江苏省苏北四市2016届高三第一学期期末调研考试数学试题(扫描版含WORD答案)

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绝密★启用前

连云港市2015-2016学年度高三年级第一次模拟考试

数学I参考答案及评分标准

一、填空题

1. 2； 2. 2i； 3．75； 4．9； 5．

7．2 ； 6.； 33324； 8. ； 9．26； 10. 4； 11

．； 55

112

． + ；13．4； 14.

． 2

二、解答题

15．（1）在锐角三角形ABC中，由sinA

所以tanA 43，得cosA ， …………2分 55sinA3 .……………………………………………………………4分 cosA4

tanA tanB1由tan(A B) ，得tanB 2. ………………7分 1 tanA tanB2

（2）在锐角三角形ABC中，由tanB

2，得sinB

，cosB 9分

所以sinC sin(A B) sinAcosB cosAsinB ，…………………11分 bcbsinC11由正弦定理，得c . ………………14分 sinBsinCsinB2

16．(1) 连接BD与AC相交于点O，连结OE．………2分

因为四边形ABCD为矩形，所以O为BD中点．

因为E为棱PD中点，所以PB∥OE．………4分

因为PB 平面EAC，OE 平面EAC，

所以直线PB∥平面EAC．……………………6分

(2) 因为PA⊥平面PDC，CD 平面PDC，所以 PA⊥CD． …………………8分

因为四边形ABCD为矩形，所以AD⊥CD．…………………………………10分 因为 PA∩AD＝A，PA，AD 平面PAD，所以 CD⊥平面PAD．…………12分 因为CD 平面ABCD，所以 平面PAD⊥平面ABCD． …………………14分

17． (1)在如图所示的直角坐标系中，因为曲线C

的方程为y=x所以点P

坐标为 x,x C 1≤x≤9 ，PM x

，

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直线OB的方程为x y 0， ……………………………………………………2分

4则点P到直线x y

0 2，………………4分 x又PM的造价为5万元／百米，PN的造价为40万元／百米． 则两条道路总造价为f(x) 5x 40 432 5x 1≤x≤9 ． …………8分 22 xx

(2) 因为f(x) 5x 40 432 5x ， 2 x2x

64 5(x3 64) 所以 f (x)=5 1 3 ， ………………………10分 3x x

令f (x) 0，得x 4，列表如下：

32 所以当x 4时，函数f(x)有最小值，最小值为f 4 5 4 2 30．……134

分

32 答：（1）两条道路PM ,PN总造价f(x)为f(x) 5 x 2 1≤x≤9 ； x

（2）当x 4时，总造价最低，最低造价为30万元． ……………………14分

32 xx32 （注：利用三次均值不等式f(x) 5 x 2 5 2 ≥5 30， x 22x

xx32） ，即x 4时等号成立，照样给分．22x2

218.（1）令n 1，得a2 ． 1+ 当且仅当

令n 2，得a2S3 a3S2+a2 a3 a2a3，所以a3 2 +4．…………2

+12 +1

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分

2 +4 2 由a a1a3，得 ，因为 0，所以 1．………4分 1+ +12 +12

22

（2）当 所以11时，anSn 1 an 1Sn+an an 1 anan 1， 22Sn 1SnS+1Sn+11111 + ，即n 1 ，………………………6分 an 1an 1an 1an2an 1an2

S+1 1所以数列 n是以为首项，公差为的等差数列， 2 a2 n

所以Sn+11 2+ n 1 ， ……………………………………………………8分 an2

n3 即Sn+1 + an，① 22

n3 当n≥2时，Sn 1+1 + an 1，② 22

n+3n+2an an 1，……………………………………………10分 22

aa即 n+1 an n+2 an 1，所以n n 1 n≥2 ， ………………………12分 n+2n+1① ②得，an

11 a 所以 n 是首项为是常数列，所以an n+2 . ……………………14分 33 n+2

n2 5n n3 代入①得Sn + an 1 . ……………………16分 226

0)，所以a 4，又e 19. （1）因为左顶点为A( 4，

又因为b2 a2 c2 12， 1，所以c 2.…………………2分 2

x2y2

1. ………………………………………4分 所以椭圆C的标准方程为1612

x2y2

x2[k(x 4)]2 1， 1. （2）直线l的方程为y k(x 4)，由 1612消元得，1612 y k(x 4),

化简得，(x 4)[(4k2 3)x 16k2 12)] 0，

16k2 12所以x1 4，x2 . ……………………………………………………624k 3

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分 16k2 12 16k2 1224ky k( 4) 当x 时，， 4k2 34k2 34k2 3

