代数学引论答案（第一章）

1. 如果群G中,每个元素a都适合a2=e, 则G为交换群.

证明: [方法1] 对任意a,bG,ba=bae=ba(ab)2=ba(ab)(ab)=ba2b(ab)=beb(ab)=b2(ab)=e(ab)=ab 因此G为交换群.

2. 证明:群G为一交换群当且仅当映射

是一同构映射.

是一同构映射. 为一一对应，又因为

,

证明:(Ⅰ)首先证明当群G为一个交换群时映射

由逆元的唯一性及

可知映射

并且群G为一个交换群,可得

综上可知群G为一个交换群时映射(Ⅱ)接着证明当映射若映射

.因此有

是一同构映射.

.

是一同构映射,则群G为一个交换群.

有

,

是一同构映射,则对任意

另一方面，由逆元的性质可知

.

因此对任意即映射

有,

是一同构映射,则群G为一个交换群.

3. 设n为一个正整数, nZ为正整数加法群Z的一个子群，证明nZ与Z同构. 证明:

我们容易证明

4. 证明:在S4中，子集合B={e,(1 2)(3 4),(1 3)(2 4),(1 4)(2 3)}是子群，证明B与U4不同构. 证明:可记a=(1 2)(3 4), b=(1 3)(2 4), c=(1 4)(2 3)，那么置换的乘积表格如下：

e a b c e e a b c a a e c b b b c e a c c b a e 为Z到nZ的同构映射,故此nZ与Z同构.

由该表格可以知道B中的元素对置换的乘法封闭，并且B的每一元都可逆(任意元的逆为其本身),因此B为S4的子群. 这个群(以及与其同构的群)称为Klein(C.L.Klein,1849-1925)四元群.

假设B与U4同构,并设f为B到U4的同构映射, 则存在B中一元x使得f(x)=i(i为虚数单位),那么f(x2)= f2(x)=i2=-1 另一方面, f(x2)=f(e)=1(注意x2=e),产生矛盾.所以假设不成立, 即B与U4不同构. [讨论] B与U4都是4元交换群，但是后者是循环群, 前者不是, 这是这两个群的本质区别 .

1

5. 证明:如果在一阶为2n的群中有一n阶子群，它一定是正规子群. 证明:[方法1]设H是2n阶群G的n阶子群, 那么对任意aH, 有HaH=, 并且aHG,HG,又注意到aH和H中都有n个元素, 故此HaH=G.

同理可证对任意aH, 有HHa=, HHa=G， 因此对任意aH，有aH=Ha.

对任意aH, 显然aHH, HaH又因aH,Ha及H中都有n个元素，故aH=Ha=H. 综上可知对任意aG,有aH=Ha，因此H是G的正规子群.

[方法2] 设H是2n阶群G的n阶子群,那么任取aH, hH, 显然有aha-1H.对给定的xH, 有HxH=, HxH=G.

这是因为若假设yHxH, 则存在hH，使得y=xh,即x=yh-1H产生矛盾,因此HxH=;另一方面, xHG,HG, 又注意到xH和H中都有n个元素, 故此HxH=G.

那么任取aH,由上面的分析可知axH, 从而可令a=xh1这里h1H.

假设存在hH, 使得aha-1H,则必有aha-1xH,从而可令aha-1=xh2，这里h2H. 那么，xh1ha-1=xh2,即a= h2h1hH,产生矛盾.

因此，任取aH, hH, 有aha-1H.

综上可知对任取aG, hH, 有aha-1H,因此H为G的一个正规子群. 6. 设群G的阶为一偶数,证明G中必有一元素ae适合a2=e.

证明: 设bG，且阶数大于2，那么b≠b-1,而b-1的阶数与b的阶数相等.换句话说G中阶数大于2的元素成对出现，幺元e的阶数为1，注意到G的阶数为宜偶数，故此必存在一个2阶元，(切确的说阶数为2的元素有奇数个). [讨论]

[1] 设G是一2n阶交换群，n为奇数则G中只有一个2阶元.为什么？ 提示：采用反证法，并注意用Lagrange定理.

[2] 群G中，任取aG，有an=e，那么G一定是有限群吗？如果不是请举出反例，若是有限群，阶数和n有什么关系？

7. 设H，K为群G的子群，HK为G的一子群当且仅当HK=KH.

证明：(Ⅰ)设HK=KH，下面证明HK为G的一子群.任取a,b∈HK,可令a=h1k1，b=h2k2这里hi∈H，ki∈K，i=1,2. 那么ab=(h1k1)(h2k2)=h1(k1h2)k2 ---------------(1)

因HK=KH，故此k1h2= h3k3 ----------------------(2)。这里h3∈H，k3∈K. 由(1),(2)知，ab= h1(h3k3)k2=(h1h3)(k3k2)∈HK. ------------(3) 另外，a-1= (h1k1)-1= 由(3),(4)知HK是G的子群.

(Ⅱ) HK为G的一子群,下面证明HK=KH.

