0.2014年二模：静安杨浦青浦宝四区 - 图文

静安杨浦青浦宝山2013学年度联合高考模拟考试

文理科数学试卷

（满分150分，完卷时间120分钟） 2014.4

一、填空题 (本大题共有14题，满分56分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结

果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1.二阶行列式

1?i01?i1?i的值是 . （其中i为虚数单位）

??2. 已知i,j是方向分别与x轴和y轴正方向相同的两个基本单位向量，则平面向量i?j的模等于 .

3．二项式(x?1)7的展开式中含x3项的系数值为_______________.

4.已知圆锥的母线长为5,侧面积为15?,则此圆锥的体积为__________.(结果中保留?) 5.已知集合A?yy?sinx,x?R，B?xx?2n?1,n?Z，则A????B? . 理6文7.在平面直角坐标系xOy中，若圆x2?(y?1)2?4上存在A，B两点，且弦AB的中点为P(1,2)，则直线AB的方程为 .

（文）若x?(??,?)，则方程3sin2x?cos2x?1的解是_____________. 理7文8.已知log2x?log2y?1，则x?y的最小值为_____________.

理8文10. 已知首项a1?3的无穷等比数列?an?(n?N)的各项和等于4，则这个数列?an?*的公比是 ．

9．（理）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为??x?2cos?,（?为参数），O为

?y?2sin?,坐标原点，M为C1上的动点，P点满足OP?2OM，点P的轨迹为曲线C2．则C2的参数方程为 .

开始 ?x?2y?4,?2x?y?3,?（文）满足约束条件?的目标函数

?x?0,??y?0,f?x?y的最小值为_______.

x?1,y?1z?x?yz?20是 否 输出10. 阅读右面的程序框图，运行相应的程序，输出的

x?y结果为 .

y?z11．（理）从5男和3女8位志愿者中任选3人参加冬 第10题

1

y x结束 图

奥会火炬接力活动，若随机变量ξ表示所选3人中女志愿者的人数，则ξ的数学期望是 ．

（文）在平面直角坐标系xOy中，若中心在坐标原点的双曲线过点?2,3?，且它的一个顶点与抛物线y2?4x的焦点重合，则该双曲线的方程为 .

12．（理）设各项均不为零的数列?cn?中，所有满足ci?ci?1?0的正整数i的个数称为这个数列?cn?的变号数.已知数列?an?的前n项和Sn?n2?4n?4，bn?1?则数列?bn?的变号数为 .

（文）从5男3女8位志愿者中任选3人参加冬奥会火炬接力活动，所选3人中恰有两位女志愿者的概率是 ．

13.（理）已知定义在?0,???上的函数f(x)满足f(x)?3f(x?2).当x??0,2?时

4（n?N*），anf(x)??x2?2x.设f(x)在?2n?2,2n?上的最大值为an，且数列{an}的前n项和为Sn，则limSn? . （其中n?N*）

n??（文）若三个数a,1,c成等差数列（其中a?c），且a2,1,c2成等比数列，则lim(n??a?cn)22a?c的值为 ．

14．（理）正方形S1和S2内接于同一个直角三角形ABC中，如图所示，设?A??，若

S1?441，S2?440，则sin2?? .

A

A

?F

S1

C

?D

F M

E

B

C

Q

P

S2

B

N

?x,0?x?1,?（文） 函数f(x)的定义域为实数集R，f(x)??1x对于任意的x?R()?1,?1?x?0.??2都有f(x?1)?f(x?1).若在区间[?1,3]上函数g(x)?f(x)?mx?m恰有四个不同的零点，则实数m的取值范围是 .

二、选择题(本大题共有4题，满分20分)每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸相

应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．

15. （理）在实数集R上定义运算?：x?y?x?(1?y)．若关于x的不等式x?(x?a)?0

2

的解集是集合{x|?1?x?1}的子集，则实数a的取值范围是???????（ ）.

