同济第五版高数习题答案 - 图文

习题9?1

1. 设有一平面薄板(不计其厚度), 占有xOy面上的闭区域D, 薄板上分布有密度为μ =μ(x, y)的电荷, 且μ(x, y)在D上连续, 试用二重积分表达该板上全部电荷Q.

解 板上的全部电荷应等于电荷的面密度μ(x, y)在该板所占闭区域D上的二重积分 . 2. 设, 其中D 又, 其中D

1

2

={(x, y)|?1≤x≤1, ?2≤y≤2};

1

2

={(x, y)|0≤x≤1, 0≤y≤2}.

2

试利用二重积分的几何意义说明I与I的关系.

1

解 I表示由曲面z=(x+y)与平面x=±1, y=±2以及z=0围成的立体V的体积. I表示由曲面z=(x+y)与平面x=0, x=1, y=0, y=2以及z=0围成的立体V的体积.

2

1

23

223

显然立体V关于yOz面、xOz面对称, 因此V是V位于第一卦限中的部分, 故

1

V=4V, 即I=4I.

1

1

2

3. 利用二重积分的定义证明: (1)∫∫ (其中σ为D的面积);

证明 由二重积分的定义可知,

其中Δσ表示第i个小闭区域的面积.

i

此处f(x, y)=1, 因而f(ξ, η)=1, 所以 .

(2)∫∫ (其中k为常数); 证明

.

(3),

其中D=D∪D, D、D为两个无公共内点的闭区域.

1

2

1

2

证明 将D和D分别任意分为n和n个小闭区域

1

2

1

2

和,

n+n=n, 作和

1

2

. 令各

和

1

2

的直径中最大值分别为λ和λ, 又λ=max(λλ), 则有

12

,

即 .

4. 根据二重积分的性质, 比较下列积分大小: (1)∫∫与, 其中积分区域D是由x轴, y轴与直线 x+y=1所围成;

3

2

解 区域D为: D={(x, y)|0≤x, 0≤y, x+y≤1}, 因此当(x, y)∈D时, 有(x+y)≤(x+y), 从而 ≤.

2

2

(2)∫∫与其中积分区域D是由圆周(x?2)+(y?1)=2 所围成;

解区域D如图所示, 由于D位于直线x+y=1的上方, 所以当(x, y)∈D时, x+y≥1, 从而(x+y)≥(x+y), 因而 .

3

2

(3)∫∫与其中D是三角形闭区域, 三角顶点分别为(1, 0), (1, 1), (2, 0);

解 区域D如图所示, 显然当(x, y)∈D时, 1≤x+y≤2, 从而0≤ln(x+y)≤1, 故有

[ln(x+y)]≤ ln(x+y), 因而 .

2

(4)∫∫与其中D={(x, y)|3≤x≤5. 0≤y≤1}.

解 区域D如图所示, 显然D位于直线x+y=e的上方, 故当(x, y)∈D时, x+y≥e, 从而 ln(x+y)≥1, 因而 [ln(x+y)]≥ln(x+y),

故 .

5. 利用二重积分的性质估计下列积分的值: (1), 其中D={(x, y)| 0≤x≤1, 0≤y≤1}; 解 因为在区域D上0≤x≤1, 0≤y≤1, 所以 0≤xy≤1, 0≤x+y≤2, 进一步可得

0≤xy(x+y)≤2, 于是 , 即 .

2

(2), 其中D={(x, y)| 0≤x≤π, 0≤y≤π};

2

2

解 因为0≤sinx≤1, 0≤siny≤1, 所以0≤sinx siny≤1. 于是可得 , 即 .

22

(3), 其中D={(x, y)| 0≤x≤1, 0≤y≤2};

解 因为在区域D上, 0≤x≤1, 0≤y≤2, 所以1≤x+y+1≤4, 于是可得 ,

即 .

(4), 其中D={(x, y)| x

2

2

2

2

2

+y ≤4}.

2

解 在D上, 因为0≤x+y≤4, 所以 9≤x+4y+9≤4(x+y)+9≤25. 于是 , , 即 .

