2020-2021学年山东省潍坊市高一上学期期中数学试卷 及答案解析

2020-2021学年山东省潍坊市高一上学期期中数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）

1.已知集合A={x|x(x?2)=0}，B={x∈Z|x2≤1}，则A∪B等于()

A. {?2,?1,0，1}

B. {?1,0，1，2}

C. [?2,2]

D. {0,2}

2.如果a<b<0，那么下列不等式成立的是()

A. a2<ab

B. ?ab<?b2

C. 1

a <1

b

D. b

a

>a

b

3.下列图象中，表示y是x的函数的个数有()

A. 4个

B. 3个

C. 2个

D. 1个

4.若a,b,c∈R?,?a>b，则下列不等式成立的是()

A. 1

a <1

b

B. a2>b2

C. b

a +a

b

≥2 D. a(c2+1)>b(c2+1)

5.如果A是B的必要不充分条件，B是C的充要条件，D是C的充分不必要条件，那么A是D的

()

A. 必要不充分条件

B. 充分不必要条件

C. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件

6.函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，若f(1)>0，f(2)<0，则f(x)在(1,2)上零点的个数为()

A. 至多有一个

B. 有一个或两个

C. 有且只有一个

D. 一个也没有

7.若实数a，b满足a<b<0，则下列不等式成立的是()

A. a

b <1 B. 1

a

<1

b

C. a2<b2

D. a2>ab

8.不等式x2<|x?1|+a的解集是区间(?3,3)的子集，则实数a的取值范围是()

A. (?∞,5]

B. (?∞,5)

C. (?∞,7]

D. (?∞,7)

二、不定项选择题（本大题共4小题，共20.0分）

9.若a，b，c为实数，下列说法正确的是

A. 若a>b，则ac2>bc2

B. 若a<b<0，则a2>ab>b2

C. “关于x的不等式ax2+bx+c≥0恒成立”的充要条件是“a>0，b2?4ac≤0”

D. “a<1”是“关于x的方程x2+x+a=0有两个异号的实根”的必要不充分条件

10.44.下列函数中，既是偶函数又是上的减函数的是()

A. B. y=e?x C. D.

11.当x≥1时，下列函数的最小值为4的有()

A. y=4x+1

x B. y=4x2?4x+5

2x?1

C. y=2

√x2+1D. y=5x?1

x

12.下列不是函数f(x)=lg(7+6x?x2)的定义域的是()

A. (?1,7)

B. [?1,7)

C. (?1,7]

D. [?1,7]

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.已知m∈R时，函数f(x)=m(x2?1)+x?a恒有零点，则实数a的取值范围是______ ．

14.某商品零售价2014年比2013年上涨25%，欲控制2015年比2013年只上涨10%，则2015年应

比2014年下降______%．

15.已知定义在R上的偶函数f(x)在[0,+∞)单调递增，且f(1)=0，则不等式f(x?2)≥0的解集

是______．

16.按照国家的相关税法规定，作者的稿酬应该缴纳个人所得税，具体规定为：个人每次取得的稿

酬收入，定额或定率减去规定费用后的余额为应纳税所得额，每次收入不超过4000元，首先减去每次稿酬所得费用800元；每次收入在4000元以上的，首先减除20%的费用并且以上两种情况均使用20%的比例税率，且按规定应纳税额征30%，已知某人出版一份书稿，共纳税280元，这个人应得稿费(扣税前)为______ ．

四、解答题（本大题共6小题，共72.0分）

17.设全集U=R，集合A={x|1≤x<4}，B={x|2a≤x<3?a}．

(1)若a=?1，求B∩A，B∩?U A；

(2)若A∪B=A，求实数a的取值范围．

18.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，{b n}是各项均为正数的等比数列，a1=b4，______，b2=8，

b1?3b3=4，是否存在正整数k，使得数列{1

S n }的前k项和T n>15

16

?若存在，求出k的最小值；

若不存在，说明理由．

从①S4=20，②S3=2a3，③3a3?a4=b2这三个条件中任选一个，补充到上面问题中并作答．

注：如果选择多个条件分别解答，按一个解答计分

19.设函数f(x)=ax2?(3a+2)x+6．

⑴若f(x)>(a?2)x2?(a+1)x+1在x∈[?1,+∞)恒成立，求实数a的取值范围;

