西南大学《数理统计》作业及答案
更新时间:2024-06-04 20:23:01 阅读量: 综合文库 文档下载
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数理统计第一次
1、设总体X服从正态分布N(?,?2),其中?已知,?未知,X1,X2,?,Xn为其样本,
2n?2,则下列说法中正确的是( )。
(A)
?2n?(Xi?1nni??)是统计量 (B)
2?2n?Xi?1nin2i是统计量
(C)
(X?n?1i?1?2i??)是统计量 (D)
2?X?ni?12是统计量
2、设两独立随机变量X~N(0,1),Y~?2(9),则
3XY服从( )。
(A)N(0,1) (B)t(3) (C)t(9) (D)F(1,9)
3、设两独立随机变量X~N(0,1),Y~?2(16),则4X服从( )。 Y(A)N(0,1) (B)t(4) (C)t(16) (D)F(1,4)
4、设X1,?,Xn是来自总体X的样本,且EX??,则下列是?的无偏估计的是( ).
(A)1n?1?i?1n?11n1n1n?1Xi (B)Xi (C)?Xi (D)?Xi ?n?1i?1ni?2ni?122
5、设X1,X2,X3,X4是总体N(0,?)的样本,?未知,则下列随机变量是统计量的是( ).
(A)X3/?; (B)
?Xi?14i4; (C)X1??; (D)
?Xi?142i/?2
2
6、设总体X~N(?,?),X1,L,Xn为样本,X,S分别为样本均值和标准差,则
下列正确的是( ).
(A) X~N(?,?2) (B) nX~N?(?2, )1n(C) ?(Xi??)2~?2(n) (D) 2?i?1n(X??)~t(n)
S7、设总体X服从两点分布B(1,p),其中p是未知参数,X1,???,X5是来自总体的简单随机样本,则下列随机变量不是统计量为( )
( A ) . X1?X2
( B )
max?Xi,1?i?5?
( C ) X5?2p
( D ) ?X5?X1?
22
28、设X1,???,Xn为来自正态总体N(?,?2)的一个样本,?,?未知。则?的最大似然估计量为( )。
1n1n1n1n222(A)?(Xi??) (B)??Xi?X?(C)(D) ??(X??)X?X??iin?1n?1ni?1ni?1i?1i?1
1、(D);2、 (C);3、(C);4、(A);5、(B);6、(C) ;7、( C ) ;8、(B)。
第二次
1、设总体X~N(?,?2),X1,???,Xn为样本,X,S分别为样本均值和标准差,则
2n(X??)服从( )分布.
S ?(, ) (C) t(n) (D) t(n?1) (A) N(?,?) (B)Nn2?2?未知。2、设X1,???,Xn为来自正态总体N(?,?2)的一个样本,则?的置信度为1???,
的区间估计的枢轴量为( )。
22
??Xi??? (A)
i?1n2??Xi??? (B)
i?1n2?2?20 (C)
1?2??Xi?1ni?X? (D)
2??Xi?X?i?1n2?20
3、在假设检验中,下列说法正确的是( )。
(A) 如果原假设是正确的,但作出的决策是接受备择假设,则犯了第一类错误; (B) 如果备择假设是正确的,但作出的决策是拒绝备择假设,则犯了第一类错误; (C) 第一类错误和第二类错误同时都要犯;
(D) 如果原假设是错误的,但作出的决策是接受备择假设,则犯了第二类错误。
2X~N(?,?)的均值?和作区间估计,得到置信度为95%的置信区 4、对总体
间,意义是指这个区间( )。
(A)平均含总体95%的值 (B)平均含样本95%的值
(C)有95%的机会含样本的值 (D)有95%的机会的机会含?的值 5、设?是未知参数?的一个估计量,若E???,则?是?的( )。 (A)极大似然估计 (B) 有偏估计 (C)相合估计 (D) 矩法估计 6、设总体X的数学期望为?,X1,X2, 正确的是( ).
(A)X1是?的无偏估计量. (B)X1是?的极大似然估计量. (C)X1是?的相合(一致)估计量. (D)X1不是?的估计量.
???,Xn为来自X的样本,则下列结论中
7、设总体X~N(?,?2),?2未知,X1,X2,,Xn为样本,S2为修正样本方差,则检验
问题:H0:???0,H1:???0(?0已知)的检验统计量为( ). (A)
n?1?X??0?S(B)
n?1?X??0?? (C)
n?X??0??(D)
n?X??0?S.
1、(D) ;2 (C) ;3、(A);4、 (D);5、 (B) ;6、(A);7、(D).
