新课程理念下数学探究性教学案例研究

新课程理念下数学探究性教学案例研究

□ 董荣森

一、问题提出

培养学生学会学习、学会探究是全面发展学生能力的重要前提，是高中新课程改革的主要任务。学生学会探究离不开教师对探究方法的指导，目前中国数学课堂主要特征有三水平：记忆、解释、探究。就中学数学课堂教学而言，主要是集中在课堂教学中学生的思考力水平下降、学习质量和效益明显偏低的问题，反映在以下方面：

现象之一 课堂教学中，教师讲的多，包办的多，许多本该达到解释水平的课，不少教师将此下降为记忆水平，“满堂灌”或“满堂问”（填空式问答，懂的要问、不懂的不问）；有的课把教学混同于学科习题机械训练和简单强化，思考力水平明显下降。

现象之二 课堂教学中教师不能正确引导学生进行探究性学习的问题较多，许多是实验探究水平的课，教师没有给学生足够的思考时间和空间，学生对探究过程参与的质量与程度较低，教师常常通过解释或让学生记住最简捷的方法得出答案，“表面上像探究，实际上是讲解”，大部分学生还处于被动接受的地位，达不到学生亲自投入的思考力水平。

要解决现实中存在的问题，首先要明确引起高思考力水平保持和下降的因素有哪些。

高思考力水平要得以保持需具备七个要素：①给思维和探究推理“搭脚手架”；②为学生提供元认知方法；③示范高水平的操作行为；④维持对证明、解释或意义的强调；⑤任务建立在已有知识基础上；⑥在概念间建立联系；⑦适当的探究时间。

影响高思考力水平下降的因素有六类：①情境问题常规化（学生希望降低要求，教师包办代替）；②重点转移到追求答案的正确性与完整性，不注重意义、理解、概念获得等方面；③时间过多或过少；④课堂管理问题；⑤给予学生的任务不恰当（指向不明或学生缺乏兴趣）；⑥教师对学生低层次结果或过程迁就（如本来要求学生解释思考过程，却接受了学生不正确或不清晰的解释）。

其次我们尝试通过探究性教学方法的案例研究来获取解决问题的途径 二、数学探究性教学方法研究尝试依据 ㈠《普通高中数学课程标准》的要求

《标准》设立?数学探究?学习活动，以激发学生的数学学习兴趣和创新潜能，帮助学生养成独立思考、积极探索的习惯．这就是说《标准》倡导探究性学习，力图改变学生的学习方式，引导学生主动参与、乐于探究、勤于动手，逐步培养学生收集和处理科学信息的能力、获取新知识的能力、分析和解决问题的能力，以及交流与合作的能力等，突出创新精神和实践能力的培养。

㈡普通高中数学新教材内容编排的要求

普通高中课程标准实验教科书（人教版）各模块均安排了思考、探究、观察、阅读与思考、探究与发现等活动栏目（见下表）。

这些内容的设置，激发了学生的学习兴趣，拓展了知识视野，能使他们产生强烈的求知欲，在主动学习中去探索、去想象．教师作为学生探究性学习的指导者，其任务是调动学生的积极性，引导他们学会学习和掌握科学的学习方法，促使他们自已去获取知识、发展能力，做到自已能发现问题、提出问题、分析问题和解决问题．为终身学习和工作奠定基。

三、数学课堂探究性教学应用范式 ㈠基本过程（如下图）

在这个过程中：首先教师创设问题情境，推动学生认知冲突，启发思维，引发问题；在教师的指导下，学生提出问题，对原始问题进行变式，其次先学习小组后班级对提出的问题进行讨论、交流、修改、筛选出供课堂讨论的问题，学生独立对所提出的问题进行深入探讨，再次在教师的指导下，学生经过交流、讨论、互动提出解决问题的方案或过程，揭示和提炼数学规律，最后逐步完善结论或形成猜想，师生共同探索，进一步提出新问题或进行变式运用。

㈡教学实践

1、创设问题情境,培养问题意识

在数学探究学习活动中，教师首先必须把学生学习的内容巧妙的转化为数学问题思维情境。但并不是任何问题都能激起学生有效学习的兴味。教师创设数学问题情境的方法很多，可以从数学与社会的结合点来创设数学问题情境，也可以利用数学的认知矛盾来创设数学问题情境，还可以将教材中的先定理后应用的实际问题，调换为从应用题开始的问题情境创设，以突出?问题解决---建构数学---解决问题?的探究过程等等。总之,教师要营造一种宽松的探究环境，使问题呈现巧而生趣,准而能思,找准创新思维训练与教材内容之间的结合点.

