2013高考数学教案和学案(有答案)--第9章__学案43

学案43 直线与直线的位置关系

导学目标： 1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．

自主梳理

1．两直线的位置关系

平面上两条直线的位置关系包括平行、相交、重合三种情况． (1)两直线平行

对于直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，

l1∥l2?____________________________________________________________________.

对于直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，

l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2B2C2≠0)，

l1∥l2?____________________________________________________________________.

(2)两直线垂直

对于直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，

l1⊥l2?k1·k2＝____.

对于直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，

l2：A2x＋B2y＋C2＝0， l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝____.

2．两条直线的交点

两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，

l2：A2x＋B2y＋C2＝0，

如果两直线相交，则交点的坐标一定是这两个方程的________；反之，如果这两个二元一次方程只有一个公共解，那么以这个解为坐标的点必是l1和l2的________，因此，l1、l2是否有交点，就看l1、l2构成的方程组是否有________．

3．有关距离 (1)两点间的距离

平面上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离P1P2＝__________________________________. (2)点到直线的距离

平面上一点P(x0，y0)到一条直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝_______________________. (3)两平行线间的距离

已知l1、l2是平行线，求l1、l2间距离的方法： ①求一条直线上一点到另一条直线的距离；

②设l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，则l1与l2之间的距离d＝_______________.

自我检测

1．(2010·济宁模拟)若点P(a,3)到直线4x－3y＋1＝0的距离为4，且点P在不等式2x＋y－3<0表示的平面区域内，则实数a的值为________．

2．若直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2,1)对称，则直线l2恒过的定点的坐标为________． 3．已知直线l1：ax＋by＋c＝0，直线l2：mx＋ny＋p＝0，则条件．

4．(2009·上海)已知直线l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0与l2：2(k－3)x－2y＋3＝0平行，则k的值是________．

5．已知2x＋y＋5＝0，则

ambn＝－1是直线l1⊥l2的______________

x2＋y2的最小值是________.

探究点一 两直线的平行与垂直

例1 已知直线l1：ax＋2y＋6＝0和直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0， (1)试判断l1与l2是否平行； (2)l1⊥l2时，求a的值．

变式迁移1 已知两条直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0.求满足以下条件的a、b的值： (1)l1⊥l2且l1过点(－3，－1)；

(2)l1∥l2，且原点到这两条直线的距离相等．

探究点二 直线的交点坐标

例2 已知直线l1：4x＋7y－4＝0，l2：mx＋y＝0，l3：2x＋3my－4＝0.当m为何值时，三条直线不能构成三角形．

变式迁移2 △ABC的两条高所在直线的方程分别为2x－3y＋1＝0和x＋y＝0，顶点A的坐标为(1,2)，求BC边所在直线的方程．

探究点三 距离问题

例3 已知点P(2，－1)．求：

(1)求过P点且与原点距离为2的直线l的方程；

(2)求过P点且与原点距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？

(3)是否存在过P点且与原点距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．

变式迁移3 已知直线l过点P(3,1)且被两平行线l1：x＋y＋1＝0，l2：x＋y＋6＝0截得的线段长为5，求直线l的方程．

转化与化归思想

例 (14分)已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求： (1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；

(2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程； (3)直线l关于点A(－1，－2)对称的直线l′的方程． 【答题模板】 解 (1)设A′(x，y)，

??x＋1×3＝－1，再由已知?x－1y－2

??2×2－3×2＋1＝0，

?334?

∴A′?－，?.[4分] ?1313?

y＋22

??解得?4

??y＝13，33

x＝－，13

当a≠1且a≠0时，l1：y＝－x－3，

2

a?a?12

l2：y＝x－(a＋1)，由?－?·＝－1?a＝. 21－a1－a3??

1

2

方法二 由A1A2＋B1B2＝0，得a＋2(a－1)＝0?a＝. 3变式迁移1 解 (1)由已知可得l2的斜率必存在，且k2＝1－a. 若k2＝0，则a＝1.由l1⊥l2，l1的斜率不存在，∴b＝0. 又l1过(－3，－1)，∴－3a＋b＋4＝0，

∴b＝3a－4＝－1，矛盾．∴此情况不存在，即k2≠0. 若k2≠0，即k1＝，k2＝1－a.

ab由l1⊥l2，得k1k2＝(1－a)＝－1.

ab由l1过(－3，－1)，得－3a＋b＋4＝0， 解之得a＝2，b＝2.

