高中数学 人教A版必修一 第一章集合与函数的概念导学案

1．1.1 集合的含义与表示

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第1课时 集合的含义

【学习要求】

1．通过实例理解集合的有关概念；

2．初步理解集合中元素的三个特性； 3．体会元素与集合的属于关系；

4．知道常用数集及其专用符号,会用集合语言表示有关数学对象．

【学法指导】

通过经历从集合实例中抽象概括出集合共同特征的过程，理解并掌握集合的含义；通过由用自然语言描述集合到用抽象的符号语言描述集合的过程，体会集合语言的严谨性和逻辑性，逐渐养成严密的思维习惯．

【知识要点】

1．元素与集合的概念

（1）把 统称为元素，通常用 表示．

（2）把 叫做集合(简称为集)，通常用 表示． 2．集合中元素的特性： 、 、 ．

3．集合相等：只要构成两个集合的元素是 的，就称这两个集合是相等的． 4．元素与集合的关系有两种，分别为 、 ，数学符号分别为 、 . 5．常用数集及表示符号： 名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 【问题探究】

问题情境：军训前学校通知：今天上午八点高一年级在体育场集合进行军训动员；那么这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生呢？在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定(是高一而不是高二、高三)对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合． 探究点一 集合概念的形成过程

问题1 在初中，我们学过哪些集合？用集合描述过什么？

问题2 数学中的“集合”一词与我们日常生活中的哪些词语的意义相近？

问题3 阅读教材第2页中的例子，你能否从具体的实例中抽象出集合及元素的概念？

探究点二 集合元素的特征

问题1 某班所有的“帅哥”能否构成一个集合？某班身高高于175厘米的男生能否构成一个集合？集合元素确定性的含义是什么？

问题2 集合中的元素不能相同，这就是元素的互异性，如何理解这一性质？

问题3 “中国的直辖市”构成的集合中，元素包括哪些？甲同学说：北京、上海、天津、重庆；乙同学说：上海、北京、重庆、天津，他们的回答都正确吗？由此说明什么？怎么说明两个集合相等？

例1 考查下列每组对象能否构成一个集合． （1）不超过20的非负数；

（2）方程x2－9＝0在实数范围内的解； （3）某校2012年在校的所有高个子同学；

（4）3的近似值的全体．

小结 判断给定的对象能不能构成集合，关键在于能否找到一个明确的标准，对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素．

跟踪训练1 下列给出的对象中，能构成集合的是 ( ) A．著名数学家 B．很大的数 C．聪明的人 D．小于3的实数

探究点三 集合与集合中的元素的关系及表达

问题1 集合及集合中的元素用怎样的字母来表示？ 问题2 集合与元素之间的关系如何表示？

例2 已知－3?A,A中含有的元素有a?3,2a?1,a2?1，求a的值．

小结 由元素的确定性知：－3?A，则必有一个式子的值为－3，以此展开讨论，便可求得a.求出的a值代入A的元素后，不能出现相同的元素，否则这样的a不符合元素的互异性，应舍去． 跟踪训练2 已知由1，x，x 2三个实数构成一个集合，求x应满足的条件．

探究点四 常用的数集及表示

问题 常用的数集有哪些？如何表示？

例3 下面有四个命题，正确命题的个数为 ( ) （1）集合N中最小的数是1； （2）若－a不属于N，则a属于N；

（3）若a?N，b?N，则a＋b的最小值为2； （4）x2?1?2x的解可表示为{1,1}．

A．0 B．1 C．2 D．3

小结 集合可以用大写的字母表示，但自然数集、正整数集、整数集、有理数集、实数集有专用字母表示，一定要牢记，以防混淆．

跟踪训练3 用符号“?”或“?”填空．

（1）－3________N；（2）3.14________Q；（3）3_____Q； （4）1________N＋；（5）π________R

【当堂检测】

1．下列各条件中能构成集合的是 ( ) A．世界著名科学家 B．在数轴上与原点非常近的点 C．所有等腰三角形 D．全班成绩好的同学

2．一个小书架上有十个不同品种的书各3本，那么由这个书架上的书组成的集合中含有________个元素． 3．给出下列几个关系，正确的个数为 ( ) ①3?R；②0.5?Q；③0?N；④－3?Z；⑤0?N＋. A．0

B．1 C．2 D．3

4．方程x2?4x?4?0的解集中，有________个元素

【课堂小结】

1．考查对象能否构成一个集合，就是要看是否有一个确定的特征(或标准)，能确定一个个体是否属于这个总体，如果有，能构成集合，如果没有，就不能构成集合． 2．集合中元素的三个特性

（1）确定性：指的是作为一个集合中的元素，必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素属不属于这个集合是确定的．要么是该集合中的元素要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否构成集合．

（2）互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的． （3）无序性：集合与其中元素的排列顺序无关，如由元素a,b,c与由元素b,a,c组成的集合是相等的集合．这个性质通常用来判断两个集合的关系.

