第8章 非线性系统分析 参考答案

参考答案

一、填空题

1. 非本质；本质 2. 自持振荡 3. 初始条件；输入信号大小 4. 饱和非线性；死区非线性；间隙非线性；继电器非线性 5. 不稳定 6. 稳定；不稳定；半稳定 7. 自左向右；自右向左 二、分析与计算题

1. 求y(t)?ax3(t)的描述函数。 解：由于y(t)?ax3(t)是单值奇函数，所以其傅里叶级数展开式中A0=0、A1=0、φ1=0，将x(t)?Asin?t代入B1的计算公式，可得

12?B1??y(t)sin?td?t?012???aA3sin3?tsin?td?t?02???aA3sin4?td?t?02aA3?1?cos2?t2?()d?t??022aA3?1?2cos2?t?cos22?t?d?t??041?cos4?t1?2cos2?t?32aA?2?d?t?0?42aA3?311?(?cos2?t?cos4?t)d?t??0828?1?2aA331?(??sin2?t?sin4?t)0320?843aA3?4

所以

B13aA332N(A)???aA

A4A42．设具有滞环继电器非线性特性的非线性系统结构如题图8.1所示，已知b=1，a=0.3，试判断系统是否存在自持振荡，若存在，则求出自持振荡的幅值和频率。

yr=0+-xb0ax-by-a10(2s?1)(0.4s?1)c题图8.1

解：具有滞环的继电器非线性特性的描述函数为

4ba4abN(A)?1?()2?j(A?a)

?AA?A2其描述函数负倒数特性为

1?Aa?a???1?()2?j(A?a) N(A)4bA4b1?a?a可见，描述函数负倒数特性的虚部为常数?，即?曲线为一条虚部为?的直线。

N(A)4b4b10由于G(s)?，所以

(2s?1)(0.4s?1)G(j?)?10(2j??1)(0.4j??1)10(1?2j?)(1?0.4j?)?(1?4?2)(1?0.16?2)10(1?2.4j??0.8?2)?(1?4?2)(1?0.16?2)10?8?224???j(1?4?2)(1?0.16?2)(1?4?2)(1?0.16?2)

由以上可知，?令?1曲线与G(j?)必有交点，而且交点为稳定的，因此会产生自持振荡。N(A)1?G(j?)，此时有 N(A)??Aa210?8?21?()???A(1?4?2)(1?0.16?2)?4b ??a?24?????4b(1?4?2)(1?0.16?2)?将b=1，a=0.3代入可得ω=5.02rad/s，A=0.57。

所以，该系统存在自持振荡，振荡的幅值为0.57，角频率为ω=5.02rad/s。

3.设具有死区继电器非线性特性的非线性系统结构如题图8.2所示，已知b=3，a=1。试分析系统的稳定性，并求系统不产生自持振荡时a与b应满足什么关系。

r=0+-xyb-ay0ax-b2s(0.5s?1)(s?1)c

题图8.2

解：具有死区继电器非线性特性的描述函数为

4baN(A)?1?()2?AA其描述函数的负倒数特性为

1?A1???N(A)4ba1?()2A对上式求导，并令导数等于0，可知当A?2a时，?A?a

(A?a)

1?a有极大值?。将b=3，a=1N(A)2b11??代入，可得当A?2时，?有极大值?，即?在负实轴上的最大值为?。

N(A)N(A)664由于G(s)?，所以

s(0.5s?1)(s?1)G(j?)?4j?(0.5j??1)(j??1)?4j(1?0.5j?)(1?j?)??(1?0.25?2)(1??2)?64?2?2??j22(1?0.25?)(1??)?(1?0.25?2)(1??2)

4?2?2令G(jω)的虚部为0，即Im[G(jω)] = 0，可得??2rad/s。将??2代?(1?0.25?2)(1??2)入到G(jω)的实部，可得Re[G(j?)]?轴的交点是(

?6?4。所以G(jω)曲线与负实=(1?0.25?2)(1??2)?=23?4，j0)。 31?4? 由于小于?，所以G(jω)曲线与?曲线必有交点，如题3解图所示。令

N(A)631?A14??G(j?)，可得???，解之得A1=4.9896，A2=1.0207。由于A2=1.0207N(A)12311?()2A小于A?2，所以系统在A2=1.0207处不稳定，而A1=4.9896大于A?2，所以系统在A1=4.9896处稳定，产生自持振荡。即系统会产生自持振荡，振幅为4.9896，频率为1.414 rad/s。

