经典高考立体几何知识点和例题(理科学生用)

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高考立体几何知识点总结

整体知识框架：

一 、空间几何体

（一） 空间几何体的类型

1 多面体：由若干个平面多边形围成的几何体。围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。

2 旋转体：把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转形成了封闭几何体。其中，这条直线称为旋转体的轴。

（二） 几种空间几何体的结构特征

1 、棱柱的结构特征

1.1 棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边

形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些

面所围成的几何体叫做棱柱。

1.2 棱柱的分类

棱

柱四棱柱平行六面体直平行六面体

长方体正四棱柱正方体 性质：

棱长都相等 底面是正方形 底面是矩形 侧棱垂直于底面 底面是平行四边形 底面是四边形 图1-1 棱柱

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2 / 282 Ⅰ、侧面都是平行四边形，且各侧棱互相平行且相等；

Ⅱ、两底面是全等多边形且互相平行；

Ⅲ、平行于底面的截面和底面全等；

1.3 棱柱的面积和体积公式

ch S =直棱柱侧（c 是底周长，h 是高）

S 直棱柱表面 = c ·h+ 2S 底

V 棱柱 = S 底 ·h

2 、棱锥的结构特征

2.1 棱锥的定义

（1） 棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。

（2）正棱锥：如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的投影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。

2.2 正棱锥的结构特征

Ⅰ、 平行于底面的截面是与底面相似的正多边形，相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比；它们面积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的平方比；截得的棱锥的体积与原棱锥的体积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的立方比；

Ⅱ、 正棱锥的各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形；

正棱锥侧面积：1'2S ch =正棱椎（c 为底周长，'h 为斜高） 体积：13V Sh =棱椎（S 为底面积，h 为高） 正四面体： 对于棱长为a 正四面体的问题可将它补成一个边长为a 2

2的正方体问题。 对棱间的距离为a 2

2（正方体的边长） 正四面体的高a 3

6（正方体体对角线l 32=） 正四面体的体积为312

2a （正方体小三棱锥正方体V V V 314=-） 正四面体的中心到底面与顶点的距离之比为3:1（正方体体对角线正方体体对角线：l l 2161=

） A B

C D

P O

H

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3 / 283 正四面体的外接球半径为a 46

，外接球半径为a 126，外接球半径a 4

2

3 、棱台的结构特征

3.1 棱台的定义：用一个平行于底面的平面去截棱锥，我们把截面和底面之间的部分称为棱台。

3.2 正棱台的结构特征

（1）各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰梯形；

（2）正棱台的两个底面和平行于底面的截面都是正多边形；

（3）正棱台的对角面也是等腰梯形；

（4）各侧棱的延长线交于一点。

4 、圆柱的结构特征

4.1 圆柱的定义：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱。

4.2 圆柱的性质

（1）上、下底及平行于底面的截面都是等圆；

（2）过轴的截面(轴截面)是全等的矩形。

4.3 圆柱的侧面展开图：圆柱的侧面展开图是以底面周长和母线长为邻边的矩形。

4.4 圆柱的面积和体积公式

S 圆柱侧面 = 2π·r ·h (r 为底面半径，h 为圆柱的高)

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4 / 284 S 圆柱全 = 2π r h + 2π r 2

V 圆柱 = S 底h = πr 2h

5、圆锥的结构特征

5.1 圆锥的定义：以直角三角形的一直角边所在的直线为旋

转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫做圆

锥。

5.2 圆锥的结构特征

（1） 平行于底面的截面都是圆，截面直径与底面直径之

比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比；

（2）轴截面是等腰三角形；

（3）母线的平方等于底面半径与高的平方和：

l 2 = r 2 + h 2

5.3 圆锥的侧面展开图：圆锥的侧面展开图是以顶点为圆心，以母线长为半径的扇形。

6、圆台的结构特征

6.1 圆台的定义：用一个平行于底面的平面去截圆锥，我们把截面和底面之间的部分称为圆台。

6.2 圆台的结构特征

⑴ 圆台的上下底面和平行于底面的截面都是圆；

⑵ 圆台的截面是等腰梯形；

⑶ 圆台经常补成圆锥，然后利用相似三角形进行研究。

6.3 圆台的面积和体积公式

S 圆台侧 = π·(R + r)·l (r 、R 为上下底面半径)

S 圆台全 = π·r 2 + π·R 2 + π·(R + r)·l

V 圆台 = 1/3 (π r 2 + π R 2 + π r R) h (h 为圆台的高)