若a∈HK,易知a-1∈KH. HK是子群,任取a∈HK，有a-1∈HK,因此(a-1)-1=a∈KH，那么有HK KH. 若a∈KH,易知a-1∈HK. HK是子群,任取a∈KH，有a-1∈HK,因此(a-1)-1=a∈HK，那么有KH HK. 综上知，HK=KH.

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∈KH=HK. ----------------- (4)

8. 设M,N是群G的正规子群.证明： (i) MN=NM;

(ii) MN是G的一个正规子群；

(iii) 如果MN={e}，那么MN/N与M同构.

证明：(i)[方法1]任取a∈MN,可设a=mn(m∈M，n∈N).因为M为G的正规子群，故n-1mn∈M. 所以a=n(n-1mn) ∈NM，故此MN?NM. 同样的方法可以证明NM?MN. 因此MN=NM.

[方法2]任取a，b∈MN，可设a=m1n1(m1∈M，n1∈N)，b=m2n2(m2∈M，n2∈N).下面只要证明MN为G的一个子群即可(由第20题可知)，也就是说只要证明ab-1∈MN即可.

因为ab-1=m1n1n2-1m2-1= [m1(n1n2-1m2-1n2n1-1)](n1n2-1)， 而M为G的正规子群，故n1n2-1m2-1n2n1-1∈M，所以ab-1∈MN.

(ii) 由(i)可知MN为G的一个子群.任取a∈MN, 可设a=mn(m∈M，n∈N).因为M和N为G的正规子群，对任意g∈G，有g-1ag= g-1mng= (g-1mg)(g-1ng) ∈MN.所以MN为G的正规子群.

(iii) 易知N为MN的正规子群，因此MN/N是一个群. 因为MN={e}，对任何mi≠mj∈M, 有miN≠mjN[注]. 作一个MN/N到M的映射f[注]，f: MN/N→M，mNm， 那么该映射显然是一一对应，另外f(miNmjN)= f(mimjN)= mimj， 因此f为MN/N到M的同构映射，即MN/N与M同构. [讨论]

1. 只要M和N的一个是正规子群，那么MN就是子群，或者说成立MN=NM.这一点我们从(i)的证明方法2可知. 2. M和N中有一个不是正规子群时MN一定不是正规子群. [注意]

1MN={e}，对任何mi≠mj∈M, 有miN≠mjN.

证明：若存在mi≠mj∈M, 有miN=mjN，那么mimj-1∈N，而mimj-1∈M. 因此mimj-1∈MN，产生矛盾. 2. 设 f: MN/N→M，mNm，

则由于对任何mi≠mj∈M, 有miN≠mjN，故此f为MN/N到M的一个映射. 9. 设G是一个群，S是G的一非空子集合.令 C(S)={x∈G|xa=ax,对一切a∈S} N(S)= {x∈G|x-1Sx=S}.

证明：(i) C(S),N(S)都是G的子群; (ii) C(S)是N(S)的正规子群.

证明：(i) 首先证明C(S)是G的子群.任取x，y∈C(S)，那么对任意a∈S有xa=ax，ya=ay. 那么一方面，

(xy)a=x(ya)=x(ay)=(xa)y=(ax)y=a(xy)， 所以xy∈C(S).

另一方面，xa=axa=x-1axax-1=x-1a，所以x-1∈C(S).因此，C(S)是G的子群.

接着证明N(S)都是G的子群.任取x，y∈N(S)，则x-1Sx=S，y-1Sy=S. 那么一方面，

(xy)-1S(xy)=x-1(y-1Sy)x=x-1Sx=S， 所以xy∈N(S).

另一方面，x-1Sx=SS=xSx-1，所以x-1∈N(S).因此，N(S)是G的子群.

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(ii) 任取x∈C(S)，a∈S，则xa=ax，即a=x-1ax，亦即S= x-1Sx. 因此x∈N(S)，即C(S)N(S).

任取x∈C(S)，y∈N(S)，a∈S，则存在ay∈S使得yay-1=ay，因此a=y-1ayy. 那么(y-1xy)a(y-1xy)-1=y1[x(yay-1)x-1]y= y1(xayx-1)y= y-1ayy=a，即(y-1xy)a=a(y-1xy). 所以y-1xy∈C(S)，因此C(S)是N(S)的正规子群. 10. 设L为交换幺环，在L中定义：ab=a+b-1,ab=a+b-ab.

这里e为单位元素，证明在新定义的运算下，L仍称为交换幺环，并且与原来的环同构. 证明：(i)证明L在运算下构成交换群：由的定义，得到

(ab)c=(a+b-1)

c=a+b-1+c-1=a+b+c-2，，，a(bc)= a(b+c-1)= a+b+c-1-1=a+b+c-2

这里2=1+1，所以 (ab)c= a(bc).----------------(1)

同时由的定义还可以得到 a1= 1a=a，------------------------(2) a(2-a)=(2-a)

a=1，---------------(3)， ab=ba，----------------------------(4)

由(1),(2),(3)(4)可知L在运算下构成交换群.