?1N(A)ABIm0ReCωG(jω)题3解图

1曲线没有交点即可，即满足 N(A)要想使系统不产生自持振荡，只需G(jω)曲线与??可得

?a4?? 2b3a8 ?b3?a8时，系统不会产生自持振荡。 ?b3?4. 具有理想继电器非线性特性的非线性系统如题图8.3所示，已知b=1。(1) 当 τ=0时，系统受到扰动后会出现什么样的运动形式？(2) 当τ≠0时，如果系统输出产生一个振幅为4、角频率为1rad/s的自持振荡，求系统参数K和τ的值。 当

r=0+-xyb0x-byKe??ss(s?1)(s?2)c

题图8.3

解：(1)理想继电器非线性特性的描述函数为

4b N(A)??A其负倒数特性为

1?A??? N(A)4b1?A1??将b=1代入可得?，即?曲线为负实轴。 N(A)4N(A)当 τ=0时，线性部分的开环幅相频特性为

G(j?)?Kj?(j??1)(j??2)?Kj(1?j?)(2?j?)??(1??2)(4??2)?3K2K?K?2??j22(1??)(4??)?(1??2)(4??2)

2K?K?2令G(jω)的虚部为0，即Im[G(jω)] = =0，可得??2rad/s。将??2代?(1??2)(4??2)入到G(jω)的实部，可得Re[G(j?)]?的交点是(

?3K?K。所以G(jω)曲线与负实轴=(1??2)(4??2)?=26?K，j0)，如题4解图所示。 61?N(A)ABωIm0ReG(jω)题4解图

所以G(jω)曲线与?增大时，?1曲线必有交点，并且交点坐标与A和K值有关，并且，当AN(A)1曲线将从不稳定区进入稳定区域，所以交点为稳定点，会产生自持振荡。N(A)因此，系统受到扰动后会产生稳定的自持振荡。

(2) 当τ≠0时，线性部分的开环幅相频特性为

Ke?j??G(j?)?

j?(j??1)(j??2)由于系统要产生振幅为4、角频率为1rad/s的自持振荡，即ω=1rad/s。

1?A?4???????? N(A)4b4?1Ke?j?KKG(j1)???

j1(j1?1)(j1?2)1?11?410所以K10??，K=9.935。

又因为?G(j1)??57.3??90?arctan1?arctan0.5??180o

所以τ=0.32。

5. 判断如题图8.4所示的系统是否稳定，是否存在自持振荡。

1?N(A)ABωIm0Re?1N(A)ABIm0Re?1N(A)ImCωIm0ReG(jω)ωCωABBA?1N(A)0ReG(jω)G(jω)G(jω) (a) (b) (c) (d)

题图8.4

解：(a) G(jω)曲线与?11曲线有交点B，但当A增大时，?由G(jω)左侧进入N(A)N(A)右侧，即从稳定区进入不稳定区，所以交点B不是稳定工作点，不会产生自持振荡。

11(b) G(jω)曲线与?曲线有交点B、C。对于B点，当A增大时，?由G(jω)

N(A)N(A)左侧稳定区进入右侧不稳定区，所以交点B不是稳定工作点，不会产生自持振荡。对于交1点C，当A增大时，?由G(jω)右侧不稳定区进入左侧稳定区，所以交点C是稳定工

N(A)作点，会产生自持振荡。

11 (c) G(jω)曲线与?曲线有交点B、C。对于B点，当A增大时，?由G(jω)

N(A)N(A)右侧稳定区进入左侧不稳定区，所以交点B不是稳定工作点，不会产生自持振荡。对于交1点C，当A增大时，?由G(jω)右侧不稳定区进入左侧稳定区，所以交点C是稳定工

N(A)作点，会产生自持振荡。

11 (d) G(jω)曲线与?曲线有交点B，但当A增大时，?由G(jω)的不稳定区进

N(A)N(A)入稳定区，所以交点B是稳定工作点，会产生自持振荡。

6. 将题图8.5所示的非线性系统化为串联形式，并求出等效的开环传递函数。

r=0+--y-aeKyb0ax-b1Ts2cxs

题图8.5

解：系统结构图的简化如题6解图所示。

r=0+--y-aeKyb0ax-b1Ts2cr=0+--yeKyb0ax-b1Ts2cxs-axsr=0+e-y-aybKsTs?K2r=0+e-y-aybKTs?K2cx0ax-bx0ax-bs题6解图

Ks。

Ts2?K7. 设具有死区继电器非线性特性的非线性系统结构如题图8.6所示，已知a=1，b=3。试用描述函数法分析K值与系统产生自持振荡的关系，并求K=3时自持振荡的振幅和振荡频率。 所以G(s)?

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