高二椭圆中面积问题

高二椭圆中面积问题 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

高二（9）班培优：椭圆中面积问题

2019-11-4

1．（2013新课标2）平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：（a＞b＞0）右焦点的直线x+y﹣＝0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率

为．

（Ⅰ）求M的方程

（Ⅱ）C，D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD面积的最大值．

2．（2014年新课标1）已知点A（0，﹣2），椭圆E：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，F是椭圆的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．（Ⅰ）求E的方程；

（Ⅱ）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l 的方程．

2

3．（2013年浙江）如图，点P（0，﹣1）是椭圆C1：+＝1（a＞b＞0）的一个顶点，C1的长轴是圆C2：x2+y2＝4的直径，l1，l2

是过点P且互相垂直的两条直线，其中l1交圆C2于A、

B两点，l2交椭圆C1于另一点D．

（1）求椭圆C1的方程；

（2）求△ABD面积的最大值时直线l1的方程．

4．（2016年新课标1）设圆x2+y2+2x﹣15＝0的圆心为A，直线l过点B（1，0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E．

（Ⅰ）证明|EA|+|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；

3

（Ⅱ）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围．

5．（2018年江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C过点

（），焦点F1（﹣，0），F2（，0），圆O的直径

为F1F2．

（1）求椭圆C及圆O的方程；

（2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P．

①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；

②直线l与椭圆C交于A，B两点．若△OAB的面积为，求直线l的方程．

4

6．设椭圆中心在坐标原点，A（2，0），B（0，1）是它的两个顶点，直线y＝kx（k＞0）与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点．

（Ⅰ）若，求k的值；

（Ⅱ）求四边形AEBF面积的最大值．

7．（2016年新课标2）已知椭圆E：+＝1的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为k（k＞0）的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA．（Ⅰ）当t＝4，|AM|＝|AN|时，求△AMN的面积；

（Ⅱ）当2|AM|＝|AN|时，求k的取值范围．

5

8．设椭圆中心在坐标原点，A（2，0），B（0，1）是它的两个顶点，直线y＝kx（k＞0）与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点．

（Ⅰ）若，求k的值；

（Ⅱ）求四边形AEBF面积的最大值．

答案

1.解：（Ⅰ）把右焦点（c，0）代入直线x+y﹣＝0得c+0﹣＝0，

解得c＝．

设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点P（x0，y0），

则，，相减得，

6

∴，

∴，又＝，

∴，即a2＝2b2．

联立得，解得，∴M的方程为．

（Ⅱ）∵CD⊥AB，∴可设直线CD的方程为y＝x+t，

联立，消去y得到3x2+4tx+2t2﹣6＝0，

∵直线CD与椭圆有两个不同的交点，

∴△＝16t2﹣12（2t2﹣6）＝72﹣8t2＞0，解﹣3＜t＜3，

由C，D在椭圆上，可得﹣＜t＜．

设C（x3，y3），D（x4，y4），∴，．

∴|CD|＝＝＝．

联立得到3x2﹣4x＝0，解得x＝0或，

∴交点为A（0，），B，

∴|AB|＝＝．

7

∴S四边形ACBD＝＝＝，

∴当且仅当t＝0时，四边形ACBD面积的最大值为，满足（*）．

∴四边形ACBD面积的最大值为．

2.解：（Ⅰ）设F（c，0），由条件知，得又，

所以a＝2，b2＝a2﹣c2＝1，故E的方程．…．（5分）

（Ⅱ）依题意当l⊥x轴不合题意，故设直线l：y＝kx﹣2，设P（x1，y1），Q（x2，y2）

将y＝kx﹣2代入，得（1+4k2）x2﹣16kx+12＝0，

当△＝16（4k2﹣3）＞0，即时，

从而

又点O到直线PQ的距离，所以△OPQ的面积＝，

设，则t＞0，，

当且仅当t＝2，k＝±等号成立，且满足△＞0，

所以当△OPQ的面积最大时，l的方程为：y＝x﹣2或y＝﹣x﹣2．…

（12分）

3. 解：（1）由题意可得b＝1，2a＝4，即a＝2．∴椭圆C1的方程为

；

8

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），D（x0，y0）．

由题意可知：直线l1的斜率存在，设为k，则直线l1的方程为y＝kx﹣1．又圆的圆心O（0，0）到直线l1的距离d＝．

∴|AB|＝＝．

又l2⊥l1，故直线l2的方程为x+ky+k＝0，联立，消去y得到（4+k2）x2+8kx＝0，解得，∴|PD|＝．

＝＝，

∴三角形ABD的面积S

△

令4+k2＝t＞4，则k2＝t﹣4，

f（t）＝＝＝，＝，当且仅，即，当时取等号，

∴S

△

故所求直线l1的方程为．

4. 解：（Ⅰ）证明：圆x2+y2+2x﹣15＝0即为（x+1）2+y2＝16，可得圆心A （﹣1，0），半径r＝4，由BE∥AC，可得∠C＝∠EBD，由AC＝AD，可得∠D＝∠C，

即为∠D＝∠EBD，即有EB＝ED，

则|EA|+|EB|＝|EA|+|ED|＝|AD|＝4，

故E的轨迹为以A，B为焦点的椭圆，

且有2a＝4，即a＝2，c＝1，b＝＝

，

则点E的轨迹方程为+＝1（y≠0）；

9

（Ⅱ）椭圆C1：+＝1，设直线l：x＝my+1，由PQ⊥l，设PQ：y＝﹣m（x﹣1），

由可得（3m2+4）y2+6my﹣9＝0，

设M（x1，y1），N（x2，y2），

可得y1+y2＝﹣，y1y2＝﹣，

则|MN|＝?|y1﹣y2|＝?