(A)[0,2] (B) [?2,?1)(?1,0] (C) [0,1)(1,2] (D)[?2,0 ]

（文） 不等式

x?1?2的解集为?????????????????（ ）. x(A) {x|x??1或x?0} (B) {x|x??1} (C) {x|x??1} (D) {x|?1?x?0}

16．“??1”是“函数f(x)?sin2?x?cos2?x的最小正周期为?”的????（ ）.

(A) 充分必要条件 (B)充分不必要条件 (C)必要不充分条件 (D)既不充分又必要条件

17. 若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等,圆柱、球的表面积分别记为S1、S2,则

S1:S2=????????????????????????（ ）.

(A) 1:1 (B)2:1 (C) 3:2 (D) 4:1

?x,0?x?1,?18.（理）函数f(x)的定义域为实数集R，f(x)??1x对于任意的

()?1,?1?x?0.??2x?R都有f(x?1)?f(x?1).若在区间[?1,3]上函数g(x)?f(x)?mx?m恰有四个不同的零点，则实数m的取值范围是????????????????（ ）.

?1?(A)?0,? (B)?2??1? ?1? ?1?

(C)(D)0,0,???0,???42?????4?（文）已知向量a，b满足：|a|?|b|?1，且|ka?b|?3|a?kb|（k?0）．则向量a与

向量b的夹角的最大值为 ???????????? （ ）.

(A)?2??5? (B) (C) (D)

3636

三、解答题(本大题共有5题，满分74分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域

内写出必要的步骤． 19．（本题满分12分）

（理）如图，四棱锥P?ABCD中，底面ABCD是平行四边形，?CAD?90?，PA?平面ABC，PA?BC?1，

AB?2，F是BC的中点.

(1) 求证：DA?平面PAC；

（2）若以A为坐标原点，射线AC、

PAD、AP分别是x轴、y轴、z轴的

AD正半轴，建立空间直角坐标系，已经计

B3 FC算得n?(1,1,1)是平面PCD的法向量，求平面PAF与平面PCD所成锐二面角的余弦值.

（文）已知几何体由正方体和直三棱柱组成，其三视图和直观图（单位：cm）如图所

PD所成的角为?，求cos?的值． 示．设两条异面直线AQ1和

P A1 2 2 A 正视图

B D Q P P D1 D1 1 2 2 侧视图

A P 1 A1 2 Q B1 C1

A1 DA B第19题图 Q C1 B1 C2 B1

D1 2 A1

俯视图

20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分

某公司承建扇环面形状的花坛如图所示，该扇环面花坛是由以点O为圆心的两个同心圆弧AD、弧BC以及两条线段AB和CD围成的封闭图形．花坛设计周长为30米，其中大圆弧AD所在圆的半径为10米．设小圆弧BC所在圆的半径为x米（0?x?10），圆心角为?弧度． （1）求?关于x的函数关系式；

（2）在对花坛的边缘进行装饰时，已知两条线段的装饰费用为4元/米，两条弧线部分的装饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比为y，当x为何值时，y取得最大值？

21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分9分

A BC? O (第20题图)

D

x2y2（理）已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的右焦点为F(1,0)，短轴的端点分别为

abB1,B2,且FB1?FB2??a.

（1）求椭圆C的方程；

4

（2）过点F且斜率为k(k?0)的直线l交椭圆于M,N两点，弦MN的垂直平分线与x轴相交于点D.设弦MN的中点为P，试求

DPMN的取值范围．

x2y2（文）已知椭圆C:2?2?1?a?b?0?的右焦点F(1,0)，长轴的左、右端点分别

ab. 为A1,A2,且FA1?FA2??1（1）求椭圆C的方程；

（2）过焦点F斜率为k（k?0）的直线l交椭圆C于A,B两点，弦AB的垂直平分线与x轴相交于D点. 试问椭圆C上是否存在点E使得四边形ADBE为菱形？若存在，求

k的值；若不存在，请说明理由.