第三次
1、设总体X服从参数为?的泊松分布P(?),X1,X2,?,Xn是来自总体X的简单随机样本,则DX? .
2、设X1,X2,X3为来自正态总体X~N(?,?2)的样本,若aX1?bX2?cX3为?的一个无偏估计,则a?b?c?_____。
3、设X~N(?,?2),而1.70,1.75,1.70,1.65,1.75是从总体X中抽取的样本,则?的矩估计值为 。
4、设总体X服从正态分布N(?,?2),?未知。X1,X2,?,Xn为来自总体的样本,则
22对假设H0:?2??0;H1:?2??0进行假设检验时,通常采用的统计量是
____________,它服从____________分布,自由度为____________。 5、设总体X~N(1,4),X1, X2, 110, X10为来自该总体的样本,X??Xi,则
10i?1D(X)?______.
6、我们通常所说的样本称为简单随机样本,它具有的特点是 . 7、已知F0.9(8,20)?2,则F0.1(20,8)? .
8、设X~U[a,1],X1,?,Xn是从总体X中抽取的样本,求a的矩估计为 . 9、检验问题:H0:F?x??F?x0?,H0:F?x??F?x0?(F0?x?含有l个未知参数)的皮尔逊?检验拒绝域为 .
210、设X1,X2,?,X6为来自正态总体N(0,1)的简单随机样本,设
Y?(X1?X2?X3)2?(X4?X5?X6)2
若使随机变量CY服从?2分布,则常数C? .
11、设由来自总体N(?,0.92)的容量为9的简单随机样本其样本均值为x?5,则?的置信度为0.95的置信区间是 (?0.975?1.96).
12、若线性模型为?
?Y?X???2?E??0,Cov??,????In(n?1)S2,则最小二乘估计量为 .
1、?/n,2、1,3、1.71,4、
?20,?2,n?1,5、2/5,6、独立性,代表性;
2???i??r?ni?np?2??1???n?1?l??;7、1/2;8、2X?1;9、??10、1/3;11、(4.412,5.588);?npi???i?1????X?X?12、?
第四次
?1X?Y。 .
1、设总体X服从两点分布B(1,p),其中p是未知参数,X1,L,X5是来自总体的简单随机样本。指出X1?X2,max?Xi,1?i?5?,X5?2p,?X5?X1?之中哪些是统计量,哪些不是统计量,为什么?
2、设总体X服从参数为(N,p)的二项分布,其中(N,p)为未知参数,X1,X2,L,Xn为来自总体X的一个样本,求(N,p)的矩法估计。
21n3、设X1,X2,L,Xn是取自正态总体N??,??的一个样本,试问S?X?X???in?1i?1222是?的相合估计吗?
2
?x?x?e2?,x?04、设连续型总体X的概率密度为p?x,????????0?, X1,X2,L,Xn来自总
?0, x?0?体X的一个样本,求未知参数?的极大似然估计量??,并讨论??的无偏性。
5、随机地从一批钉子中抽取16枚,测得其长度(以厘米计)为 2.14 2.10 2.13 2.15 2.13 2.12 2.13 2.10 2.15 2.12 2.14 2.10 2.13 2.11 2.14 2.11设钉长服从正态分布。 若已知σ=0.01(厘米),试求总体均值?的0.9的置信区间。(u0.95?1.65)
226、甲、乙两台机床分别加工某种轴,轴的直径分别服从正态分布N?1,?1与N?2,?2,
2????为比较两台机床的加工精度有无显著差异。从各自加工的轴中分别抽取若干根轴测其直径,
结果如下: 总体 X(机床甲) Y(机床乙)样本容量 直径 8 7 α=0.0520.5 19.8 19.7 20.4 20.1 20.0 19.0 19.9 20.7 19.8 19.5 20.8 20.4 19.6 20.2 水平上可否认为两台机床加工精度一致? 试问在(F0.975?6,7??5.12,F0.975?7,6??5.70.)
7、为了检验某药物是否会改变人的血压,挑选10名试验者,测量他们服药前后的血压,如下表所列:
编号 服药前血压 服药后血压 1 134 140 2 122 130 3 132 135 4 130 126 5 128 134 6 140 138 7 118 124 8 9 10 142 144 127 125 126 132 假设服药后与服药前血压差值服从正态分布,取检验水平为0.05,从这些资料中是否能得出该药物会改变血压的结论?