⑴解关于x的不等式ax2?(3a+2)x+6>0．

20.某渔业公司今年初用98万元购进一艘远洋渔船，每年的捕捞可有50万元的总收入，已知使用x

年(x∈N?)所需(包括维修费)的各种费用总计为2x2+10x万元．

(1)该船捞捕第几年开始赢利(总收入超过总支出，今年为第一年)？

(2)该船若干年后有两种处理方案：

①当赢利总额达到最大值时，以8万元价格卖出；

②当年平均赢利达到最大值时，以26万元卖出，

问哪一种方案较为合算？请说明理由．

21.设函数f(x)=|x+m|+|2x+1|．

(Ⅰ)当m=?1，解不等式f(x)≤3；

(Ⅱ)求f(x)的最小值．

22.已知指数函数y=g(x)满足：g(3)=8，定义域为R的函数f(x)=n?g(x)

是奇函数．

m+2g(x)

(1)确定y=g(x)的解析式；

(2)求m、n的值；

(3)若对任意的t∈R，不等式f(2t?3t2)+f(t2?k)>0恒成立，求实数k的取值范围．

-------- 答案与解析 --------1.答案：B

解析：解：A={x|x(x?2)=0}={0,2}，

B={x∈Z|x2≤1}={?1,0，1}，

则A∪B={?1,0，1，2}，

故选：B．

分别求出集合A、B，根据并集的定义计算即可．

本题考查了并集的定义，考查集合的运算，是一道基础题．

2.答案：B

解析：解：对于A：由a<b<0，得：a2>ab，故A错误；

对于B：若a<b<0，则?a>?b>0，b<0，∴?ab<?b2，故B正确；

对于C：由a<b<0，两边同除以ab得：1

b <1

a

，即1

a

>1

b

，故C错误；

对于D：0<b

a <1，a

b

>1，故D错误；

故选：B．

利用不等式的基本性质即可得出．

本题考查了不等式的基本性质，属于基础题．

3.答案：C

解析：

本题主要考查函数的概念和图象．

利用函数的定义判断选项即可，是基础题．

解：根据函数的概念可知，对每一个x的值，都有唯一确定的y值与之对应，故第1个图象和第2个图象符合题意，所以符合概念的图象有2个，

故选C．

4.答案：D

解析：

本题考查不等式的概念和不等关系，根据不等式的性质解题即可．

∵a>b,?c2+1>0，因此a(c2+1)>b(c2+1)，D选项正确，

a=1，b=?1时，可判断A，B，C错误．

故选D．

5.答案：A

解析：

本题考查充分条件，必要条件，属于基础题．

根据题意结合充分，必要条件即可得解．

A是B的必要不充分条件，B是C的充要条件，D是C的充分不必要条件

B能推出A，B能推出C，C能推出B，D能推出C

A是D的必要不充分条件．

6.答案：C

解析：

本题把二次函数与二次方程结合起来，由方程的根与函数零点的关系可知，求方程的根，就是确定函数的零点，也就是求函数的图象与x轴的交点的横坐标．属于基础题．

由于f(1)>0，f(2)<0，根据零点存在定理可知，f(x)在(1,2)上至少有一个零点．再结合f(x)是二次函数，可知有且只有一个零点．

解：∵f(1)>0，f(2)<0，

∴f(x)在(1,2)上至少有一个零点．

又f(x)是二次函数，可知有且只有一个零点．

故选：C．

7.答案：D

解析：

由不等式的性质可判断A和D；又y=在x<0递减，可判断B；由y=x2在x<0递减，可判断C.本题考查不等式的性质的运用，以及函数的单调性的运用：比较大小，考查运算能力，属于基础题．