22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3

小题满分6分

（理）设函数g(x)?3x，h(x)?9x.

（1） 解方程：x?log3(2g(x)?8)?log3(h(x)?9)； （2）令p(x)?g(x)g(x)?3，q(x)?3，求证：

h(x)?3p(12201220131220122013)?p()???p()?p()?q()?q()???q()?q()20142014201420142014201420142014（3）若f(x)?g(x?1)?a是实数集R上的奇函数，且f(h(x)?1)?f(2?k?g(x))?0g(x)?b对任意实数x恒成立，求实数k的取值范围.

?a1?2,?（文）已知数列{an}满足?a2?8,（c为常数，n?N*）

?a?a?ca,(n?2).n?1n?n?1（１）当c?2时，求an； （２）当c?1时，求a2014的值；

（3）问：使an?3?an恒成立的常数c是否存在？并证明你的结论．

23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3

小题满分8分

5

（理）设各项都是正整数的无穷数列?an?满足：对任意n?N*，有an?an?1．记

bn?aan．

（1）若数列?an?是首项a1?1，公比q?2的等比数列，求数列?bn?的通项公式； （2）若bn?3n，证明：a1?2；

（3）若数列?an?的首项a1?1，记dn??2n?an，?cn?是公差为1的等差数列．cn?aan?1，

Sn?d1?d2???dn?1?dn，问：使Sn?n?2n?1?50成立的最小正整数n是否存在？并

说明理由．

（文）设函数g(x)?3x，h(x)?9x. （1）解方程：h(x)?8g(x)?h(1)?0； （2）令p(x)?g(x)g(x)?3，求证：

p(12201220132013)?p()???p()?p()?； 20142014201420142（3）若f(x)?g(x?1)?a是实数集R上的奇函数，且

g(x)?bf(h(x)?1)?f(2?k?g(x))?0对任意实数x恒成立，求实数k的取值范围.

四区2013学年度高考模拟考试数学试卷文理科解答

参考答案及评分标准 2014.04

说明

1．本解答列出试题一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精神进行评分．

2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅．当考生的解答在某一步出现错误，影响了后续部分，但该步以后的解答未改变这一题

6

的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，但是原则上不应超出后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分．

3．第19题至第23题中右端所注的分数，表示考生正确做到这一步应得的该题分数． 4．给分或扣分均以1分为单位．

一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 理1．2； 2．2 3．35； 4．12?

5．??1,1?；6． x?y?3?0 7. 22； 8．

1 49． ??x?4cos?,13（?为参数）；10.

8?y?4sin?,10301519?1??2??3??. 56565656811．E??0?12．3． 13.

3 214．sin2??110

文1．2； 2．2

7

3．35； 4．12? 5．??1,1?；6．{?5????,?,,} 62627.x?y?3?0 ； 8．22 9．

71； 10. 34212y2C5C15?1； 12．33?11. x? 3C856?a?c??2??a?c?13．当ac??1时，?2??lim?0； ????222?n???a?c??6??a?c?当ac?1时，a?c舍去． 14.(0,]

二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在

答案纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分. 15．D；16．B；17．C；18．理D；文A

三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规

定区域内写出必要的步骤 .

nnn14?19．（理）A(0,0,0),C(1,0,0),B(1,?1,0),D(0,1,0),F(1,1,0),P0(,0,1). (1) 证明方法2一：Q四边形是平行四边形，QPA?平面ABCD?PA?DA，又AC?DA，

ACIPA?A，

?DA?平面PAC.

uuur方法二：证得DA是平面PAC的一个法向量，?DA?平面PAC.