(ii)证明L中运算满足结合律和交换律：容易证明这里略过. (iii)证明乘法对加法满足分配律：

因为a(bc)= a(b+c-1)=a+(b+c-1)-a(b+c-1)=2a+b+c-ab-ac-1， (ab)(ac)=(a+b-1)

(a+c-1)= (a+b-ab)+(a+c-ac)-1=2a+b+c-ab-ac-1，

所以a(bc)= (ab)(ac).

由于和满足交换律，故此(bc)

a= (ba)(ca).

因此新定义的乘法对新定义的加法满足分配律 (iv) 设0为环(L，+，)的零元，则0a=a0=a 由(i)，(ii)，(iii)，(iv)可得到(L，，)为交换幺环.

(v) 最后证明(L，+，)与(L，

，)同构：设f: L→L，， x1-x，

容易证明f为(L，+，)到(L，，)的同构映射.

11. 环L中元素eL称为一个左单位元，如果对所有的a∈L，，eLa= a； 元素eR称为右单位元，如果对所有的a∈L， aeR=a. 证明：

(i) 如果L既有左单位元又有右单位元，则L具有单位元素； (ii) 如果L有左单位元，L无零因子，则L具有单位元素；

(iii) 如果L有左单位元，但没有右单位元，则L至少有两个左单位元素. 证明：

(i) 设eL为一个左单位元，eR为右单位元，则eLeR=eR=eL.记e=eR=eL，则对所有的a∈L，ea=ae=a， 因此e为单位元素；

(ii) 设eL为一个左单位元，则对所有的a(≠0)∈L，a(eLa)=a2；另一方面，a(eLa)=(aeL)a. 所以a2=(aeL)a.因为L无零因子，所以满足消去律[注]，故此a= aeL.另外，若a=0，则a= aeL=eLa.

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因此左单位元eL正好是单位元.

(iii) 设eL为一个左单位元，因为L中无右单位元，故存在x∈L，使得xeL≠x，即xeL-x≠0,

则eL+ xeL-x≠eL，但是对所有的a∈L，(eL+ xeL-x)a=a,因此eL+ xeL-x为另一个左单位元，所以L至少有两个左单位元素.

[注意] L无零因子，则满足消去律(参考教材46页). 12. 设F为一域.证明F无非平凡双边理想.

证明：设I为F的任意一个理想，且I≠{0}，则对任意a(≠0)∈I，则a-1∈F,于是a-1a=1∈I. 从而F中任意元素f，有f1=f∈I，故I=F，即F只有平凡双边理想.

[讨论] 事实上，一个体(又称除环)无非平凡双边理想. 另一方面，若L是阶数大于1的(交换)幺环，并且除了平凡理想，没有左或右理想，则L是一体(域).

13. 设L为交换幺环，并且阶数大于1，如果L没有非平凡的理想，则L是一个域.

证明：只要证明非零元素均可逆即可.任取a∈L，那么La和aL是L的理想，且La≠{0}，aL≠{0}，因L无平凡的理想，故此La=aL=L，因此ax=1和ya=1都有解，因而a为可逆元.

14. Q是有理数域，Mn(Q)为n阶有理系数全体矩阵环.证明无非平凡的理想(这种环称为单环).

证明：我们社K为Mn(Q)的非零理想，下面证明K=Mn(Q).为了证明这一点，只要证明n阶单位矩阵E∈K.记Eij为除了第i行第j列元素为1，其余元素全为0的矩阵.那么EijEst=而E=E11+E22+…+Enn.我们只要证明Eii∈K(i=1,2,…,n)就有E∈K.

设A∈K，且A≠0，又令A=(aij)n×n,假设akj≠0，则有EikAEji=akjEii(i=1,2,…,n).由于akj≠0，故存在逆元akj-1.设B= akj-1Eii,则BEikAEji= akj-1EiiEikAEji= akj-1EikAEji=EikEkjEji=Eii.

因为K为理想，A∈K，所以Eii=BEikAEji∈K，证毕.

15. 设L是一个至少有两个元素的环. 如果对于每个非零元素a∈L都有唯一的元素b使得aba=a. 证明：(i) L无零因子；(ii) bab=b;(iii) L有单位元素；(iv) L是一个体.

证明：(i) 先证明L无左零因子，假设a为L的一个左零因子，那么a≠0，且存在c≠0，使得ac=0，于是cac=0. 因a≠0，则存在唯一b使得aba=a.但a(b+c)a=a,b+c≠b 产生矛盾，所以L无左零因子.类似可证L无右零因子.

(ii) 因aba=a，所以abab=ab. 由(i)的结论知L无零因子，因此满足消去律，而a≠0，故bab=b. (iii) 我们任一选取a(≠0)∈L，再设aba=a(这里b是唯一的)，首先证明ab=ba.因为a(a2b-a+b)a=a， 所以a2b-a+b=b，即a2b=a=aba，由消去律得到ab=ba.

任取c∈L，则ac=abac，故此c=(ba)c=(ab)c；另一方面，ca=caba，故此c=c(ab).综上得到c=(ab)c=c(ab),所以ab就是单位元素，我们记ab=ba=1.

(iv) 由(iii)可知任意a(≠0)∈L，ab=ba=1，即任意非零元素都可逆，因此L成为一个体.

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