(2)∵l2的斜率存在，l1∥l2，∴l1的斜率存在， ∴k1＝k2，即＝1－a.

ab又原点到两直线的距离相等，且l1∥l2， 4

∴l1、l2在y轴上的截距互为相反数，即＝b.

b??a＝2，解之得?

?b＝－2?

2

??a＝3，或???b＝2.

2

∴a、b的值为2和－2或和2.

3例2 解题导引 ①转化思想的运用 三条直线l1、l2、l3不能构成三角形

?

l1、l2、l3交于一点或至

少有两条直线平行

?

三条直线交于一点

?

l2与l3的交

点在l1上

?

l2与l3对应方程组

的解适合l1的方程

②分类讨论思想的运用

本题依据直线的位置关系将不能构成三角形的情况分成两类，分类应注意按同一标准，不重不漏． 解 当三条直线共点或至少有两条直线平行时，不能围成三角形． ①三条直线共点时，

??mx＋y＝0，由???2x＋3my＝4，

??x＝2－3m得?－4m??y＝2－3m4

2

2

(m2≠

2

)，

3

?4－4m?

?， ，即l2与l3的交点为?22－3m22－3m??

代入l1的方程得4×＋7×－4＝0，

2－3m22－3m21

解得m＝，或m＝2.

3

44

－4m②当l1∥l2时，4＝7m，∴m＝；

77

当l1∥l3时，4×3m＝7×2，∴m＝；

6

63

当l2∥l3时，3m2＝2，即m＝±. ??61647??

∴m取集合?－，，，，，2?中的元素时，三条直线不能构成三角形．

33376????

变式迁移2 解 可以判断A不在所给的两条高所在的直线上，则可设AB，AC边上的高所在直线的方程分别为2x－3y＋1＝0，x＋y＝0，

则可求得AB，AC边所在直线的方程分别为 3

y－2＝－(x－1)，y－2＝x－1，

2即3x＋2y－7＝0，x－y＋1＝0.

??3x＋2y－7＝0由?，得B(7，－7)， ?x＋y＝0?

??x－y＋1＝0由?，得C(－2，－1)，

2x－3y＋1＝0??

所以BC边所在直线的方程为2x＋3y＋7＝0.

例3 解题导引 已知直线过定点求方程，首先想到的是求斜率或设方程的斜截式，但不要忘记斜率不存在的直线是否满足题意．若满足，可先把它求出，然后再考虑斜率存在的一般情况．图形中量的最值问题往往可由几何原理作依据求得解决．

第(3)问是判断存在性问题，通常的解决方法是先假设判断对象存在，令其满足应符合的条件，若有解，则存在，并求得；若无解，则不存在，判断无解的过程就是结论的理由．如法二．

解 (1)过P点的直线l与原点距离为2，而P点坐标为(2，－1)，可见，过P(2，－1)且垂直于x轴的直线满足条件．

此时l的斜率不存在，其方程为x＝2. 若斜率存在，设l的方程为y＋1＝k(x－2)， 即kx－y－2k－1＝0.

|－2k－1|3由已知，得＝2，解得k＝. 24k＋1此时l的方程为3x－4y－10＝0.

综上，可得直线l的方程为x＝2或3x－4y－10＝0.

(2)作图可得过P点与原点O距离最大的直线是过P点且与PO垂直的直线， 由l⊥OP，得klkOP＝－1，所以kl＝－

1

kOP＝2.

由直线方程的点斜式得y＋1＝2(x－2)， 即2x－y－5＝0.

|－5|

即直线2x－y－5＝0是过P点且与原点O距离最大的直线，最大距离为＝5(3)由(2)可知，过P点不存在到原点距离超过线．

5.

5的直线，因此不存在过P点且到原点距离为6的直

变式迁移3 解 方法一 若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x＝3，此时与l1，l2的交点分别是A(3，－4)，B(3，－9)，截得的线段长AB＝|－4＋9|＝5，符合题意．

当直线l的斜率存在时，则设直线l的方程为y＝k(x－3)＋1，分别与直线l1，l2的方程联立，

??3k－21－4k??y＝kx－3＋1，

?. ，由? 解得A?

k＋1k＋1x＋y＋1＝0，????

??3k－71－9k??y＝kx－3＋1，

?. ，由?解得B?

k＋1k＋1?x＋y＋6＝0，???

由两点间的距离公式，得

?3k－23k－7??1－4k1－9k?

??2＋??2＝25， －－?k＋1k＋1??k＋1k＋1?

