数学建模-减肥计划

数 学 建 模

姓名:林兴焕 班级:轻化工程 学号:1090212105

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问题背景：在国人初步进入小康社会以后，不少

自感肥胖的人纷纷奔向减肥食品的柜台。可是大量事实说明，多数减肥食品达不到减肥的目标。医生和专家建议，只有通过控制饮食和适当运动，才能在不伤害身体的条件下，达到减肥并维持的目的。故研究方向：建立体重变化规律的模型，并由此通过节食和运动制定合理的减肥计划。

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模型分析：人体重的变化是由于体内的能量守恒

遭到破坏。人通过饮食吸收热量并转化为脂肪等，导致体重增加。又由于代谢和运动消耗热量，引起体重减少。以不伤害自身为前提，进行减肥。

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模型假设：

1. 体重增加正比于吸收的热量，平均每8000kcal增加1kg（1kcal=4.2kj）；

2. 正常代谢引起的体重减少正比于体重，每周每公斤体重消耗热量一般在200kcal~320kcal，且因人而异；

3. 运动引起的体重减少正比于体重，且与运动形式有关；

4. 为了安全与健康，每周体重减少不宜超过1.5kg,每周吸收热量不少于10000kcal。

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基本模型：

记第k周末体重为ω(k)，第k周吸收 的热量为c(k)；

热量转换系数[α =1/8000(kg/kcal)]，代谢消耗系数β （因人而异）

1.无运动情况下，体重的基本方程为

ω（k+1）= ω(k)+αc(k+1)- βω(k)，

其中k=1，2, 3···

2. 增加运动时，只需把β改为β+β

1，

β1由运动

的类型和运动时间有关。基本方程为

ω（k+1）= ω(k)+αc(k+1)- （β+β1）ω (k)， 其中k=1，2, 3···

? 减肥计划提出：我们制定一个减肥计划来讨论

基本模型。 BMI为体重指数。BMI定义为体重除以身高的平方。规定BMI在18.5~24为正常，24~29为超重，大于29为肥胖。

事例：某甲身高1.7m，体重100kg,BMI高达34.6.

该人目前每周吸收20000kcal热量，体重长期不变。试为他按以下方式制定计划，使其体重降到75千克并维持下去

1） 在其不运动的情况下，安排一个两阶段的计划，

第一阶段：每周减肥1kg，每周吸收的热量逐渐减少，直至达到安全的下限（10000kcal）；第二阶段：每周吸收的热量保持下限，减肥达到目标。 2） 若要加快进程，第二阶段增加运动，重新安排

第二阶段计划。

3） 给出达到目标后维持方案。

? 建立模型:

1) 先确定甲的代谢消耗系数β。

根据他每周吸收的热量c=20000kcal，体重ω=100kg 代入 式子

ω（k+1）= ω(k)+αc(k+1)- βω(k)

ω(k)= ω(k+1) , β=αc/ω=20000*(1/8000)/100=0.25 每周每千克体重消耗热量为 20000/100=200kcal。从假设2知，甲的代谢消耗很弱，所以吃得多必将导致他变胖。

第一阶段 要求每周减少b=1kg,吸收热量减至下

限cmin=10000kcal

即 ω(k)- ω(k+1)=1 ，ω(0)- ω(k)=bk 代入 ω(k+1)=ω(k)+αc(k+1) -βω(k) 得 c(k+1)=(1/α)[β*ω(k) - b]

= (β/α) *ω(0) - (b/α)*(1+βk)

根据α,β,b, cmin已知，有

c(k+1)=12000-200k≥ cmin=10000

得k ≤10,即第一阶段共10周，按照c(k+1)=12000-200k吸收热量，可使体重每周减1kg，至第10周末可减至90kg。

第二阶段 要求每周吸收热量保持下限cmin，由

基本模型得

ω(k+1)=ω(k)+αcmin -βω(k)=(1-β) ω(k)+αcmin 要得到减至75kg所需周数，可将上式递推得 ω(k+n)=(1-β)^n*ω(k)+αcmin[1+(1-β)+(1-β)^2+ (1-β)^3+···+ (1-β)^(n-1)]= (1-β)^n * [ω(k)- α

cmin/β]+ αcmin/β

已知ω(k)=90, α,β, cmin，求ω(k+1)=75，由上式得: 75=（0.975^n )* (90-50)+50

解得n=19,即每周吸收热量保持在下限，再过19周就可减至75kg。

2) 为加快进程，第二阶段增加运动。

经调查各项运动每小时每公斤体重消耗的热量: 运动 跑步 跳乒乓 自行车 游舞 热量消7.0 耗（kcal） 记表中热量消耗γ，每周运动时间t，利用增加运动

3.0 4.4 2.5 泳（50m/min） 7.9 后的基本模型，其中β’=β+β1， β1=αγt,即

ω(k+1)=ω(k)+αc(k+1)-(β+ αγt )ω(k)

试取β1=αγt=0.003，即γt=24，则β’=0.028 所以由上式带入已知条件

得n=14,即若增加 γt=24的运动（每周跑步3.5小时、每周跳舞8小时或自行车10小时），就 可将第 二阶段时间缩短为14周。 若要维持75kg的体重，最简单的方案是找出每 周吸收热量保持某常数c,使ω(k)不变。 由式子

ω(k+1)=ω(k)+αc(k+1)-(β+ αγt )ω(k)

得 ω=ω+αc-(β+ αγt ) ω 得 c=(β+αγt)ω/α 因此，若不运动得c=15000kcal； 若运动，则c=16800kcal

? 模型分析：

通过减肥模型可以看出，当β由0.025变为β’=0.028(变化约为12%)，减肥时间就从19周减到14周(变化约为25%)。

可见通过改变β1，即改变运动的形式与时间，是个相当不错的减肥方式。

如果你想运动减肥，每项运动时间应超过30分钟。

后的基本模型，其中β’=β+β1， β1=αγt,即

ω(k+1)=ω(k)+αc(k+1)-(β+ αγt )ω(k)

试取β1=αγt=0.003，即γt=24，则β’=0.028 所以由上式带入已知条件

得n=14,即若增加 γt=24的运动（每周跑步3.5小时、每周跳舞8小时或自行车10小时），就 可将第 二阶段时间缩短为14周。 若要维持75kg的体重，最简单的方案是找出每 周吸收热量保持某常数c,使ω(k)不变。 由式子

ω(k+1)=ω(k)+αc(k+1)-(β+ αγt )ω(k)

得 ω=ω+αc-(β+ αγt ) ω 得 c=(β+αγt)ω/α 因此，若不运动得c=15000kcal； 若运动，则c=16800kcal

? 模型分析：

通过减肥模型可以看出，当β由0.025变为β’=0.028(变化约为12%)，减肥时间就从19周减到14周(变化约为25%)。

可见通过改变β1，即改变运动的形式与时间，是个相当不错的减肥方式。

如果你想运动减肥，每项运动时间应超过30分钟。

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