案例一：普通高中课程标准实验教科书《数学》必修5，§1.1正弦定理（第1课时）

在教学中，创设问题情境，供学生探究：一船从港口B航行到港口C，测得BC的距离为a，船在港口C卸货后继续向港口A航行，由于船员忽疏没有测得CA的距离，如果船上有测角仪，他们能否计算出港口A、B之间的距离？

提出实际问题后，启发学生讨论下面问题。 ⑴这个过程可以转化为什么样的数学问题？

⑵数学建模，即将实际问题化为数学问题，即在△ABC中，已知A、C、a如何求c边呢？

①这个问题整体上讲属于什么性质的问题？（属于解三角形问题，判断问题的实质是解决问题的第一步）

②解三角形问题我们已经掌握了那些主要知识、工具？（已经学过直角三角形的解法，原有的认知结构是解决问题的基础）

③思考解决问题的思路（能否将解一般的三角形问题转化为解直角三角形问题？转化是一种重要的科学思维方法）

④解法过程:过B作BD⊥CA于D，则BD即为AC高，在Rt△ADB中，∠ADB=90， AB=c ,则BD=csinA,同理BD=AsinC ∴csinA=asinC,可以解得c

⑶同时得到：a/sinA=c/sinC,（实际问题解决了，同时又得到?副产品? a/sinA=c/sinC,寻求解答却并不是问题探究的唯一目的）

①在△ABC中，有a/sinA=c/sinC ，是否有a/sinA=b/sinB=c/sinC呢？

②a/sinA=b/sinB=c/sinC为常数 k，那常数k是什么呢？在直角三角形中k=2R,那任意三角形，k=？ 反思：教师从学生认知的最近发展区设计问题，在解决实际问题过程中通过情境的探索,不断产生新问题；已解决的问题又成为提出新问题的情境,（当然在探究的过程中，部分学生也很自然想到了利用三角形

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面积为工具，利用平面向量为工具来证明）从而引发在深一层次上去提出问题，进而去解决问题，最终达到问题解决。

2.搭建认知脚手架，促进探究问题的解决。

维果斯基认为，在测定儿童智力发展时，应至少确定儿童的两种发展水平：一是儿童现有的发展水平，一种是潜在的发展水平，这两种水平之间的区域称为?最近发展区?。教学应从儿童潜在的发展水平开始，不断创造新的?最近发展区?。认知脚手架应根据学生的?最近发展区?来建立，通过脚手架作用不停地将学生的智力从一个水平引导到另一个更高的水平，探究新问题需要知识的固着点,问题本身与固着点的?潜在距离?愈远,一般说来探究的难度就愈高。由此可见,知识、经验是探究能力的基础,不能离开一定的知识、经验的丰富度去强调探究能力。?脚手架?的设计和给出的关键是要把握探究的新问题与学生原有知识固着点之间的距离?度?。

案例二： 3月28日东亭中学?有效教学策略研究?公开课，章晓栋老师上得一堂课是普通高中课程标准实验教科书《数学》选修2-2，第三章 §3.3复数的几何意义（第1课时），下面是本节课开始选段，教师在教学时：

我们前面学习了复数的四则运算，是‘数’的角度来研究复数的，这节课我们要从‘形’的角度来研究，运用多媒体创设思维情景，屏幕上显示：

问题1：在几何上我们用什么来表示实数？ S1: 数轴上的点来表示；

屏幕上显示：实数（数）----- 数轴上的点（形）

T：回忆复数的一般形式：Z=a+bi(a,b∈R)，一个复数由什么唯一确定？ S2：有实部与虚部唯一确定；

问题2：类比实数的表示，可以用什么来表示复数？

S3：用y=ax+b来表示（学生的想法很独特，偏离了教师的预设，不过章老师没有批评，极力引导保持学生的积极性，做得还是比较好）。

反思：为什么学生启而不发，回答偏离教师的预设？我想：教师在创设探究问题情境时，?脚手架?的设计出现了问题，问题1与问题2之间的跨度太大，这样探究的新问题与学生原有知识固着点之间的距离太大，以至学生找不到固着点。如果我们在问题1与问题2之间增加问题3：平面上的点用什么来表示？（用一对有序实数来表示，点和有序实数对是一一对应关系，这样学生自然会意识到实部和虚部组成一对有序实数是否与点对应，这样可以用点来表示）。因此?脚手架?的设计和给出的关键是要把握好?度?。

案例三：普通高中课程标准实验教科书《数学》必修5，第二章 §2.2.3 等差数列的前n项和，在公式推导过程，我是这样设计的：

问题1：著名数学家高斯10岁时，曾解过一道题：1+2+3+…+100=? 你们知道怎么解吗？ 问题2：1+2+3+…+n=?

（在探求中有学生问：n是偶数还是奇数？教师反问：能否避免奇偶讨论呢？ 并引导学生从问题1感悟问题的实质：大小搭配，以求平衡） 设Sn=1+2+3+…+n ,又有Sn=n+(n-1)+(n-2)+…+1

2Sn=(1+n)+[2+(n-1)]+[3+(n-2)]+…+(n+1)，得Sn=n(n+1)/2 问题3：等差数列Sn=a1+a2+a3+…+an=n(a1+ an)/2 (学生容易从问题2中获得方法（倒序相加法）。但遇到

a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=an+a1呢？利用等差数列的定义容易理解这层等量关系，进一步的推广可得重要结论： m+n=p+q 得出am+an=ap+aq)