(2)通过平面几何图形性质或者解线性方程组,计算得平面PAF一个法向量为urm?(1,2,0)，

urrurrr|m?n|15rr?又平面PCD法向量为n?(1,1,1)，所以cos?m,n??u

5|m||n|15. ?所求二面角的余弦值为5（文）由PQ//CD，且PQ?CD，可知PD//QC，

8

P D1 A1 DQ C1 B1 CA B第19题图 PD所成的角（或其补角）故?AQC为异面直线AQ． 1、12?A1B12?B1Q2?22?2?6，AC由题设知AQ?3?2?23， 112取BC中点E，则QE?BC，且QE?3，

QC2?QE2?EC2?32?12?10．

由余弦定理，得

222AQ?QC?AC6?10?121511． cos??cos?AQC???12AQ1526?101?QC20．(1)设扇环的圆心角为?，则30???10?x??2(10?x)， 所以??10?2x， 10?x (2) 花坛的面积为

1?(102?x2)?(5?x)(10?x)??x2?5x?50, (0?x?10)． 2装饰总费用为9??10?x??8(10?x)?170?10x，

?x2?5x?50x2?5x?50=?所以花坛的面积与装饰总费用的比y=，

170?10x10(17?x)令t?17?x，则y?此时x?1,??12． 113913243?(t?)≤，当且仅当t=18时取等号， 1010t10答：当x?1时，花坛的面积与装饰总费用的比最大．

21．理（1）依题意不妨设B1(0,?b)，B2(0,b)，则FB1?(?1,?b)，FB2?(?1,b).

2由FB1?FB2??a，得1?b??a. 22又因为a?b?1，

解得a?2,b?3.

x2y2??1. 所以椭圆C的方程为

43（2）依题意直线l的方程为y?k(x?1).

9

?y?k(x?1),?由?x2y2得(3?4k2)x2?8k2x?4k2?12?0.

?1???438k24k2?12设M(x1,y1)，N(x2,y2)，则x1?x2?，x1x2?. 223?4k3?4k所以弦MN的中点为

4k2?3kP(,). 3?4k23?4k2所以MN?(x1?x2)2?(y1?y2)2?(k2?1)[(x1?x2)2?4x1x2] 264k44(4k2?12)?(k?1)[?] 222(3?4k)3?4k12(k2?1)?.

4k2?33k14k2??(x?2)， 直线PD的方程为y?24k?3k4k?3k2k2,0)， 由y?0，得x?，则D(24k2?34k?33k2(k2?1)所以DP?.

4k2?33k2(k2?1)2DP1k2114k?3???1?所以. 12(k2?1)MN4k2?14k2?14k2?32又因为k?1?1，所以0?1?1. k2?1所以0?1111?2?. 4k?14的取值范围是(0,).

所以

DPMN14 10

（文）（1）依题设A1(?a,0)，A2(a,0)，则FA,0)，FA2?(a?1,0). 1?(?a?1由FA1?FA2??1，解得a?2，所以b?1.

22x2所以椭圆C的方程为?y2?1.

2（2）依题直线l的方程为y?k(x?1).

由??y?k(x?1),22222k?1x?4kx?2k?2?0. 得??22?x?2y?2设A(x1,y1),B(x2,y2),弦AB的中点为M(x0,y0)，

?k4k22(k2?1)2k2y?xx?则x1?x2?，，，， x?01202k2?12k2?12k2?12k2?12k2?k所以M(2,2).

2k?12k?112k2??(x?2)， 直线MD的方程为y?2k2?1k2k?1kk2k2,0). 令y?0，得xD?，则D(222k?12k?1若四边形ADBE为菱形，则xE?xD?2x0，yE?yD?2y0.

3k2?2k,2). 所以E(22k?12k?13k22?2k)?2(2)2?2. 若点E在椭圆C上，则(22k?12k?12整理得k?2，解得k?42.所以椭圆C上存在点E使得四边形ADBE为菱形.

xxxx22．理（1）3?(2?3?8)?9?9，3?9，x?2

（2）p(10071311007131)?q()??． )?p()??，q(201426220142232 11

因为p(x)?p(1?x)?3x3?3x?31?x31?x?3?3x3?3x?33?3x?1，

9x91?x9x3q(x)?q(1?x)?x?1?x?x?x?1

9?39?39?39?3所以，p(1220131)?p()???p()?1006?， 20142014201421220131q()?q()???q()?1006?． 2014201420142122013122013p()?p()???p()=q()?q()???q()． 201420142014201420142014（3）因为f(x)??(x?1)?a是实数集上的奇函数，所以a??3,b?1.

