN＝S△ACF＝38 ∴S△AMN＝100－32－38＝30 ∴BM :MN :NC＝32 :30 :38

∴四个等腰三角形中最小的是△MEN

E

A B D

M E

N F

C

S△MENMN2

由△BDM∽△ABC，得＝

S△ABC(BC)MN30

∴S△MEN＝()·S△ABC＝()×100＝9 BC100

2

2

y A

850．（0，－4）或（－4，－4）或（4，4） 1

∵S△AOC＝OC·AC＝4，∴k＝OC·AC＝8 28∴y＝

x

O C x y P B A P y＝2x?????x1＝－2?x2＝2??联立? 解得： 8

??y＝－4y＝4y＝?1?2??x

∴A（2，4），B（－2，－4），C（2，0） 若BP是平行四边形的边，则BP∥OC，BP＝OC＝2 ∴P1（0，－4），P2（－4，－4）

若BP是平行四边形的对角线，则PC∥OB，PC＝OB ∴P3（4，4）

B O C x y A B O C x P 2＋21＋22＋21＋2851． 1005 n?1（n为奇数）或n（n为偶数）

42?12222解： 对开次数 周长 第一次 2(1＋12) 2第二次 112(＋2) 22第三次 112(＋2) 24第四次 112(＋2) 44第五次 112(＋2) 48第六次 112(＋2) 88… … 2＋2∴第5次对开后所得矩形的周长是： 41＋2

∴第2012次对开后所得矩形的周长是：1005

2

2＋21＋2∴第n次对开后所得矩形的周长是：n?1（n为奇数）或n（n为偶数）

?12222

852．2或5

解：过点B作BG⊥DC于G，则四边形ABGD是矩形 ∴BG＝AD＝3

∵AB∥DC，∠ABC＝120°，∴∠BCD＝60° ∴BC＝

BG

＝2 cos60°

A

1 H E 2 3 B C G (F) 在AB上截取AH＝1，连接DH 则DH＝2，∠AHD＝60°，∴∠DHE＝120° ∴∠1＋∠2＝60° ∵∠DEC＝120°，∴∠2＋∠3＝60° ∴∠1＝∠3

HEDH

又∠DHE＝∠EBC＝120°，∴△DHE∽△EBC，∴＝ BCEB设AE＝x，则HE＝x－1，EB＝6－x ∴

x－12

＝，解得x1＝2，x2＝5 26－x

D A D E B C (F) ∴若射线EF经过点C，则AE的长是2或5

853．45－8

解：过点C作CG⊥OA于G

∵点C是等边△OAB的边OB的中点 ∴OC＝2，∠AOB＝60°，∴OG＝1，CG＝3 ∴C（1，3）

∴k＝1×3＝3，∴双曲线的解析式为y＝

3 x

O y B C E D G A HF x 过点D作DH⊥AF于H，设AH＝a，则DH＝3a ∴D（4＋a，3a） ∵点D在双曲线y＝

3

上，∴3a(4＋a)＝3 x

解得a＝5－2（舍去负值） ∴AE＝2AD＝4AH＝45－8

即等边△AEF的边长为45－8

854．2≤k≤9

解：把x＝1代入y＝－x＋6，得y＝5，∴B（1，5） 把y＝2代入y＝－x＋6，得x＝4，∴A（4，2）

k

当反比例函数y＝（x＞0）的图象与△ABC的AC边有公共点时，则在点C处k取得最小值2，在点A处

xk取得最大值8

k

当反比例函数y＝（x＞0）的图象与△ABC的BC边有公共点时，则在点C处k取得最小值2，在点B处

xk取得最大值5

k

当反比例函数y＝（x＞0）的图象与△ABC的AB边有公共点时，设交点坐标为（x，y）

x则k＝xy＝x(－x＋6)＝－x＋6x＝－(x－3)＋9 ∵1≤x≤4，∴当x＝3，k取得最大值9 综上所述，k的取值范围是：2≤k≤9

13855．

3解：作EF⊥OQ于F，DG⊥OP于G 则FE＝AC＝AE，DG＝AB＝AD FEQE4

易证△QFE∽△DGP，∴＝＝ GPDP9设FE＝AC＝AE＝4t，则GP＝9t 4

∵动点A在函数y＝（x＞0）的图象上

x1

∴DG＝AB＝AD＝ t

AEDG

易证△EAD∽△DGP，∴＝ ADGP14tt1142

即＝，∴t＝，∴t＝ 19t366t

22

y Q F C O E A B D G P x 1111132112

∴S阴影＝S△ACE＋S△ABD＝×(4t)＋×2＝8t＋2＝8×＋＝

22t6132t

2×

6

856．3

解：作OM⊥EF于M，连接OE、OF

1

则∠EOF＝2∠BAC＝120°，∠EOM＝∠EOF＝60°

2∴EF＝2EM＝2OE·sin60°＝AD·sin60°＝∴当AD最小时EF最小

显然，当AD⊥BC时AD最小

A O E M B D F C 3AD 2

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