2013年高考数学压轴大题训练：解析几何中的交汇性问题

一、解答题（共8小题，满分100分） 1．（14分）在平面直角坐标系xoy中，抛物线C的顶点在原点，经过点A（2，2），其焦点F在x轴上．

（1）求抛物线C的标准方程；

（2）求过点F，且与直线OA垂直的直线的方程； （3）设过点M（m，0）（m＞0）的直线交抛物线C于D、E两点，ME=2DM，记D和E两点间的距离为f（m），求f（m）关于m的表达式．

2．（12分）（2012 天津）设椭圆圆上且异于A，B两点，O为坐标原点． （1）若直线AP与BP的斜率之积为

的左右顶点分别为A，B，点P在椭

，求椭圆的离心率；

．

（

2）若|AP|=|OA|，证明直线OP

的斜率k满足|k|＞

3．（在直角坐标系xOy中，中心在原点O，焦点在x轴上的椭圆C上的点（2，1）到两焦点的距离之和为4． （1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆C 的右焦点F作直线l与椭圆C分别交于A、B两点，其中点A在x轴下方，且=3

．求过O、A、B三点的圆的方程．

4．（12分）如图所示，椭圆C：

2

的焦点为F1（0，c），F2

（0，﹣c）（c＞0），抛物线x=2py（p＞0）的焦点与F1重合，过F2的直线l与抛物线P相切，切点在第一象限，且与椭圆C相交于A，B两点，且（1）求证：切线l的斜率为定值；

（2）当λ∈[2，4]时，求椭圆的离心率e的取值范围．

．

5．（12分）（2012 东莞一模）已知椭圆的一个顶点为A（0，﹣1），焦点在x轴上．若右焦点到直线的距离为3． （1）求椭圆的方程；

（2）设椭圆与直线y=kx+m（k≠0）相交于不同的两点M、N．当|AM|=|AN|时，求m的取值范

22

~6．（12分）（2010 赤峰模拟）设A、B是椭圆3x+y=λ上的两点，点N（1，3）是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点． （1）确定λ的取值范围，并求直线AB的方程；

7．（14分）如图，已知椭圆

的焦点和上顶点分别为F1、F2、B，我们

称△F1BF2为椭圆C的特征三角形．如果两个椭圆的特征三角形是相似的，则称这两个椭圆是“相

似椭圆”，且三角形的相似比即为椭圆的相似比． （1）已知椭圆

和

判断C2与C1是否相似，如果相似则求出C2

与C1的相似比，若不相似请说明理由； （2）写出与椭圆C1相似且半短轴长为b的椭圆Cb的方程，并列举相似椭圆之间的三种性质（不需证明）；

（3）已知直线l：y=x+1，在椭圆Cb上是否存在两点M、N关于直线l对称，若存在，则求出函数f（b）=|MN|的解析式．

解答：

解： (1)椭圆 C2 与 C1 相似. 因为 C2 的特征三角形是腰长为 4, 底边长为 的等腰三 角形， 而椭圆 C1 的特征三角形是腰长为 2,底边长为 的等腰 三角形， 因此两个等腰三角形相似，且相似比为 2:1. 根据题中两个椭圆相似的定义可得： 椭圆 C2 与 C1 相似. ﹣ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣(4 分) (2)∵ 椭圆 Cb 与椭圆 C1 相似 ∴ 椭圆 Cb 的长轴是短轴的 2 倍 ∵ 椭圆 Cb 的半短轴长为 b ∴ 椭圆 Cb 的方程为：

.﹣﹣﹣﹣﹣

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(7 分) 由(1)可得两个相似椭圆之间的性质有： ① 两个相似椭圆的面积之比为相似比的平方； ② 分别以两个相似椭圆的顶点为顶点的四边形也相似，相 似比即为椭圆的相似比； ③ 两个相似椭圆被同一条直线所截得的线段中点重合，过 原点的直线截相似椭圆所得线段长度之比恰为椭圆的相 似比.﹣﹣﹣﹣(10 分) (3)假定存在满足条件的两点 M、N,则设 M、N 所在 直线为 y=﹣x+t,MN 中点为(x0,y0) . 则2 2 2

5x ﹣8tx+4(t ﹣b )=0.﹣﹣﹣﹣﹣﹣

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(12 分)

设M (x1, y1) , N (x2, y2) , 可得

∴ 结合中点在直线 y=x+1 上，所以有 ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(16 分) ∵

.﹣﹣﹣﹣﹣﹣

∴ 所求函数的解析式为： ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(18 分)

. ﹣﹣﹣﹣﹣

8．（12分）（2009 深圳一模）如图，两条过原点O的直线l1，l2分别与x轴、y轴成30°的角，已知线段PQ的长度为2，且点P（x1，y1）在直线l1上运动，点Q（x2，y2）在直线l2上运动． （Ⅰ）求动点M（x1，x2）的轨迹C的方程； （Ⅱ）设过定点T（0，2）的直线l与（Ⅰ）中的轨迹C交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角，求直线l的斜率k的取值范围．

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