解：实数a ，b 满足a <b <0，可得

>1，故A 错； 又y =在x <0递减，可得>，故B 错；

由y =x 2在x <0递减，可得a 2>b 2，故C 错；

由a <0，a <b ，可得a 2>ab ，故D 正确．

故选：D ．

8.答案：A

解析：

将不等式转化为函数，利用函数根与不等式解之间的关系即可得到结论．本题主要考查不等式的应用，利用不等式和函数之间的关系，转化为函数是解决本题的关键，属于基础题．

解：等式x 2<|x ?1|+a 等价为x 2?|x ?1|?a <0，

设f(x)=x 2?|x ?1|?a ，若不等式x 2<|x ?1|+a 的解集是区间(?3,3)的子集，

则{f(?3)=5?a ≥0f(3)=7?a ≥0

，解得a ≤5， 故选A ．

9.答案：BD

解析：【试题解析】

解：对于A ：若a >b ，则ac 2>bc 2，在c =0时不成立，所以A 错误；

对于B ：根据不等式的性质，若a <b <0，则?a >?b >0，

所以?a 2<?ab ，?ab <?b 2，

所以a 2>ab ，ab >b 2，即a 2>ab >b 2，选项B 正确；

对于C ：a =b =0，c =0时，不等式ax 2+bx +c ≥0也恒成立，所以选项C 错误；

对于D ：方程x 2+x +a =0有两个异号的实根的充要条件是a <0，

所以a <1是“关于x 的方程x 2+x +a =0有两个异号的实根”的必要不充分条件，D 正确． 故选：BD ．

根据不等式的基本性质，可以判断选项A 、B 是否正确；通过举反例可以判断选项C 错误；求出命题成立的充要条件，判断选项D 正确．

本题考查了命题真假的判断问题，也考查了简易逻辑推理的应用问题，是基础题．

10.答案：CD

解析：

根据题目要求，对四个选项的奇偶性和单调性进行判断，得到符合要求的选项，从而得到答案．【详解】

选项A中，是奇函数，不符合题目要求；

选项B中，y=e?x是非奇非偶函数，不符合题目要求；

选项C中，是偶函数，在上是单调递减函数，符合题目要求；

选项D中，是偶函数，在上，函数解析式为，是单调递减函数，符合题目要求．

故选：CD．

本题考查判断函数的奇偶性和单调性，属于简单题．

11.答案：BCD

解析：【试题解析】

解：对于A：y=4x+1

x ≥2√4x?1

x

=4，当且仅当x=1

2

时，最小值为4，由于x≥1，故不成立，故

A错误；

对于B：y=4x2?4x+5

2x?1=(2x?1)2+4

2x?1

=(2x?1)+4

2x?1

≥4，当且仅当x=3

2

时，等号成立，故B正确；

对于C：y=

2

√x2+1

=2

√x2+1√x2+1

=√x2+1+

√x2+1

，当且仅当x=√3时，等号成立，故C正确；

对于D：由于函数g(x)=5x在[1,+∞)为增函数，且f(x)=?1

x

，在[1,+∞)为增函数，所以y min=5×1?1=4，故D正确．

故选：BCD．

直接利用不等式的性质和均值不等式的应用和函数的单调性判断A、B、C、D的结论

本题考查的知识要点：不等式的性质，均值不等式的应用，函数的单调性，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．

12.答案：BCD

解析：由7+6x?x2>0，解得?1<x<7，故定义域为(?1,7)

13.答案：[?1,1]

解析：解：①若m=0，则f(x)=x?a，

它的零点为a，

故m=0符合题意，

②若m≠0，

函数f(x)=m(x2?1)+x?a=mx2+x?m?a恒有零点，

∴△=b2?4ac≥0得4m2+4ma+1≥0

∵m∈R，∴4m2+4ma+1≥0恒成立的条件是：△=b2?4ac≤0

得16a2?16≤0得?1≤a≤1

故答案为[?1,1]

利用函数零点的存在定理解决本题，要对该函数的性质进行讨论，是否为二次函数，是否有等根等．注意分类讨论思想的运用．

本题考查函数零点的确定，考查函数在某个区间内有零点的转化方法，注意对二次项系数的讨论．考查学生的分类讨论思想，属中档题．

14.答案：12

解析：

本题考查函数模型的应用，设2013年的市场零售价为1，则2014年的零售价为125%，2015年为110%，设2015年应比2014年下降x%，建立方程求解即可．

解：由已知设2013年的市场零售价为1，则2014年的零售价为125%，2015年为110%，

设应下降x%，由题意，得125%(1?x%)=110%，解得x=12．

故答案为12．

15.答案：{x|x≥3或x≤1}

解析：解：∵偶函数f(x)在[0,+∞)上为增函数，f(1)=0，

∴不等式f(x?2)≥0等价为f(|x?2|)≥f(1)，

即|x?2|≥1，

即x?2≥1或x?2≤?1，

即x≥3或x≤1，

故不等式的解集为{x|x≥3或x≤1}，

故答案为：{x|x≥3或x≤1}．

根据函数的奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化，即可得到不等式的解集．

本题主要考查不等式的解法，利用函数的奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键，综合考查函数性质的应用．

16.答案：2800元

解析：解：由题意，设这个人应得稿费(扣税前)为x元，则280=(x?800)×20%×(1?30%)