1、 解:X1?X2,max?Xi,1?i?5?,?X5?X1?都是统计量,X5?2p不是统计量,因p
是未知参数。
2、 解:因为EX?Np,EX?DX??EX?2221n2?Np?1?p???Np?,只需以X,?Xi分
ni?1222SXn????1?别代EX,EX解方程组得N。 ,p2X?SnX23、解:由于
?n?1?S2?2 服从自由度为
n-1的?-分布,故
22?4ES??,DS??2?n?1??, 2?n?1??n?1?222?4从而根据车贝晓夫不等式有
0?PS?????的相合估计。
?22?DS2?221n2?422n???,所以是S?X?X?????0???in?1i?1?n?1??2
X1?X2?X3X12?X22?X32,max?Xi,1?i?3?,X1?2?,(2)指出之中哪些是统计量,
3?2哪些不是统计量。
答:(1)因为X服从正态分布 Xi服从
,即
,而是取自总体X的样本,所以有
故样本的联合密度函数为
。
都是统计量,因为它们均不包含
(2)
任何未知参数,
而
不是统计量。
3 设总体X服从两点分布B(1,p),其中p是未知参数,X1,L,X5是来自总体的简单随机样本。指出X1?X2,max?Xi,1?i?5?,X5?2p,?X5?X1?之中哪些是统计量,哪些不是统计量,为什么?
2答:X1?X2,max1?i?5Xi,(X5?X1)2都是统计量,X5?2p,不是统计量,因p是未知参
数。
??e??x,x?04 设总体服从参数为?的指数分布,分布密度为p(x;?)??
?0, x?0求EX,DX和ES.
2解:由于,所以
;
;
。
5 设总体X服从N?0,1?,样本X1,L,X6来自总体X, 令
Y??X1?X2?X3???X4?X5?X6?, 求常数C,使CY服从?2-分布。
22解:因为样本 独立同分布,所以服从,
服从,同理服从, 因此服从,
服从
取C=1/3 。
,且两者相互独立,由-分布的可加性,知Y/3服从,所以
26 设总体X服从N?,?,X1,L,Xn是取自总体X的简单随机样本,X为样本均值,
???Xi????2nSX??,i?1S2,S2分别是样本方差和样本修正方差,问下列统计量n,nn2?2S/n?2各服从
什么分布。
答: 由定理知 服从自由度为n-1的 -分布,由定理的系得
服从自由
度为n-1的t-分布,由 服从 ,可得 服从
,
服从 ,由于 相互独立因此由
-分布的可加性,得
服从自由度为n的
-分布。
227 设总体X服从N?,?,X和S为样本均值和样本修正方差,又有Xn?1服从
??N??,?2?,且与X1,L,Xn相互独立,试求统计量Xn?1?XSn/n?1n?1, ?X?X?服从什么分nS2/n?12n?1布。
答: 由X服从 , 服从 , 服从 ,
服从 ,又由 服从自由度为n-1的 -分布,注意t分布的定义
服从自由度为n-1的t-分布。由 服从
, 服从 ,又由 服从自由度为n-1的 -分布,注意
F分布的定义 的F-分布。
服从自由度为(1,n-1)
(不好意思,X都写成了,让教师费心了!!)
1 随机地取8只活塞环,测得它们的直径为(以mm计)
74.001 74.005 74.003 74.001 74.000 73.998 74.006 74.002 求总体均值μ及方差σ2的矩估计,并求样本方差S2。
解:μ,σ的矩估计是
2
1n??X?74.002,????(Xi?x)2?6?10?6 ?ni?12 S2?6.86?10?6。
????1?x?,0?x?12总体X的概率密度为p?x,????,其中???1为未知参数,样本
?0, x?0,or,x?1X1,X2,L,Xn来自总体X,求未知参数?的矩法估计与极大似然估计。
答:首先求数学期望
从而解方程 得 的矩法估计为 似然函数为 令
。
解得 的极大似然估计为
。
3 求均匀分布U[?1,?2]中参数?1,?2的极大似然估计.
解 先写出似然函数
?1]n,?1?X(1)?X(n)??2?[L(?1,?2)???2??1?0,其他?该似然函数不连续,不能用似然方程求解方法,只有回到极大似然估计原始定义,注意最大值只能发生在
?1?X(1)?X(n)??2
?时;而欲L(X;?1,?2)最大,只有使?2??1最小,即使?2尽? 可能小,?1尽可能大,但在上式的约束下,只能取???1?X(1),?2?X(n).?x?x?e2?,x?04 设连续型总体X的概率密度为p?x,????????0?, X1,X2,L,Xn来自总
?0, x?0?体X的一个样本,求未知参数?的极大似然估计量??,并讨论??的无偏性。 答: 似然函数为
2
其中
因此
的极大似然估计量
是
的无偏估计量。
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