【课后作业】

第2课时 集合的表示 【学习要求】

1．掌握集合的两种常用表示方法(列举法和描述法)；

2．通过实例能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用．

【学法指导】

通过由用自然语言描述数学概念到用集合语言描述数学概念的抽象过程，感知用集合语言思考问题的方法；体会将实际问题数学化的过程.

【知识要点】

1．列举法

把集合的元素 出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法． 2．描述法

用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为 ．

3．列举法常用于集合中的元素 时的集合表示，描述法多用于集合中的元素有 或元素个数较多的有限集.

【问题探究】

问题情境：上节课我们学习了用大写字母表示常用的几个数集，但是这不能体现出集合中的具体元素是什么，并且还有大量的非常用集合不能用大写字母表示，事实上表示一个集合关键是确定它包含哪些元素，为此，我们有必要学习集合的表示方法还有哪些？分别适用于什么情况？ 探究点一 列举法表示集合

问题1 在初中学正数和负数时，是如何表示正数集合和负数集合的？如表示下列数中的正数4.8，－3，2，－0.5，1

3

，73，3.1.

问题2 列举法是如何定义的？什么类型的集合适合用列举法

表示？

问题3 book中的字母的集合能否表示为：?b,o,o,k?? 例1 用列举法表示下列集合：

（1）小于10的所有自然数组成的集合； （2）方程x2?x的所有实数根组成的集合；

（3）由1～20以内的所有质数组成的集合．

小结 （1）花括号“{ }”表示“所有”、“整体”的含义，如实数集R可以写为{实数},但如果写成{实数集}、{全体实数}、?R?都是不确切的．

（2）列举法表示的集合的种类

①元素个数少且有限时，全部列举，如{1,2,3,4}；

②元素个数多且有限时，可以列举部分，中间用省略号表示，如“从1到1 000的所有自然数”可以表示为{1,2,3，…，1 000}；

③元素个数无限但有规律时，也可以类似地用省略号列举，如：自然数集N可以表示为{0,1,2,3，…}． 跟踪训练1 用列举法表示下列集合．

（1）由所有小于10的既是奇数又是素数的自然数组成的集合； （2）式子

aa?bb(a?0,b?0)的所有值组成的集合．

探究点二 描述法表示集合

问题1 用列举法能表示不等式x?7?3的解集吗？为什么？

问题2 不等式x?7?3的解集我们可以用集合所含元素的共同特征来表示，那么不等式x?7?3的解集中所含元素的共同特征是什么？

问题3 由奇数组成的集合中，元素的共同特征是什么？

问题4 用集合元素的共同特征来表示集合就是描述法，那么如何用描述法来表示集合？什么类型的集合适合用描述法表示？

例2 试分别用列举法和描述法表示下列集合： （1）方程x2－2＝0的所有实数根组成的集合；

（2）由大于10小于20的所有整数组成的集合．

小结 集合中的元素具有无序性、互异性，所以用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序，且元素不能重复，元素与元素之间要用“，”隔开；用描述法表示集合时，要注意代表元素是什么，从而理解集合的含义，区分两集合是不是相等的集合．

跟踪训练2 用适当的方法表示下列集合： （1）方程x2?y2?4x?6y?13?0的解集；

（2）二次函数y?x2?10图象上的所有点组成的集合． 例3 用适当的方法表示下列集合：

（1）由x?2n,0?n?2且n?N组成的集合；

（2）抛物线y?x2?2x与x轴的公共点的集合；

（3）直线y＝x上去掉原点的点的集合．

小结 用列举法与描述法表示集合时，一要明确集合中的元素；二要明确元素满足的条件；三要根据集合中元素的个数来选择适当的方法表示集合．

跟踪训练3 若集合A＝{x∈Z|－2≤x≤2}，B＝{y|y＝x2＋2 000，x?A}，则用列举法表示集合B＝______

【当堂检测】

1．方程组???x＋y＝3

? )

?

x－y＝－1

的解集不可表示为

( A．{(x，y)|???x＋y＝3 ??x＝1

??x－y＝－1} B．{(x，y)|???