16k2 1224k,).因为点P为AD的中点，所以P的坐标为所以D(4k2 34k2 3

16k212k(2,)， 4k 34k2 3

则

kOP

分 3(k 0).…………………………………………………………………………84k

直线l的方程为y k(x 4)，令x 0，得E点坐标为(0,4k)，

假设存在定点Q(m,n)(m 0)，使得OP EQ，

则kOPkEQ 1，即 3n 4k 1恒成立， 4km

4m 12 0， m 3，所以(4m 12)k 3n 0恒成立，所以 即 3n 0，n 0，

因此定点Q的坐标为( . …………………………………………10分

（3）因为OM l，所以OM的方程可设为y kx， x2y2

1， 由 1612得M

点的横坐标为

y kx

x 12分

由OM l，得AD AExD xA xE xAxD 2xA

OMxMxM

16k2 12 822 14分

…………………………………………………

≥

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k 时取等号，

所以当k 分 AD

AE的最小值为 …………………………16OM

1 20. (1) 由题意，f (x) ex x3 x2 ax a ， …………………………………………2 3

分

因为f(x)的图象在x 0处的切线与直线x y 0垂直，

所以f (0)=1，解得a 1. ……………………………4分

44 1 (2) 法一：由f(x) ex，得ex x3 2x2 (a 4)x 2a 4 ex， 33 3

2)恒成立，即x3 6x2 (3a 12)x 6a 8 0对任意x ( ，……………………………6

分

2)恒成立， 即 6 3x a x3 6x2 12x 8对任意x ( ，

x3 6x2 12x 812因为x 2，所以a ……………………………8 x 2 ， 3x 23

分 记g(x)

分 122)上单调递增，且g(2) 0， x 2 ，因为g x 在( ，3 )． ………………………………………10所以a≥0，即a的取值范围是[0，

44 1 法二：由f(x) ex，得ex x3 2x2 (a 4)x 2a 4 ex， 33 3

2)上恒成立，……………………………6即x3 6x2 (3a 12)x 6a 8 0在( ，

分

因为x3 6x2 (3a 12)x 6a 8 0等价于(x 2)(x2 4x 3a 4) 0，

①当a≥0时，x2 4x 3a 4 (x 2)2 3a≥0恒成立，

2)，所以原不等式的解集为( ，满足题意． …………………………………………8

分

②当a 0时，记g(x) x2 4x 3a 4，有g(2) 3a 0，

所以方程x2 4x 3a 4 0必有两个根x1,x2，且x1 2 x2，

原不等式等价于(x 2)(x x1)(x x2) 0，解集为( ，x1) (2，x2)，与题设矛盾， 所以a 0不符合题意．

综合①②可知，所求的取值范围是a

[0， )．…………………………………………10分

1 (3) 因为由题意，可得f'(x) ex x3 x2 ax a ， 3

所以f(x)只有一个极值点或有三个极值点. ………………………………………11分 令g(x) x3 x2 ax a，

①若f(x)有且只有一个极值点，所以函数g(x)的图象必穿过x轴且只穿过一次， 13

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即g(x)为单调递增函数或者g(x)极值同号．

ⅰ）当g(x)为单调递增函数时，g'(x) x2 2x a≥0在R上恒成立，得a≥1…12分 ⅱ）当g(x)极值同号时，设x1,x2为极值点，则g(x1) g(x2)≥0，

由g'(x) x2 2x a 0有解，得a 1，且x12 2x1 a 0,x22 2x2 a 0， 所以x1 x2 2,x1x2 a， 1

3

112 (2x1 a) ax1 ax1 a (a 1)x1 a ， 333

2同理，g(x2) (a 1)x2 a ， 3

22所以g x1 g x2 (a 1)x1 a (a 1)x2 a ≥0， 33

2化简得(a 1)x1x2 a(a 1)(x1 x2) a2≥0， 所以g(x1) x13 x12 ax1 a x1(2x1 a) x12 ax1 a

所以(a 1)2a 2a(a 1) a2≥0，即a≥0，

所以0≤a 1．

所以，当a≥0时，f(x)有且仅有一个极值点； …………………14分 ②若f(x)有三个极值点，所以函数g(x)的图象必穿过x轴且穿过三次，同理可得a 0； 综上，当a≥0时，f(x)有且仅有一个极值点，

当a 0时，f(x)有三个极值点． …………………16分

13

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/ys11.html