＝?＝12?，

A到PQ的距离为d＝＝，

|PQ|＝2＝2＝，

则四边形MPNQ面积为S＝|PQ|?|MN|＝??12?

＝24?＝24，

当m＝0时，S取得最小值12，又＞0，可得S＜24?＝8，

即有四边形MPNQ面积的取值范围是[12，8）．

5.解：（1）由题意可设椭圆方程为，

∵焦点F1（﹣，0），F2（，0），∴．

∵∴，又a2﹣b2＝c2＝3，

解得a＝2，b＝1．

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∴椭圆C的方程为：，圆O的方程为：x2+y2＝3．

（2）①可知直线l与圆O相切，也与椭圆C，且切点在第一象限，因此k一定小于0，

∴可设直线l的方程为y＝kx+m，（k＜0，m＞0）．

由圆心（0，0）到直线l的距离等于圆半径，可得

．

由，可得（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4＝0，

△＝（8km）2﹣4（4k2+1）（4m2﹣4）＝0，

可得m2＝4k2+1，∴3k2+3＝4k2+1，结合k＜0，m＞0，解得k＝﹣，m＝3．

将k＝﹣，m＝3代入可得，

解得x＝，y＝1，故点P的坐标为（．

②设A（x1，y1），B（x2，y2），

由?k＜﹣．

联立直线与椭圆方程得（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4＝0，

|x2﹣x1|＝＝，

O到直线l的距离d＝，

|AB|＝|x2﹣x1|＝，

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△OAB的面积为S＝＝

＝，

解得k＝﹣，（正值舍去），m＝3．

∴y＝﹣为所求．

6.解：（Ⅰ）依题设得a＝2，b＝1，

∴椭圆的方程为，

直线AB，EF的方程分别为x+2y＝2，y＝kx（k＞0）．

如图，设D（x0，kx0），E（x1，kx1），F（x2，kx2），

其中x1＜x2，且x1，x2满足方程（1+4k2）x2＝4，

故．①

由，知x0﹣x1＝6（x2﹣x0），得；由D在AB上知x0+2kx0＝2，得．

∴，化简得24k2﹣25k+6＝0，

解得或；

（Ⅱ）解法一：根据点到直线的距离公式和①式知，

点E，F到AB的距离分别为，

．

又，

12

∴四边形AEBF的面积为＝＝

＝＝，

当2k＝1，即当时，上式取等号．

∴S的最大值为．

解法二：由题设，|BO|＝1，|AO|＝2．

设y1＝kx1，y2＝kx2，由①得x2＞0，y2＝﹣y1＞0，

故四边形AEBF的面积为S＝S

△BEF +S

△AEF

＝

x2+2y2

＝＝

＝

，

当x2＝2y2时，上式取等号．

∴S的最大值为．

7.解：（Ⅰ）方法一、t＝4时，椭圆E的方程为+＝1，A（﹣2，0），

直线AM的方程为y＝k（x+2），代入椭圆方程，整理可得（3+4k2）

x2+16k2x+16k2﹣12＝0，

解得x＝﹣2或x＝﹣，则|AM|＝?|2﹣|＝?，

由AN⊥AM，可得|AN|＝?＝?，

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由|AM|＝|AN|，k＞0，可得?＝?，

整理可得（k﹣1）（4k2+k+4）＝0，由4k2+k+4＝0无实根，可得k＝1，

即有△AMN的面积为|AM|2＝（?）2＝；

方法二、由|AM|＝|AN|，可得M，N关于x轴对称，

由MA⊥NA．可得直线AM的斜率为1，直线AM的方程为y＝x+2，

代入椭圆方程+＝1，可得7x2+16x+4＝0，

解得x＝﹣2或﹣，M（﹣，），N（﹣，﹣），

则△AMN的面积为××（﹣+2）＝；

（Ⅱ）直线AM的方程为y＝k（x+），代入椭圆方程，

可得（3+tk2）x2+2t k2x+t2k2﹣3t＝0，解得x＝﹣或x＝﹣，即有|AM|＝?|﹣|＝?，

|AN|═?＝?，

由2|AM|＝|AN|，可得2?＝?，整理得t＝，

由椭圆的焦点在x轴上，则t＞3，即有＞3，即有＜0，

可得＜k＜2，即k的取值范围是（，2）．

8.解：（Ⅰ）依题设得椭圆的方程为，

直线AB，EF的方程分别为x+2y＝2，y＝kx（k ＞

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0）．

如图，设D（x0，kx0），E（x1，kx1），F（x2，kx2），其中x1＜x2，

且x1，x2满足方程（1+4k2）x2＝4，故．①

由知x0﹣x1＝6（x2﹣x0），得；

由D在AB上知x0+2kx0＝2，得．

所以，化简得24k2﹣25k+6＝0，解得或．

（Ⅱ）由题设，|BO|＝1，|AO|＝2．由（Ⅰ）知，E（x1，kx1），F（x2，kx2），

不妨设y1＝kx1，y2＝kx2，由①得x2＞0，根据E与F关于原点对称可知y2＝﹣y1＞0，

故四边形AEBF的面积为S＝S

△OBE +S

△OBF

+S

△OAE

+S

△OAF

＝?（﹣y1）＝＝x2+2y2

＝＝＝，当x2＝2y2时，上式取等号．所以S的最大值为．

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