y＝2

} C．{1,2} D．{(1,2)}

2．已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{(x，y)|x?A，y?A，x－y?A}，则B中所含元素的个数为 ( )

A．3 B．6 C．8 D．10 3．已知集合A＝??x?N86?x?N?A. ??，试用列举法表示集合?【课堂小结】

1．在用列举法表示集合时应注意：

（1）元素间用分隔号“，”；（2）元素不重复；（3）元素无顺序；

（4）列举法可表示有限集，也可以表示无限集，若元素个数比较少用列举法比较简单；若集合中的元素较多或无限，但出现一定的规律性，在不发生误解的情况下，也可以用列举法表示． 2．在用描述法表示集合时应注意：

（1）弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)，是数、还是有序实数对(点)、还是集合或其他形式？

（2）元素具有怎样的属性)当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑.

【课后作业】

1.1.2 集合间的基本关系

【学习要求】

1．理解子集、真子集的概念；

2．了解集合之间的包含、相等关系的含义； 3．能利用Venn图表达集合间的关系； 4．了解空集的含义．

【学法指导】

通过观察身边的实例所构成的集合，发现集合间的基本关系，体验其现实意义；树立数形结合的思想，

体会类比对发现新结论的作用.

【知识要点】

1．子集的概念

一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中 元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作 (或 )，读作 “ ”(或“ ”)． 2．Venn图

用平面上 曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图． 3．集合相等与真子集的概念

（1）集合相等：如果 ，就说集合A与B相等；

（2）真子集：如果集合A?B，但存在元素 ，称集合A是集合B的真子集．记作：AB(或BA)，读作：A真包含于B(或B真包含A)．

4．空集

（1）定义： 的集合叫做空集． （2）用符号表示为： .

（3）规定：空集是任何集合的 ． 5．子集的有关性质

（1）任何一个集合是它本身的子集，即 .

（2）对于集合A，B，C，如果A?B，且B?C，那么

【问题探究】

问题情境：已知任意两个实数a，b，则它们的大小关系可能是a＜b或a＝b或a＞b，那么对任意的两个集合A，B，它们之间有什么关系？今天我们就来研究这个问题． 探究点一 集合与集合之间的“包含”关系

问题1 观察下面几个例子，你能发现两个集合间有什么关系吗？ （1）A＝{1,2,3}，B＝{1,2,3,4,5}；

（2）设A为新华中学高一(2)班全体女生组成的集合，B为这个班全体学生组成的集合； （3）A＝N，B＝R；

（4）A＝{x|x为中国人}，B＝{x|x为亚洲人}．

问题2 如何运用数学语言准确表达问题1中两个集合的关系？

问题3 类比表示集合间关系的符号与表示两个实数大小关系的符号之间有什么类似之处？ 问题4 集合A，B的关系能不能用图直观形象的表示出来？

小结 用Venn图表示两个集合间的“包含”关系A?B(或B?A)，如下图所示．

例1 观察下面几组集合，集合A与集合B具有什么关系？ （1）A＝{x|x>3}，B＝{x|3x－6>0}． （2）A＝{正方形}，B＝{四边形}．

（3）A＝{育才中学高一(11)班的学生}，B＝{育才中学高一年级的学生}．

小结 在判断两个集合的关系时，对于用描述法表示的集合，一般要变成用列举法来表示，使集合中的元素特征清晰地呈现出来，便于讨论集合间的包含关系．

跟踪训练1 已知集合P＝{x|x＝|x|，x?N且x<2}，Q＝{x?Z|－2

问题1 观察下面几个例子,你能发现两个集合间有什么关系吗？ （1）设C＝{x|x是两条边相等的三角形}，D＝{x|x是等腰三角形}； （2）C＝{2,4,6}，D＝{6,4,2}．

问题2 与实数中的结论“若a≥b，且b≥a，则a＝b”相类比，在集合中，你能得出什么结论？

小结 如果两个集合所含的元素完全相同，那么我们称这两个集合相等．用子集概念对两个集合的相等可描述为：如果

A?B且B?A，则A，B中的元素是一样的，因此A＝B，即A＝B???

?A?B??B?A

.