所以x=2800，

故答案为：2800元．

由题意，设这个人应得稿费(扣税前)为x元，则280=(x?800)×20%×(1?30%)，即可得出结论．

本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，正确选择函数模型是关键．

17.答案：解：(1)由A={x|1≤x<4}得?U A={x|x<1或x≥4}；

当a=?1时，B={x|?2≤x<4}；

∴B∩A=[1,4)，B∩?U A=[?2,1)；

(2)若A∪B=A，则B?A，

①B=?时，则2a≥3?a，∴a≥1，符合题意；

②B≠?时，则{2a<3?a

2a≥1

3?a≤4

，∴1

2

≤a<1；

综上所述，所求a的取值范围为[1

2

,+∞)．

解析：本题考查描述法表示集合的概念，以及交集、补集的运算，子集、并集的定义．

(1)a=?1时，求出B，然后进行交集，补集的运算即可；

(2)根据A∪B=A可得出B?A，从而可讨论B是否为空集，即可得解．

18.答案：①或②或③

解析：解：设等比数列{b n}的公比为q(q>0),则b1=8

q

，b3=8q，

于是8

q

?3×8q=4，

即6q2+q?2=0,解得q=1

2,q=?2

3

(舍)，

若选①，则a1=b4=2,S4=4a1+4×3

2

d=20，

解得d=2所以S n=2n+n(n?1)

2

×2=n2+n，

1 S n =1

n(n+1)

=1

n

?1

n+1

，

于是T n=1S

1+1

S2

+?+1

S k

=(1?1

2

)+(1

2

?1

3

)+?+(1

k

?1

k+1

)=1?1

k+1

．

令1?1

k+1>15

16

,解得k>15,因为k为正整数,所以k的最小值为16．

若选②：则a1=b1=2,3a1+3×2

2

d=2(a1+2d)，则a1=d=2．下同①．

若选③：则a1=b1=2，3(a1+2d)?(a1+3d)=8，解得d=4

3

，

于是S n=2n+n(n?1)

2×4

3

=2

3

n2+4

3

n，

1 S n =3

2

×1

n(n+2)

=3

4

(1

n

?1

n+2

)，

于是T n=3

4[(1?1

3

)+(1

2

?1

4

)+?+(1

k?1

?1

k+1

)+(1

k

?1

k+2

)]

=3

4(1+1

2

?1

k+1

?1

k+2

)=9

8

?3

4

(1

k+1

+1

k+2

)．

令T k >1516,得1k+1+1k+2<14．

注意到k 为正整数，解得k ≥7，所以k 的最小值为7．

本题的第一步为求出数列通项公式，然后求出等差数列的前n 项和．题目中出现的三个条件均可采用等差数列的定义和性质求解．

本题属于开放性的题目，要求我们选择合适的条件进行作答．本题的难点在于若选③难度较大，需要我们合理的筛选． 19.答案：解：(1)由f(x)>(a ?2)x 2?(a +1)x +1得：

2x 2?(2a +1)x +5>0在x ∈[?1,+∞)恒成立．

令g(x)=2x 2?(2a +1)x +5，则g(x)的最小值大于0，

1°，

2a+14≤?1，即a ≤?52时，g(x)min =g(?1)=8+2a >0，则a >?4，所以?4<a ≤?52． 2°，2a+14>?1，即a >?52时，g(x)min =g(2a+14)>0，即△=(2a +1)2?40<0，所以?2√10<2a +

1<2√10，

即?2√10?12<a <2√10?12，所以?52

<a <2√10?12． 综上，?4<a <

2√10?12． (2)1°，a =0，则?2x +6>0，所以x <3．

2°，a >0，则(ax ?2)(x ?3)>0，方程的根x 1=2a 或x 2=3．

①2a <3，即a >23时，x <2a

，或x >3； ②2a >3，即0<a <23时，x <3，或x >2a

； ③2a =3时，即a =23

时，x ≠3． 3°，a <0，则x 1=2a ，x 2=3，所以2a <x <3．

综上，a <0时，解集为(2a ,3)；a =0时，解集为(?∞,3)；0<a <23时，解集为(?∞,3)∪(2a ,+∞)；a =23解集为{x|x ≠3}；a >23时，解集为(?∞,2a )∪(3,+∞)．

解析：【试题解析】

(1)将不等式化简归零，然后构造函数，研究函数的单调性，令该函数的最小值大于零即可；

(2)求出不等式对应方程的两个根，然后讨论两个根的大小结合函数的单调性求出不等式的解． 本题考查不等式的解法以及函数、方程与不等式之间的关系，以及分类讨论思想在解题中的应用．属于中档题．

20.答案：解：(1)∵每年的捕捞可有50万元的总收入，使用x 年(x ∈N ?)所需(包括维修费)的各种费用总计为2x 2+10x 万元，

∴由该船捞捕第x 年开始赢利，可得50x >2x 2+10x +98

∴x 2?20x +49<0

∴x ∈[3,17](x ∈N ?)