2

2

习题9?2

1. 计算下列二重积分:

(1)∫∫, 其中D={(x, y)| |x|≤1, |y|≤1}; 解 积分区域可表示为D: ?1≤x≤1, ?1≤y≤1. 于是

.

(2)∫∫, 其中D是由两坐标轴及直线x+y=2所围成的闭区域: 解 积分区域可表示为D: 0≤x≤2, 0≤y≤2?x. 于是

(3)∫∫, 其中D={(x, y)| 0≤x≤1, 0≤y≤1}; 解

. .

(4)∫∫, 其中D是顶点分别为(0, 0), (π, 0), 和(π, π)的三角形闭区域.

解 积分区域可表示为D: 0≤x≤π, 0≤y≤x. 于是,

.

2. 画出积分区域, 并计算下列二重积分: (1)

, 其中D是由两条抛物线

.

, 所围成的闭区域;

}. 于是

.

解 积分区域图如, 并且D={(x, y)| 0≤x≤1,

(2)∫∫, 其中D是由圆周x

2

2

+y=4及y轴所围成的右半闭区域;

}. 于是

.

解 积分区域图如, 并且D={(x, y)| ?2≤y≤2,

(3)∫∫, 其中D={(x, y)| |x|+|y|≤1}; 解 积分区域图如, 并且

D={(x, y)| ?1≤x≤0, ?x?1≤y≤x+1}∪{(x, y)| 0≤x≤1, x?1≤y≤?x+1}. 于是

=e?e.

?1

(4)∫∫, 其中D是由直线y=2, y=x及y=2x轴所围成的闭区域. 解 积分区域图如, 并且D={(x, y)| 0≤y≤2,

.

}. 于是

3. 如果二重积分的被积函数f(x, y)是两个函数f

1

2

1

(x)及f(y)的乘积, 即f(x,

2

y)= f(x)?f(y), 积分区域D={(x, y)| a≤x≤b, c≤ y≤d}, 证明这个二重积分等于两个单积分的乘积, 即 证明 , 而 , 故 .

由于的值是一常数, 因而可提到积分号的外面, 于是得

4. 化二重积分为二次积分(分别列出对两个变量先后次序不同的两个二次积分), 其中积分区域D是:

2

(1)由直线y=x及抛物线y=4x所围成的闭区域; 解?积分区域如图所示, 并且

D={(x, y)| }, 或D={(x, y)| },

所以

2

或

2

2

.

(2)由x轴及半圆周x+y=r(y≥0)所围成的闭区域; 解?积分区域如图所示, 并且 D={(x, y)| 或D={(x, y)|

},

},

所以 , 或 .

(3)由直线y=x, x=2及双曲线(x>0)所围成的闭区域;

解?积分区域如图所示, 并且

D={(x, y)| },

或D={(x, y)| }∪{(x, y)| },

所以 , 或

2

2

.

(4)环形闭区域{(x, y)| 1≤x+y≤4}.

解 如图所示, 用直线x=?1和x=1可将积分区域D分成四部分, 分别记做D, D, D,

1

2

3

D. 于是

4

1

2

3

4

用直线y=1, 和y=?1可将积分区域D分成四部分, 分别记做D, D, D, D , 如图所示. 于是

5. 设f(x, y)在D上连续, 其中D是由直线y=x、y=a及x=b(b>a)围成的闭区域, 证明:.

证明 积分区域如图所示, 并且积分区域可表示为 D={(x, y)|a≤x≤b, a≤y≤x}, 或D={(x, y)|a≤y≤b, y≤x≤b}. 于是 , 或.

因此 .

6. 改换下列二次积分的积分次序:

(1);

解 由根据积分限可得积分区域D={(x, y)|0≤y≤1, 0≤x≤y}, 如图. 因为积分区域还可以表示为D={(x, y)|0≤x≤1, x≤y≤1}, 所以 . (2);

2

解 由根据积分限可得积分区域D={(x, y)|0≤y≤2, y≤x≤2y}, 如图.