问题4：还有新的方法吗？（引导学生利用问题2的结论），经过讨论有学生有解法：设等差数列的公差d，则a1+a2+a3+…+an=a1+(a1+d)+(a1+2d)+…+[a1+(n-1)d]=na1+[1+2+3+…+(n-1)]d=na1+n(n-1)d/2（这里应用了问题2的结论）

问题5：Sn= na1+n(n-1)d/2=nan- n(n-1)d/2？ 学生容易从问题4中得到联想：

Sn=an+(an-d)+(an-2d)+…+[an-(n-1)d]=nan-[1+2+3+…+(n-1)]d=nan-n(n-1)d/2。 显然，这又是一个等差数列的求和公式。

反思：等差数列的求和对初学数列求和的离学生的现有发展水平较远，教师通过?弱化?的问题1和问题2将问题转化到学生的最近发展区内，由于学生的最近发展区是不断变化的，学生解决了问题2，就说明学生的潜在的发展水平已经转化为其新的现有发展水平，在新的现有发展水平基础上教师提出了问题3，学生解决了问题3，他们潜在的发展水平已经转化为其新的现有发展水平，在此基础上教师提出了问题4，这个案例的设计体现教师搭?脚手架?的作用不可低估,教师自始至终都应坚持?道而弗牵,强而弗抑,开而弗达?(《礼记〃学记》) ,诱导学生自己探究数学结论, 处理好?放?与?扶?的关系。

3、利用挖掘教材中的例题、习题，提高探究的水平

高中课标教材中有许多重要的例题和习题都反映了相关数学本质，蕴含着重要的数学思想和方法，对于这类问题，通过类比、引申、推广，提出新的问题，从而培养学的探究能力.

案例四: 普通高中课程标准实验教科书《数学》选修2-1 片段一：§2.3.2 抛物线的几何性质

在教学时，我选择了这样一道例题：斜率为1的直线经过抛物线y＝4x的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点，求线段AB的长．

⑴尝试解决：

方法1：将直线方程与抛物线方程联立，求出A、B两点坐标，再用两点间距离公式。

方法2：将直线方程与抛物线方程联立，求出A、B两点横坐标，再运用抛物线定义，推出本题的解法并不难，学习程度中上的学生大都用方法二，学习中下学生大都用方法一。然而仅仅就题论题，显然不能充分体现该题的教学价值，所以在教学中我进行了如下设计。

⑵问题探究：

问题1：同学们能不能不求坐标就可以求出线段AB的长？

方法3：在方法2的基础上由韦达定理可实现不解方程就能解决问题的目的。

问题2：将上题变为：斜率为k的直线经过抛物线y＝2px的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点，求线段AB的长。

探究结果：

①过抛物线焦点的弦长公式

②当直线垂直于x轴时，|AB|=2p，此时|AB|叫抛物线的通径，可以让学生进一步理解通径的几何意义。在此过程中同学们还会发现

③学生自主提出问题：

问题3：在方法一中能不能不求出点的纵坐标？（此问题由学生提出,相对问题一要难一点，所以要求同学们分小组讨论来完成）通过同学们的探索和教师的点拔得出如下成果：

(圆锥曲线的弦长公式) ⑶理性归纳：

①体现了方程的思想；

②得到了求直线与圆锥曲线相交所得弦长的一般公式.（与焦点无关） ③为下一节课?直线与圆锥曲线的位置关系?的顺利进行奠定了基础.

22⑷开放式变换问题：

问题1：在本题的基础上提出：以AB为直径的圆和准线有何关系？

问题2：过抛物线焦点F的直线交抛线于A、B两点，通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线于点D，试判断直线DB与x轴的位置关系.

片段二：普通高中课程标准实验教科书《数学》必修3 §3.3 几何概型（第102页例题3）在等腰直角三角形ABC中，在斜边AB上任取一点M，求AM小于AC的概率。

在教学时，我通过变式

变式1：条件不变，求使△ACM为钝角三角形的概率？ 变式2：条件不变，求使△ACM为直角三角形的概率？

变式3：把?在斜边AB上任取一点M?改为?过顶点C任作一射线l与斜边AB交一点M?，求AM小于AC的概率？

变式4：在等腰直角三角形ABC中，若点M在△ABC内，求使△ACM为钝角三角形的概率？

反思：对典型例题通过类比、引申、拓展延伸，提出新的问题，让学生深切体验到?新?知识的产生过程，体会数学学科严谨、求实、继承、创新的理性思维特征，在层出不穷的新知识、新问题、新体验中得到动力，同时也深深感受到探究的乐趣，培养了发现问题，探究究问题的能力。

培养学生的探究意识和探究能力是长期的、日集月累的，应融入平常的课堂教学之中。教师应改变传统的教学理念，学习新的教育教学理论，以适应当前的教育发展的形势。笔者认为培养学生的探究精神和探究能力，应注意处理好以下五个关系：处理好师生、生生之间的关系；处理好知识、技能和能力之间的关系；处理和培养与之相关的各种能力之间的关系；处理好课内与课外的关系；处理好学科之间的关系。

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