解得k＝0，即所求直线方程为y＝1. 综上可知，直线l的方程为x＝3或y＝1. 方法二 因为两平行线间的距离 |6－1|52d＝＝，

22

如图，直线l被两平行线截得的线段长为5， 设直线l与两平行线的夹角为θ，

22

则sin θ＝，所以θ＝45°.

因为两平行线的斜率是－1， 故所求直线的斜率不存在或为0. 又因为直线l过点P(3,1)， 所以直线l的方程为x＝3或y＝1. 课后练习区

1．2或0 2.－2 3.(1,2)或(2，－1)

4．1

解析 ∵直线x－2y＋5＝0与直线2x＋my－6＝0互相垂直， 12

∴×(－)＝－1，∴m＝1. 2m5．3x－2y＋5＝0

解析 当l与过两点的直线垂直时，(2，－1)与直线l的距离最大，因此所求直线的方程为y－1＝－2－－1·(x＋1)，

－1－1

即3x－2y＋5＝0. 6．①⑤ 解析

|1－3|

如图，由两平行线间距离可得d＝＝2

2，故m与两平行线的夹角都是30°，而两平行线的倾斜

角为45°，则m的倾斜角为75°或15°，故①⑤正确．

22

12

7.

|a－b|1

2解析 ∵d＝，d＝[(a＋b)2－4ab] 221

＝(1－4c)，

2

?11?1122又0≤c≤，∴d∈?，?.∴≤d≤. 42822??

8．x＋y－13＝0 3x－y－16＝0

解析 设另两边方程为：x＋y＋C1＝0和3x－y＋C2＝0.

?51?x＋y＋1＝0

由?得交点A(－，)

44?3x－y＋4＝0?

∵对角线交点坐标为(3,3)．

2923

则所求两直线的交点坐标为(，)，

44代入方程得C1＝－13，C2＝－16.

9．解 (1)设所求直线为l，由于l过点A且与点P1，P2距离相等，所以有两种情况， ①当P1，P2在l同侧时，有l∥P1P2，此时可求得l的方程为

y－2＝

(x＋1)，即x＋3y－5＝0；(5分)

－4－2

5－3

②当P1，P2在l异侧时，l必过P1P2的中点(－1,4)，此时l的方程为x＝－1.(7分) ∴所求直线的方程为x＋3y－5＝0或x＝－1.(8分) (2)设点A(x，y)在l1上，

??2＝3，

由题意知?y＋y??2＝0，

Bx＋xB

∴点B(6－x，－y)，

??2x－y－2＝0，

解方程组?(10分)

6－x＋－y＋3＝0，??

??得?16??y＝3，11x＝，

3

16－03

∴k＝＝8.

11－33

∴所求的直线方程为y＝8(x－3)，即8x－y－24＝0. (14分)

10．解 设点A(－1，－4)关于直线y＋1＝0的对称点A′(x1，y1)，则x1＝－1，y1＝2×(－1)－(－4)＝2，

即A′(－1,2)在直线BC上．(6分)

再设A(－1，－4)关于l2：x＋y＋1＝0的对称点为A″(x2，y2)，

??x＋1×－1＝－1，则有：?x－1y－4

??2＋2＋1＝0，

22

2

y2＋4

??x2＝3，解得：?

?y2＝0，?

即A″(3,0)也在直线BC上．(12分)

由直线方程的两点式得：

＝.

0－23＋1

y－2x＋1

所以x＋2y－3＝0即为△ABC的边BC所在的直线方程．(14分) 1

11．解 (1)令a＝2，得直线l1：x＝，

5令a＝0，得直线l2：x－2y＋1＝0. 13

∵l1与l2的交点A(，)，(3分)

5513

且当x＝，y＝时，

55

(a－2)y＝(3a－1)x－1对任意a∈R恒成立． ∴直线l：(a－2)y＝(3a－1)x－1恒过定点A. 13

∵点A(，)在第一象限，

55∴该直线总过第一象限．(7分)

3－0513

(2)设O为原点，由(1)知直线(a－2)y＝(3a－1)x－1过定点A(，)，且kAO＝＝3.(10分)

551

－051

当a＝2时，直线x＝不过第二象限，(11分)

5

3a－113a－1

当a≠2时，直线y＝x－要想不过第二象限，需满足≥kAO，

a－2a－2a－2

3a－1即≥3，解得a>2. a－2综上可知，当a∈[2，＋∞)时，

直线(a－2)y＝(3a－1)x－1不过第二象限．(14分)

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