因为积分区域还可以表示为D={(x, y)|0≤x≤4, (3) 解

; 根据积

.

}, 所以

由分限可得积分区域

如图.

因为积分区域还可以表示为 (4)

;

域

还

可

以

, 如图.

表示 所以

.

为

, 所以

解 由根据积分限可得积分区域

因为积分区

(5)∫∫;

解 由根据积分限可得积分区域D={(x, y)|1≤x≤e, 0≤y≤ln x}, 如图. 因为积分区域还可以表示为D={(x, y)|0≤y≤1, e≤x≤ e}, 所以 (6)

(其中a≥0)．

, 如图.

,

y

解 由根据积分限可得积分区域 因为积分区域还可以表示为

所以 .

7. 设平面薄片所占的闭区域D由直线x+y=2, y=x和x轴所围成, 它的面密度为μ(x,

y)=x+y, 求该薄片的质量. 解 如图, 该薄片的质量为

22

.

8. 计算由四个平面x=0, y=0, x=1, y=1所围成的柱体被平面z=0及2x+3y+z=6截得的立体的体积.

解 四个平面所围成的立体如图, 所求体积为

.

9. 求由平面x=0, y=0, x+y=1所围成的柱体被平面z=0及抛物面x+y=6?z截得的立体的体积.

解 立体在xOy面上的投影区域为D={(x, y)|0≤x≤1, 0≤y≤1?x}, 所求立体的体积为以曲面z=6?x?y为顶, 以区域D为底的曲顶柱体的体积, 即

.

2

2

22

10. 求由曲面z=x+2y及z=6?2x?y所围成的立体的体积. 解 由消去z, 得x

2

2

2

2222

+2y=6?2x?y, 即x+y=2, 故立体在xOy面上的投影

22222

区域为x+y≤2, 因为积分区域关于x及y轴均对称, 并且被积函数关于x, y都是偶函数, 所以

.

11. 画出积分区域, 把积分表示为极坐标形式的二次积分, 其中积分区域D是: 222

(1){(x, y)| x+y≤a}(a>0);

解?积分区域D如图. 因为D={(ρ, θ)|0≤θ≤2π, 0≤ρ≤a}, 所以

解 积分区域可表示为D: 0≤x≤2, 0≤y≤2?x. 于是

(3)∫∫, 其中D={(x, y)| 0≤x≤1, 0≤y≤1}; 解

.

.

(4)∫∫, 其中D是顶点分别为(0, 0), (π, 0), 和(π, π)的三角形闭区域.

解 积分区域可表示为D: 0≤x≤π, 0≤y≤x. 于是,

.

2. 画出积分区域, 并计算下列二重积分: (1)

, 其中D是由两条抛物线

.

, 所围成的闭区域;

}. 于是

.

解 积分区域图如, 并且D={(x, y)| 0≤x≤1,

(2)∫∫, 其中D是由圆周x

2

2

+y=4及y轴所围成的右半闭区域;

}. 于是

.

解 积分区域图如, 并且D={(x, y)| ?2≤y≤2,

(3)∫∫, 其中D={(x, y)| |x|+|y|≤1}; 解 积分区域图如, 并且

D={(x, y)| ?1≤x≤0, ?x?1≤y≤x+1}∪{(x, y)| 0≤x≤1, x?1≤y≤?x+1}. 于是

=e?e.

?1

(4)∫∫, 其中D是由直线y=2, y=x及y=2x轴所围成的闭区域. 解 积分区域图如, 并且D={(x, y)| 0≤y≤2,

.

}. 于是

3. 如果二重积分的被积函数f(x, y)是两个函数f

1

2

1

(x)及f(y)的乘积, 即f(x,

2

y)= f(x)?f(y), 积分区域D={(x, y)| a≤x≤b, c≤ y≤d}, 证明这个二重积分等于两个单积分的乘积, 即 证明 , 而 , 故 .