7 球的结构特征

7.1 球的定义：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，

半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体。空间中，与定

点距离等于定长的点的集合叫做球面，球面所围成的

几何体称为球体。

7-2 球的结构特征

⑴ 球心与截面圆心的连线垂直于截面；

⑵ 截面半径等于球半径与截面和球心的距离的平方

差：r 2 = R 2 – d 2

★7-3 球与其他多面体的组合体的问题

球体与其他多面体组合，包括内接和外切两种类型，解决此类问题的基本思路是： ⑴ 根据题意，确定是内接还是外切，画出立体图形；

⑵ 找出多面体与球体连接的地方，找出对球的合适的切割面，然后做出剖面图； 图1-5 圆锥

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5 / 285 ⑶ 将立体问题转化为平面几何中圆与多边形的问题；

⑷ 注意圆与正方体的两个关系：球内接正方体，球直径等于正方体对角线； 球外切正方体，球直径等于正方体的边长。

7-4 球的面积和体积公式

S 球面 = 4 π R 2 (R 为球半径) V 球 = 4/3 π R 3

练习：

1）将直角三角形绕它的一边旋转一周, 形成的几何体一定是（ ）

A ．圆锥

B ．圆柱

C ．圆台

D ．上均不正确

2）用一个平面去截一个几何体，得到的截面是四边形，这个几何体可能是（ ）

A ．圆锥

B ．圆柱

C ． 球体

D ． 以上都可能

3）下左一图是一个物体的三视图,根据图中尺寸（单位：c m ）,计算它的体积为

c m 3.

二、典型例题分析

例1：（几何体的侧面展开图）

如上左二图,长方体1111D C B A ABCD -的长、宽、高分别是5cm 、4cm 、3cm ，一只蚂蚁从A 到1C 点，沿着表面爬行的最短距离是多少．

练习：1）如上右二图, 四面体P-ABC 中, PA=PB=PC=2, ∠APB=∠BPC=∠APC=300. 一只蚂蚁 从A 点出发沿四面体的表面绕一周, 再回到A 点, 问蚂蚁经过的最短路程是_________． 练习.1）已知一个几何体的主视图及左视图均是边长为2的正三角形,俯视图是直径为2的圆,则此几何体的外接球的表面积为（ ）

A ．π34

B ．π38

C ．π316

D ．π3

32 （三）空间几何体的表面积与体积

空间几何体的表面积

棱柱、棱锥的表面积：各个面面积之和

圆柱的表面积 ：222S rl r ππ=+ 圆锥的表面积：2S rl r ππ=+

圆台的表面积：22S rl r Rl R ππππ=+++ 球的表面积：24S R π= A'C'D'

B'C D O A B O C'A'

A c

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6 / 286 扇形的面积公式2211=36022n R S lr

r πα

==扇形

（其中l 表示弧长，r 表示半径，α表示弧度） 空间几何体的体积

柱体的体积 ：V S h =?底 锥体的体积 ：13V S h =?底 台体的体积 ： 1)3V S S S S h =++?下下上上（ 球体的体积：343

V R π= （四）空间几何体的三视图和直观图

正视图：光线从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图。

侧视图：光线从几何体的左边向右边正投影，得到的投影图。

俯视图：光线从几何体的上面向右边正投影，得到的投影图。

★画三视图的原则：

主视图反映了物体的上、下和左、右位置关系；俯视图反映了物体的前、后和左、右位置关系；侧视图反映了物体的上、下和前、后位置关系。

三个视图之间的投影关系为：正俯长相等、正侧高相同、俯侧宽一样

注：球的三视图都是圆；长方体的三视图都是矩形

直观图：斜二测画法

斜二测画水平放置的平面图形的基本步骤

(1)建立直角坐标系，在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的Ox ，Oy ，建立直角坐标系；

(2)画出斜坐标系，在画直观图的纸上(平面上)画出对应的Ox ′，Oy ′，使∠x ′Oy ′＝45°(或135°)，它们确定的平面表示水平平面；

(3)画对应图形，在已知图形中平行于x 轴的线段，在直观图中画成平行于x ′轴，且长度保持不变；平行于y 轴的线段，在直观图中画成平行于y ′轴，且长度变为原来的一半；

(4)擦去辅助线，图画好后，要擦去x 轴、y 轴及为画图添加的辅助线(虚线)．

原视图与直观图的关系：直观图原视图原视图直观图，s s s s 224

2== 例1、将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为 ( )

解析：如图所示，点D 1的投影为点C 1，点D 的投影为点C ，点A 的投影为点B .