问题3 用Venn图怎样表示两个集合相等的关系？

例2 已知集合A＝{a，a＋b，a＋2b}，B＝{a，ac，ac2}．若A＝B，求实数c的值．

小结 抓住集合相等的含义，分情况进行讨论，同时要注意检验所得的结果是否满足元素的互异性． 跟踪训练2 已知集合A＝{x，xy，x－y}，B＝{0，|x|，y}且A＝B，求实数x与y的值． 探究点三 真子集、空集的概念

问题1 集合A是集合B的真子集的含义是什么？

问题2 空集是怎么定义的？空集用什么符号表示？空集有怎样的性质？

问题3 集合A是集合B的真子集与集合A是集合B的子集之间有什么区别？ 问题4 0，{0}与?三者之间有什么关系？

问题5 包含关系{a}?A与属于关系a?A的意义有什么区别？

问题6 对于集合A，A?A正确吗？对于集合A，B，C，如果A?B，B?C，那么集合A与C有什么关系？ 例3 写出满足{1,2}A?{1,2,3,4,5}的所有集合A共有多少个？

小结 （1）求集合的子集问题，应按集合中所含元素的个数分类依次书写，以免出现重复或遗漏． （2）此题中“求集合A的个数”，等价于求集合{3,4,5}的非空子集个数． 跟踪训练3 已知{a，b}?A{a，b，c，d，e}，写出所有满足条件的集合A.

【当堂检测】

1．集合P＝{x|x2－1＝0}，T＝{－1,0,1}，则P与T的关系为( ) A．PT B．TP C．P＝T D．P?T

2．集合A＝{－1,0,1}，A的子集中，含有元素0的子集共有( ) A．2个 B．4个 C．6个 D．8个

3．已知{0,1}A?{－1,0,1}，则集合A＝__________

【课堂小结】

1．对子集、真子集有关概念的理解

（1）集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即由x?A，能推出x?B，这是判断A?B的常用方法． （2）不能简单地把“A?B”理解成“A是B中部分元素组成的集合”，因为若A＝?时，则A中不含任何元素；

若A＝B，则A中含有B中的所有元素．

（3）在真子集的定义中，AB首先要满足A?B，其次至少有一个x?B，但x?A. 2．集合子集的个数

求集合的子集问题时，一般可以按照子集元素个数分类，再依次写出符合要求的子集．

集合的子集、真子集个数的规律为：含n个元素的集合有2n个子集，有2n－1个真子集，有2n－2个非空真子集．写集合的子集时，空集和集合本身易漏掉．

【拓展提高】

1.1.3 集合的基本运算

第1课时 并集与交集 【学习要求】

1．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集和交集；

2．能使用Venn图表示集合的并集和交集运算结果，体会直观图对理解抽象概念的作用； 3．掌握有关的术语和符号，并会用它们正确进行集合的并集与交集运算．

【学法指导】

通过观察和类比，借助Venn图理解集合的并集及交集运算，培养数形结合的思想；体会类比的作用；感受集合作为一种语言在表示数学内容时的简洁和准确.

【知识要点】

1．并集 （1）定义：一般地， 的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作 . （2）并集的符号语言表示为A∪B＝ ．

（3）性质：A∪B＝ ，A∪A＝ ，A∪?＝ ，A∪B＝A? ，A A∪B. 2．交集 （1）定义：一般地，由 元素组成的集合，称为集合A与B的交集，记作 . （2）交集的符号语言表示为A∩B＝ ． （3）性质：A∩B＝ ，A∩A＝ ，A∩?＝ ，A∩B＝A? ，A∩B A∪B，A∩B A，A∩B B.

【问题探究】

问题情境：两个实数除了可以比较大小外，还可以进行加减法运算，如果把集合与实数相类比，我们会想两个集合是否也可以进行“加减”运算呢？本节就来研究这个问题． 探究点一 并集

问题1 请同学们考察下列各个集合，你能说出集合C与集合A、B之间的关系吗？ (1)A＝{1,3,5}，B＝{2,4,6}，C＝{1,2,3,4,5,6}；

(2)A＝{x|x是有理数}，B＝{x|x是无理数}，C＝{x|x是实数}．

问题2 在问题1中，我们称集合C为集合A、B的并集，那么如何定义两个集合的并集？ 问题3 集合A∪B如何用Venn图来表示？

问题4 用并集运算符号表示问题1中A，B，C三者之间的关系是什么？ 例1 (1)设A＝{4,5,6,8}，B＝{3,5,7,8}，求A∪B.