由于的值是一常数, 因而可提到积分号的外面, 于是得

4. 化二重积分为二次积分(分别列出对两个变量先后次序不同的两个二次积分), 其中积分区域D是:

2

(1)由直线y=x及抛物线y=4x所围成的闭区域; 解?积分区域如图所示, 并且

D={(x, y)| }, 或D={(x, y)| },

所以

2

或

2

2

.

(2)由x轴及半圆周x+y=r(y≥0)所围成的闭区域; 解?积分区域如图所示, 并且 D={(x, y)| 或D={(x, y)|

},

},

所以 , 或 .

(3)由直线y=x, x=2及双曲线(x>0)所围成的闭区域;

解?积分区域如图所示, 并且

D={(x, y)| },

或D={(x, y)| }∪{(x, y)| },

所以 , 或

2

2

.

(4)环形闭区域{(x, y)| 1≤x+y≤4}.

解 如图所示, 用直线x=?1和x=1可将积分区域D分成四部分, 分别记做D, D, D,

1

2

3

D. 于是

4

1

用直线y=1, 和y=?1可将积分区域D分成四部分, 分别记做D, D, D, D ,

2

3

4

如图所示. 于是

5. 设f(x, y)在D上连续, 其中D是由直线y=x、y=a及x=b(b>a)围成的闭区域, 证明:.

证明 积分区域如图所示, 并且积分区域可表示为 D={(x, y)|a≤x≤b, a≤y≤x}, 或D={(x, y)|a≤y≤b, y≤x≤b}. 于是 , 或.

因此 .

6. 改换下列二次积分的积分次序:

(1);

解 由根据积分限可得积分区域D={(x, y)|0≤y≤1, 0≤x≤y}, 如图. 因为积分区域还可以表示为D={(x, y)|0≤x≤1, x≤y≤1}, 所以 .

(2);

解 由根据积分限可得积分区域D={(x, y)|0≤y≤2, y2

≤x≤2y}, 如图. 因为积分区域还可以表示为D={(x, y)|0≤x≤4, }, 所以

.

(3) ; 解

由根据积

分限可得积分区 如图. 因为积分区域还可以表示为 , 所以

(4)

;

解 由根据积分限可得积分区域

, 如图. 因为积分区

域

还

可

以

表示 所以

.

(5)∫∫;

解 由根据积分限可得积分区域D={(x, y)|1≤x≤e, 0≤y≤ln x}, 如图. 因为积分区域还可以表示为D={(x, y)|0≤y≤1, ey

≤x≤ e}, 所以

(6)

(其中a≥0)．

域

为

(3)∫∫, 其中D是由直线y=x, y=x+a, y=a, y=3a(a>0)所围成的闭区域; 解 因为积分区域可表示为D={(x, y)|a≤y≤3a, y?a≤x≤y}, 所以

2

2

2

2

.

(4) , 其中D是圆环形闭区域{(x, y)| a≤x+y≤b}. 解 在极坐标下D={(ρ, θ)|0≤θ≤2π, a≤ρ≤b}, 所以

.

)与直线

所围

16. 设平面薄片所占的闭区域D由螺线ρ=2θ上一段弧(成, 它的面密度为μ(x, y)=x+y. 求这薄片的质量. 解 区域如图所示. 在极坐标下

2

2

, 所以所求质量

. 17. 求由平面y=0, y=kx(k>0), z=0以及球心在原点、半径为R的上半球面所围成的在第一卦限内的立体的体积.

解 此立体在xOy面上的投影区域D={(x, y)|0≤θ≤arctank, 0≤ρ≤R}.

.

18. 计算以xOy平面上圆域x+y=ax围成的闭区域为底, 而以曲面z=x+y为顶的曲顶柱体的体积.

解 曲顶柱体在xOy面上的投影区域为D={(x, y)|x+y≤ax}. 在极坐标下

2

2

2222

, 所以

.

9?3

1. 化三重积分为三次积分, 其中积分区域Ω分别是:

(1)由双曲抛物面xy=z及平面x+y?1=0, z=0所围成的闭区域; 解 积分区域可表示为

Ω={(x, y, z)| 0≤z≤xy, 0≤y≤1?x, 0≤x≤1}, 于是 .