∴该船捞捕第3年开始赢利；

(2)①令y 1=50x ?2x 2+10x +98=?2(x ?10)2+102

∴x =10时，赢利总额达到最大值102万元

∴10年赢利总额为102+8=110；

令y 2=?2x ?98x +40，则由基本不等式可得?2x ?98x +40≤12

此时，x =7，年平均赢利达到最大值为12万元

∴7年赢利总额为7×12+26=110万元，

两种情况的盈利额一样，但方案②的时间短，故方案②合算．

解析：(1)根据题意，由该船捞捕第x 年开始赢利，可得50x >2x 2+10x +98，解得x 的取值范围从而解决问题．

(2)①先求出平均盈利的函数表达式，再利用基本不等式求其最大值，从而得出盈利总额； ②先求出平均盈利的函数表达式，再利用二次函数的图象与性质求其最大值，从而得出盈利总额；最后比较两种情况的盈利额的情况即可解决问题．

本题主要考查函数模型的选择与应用，考查基本不等式的运用，考查利用数学知识解决实际问题，属于中档题．

21.答案：解：(Ⅰ)当m =?1时，不等式f(x)≤3，可化为|x ?1|+|2x +1|≤3．

当x ≤?12时，?x +1?2x ?1≤3，∴x ≥?1，∴?1≤x ≤?12；

当?12<x <1时，?x +1+2x +1≤3，∴x ≤1，∴?12<x <1；

当x ≥1时，x ?1+2x +1≤3，∴x ≤1，∴x =1；

综上所得，?1≤x ≤1．

(Ⅱ)f(x)=|x +m|+|2x +1|

=|x +m|+|x +12|+|x +12

| ≥|(x +m)?(x +12)|+|x +12

| =|m ?12|+|x +12|，当且仅当(x +m)(x +12)≤0时等号成立．

又因为|m ?12|+|x +12|≥|m ?12|，当且仅当x =?12时，等号成立．

所以，当x =?12时，f(x)取得最小值|m ?12|．

解析：本题考查绝对值不等式的解法，绝对值的几何意义．

(Ⅰ)当m =?1，化简不等式，通过x 的范围，取得绝对值符号，求解不等式f(x)≤3； (Ⅱ)利用绝对值的几何意义求解函数的最值即可．

22.答案：解：(1)设g(x)=a x (a >0且a ≠1)，∵g(3)=8，∴8=a 3，解得a =2． ∴g(x)=2x ；

(2)f(x)=n?2x m+2x+1，

∵函数f(x)是定义在R 上的奇函数，∴f(0)=n?1m+2=0，解得n =1．

∴f(x)=1?2x

m+2x+1，

又f(?x)+f(x)=0，∴1?2x

m+2x+1+1?2?x

m+2?x+1=0，

化为(m ?2)(2?2x ?2?x )=0，

∵上式对于任意实数都成立，∴m ?2=0，解得m =2．

∴m =2，n =1；

(3)由(2)可知：f(x)=1?2x

2+2x+1=12(21+2x ?1)，

∵函数y =2x 在R 上单调递增，∴f(x)在R 上单调递减．

∵不等式f(2t ?3t 2)+f(t 2?k)>0恒成立，

∴f(t 2?k)>?f(2t ?3t 2)=f(3t 2?2t)在R 上恒成立，

∴t 2?k <3t 2?2t 在R 上恒成立，

即2t 2?2t +k >0在R 上恒成立．

∴△=4?8k<0，解得k>1

．

2

,+∞)．

∴k的取值范围是k∈(1

2

解析：(1)设g(x)=a x(a>0且a≠1)，利用g(3)=8，可得8=a3，解得a即可；

(2)利用奇函数的定义和性质f(0)=0，f(?x)+f(x)=0即可得出；

(3)利用(1)(2)可证明函数f(x)在R上单调递减，进而即可解出t的取值范围．

本题考查了函数的奇偶性和单调性、指数函数的定义与性质、恒成立问题的等价转化等基础知识与基本技能方法，属于难题．

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