高数同济§1.9 连续函数的运算与初等函数的连续性例题09-2

定理3 设函数y f[g(x)]由函数y f(u)与函数u g(x)复合而成 U (x0 ) D f g 若 lim g x) u0 而函数 y f(u)在 u0 连续 则x x0

简要证明 要证 0 0 当0 |x x0| 时 有 |f[g(x)] f(u0)| 因为f(u)在u0连续 g(x) u0(x x0) 所以 0 0 当|u u0| 时 有|f(u) f(u0)| ; 对上述 0 0 当0 |x x0| 时 有|g(x) u0| 从而有 |f[g(x)] f(u0)|

x x0

lim f [g x)] lim f (u) f (u0 ) u u 0

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