2

2

(2)由曲面z=x+y及平面z=1所围成的闭区域; 解 积分区域可表示为 于是

2

2

2

,

.

(3)由曲面z=x+2y及z=2?x所围成的闭区域; 解 曲积分区域可表示为 于是

2

2

2

,

.

2

2

提示: 曲面z=x+2y与z=2?x的交线在xOy面上的投影曲线为x+y=1. (4)由曲面cz=xy(c>0),

解 曲积分区域可表示为

, z=0所围成的在第一卦限内的闭区域.

,

于是 .

提示: 区域Ω的上边界曲面为曲面cz=xy , 下边界曲面为平面z=0.

2. 设有一物体, 占有空间闭区域Ω={(x, y, z)|0≤x≤1, 0≤y≤1, 0≤z≤1}, 在点(x, y, z)处的密度为ρ(x, y, z)=x+y+z, 计算该物体的质量. 解

3. 如果三重积分的被积函数f(x, y, z)是三个函数f

1

2

3

.

1

(x)、f(y)、f(z)的

2

3

乘积, 即f(x, y, z)= f(x)?f(y)?f(z), 积分区域Ω={(x, y, z)|a≤x≤b, c≤y≤d, l≤z≤m}, 证明这个三重积分等于三个单积分的乘积, 即

. 证明

.

4. 计算, 其中Ω是由曲面z=xy, 与平面y=x, x=1和z=0所围成的闭区域.

解 积分区域可表示为

Ω={(x, y, z)| 0≤z≤xy, 0≤y≤x, 0≤x≤1}, 于是

.

5. 计算 , 其中Ω为平面x=0, y=0, z=0, x+y+z=1所围成的四面体. 解 积分区域可表示为

Ω={(x, y, z)| 0≤z≤1?x?y, 0≤y≤1?x, 0≤x≤1}, 于是 提示:

.

.

6. 计算, 其中Ω为球面x的闭区域.

解 积分区域可表示为 于是

.

2

+y+z=1及三个坐标面所围成的在第一卦限内

22

7. 计算, 其中Ω是由平面z=0, z=y, y=1以及抛物柱面y=x域.

解 积分区域可表示为

Ω={(x, y, z)| 0≤z≤y, x≤y≤1, ?1≤x≤1}, 于是

.

2

2

所围成的闭区

8. 计算, 其中Ω是由锥面 与平面z=h(R>0, h>0)所围成的闭区域.

解 当0≤z≤h时, 过(0, 0, z)作平行于xOy面的平面, 截得立体Ω的截面为圆D:

z

, 故D的半径为

z

, 面积为 , 于是

=

9. 利用柱面坐标计算下列三重积分: (1)∫∫∫, 其中Ω是由曲面

解 在柱面坐标下积分区域Ω可表示为 0≤θ≤2π, 0≤ρ≤1,

,

.

2

2

及z=x+y所围成的闭区域;

于是

.

2

2

(2)∫∫∫, 其中Ω是由曲面x+y=2z及平面z=2所围成的闭区域. 解 在柱面坐标下积分区域Ω可表示为 0≤θ≤2π, 0≤ρ≤2, 于是

10. 利用球面坐标计算下列三重积分:

2

,

.

2

2

(1)∫∫∫, 其中Ω是由球面x+y+z=1所围成的闭区域. 解 在球面坐标下积分区域Ω可表示为 0≤θ≤2π, 0≤?≤π, 0≤r≤1, 于是

.

2

2

2

2

2

2

2

(2)∫∫∫, 其中闭区域Ω由不等式x+y+(z?a)≤a, x+y≤z 所确定. 解 在球面坐标下积分区域Ω可表示为 于是

,

.

11. 选用适当的坐标计算下列三重积分: (1)∫∫∫, 其中Ω为柱面x

2

+y=1及平面z=1, z=0, x=0, y=0所围成的在第一卦限内

2

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/yrdv.html