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7 / 287 答案：D

练习：

（1）如图所示为某一平面图形的直观图，则此平面图形可能是 （ ）

（2）判断：

①水平放置的正方形的直观图可能是等腰梯形

②两条相交的线段的直观图可能是平行线段

③两条互相垂直的直线的直观图仍然垂直

④平行四边形的直观图仍为平行四边形

⑤长度相等的两线段直观图仍然相等

（3）三角形ABC 是边长为1正三角形，求其直观图三角形'

''C B A 的面积

（4）如图，正方形''''C B A O 的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，求原图形的周长和面积

(5)如上右图，用斜二测画法作?ABC 水平放置的直观图形得?A 1B 1C 1，其中A 1B 1=B 1C 1，A 1D 1是B 1C 1边上的中线，由图形可知在?ABC 中，下列四个结论中正确的是（ ）

A ．AB=BC=AC

B ． AD ⊥B

C C ． AC>AD>AB>BC

D ． AC>AD>AB=BC

空间几何体三视图（重点）

例 1如图所示，某几何体的正视图是平行四边形，侧视图和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为 ( )

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8

A ．6 3

B ．9 3

C ．12 3

D ．18 3

解析：由三视图可还原几何体的直观图如图所示．此几何体可通过分割和补形的方法拼凑成一个长和宽均为3，高为3的长方体，所求体积V ＝3×3×3＝9 3.

答案：B

（2）一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )

A ．48

B ．32＋817

C ．48＋817

D ．80

(3)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )

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9

A

．92π＋12

B ．92

π＋18 C ．9π＋42 D ．36π＋18

【答案】（1）C (2)B

【解析】 (1)由三视图可知本题所给的是一个底面为等腰梯形的放倒的直四棱柱(如图

所示)，所以该直四棱柱的表面积为S ＝2×12

×(2＋4)×4＋4×4＋2×4＋2×1＋16×4＝48＋817.

(2)由三视图可得这个几何体是由上面是一个直径为3的球，下面是一个长、宽都为3、

高为2的长方体所构成的几何体，则其体积为：V ＝V 1＋V 2＝43×π×????323＋3×3×2＝92

π＋18，故选B.

(3).【2012高考真题北京理7】某三棱锥的三视图如图所示，该三梭锥的表面积是（ ）

A. 28+65

B. 30+65

C. 56+ 125

D. 60+125

【答案】B 【解析】从所给的三视图可以得到该几何体为三棱锥，如图所示，图中蓝色数字所表示的为直接从题目所给三视图中读出的长度，黑色数字代表通过勾股定理的计算得到的边长。本题所求表面积应为三棱锥四个面的面积之和，利用垂直关系和三角形面积公式，可得：10=底S ，10=后S ，10=右S ，56=左S ，因此该几何体表面积

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10 / 2810

5630+=

+++=左右后底S S S S S ，故选B 。

例题：

1. 一空间几何体的三视图如下右图所示,则该几何体的体积为( ).

A.223π+

B. 423π+

C. 2323π+

D. 2343π+

2、上中图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是

A.9π

B.10π

C.11π D ．12π

3、 若一个正三棱柱的体积为312，其三视图如上左图所示，则这个正三棱柱的侧视图的面积为_______。

4.【2012高考真题广东理6】某几何体的三视图如图所示，它的体积为（ C ）

A ．12π B.45π C.57π D.81π

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11 / 2811 俯视图

二、典型例题 考点一：三视图

1．一空间几何体的三视图如图1所示,则该几何体的体积为_________________.

第1题

2.若某空间几何体的三视图如图2所示，则该几何体的体积是________________.

第2题 第3题

3．一个几何体的三视图如图3所示，则这个几何体的体积为 .

4．若某几何体的三视图（单位：cm ）如图4所示，则此几何体的体积是 .

第4题 第5题

5．如图5是一个几何体的三视图，若它的体积是33，则 a . 2

2 侧(左)视图 2 2 2 正(主)视图 3

俯视图

1

1

2 a

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6．已知某个几何体的三视图如图6，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是 .

第6题 第7题

7.若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的体积是 3

cm 8.设某几何体的三视图如图8（尺寸的长度单位为m ），则该几何体的体积为_________m 3

。

第7题

第8题

9．一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积为_________________.

10.一个三棱柱的底面是正三角形，侧棱垂直于底面，它的三视图及其尺寸如图10所示（单位cm ），则该三棱柱的表面积为_____________.

20

20正视图

20侧视图

10 10

20俯视图

22

3

2

2

1

俯视图

正(主)视图

侧(左)视图

2

3

2

2

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