(2)设集合A＝{x|－1

小结 两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有元素组成的集合，它们的公共元素在并集中只能出现一次．对于表示不等式解集的集合的运算，可借助数轴解题． 跟踪训练1 已知集合A＝{1,2,4}，B＝{2,4,6}，则A∪B＝_____________ 探究点二 交集

问题1 请同学们考察下面的问题，集合A、B与集合C之间有什么关系？ ①A＝{2,4,6,8,10}，B＝{3,5,8,12}，C＝{8}；

②A＝{x|x是国兴中学2011年9月入学的高一年级女同学}，B＝{x|x是国兴中学2011年9月入学的高一年级同学}，C＝{x|x是国兴中学2011年9月入学的高一年级女同学}．

问题2 在问题1中，我们称集合C为集合A、B的交集，那么如何定义两个集合的交集？ 问题3 如何用Venn图表示交集运算？

例2 （1）新华中学开运动会，设A＝{x|x是新华中学高一年级参加百米赛跑的同学}，B＝{x|x是新华中学高一年级参加跳高比赛的同学}，求A∩B.

（2）设平面内直线l1上点的集合为L1，直线l2上点的集合为L2，试用集合的运算表示l1，l2的位置关系． 小结 两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A与B的公共元素组成的集合，当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集．

跟踪训练2 设集合P＝{1,2,3,4,5}，集合Q＝{x?R|2≤x≤5}，那么下列结论正确的是 ( ) A．P∩Q＝P B．P∩QQ C．P∩QP D．P∩Q＝Q 探究点三 并集与交集的性质

问题1 你能用Venn图表示出两个非空集合的所有关系吗？ 问题2 你能从问题1中所画的图中发现哪些重要的结论？

问题3 如果集合A，B没有公共元素，那么它们就没有交集吗？

例3 已知A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－ax＋a－1＝0}，若A∪B＝A，求实数a的值．

小结 在利用集合的交集、并集性质解题时，若条件中出现A∪B＝A，或A∩B＝B，解答时常转化为B?A，然后用集合间的关系解决问题，运算时要考虑B＝?的情况，切记不可漏掉．

跟踪训练3 设集合A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，a?R}，若A∩B＝B，求a的值．

【当堂检测】

1．设集合A＝{x|x?Z且－15≤x≤－2}，B＝{x|x?Z且|x|<5}，则A∪B中的元素个数是 ( ) A．10 B．11 C．20 D．21 2．若集合M＝{－1,0,1}，N＝{0,1,2}，则M∩N等于 ( ) A．{0,1} B．{－1,0,1} C．{0,1,2} D．{－1,0,1,2}

3．已知集合P＝{x|x2≤1}，M＝{a}．若P∪M＝P，则a的取值范围为________

【课堂小结】

1．对并集、交集概念的理解

（1）对于并集，要注意其中“或”的意义，“或”与通常所说的“非此即彼”有原则性的区别，它们是“相容”

的．“x?A，或x?B”这一条件，包括下列三种情况：x?A但x?B；x?B但x?A；x?A且x?B.因此，A∪B是由所有至少属于A、B两者之一的元素组成的集合．

（2）A∩B中的元素是“所有”属于集合A且属于集合B的元素，而不是部分，特别地，当集合A和集合B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是A∩B＝?. 2．集合的交、并运算中的注意事项

（1）对于元素个数有限的集合，可直接根据集合的“交”、“并”定义求解，但要注意集合元素的互异性． （2）对于元素个数无限的集合，进行交、并运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点值取到与否.

【拓展提高】

第2课时 补集及综合应用

【学习要求】

1．了解全集、补集的意义；

2．正确理解补集的概念，正确理解符号“?UA”的含义；

3．会求已知全集的补集，并能正确应用它们解决一些具体问题．

【学法指导】

通过观察和类比，借助Venn图理解集合的补集及集合的综合运算，进一步树立数形结合的思想；进一步体会类比的作用；感受集合作为一种语言在表示数学内容时的简洁和准确.

【知识要点】

1．全集：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为 ，通常记作 . 2．补集：对于一个集合A，由全集U中 的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作 .补集的符号语言表示为?UA＝ ． 3．补集与全集的性质 （1）?UU＝ ；（2）?U?＝ ；（3）?U(?UA)＝ ； （4）A∪(?UA)＝ ；（5）A∩(?UA)＝ .

【问题探究】

问题情境：相对于某个集合U，其子集中的元素是U中的一部分，那么剩余的元素也应构成一个集合，这两个集合对于U构成了相对关系，这就验证了“事物都是对立和统一的关系”．集合中的部分元素构成的集合与集合之间的关系就是部分与整体的关系．这就是本节研究的内容——全集和补集． 探究点一 全集、补集概念

问题1 方程(x－2)(x2－3)＝0的解集在有理数范围内与在实数范围内有什么不同？通过这个问题你得到什么启示？

问题2 U＝{全班同学}、A＝{全班参加足球队的同学}、B＝{全班没有参加足球队的同学}，则U、A、B有何关系？

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