中考复习专题——切线的证明方法

切线的证法

1. 直线与圆只有唯一公共点，则直线是圆的切线

2. 圆心到直线的距离等于圆的半径，则直线是圆的切线 3. 经过半径的外端，且垂直于这条半径的直线是圆的切线 一. 角平分线证相切：（作弦心距，利用勾股定理）

例：.如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E，OE交AD于点F.

（1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若

AC3AF

=,求的值。 AB5DF

练习2.如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过D点作EF∥BC交AB的延长线于点E，交AC的延长线于点F。 （1）求证：EF为⊙O的切线； （2）若sin∠ABC=

4

,CF=1,求⊙O的半径及EF的长。 5

3. 如图，AB为⊙O的直径，AD平分∠BAC交⊙O于点D，DE⊥AC交AC的延长线于点E，FB是⊙O的切线交AD的延长线于点F.

(1)求证：DE是⊙O的切线；

F(2)若DE=3，⊙O的半径为5，求BF的长.

B

4.已知如图，在△ABC中，AB=AC,AE是角平分线，BM平分∠ABC交AE于点M,经过B、M两点的⊙O交BC

于点G，交AB于点F,FB恰为⊙O的直径. （1） 求证：AE与⊙O相切； （2） 当BC=4，cosC=

二. 平行证相切（1.已知平行、2.角相等平行、3.中位线平行）

例5.如图，AB是⊙O的直径，BC AB于点B，连接OC交⊙O于点E，弦AD//OC,弦DF AB于点G。 （1）求证：点E是弧BD的中点； （2）求证：CD是⊙O的切线； （3）若sin∠BAD=

1

时，求⊙O的半径。 3

4

,⊙O的半径为5，求DF的长。 5

练6.如图，在等腰⊿ABC中，AB=AC,O为AB上一点，以O为圆心，OB长为半径的圆交BC于D,DE⊥AC交AC于E.

(1) 求证DE时是⊙O的切线；

(2) 若⊙O与AC相切于F，AB=AC=5cm，sinA=

3

,求⊙O的半径长。 5

7.如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC=BD,连结AC,过点D作DE⊥AC,垂足为E. (1).求证：AB=AC

(2).求证:DE为⊙O的切线.

(3).若⊙O的半径为5，∠BAC=60°，求DE的长.

8.如图 ，矩形ABCD中，AB 5，AD 3．点E是CD上的动点，以AE为直径的⊙O与AB交于点F，过点F作FG⊥BE于点G． （1）当E是CD的中点时：

①tan EAB的值为______________； ② 证明：FG是⊙O的切线；

（2）试探究：BE能否与⊙O相切?若能，求出此时DE的长；若不能，请说明理由．

B

C

9．如图，A是以BC为直径的⊙O上一点，AD⊥BC于点D，过点B作⊙O的切线，与CA的延长线相交于点E，

G是AD的中点，连结OG并延长与BE相交于点F，延长AF 与CB的延长线相交于点P． （1）求证：BF=EF；

（2）求证：PA是⊙O的切线；

（3）若FG=BF，且⊙O的半径长为

， 求BD和FG的长度．

三. 角度转化证切线（中线证直角、角度转化证直角）

例10．已知：如图，A是⊙O上一点，半径OC的延长线与过点A的直线交于B 点，OC=BC，AC=（1）求证：AB是⊙O的切线；

（2）若∠ACD=45°，OC=2，求弦AD、CD的长．

1

OB． 2

11..如图，点D是⊙O的直径CA延长线上一点，点B在⊙O上，且AB=AD=AO. (1).求证BD是⊙O的切线。

(2).若点E是劣弧BC上一点，AE与BC相交于点F，且⊿BEF的面积为8，cos∠BFA=

12.如图，△ABC内接于半圆，AB是直径，过A作直线MN，若∠MAC=∠ABC. (1).求证：MN是半圆的切线

(2).设D是弧AC的中点，连结BD交AC于G，过D作DE⊥AB于E，交AC于F.求证：FD=FG (3).若△DFG的面积为4.5，且DG=5,GC=4.试求△BCG的面积

13. 如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，点D为劣弧AC上一点，弦DE⊥AB分别交⊙O于E，交AB于H，交AC于F．P是ED延长线上一点且PC=PF． (1) 求证：PC是⊙O的切线；

(2) 点D在劣弧AC什么位置时，才能使AD DE DF，为什么? (3) 在(2)的条件下，若OH=1，AH=2，求弦AC的长．

2

2

，求⊿ACF的面积。 3

14.如图，已知⊙O的弦AB垂直于直径CD，垂足为F，点E在AB上，且EA＝EC. （1）求证：AC＝AE·AB；

（2）延长EC到点P，连结PB，若PB＝PE，

试判断PB与⊙O的位置关系，并说明理由.

15.如图所示，AB是半圆O的直径，C是半径OA上的一点，PC⊥AB,点D是半圆上位于PC右侧的一点，连接AD交线段PC于点E,且PD=PE. (1) 求证：PD是⊙O的切线；

(2) 若⊙O的半径为4，PC=8，设OC=x,PD=y. ① 求y关于x的函数关系式 ② 当x=1时，求tan∠BAD的值.

16.如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC PC， COB 2 PCB．

（1）求证：PC是⊙O的切线；

C 1

（2）求证：BC AB；

2

2

2

（3）点M是弧AB的中点，CM交AB于点N， 若AB 4，求MN×MC的值．

A

O N P

M

17.如图，扇形 OAB的半径OA=r，圆心角∠AOB=90°，点C是弧AB上异于A、B的动点，过点C作CD⊥OA于点D，作CE⊥OB于点E，连结DE,点M在DE上，DM=2EM,过点C的直线PC交OA的延长线于点P，且∠CPO=∠CDE. (1)求证：DM=

2r； 3

(2)求证：直线PC是扇形OAB所在圆的切线；

(3)设y=CD2+3CM2,当∠CPO=60°时，请求出y关于r的函数关系式。

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