高中教案模板

学科 教案

教 学 过 程

设 计（内含学法指导内容）

我们学习过功的概念，一个物体在力 F 的作 用下产生位移 S (如图)

提问学生 引导学生观察并发现

F , S 为向量，W 为标 功 的 概 念量， 为夹角 则力 F 所做的功 W 可用下式计算 及计算公 式

学生回忆

的 W= F S cos ,其中 是F与S 夹角三、讲授新课 (一)平面向量数量积的定义 已知两个非零向量 a和b ,它们的夹角 为 ,我们把数量 a b cos 叫做 a与b 的数量积 (或內积) ,记做 a b ,即 a b = a b cos 。 规定：零向量与任一向量的数量积为 0,即 思考 1:向量的数量积 与向量加减法及数乘运 0 a 0。 算的区别是什么？ 思考 2:既然向量的数 注：① a b 中间的“ ”不可省略，也不可用“×” 量积是一个数量，那么 代替； 它的正负由谁决定呢

? ②数量积的结果是一个数量，而不是向量。 θ 为锐角时， a b ﹥0; θ 为直角时， a b =0,反之亦成立； θ 为钝角时， a b ﹤0. 分析定义： 从力所做的功出发，我 们引入“数量积”的概 念

学生回答 学生回忆 夹角定义， 得出结论

投影的概念： b cos 叫做向量 a在b 上面的 投影。

定义中的 b cos

学生分析

a b 的几何意义： a b 等于 a 与 b 在 a 方向 那一部分长度？如果没上的投影 b cos 的乘积。 有该如何作出，

OB

=

a 思考： 在b 方向上的投

b cos 从

影该如何作出 (二) 、例题讲解 例 1:已知 a =5, b =4, a与b 的夹角 θ = 135 ,求 a b 。

向量 b 的终 点往 a 做垂 线。 学生回答

解： a b = a b cos =5×4×cos 135 =5×4×(

教师提问

学生板书

2 )=-10 2 2教师引导提示，夹角须 起点相同，若不同，须 平移 学生思考 并尝试

变式一：已知等边三角形 ABC 的边长为 2,求

AB BC解：平移 AB至BD ,则 AB与BC 的夹角为 θ = 120

∴ AB BC = AB BC cos =2×2×cos 120 =-2 变式二：设 a =12, b =9, a b =- 54 2 , 求 a和b 的夹角。 解：∵ a b = a b cos ∴12×9× cos =- 54 2 ∴ cos =

公式的运用及θ 的范围

学生板书

54 2 2 =12 9 2

∴θ = 135

(三)探究：向量数量积的性质 (1) a b a b 0 (判断两向量垂直 的依据) (2)当 a与b 同向时， a b = a b ; 当 a与b 反向时， a b = a b ; 教师巡视并给予指导 学生分三 组讨论 一组(1) 、 (2) 二组(3)

a a a

2

,

a 2

2

a

a a

,

三组(4) 派代表回 答

a b

a b ( a b) 2 ;

(3) a b ≤ a b

(4) cos =

a b ab

。

总结如何求向量的模 (四)数量积的运算律 (1) a b = a u

教师板书 引导学生回答

(3) a b c = a c + b c(2) a b = a b = a b 其中 a 、 b 、 c 是任意三个向量， R 。 注： a b c a b c

a 、 a b 如何求带领学生简单口述， 验证(1)(2) , 第(3) 个学生感兴趣自 己证明。 思 考 ：

学生二次 回忆，有学 生说，老师 板书

a b c ? a b c a b 为数， a b c 方向与 c 相同， b c 为数， a b c 方向与 a 相同。 例 2:求证： (1) a b = a 2a b b 教师提问 (2) a b a b = a b 证明： (1) a b = a b a b 2

学生分析 回答不等

2

2

2

2

学生板书 (1)

2

= a a a b b a b b = a 2a b b2 2

提醒学生不可落掉 “· ” 口头叙

述证明(2)

例 3:已知 a =6, b =4,a与b 的夹角θ = 60 , 求(1) a 2b a 3b

(2) 2a b a 2b

解： (1) a 2b a 3b = a a b 6b22

2

教师提问

学生板书

2

= a a b cos 6 b2

= 6 6 4 cos 60 6 4

2

(2) 2a b a 2b = 2a 5a b 2b22 2

=-72

2

教师巡视，指出不规范 之处。

= 2 a 5 a b cos 2 b2

= 2 6 5 6 4 cos 60 2 4

2

=44 例 4:已知 a =3, b =4,判断向量 a

3 b与 4

3 a b 的位置关系。 4解： a

3 3 2 9 2 b a b = a b 4 4 16

=9

9 16 =0 16

集体回答

∴互相垂直。 变式一：若 a与b 不共线，则 k 为何值时，向 量 a k b 与 a k b 互相垂直？ 解：若 a k b 与 a k b 垂直，则有 教师提问 学生板书

a k b a k b =0∴ a k b =02 2 2

即 a k b2

2

2

0

教师巡视 学生思考

∴ 3 k 16 02 2

3 4 3 ∴k= 时， a k b 与 a k b 互相垂直。 4∴k=

变式三：若向量 a b 与 a b 互相垂直， 且 a 2 ,求 b 2 。 解：∵ a b a b =0 ∴a b 0 ∴b 五、课堂练习 思考：已知 a =6, b =4, a与b 的夹角为 θ = 60 ,求 a b 和 a b 。 2 2

b 2

教师提问

学生回答

2

a

2

解： a b ∵

2

a b = a 2a b b2

2

2

2

= a 2 a b cos b2

2

引导学生回忆探究过的 性质，并进一步做答。

两名学生 板书

= 6 2 6 4 cos 60 4

2

=76 ∴ a b 同理：

a b 76

2

a b 2

a b a 2a b b2

2

2

2

=

a 2 a b cos b2

= 6 2 6 4 cos 60 4

2

=2 7 变式： 已知 a =4,b =3,a b =6, a与b 求 的夹角的余弦值。 解：设 a与b 的夹角为θ , ∵ a b =6 教师提示 学生思考

∴ a b2

2

2

a b 362

2

∴ a 2a b b 36 ∴ a 2 a b cos b2

教师板书2

学生集体 回答

362

∴ 4 2 4 3 cos 3 36 ∴ cos

11 24

六、课堂小结 夹角的范围： 0 数量积： a b = a b cos 性质： a a a , a 2

教师引导回忆

a a

学生集体 回答

a b 0 a b运算律： (1) a b b a (交换律)

(3) a b c = a c + b c (分配律)(2) a b a b a b 作业布置 书：P108:1-4、7、8 平面向量的数量积 一、 数量积

四、性质探究 (1) (2) (3) (4) 五、运算律

例 1 变式 例 2 变式 例 3 变式 例 4

变式

六、大课堂小结

a b = a b cos 板书设计 二、投影 三、几何意义

七、作业布置

1、目标达成情况：

2、满意之处：教学反馈 3、不足之处及改进措施：

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/yqvi.html