顺义区2016届高三尖子生素质展示数学文科试卷

顺义区2016届高三尖子生综合素质展示

数 学 试 卷 （文科） 2015.12

第Ⅰ卷（选择题 共40分）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目

要求的一项. 1．已知集合A {x|2x 1 0}，B {x|0 x 1}，那么A B （ ） （A）{x|0 x 1

} （B）{x|

1

2

2

x 1} （C）{x|0 x 1} （D）{x|x 1

2

}

2．圆心为(1,2)，且与y轴相切的圆的方程是（ ） （A）(x 1)2

(y 2)2

4 （B）(x 1)2 (y 2)2

4 （C）(x 1)2

(y 2)2

1 （D）(x 1)2

(y 2)2

1

3．数列{a*

n}中，a1 1,an an 1 ( 1)n (n N)．则数列{an}的前6项和S6 （（A） 3 （B）3

（C） 4

（D）4

．已知双曲线x2

y2

4b

2 1(b 0)的一个焦点是(2,0)，则其渐近线的方程为（ ）

（A

y 0 （B）3x y 0 （C

）x 0 （D）x 3y 0

x 3,5．已知实数x,y满足 y 4,则z x2 y2

的取值范围是（ ）

4x 3y 12 0,（A）[3,5] （B）[9,25] （C）[

12,5] （D）[

144

525

,25] ）

6．某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是（ ） （A）8 （B）6 （C）4 （D）

7．已知函数f(x) ax b(x [0,1])．则“a 2b 0”是“f(x) 0恒成立”的（ ） （A）充分而不必要条件 （C）充要条件

8．已知函数f(x)的定义域为D．若对于任意的x1 D，存在唯一的x2

D，使得

（B）必要而不充分条件 （D）既不充分又不必要条件

正视图

侧视图

俯视图

8 3

M成立，则称函数f(x)在D上的几何平均数为M．已知函数

g(x) 3x 1(x [0,1])，则g(x)在区间[0,1]上的几何平均数为（ ）

（A）1

（B

（C）2

（D）4

第Ⅱ卷（非选择题 共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分. 9．复数

10．已知函数f(x) log2x．若a 4b，则f(a) f(b) _____．

11．如图，在矩形ABCD中，AB

2，BC E是CD的

1 i

_____． i

中点，那么AE DC _____．

12．若 (

13．已知n次多项式Sn(x)

3

,0)，且tan ，则cos _____；sin2 _____． 24

ax

ii 0

n

i

．

① 当x x0时，求Sn(x0)的值通常要逐项计算，如：计算

2

5次运算（3次乘法，2 S2(x0) axa共需要2 0ax1 00

次加法），依此算法计算S5(x0)的值共需要_____次运算． ② 我国宋代数学家秦九韶在求Sn(x0)的值时采用了一种简捷 的算法，实施该算法的程序框图如图所示，依此算法计算

Sn(x0)的值共需要_____次运算．

14．如图，设P0是抛物线y x上一点，且在第一象限．过P0作抛物线的切线，交x轴于

2

Q1点，过Q1点作x轴的垂线，交抛物线于P1点，此时就称P0确定了P1．依此类推，

可由P1确定P2，由P2确定P3， ．记P n(xn,yn)，n 0,1,2, ．给出下列三个结论：① xn 0；

② 数列{xn}为单调递减数列；

③ 当x0 1时，y0 y1 y2 yn 2．

其中全部正确结论的序号为_____．

三、解答题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15.（本小题满分13分）

已知函数f(x) |x| (x a)是奇函数，其中a R． （Ⅰ）求a的值；

（Ⅱ）设b 0，若函数f(x)在区间[ b,b]上最大值与最小值的差为b，求b的值．

16.（本小题满分13分）

已知数列{an}为等差数列，a2 3，a3 a6 11． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）若bn 2(an

17.（本小题满分13分）

某种零件按质量标准分为1,2,3,4,5五个等级.现从一批该零件中随机抽取20个，对其等 级进行统计分析，得到频率分布表如下：

1

)，其中n N*，求数列{bn}的前n项和Sn． an

2

（Ⅰ）在抽取的20个零件中，等级为5的恰有2个，求m,n；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，从等级为3和5的所有零件中，任意抽取2个，求抽取的2个

零件等级恰好相同的概率

.

18.（本小题满分14分）

如图，已知半圆O:x y 1(y 0)及点A(2,0)，B为半圆周上任意一点，以AB为一边作等边△ABM．设 AOB ，其中0 ．

（Ⅰ）将边AB表示为 的函数； （Ⅱ）求四边形OAMB面积的最大值．

2

2

19.（本小题满分14分）

x2y2

1的左顶点为A，右焦点为F，过点F的直线交椭圆于B，C两已知椭圆43

点．

（Ⅰ）求该椭圆的离心率；

（Ⅱ）设直线AB和AC分别与直线x 4交于点M,N，问：x轴上是否存在定点P使

得MP NP？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.

20.（本小题满分13分）

已知函数f(x) ln(1 x)，g(x)

x(1 x)

( 0)．对任意的x 0，都有

1 x

f(x) g(x)．

（Ⅰ）求实数 的取值范围； （Ⅱ）若Tn 1

1111 ，证明：T2n Tn ln2． 23n4n

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