?(x)?bf(x)?3(1?2)，f(x)在实数集上单调递增. x3?1由f(h(x)?1)?f(2?k?g(x))?0得f(h(x)?1)??f(2?k?g(x))，又因为f(x)是实数集上的奇函数，所以，f(h(x)?1)?f(k?g(x)?2)，

又因为f(x)在实数集上单调递增，所以h(x)?1?k?g(x)?2 即32x?1?k?3x?2对任意的x?R都成立，

x即k?3?1对任意的x?R都成立，k?2. x3（文）（1）an?2?6(n?1)?6n?4 （2） a1?2，a2?8，a3?6，

a4??2，a5??8，a6??6，a7?2，a8?8，a9?6，a10??2，a11??8， a12??6，我们发现数列为一周期为６的数列．事实上，由an?1?an?1?an有

an?3?an?2?an?1??an，an?6?an?3?3??an?3?an．??8分(理由和结论各2分)

因为 2014?335?6?4，所以a2014?a4??2．

（3）假设存在常数c，使an?3?an恒成立．

由an?1?an?1?can ○1，

12

及an?3?an，有an?2?an?can?1?an?1?an?can?1 ○2 1式减○2式得(an?1?an)(1?c)?0． ○

所以an?1?an?0，或1?c?0．

当n?N*，an?1?an?0时，数列｛an｝为常数数列，不满足要求．

由1?c?0得c??1，于是an?1?an?1??an，即对于n?N且n?2，都有

an?1??an?an?1，所以 an?3??an?2?an?1,an?2??an?1?an，从而

an?3??an?2?an?1,?an?1?an?an?1?an (n?1)．

所以存在常数c??1，使an?3?an恒成立． 23．理（1）b1?aa1?a1?1，

bn?aan?a2n?1?22n?1?14n?1?；

2（2）根据反证法排除a1?1和a1?3(a1?N*)

证明：假设a1?2，又an?N*，所以a1?1或a1?3(a1?N*) ①当a1?1时，b1?aa1?a1?1与b1?3矛盾，所以a1?1；

②当a1?3(a1?N*)时，即a1?3?b1?aa1，即a1?aa1，又an?an?1，所以a1?1与

a1?3(a1?N*)矛盾；

由①②可知a1?2．

（3）首先?an?是公差为1的等差数列， 证明如下：

an?1?an?n?2,n?N*时an?an?1，

所以an?an?1?1?an?am?(n?m)，(m?n,m、n?N)

*?aan?1?1?aan?1?[an?1?1?(an?1)]即cn?1?cn?an?1?an

13

由题设1?an?1?an又an?1?an?1?an?1?an?1 即?an?是等差数列．又?an?的首项a1?1，所以an?n，

Sn??(2?2?22?3?23???n?2n)，对此式两边乘以2，得 2Sn??22?2?23?3?24???n?2n?1

两式相减得Sn?2?22?23???2n?n?2n?1?2n?1?n?2n?1?2

Sn?n?2n?1?2n?1?2，Sn?n?2n?1?50即2n?1?52，当n?5时，2n?1?64?52，

即存在最小正整数5使得Sn?n?2n?1?50成立． 注：也可以归纳猜想后用数学归纳法证明an?n．

xxx（文）（1）h(x)?8g(x)?h(1)?0即：9?8?3?9?0，解得3?9，x?2

（2）p(1007131)?p()??. 201422323x3?3x因为p(x)?p(1?x)?所以，p(?31?x31?x?3?3x3?3x?33?3x?1，

12201312013)?p()???p()?1006??， 20142014201422（3）同理科22（3）．

14

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