昆明理工大学09级线性代数试题A+标准答案+评分标准

昆明理工大学2009级 试卷 （A卷）

考试科目：线性代数 考试日期：2010年6月24日 命题教师：命题小组

一、填空题（每小题3分，共30分）

1、设A 1 0 0 0 2 0 ，则A 1

0 0 3

2、设A

21

12 ，E为二阶单位阵，

且满足BA B 2E则B .

3400 3、设A

4-300 ,则A2 . 0020 0022

4、方阵A满足A2

A 2E 0，则A 1

.

5、若矩阵A与B等价，且R(A) 3，则R(B) 6、已知向量组 1 1,2, 1 ， 2 2,0,t ， 3 0, 4,5 的秩为2， 则t .

7、向量空间V的维数为m，则V中任意m 1个向量 1, 2,..., m 1必线性 .

8、设四元非齐次线性方程组AX b的系数矩阵A的秩为3，且已知它的

两个解为 T

1 2 (1, 1,2,1)，则对应齐次方程AX 0的通解为

X .

9、两向量 1 1,6,t , 2 0, 1,3 正交的条件是t 32

10、已知三阶方阵A的特征值为1,2,3,则A 5A 7A .

12

二、（10分）求行列式A

22

2222223222

的值. 24

10三、(10分) 设A 1 020 ，且满足AX E A2

X，求矩阵X.

101

x1 x2 x四、(16分)设线性方程组

3 1

x1 x2 x 3 ，问 取何值时,

x x21 x2 3

（1）有唯一解；（2）无解；（3）有无穷解，并求其通解.

1211 五、（15分）设A

0120 2 2 1 1 3120

（1）写出A的列向量组 1, 2, 3, 4； （2）判断 1, 2, 3, 4的线性相关性； （3）求 1, 2, 3, 4的秩和一个最大无关组.

六、（15分）已知二次型 （1）写出f所对应的矩阵A； （2）求A的特征值和特征向量； （3）求一个正交变换将f化为标准形.

f(x1,x2,x3) 2x12 3x22 3x32 4x2x3

七、（4分）设A为正交阵，且A 1，证明 1是A的特征值.

昆明理工大学2009级线性代数A卷 参考答案及评分标准

一 填空题（每小题3分，共30分）

10

1 1

1. A 0

2

00 0

A E

5.3 6.t 3 0 2. 2 3.104 4.A 1

21 3

1 1rr

7.线性相关 8.X K( 1 2) K ,K为任意常数 9.t 2

2 1

10.18

二（10分）

1222

解 A

222

2222000

。。。5分

22320102224002

222

010 4 。。。10分

002

三（10分）

解 因AX E A X (A E)X A E (A E)(A E) 。。。4分

2

2

101 而A 020

101

001

A E 010 A E 0 A E可逆。 。。。7分

100

201

故X (A E) 030 。。。10分

102

四 (16分)

211

1

1

解 方程的系数行列式A 1 1 2 1

11 21

1

1

111 ( 2)

1 ( 2)0 1

1

0

1

( 2)( 1)2 (1) 当 1， 2时A 0，方程组有唯一的解。 (2) 当 2时，原方程组的增广矩阵

2111 1 21 2 1B 1 21 2 0 33 3 21 0 33 11 24 03 36 000R(A) 2 R(B) 3 无解 (3) 当 1时

B 1111 1111 :

1111

0000 1111 0000

R(A) R(B) 1 x1 1 x2 x方程组有无穷解

3 x2 x2

x3 x3 x1 1 1 通解 x C 1

2 1 1 C2 0 0 (C1,C2 R) x3 0 1 0

。。。5分 。。。7分 2

3 3

。。。10分

。。。13分

。。。16分

五 (15分)

1 2 1 1 r 0 r 1 r 2 r 0

A的列向量组 1 解（1） 。。。, , ,

2 2 2 3 1 4 1 312 0

5分

1211 1

0120 0(2) A

0 6 3 3 0 0 5 1 3 0

R(A) 3 4

故

2

100

向

11 1211

20 0120

9 3009 3 9 3 0000

rrrr

量组 1, 2, 3, 4线

性相

关 。。。10分 (3) 由(2)可知 1, 2, 3, 4的秩 R(A) 3 一

个

最

大

线

性

无

关

组

为

rrrr

1, , 2

rrr

或

。。15分 1, 2, 4 。

六.(15分) 解

rrr

(1)

200

A 032 。。。3分

023

(2)

2 0A E 03

2

23

(2 )( 1)( 5)

令

A E 0

得特征值为

。。6分 1 1, 2 2, 3 5 。

对 ,解 A E Xr r

1 10

100 100 A E 022 022

011 000

x1 0

0

x2 x 基础解系

r

3 1

1 特 x3

x

3

1 0C 1 C, 0 . 。。。8分

1

对 2，解(A 2E)Xr r

2 0

000 000A 2E 012 012 012

021 00 3 001

000

x1 x1r 1 1

x 基础解系

2 0 2 0 特征向量C 0 ,C 0. x3 0 0 0

10分

对 5E)Xr r3 5，解(A 0

300 A 5E 0 22 100 01 1

02 2 000

x1 0

x2 x 基础解系r

0

3x 3 1 特 3

x

3

1 征向量

。

。。征向量

0 C 1

,C 0. 。。。12分 1

（3）A的三个特征值不同，故 rrr

1, 2, 3必两两正交.

r

取

rp 1 0 rr 1 r r 0

1

1 . p2 2 0 ,p3

3

1 11 0 31

010 r

p (rprr1,p2,p3) 0 p为正交阵， 0

令

正

交

变

换

X .P

f y221 2y22 5y3 。。。15分 七、（4分）

证明：由矩阵特征值的定义，若A得特征值为 ，则有A E 0 2分

因A ( 1)E A E A AAT A ET AT

A (A E)T A E A E 0

故 1是A的特

值 。。。4分

则

。。征

Y

。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/yqzm.html