3.1函数的概念及其表示法

【课题】 3.1 函数的概念及其表示法

【教学目标】

知识目标：

(1) 理解函数的定义；(2) 理解函数值的概念及表示；

(3) 理解函数的三种表示方法；(4) 了解利用“描点法”作函数图像的方法． 能力目标：

(1) 通过函数概念的学习，培养学生的数学思维能力；

(2) 通过函数值的学习，培养学生的计算能力和计算工具使用技能；

(3) 会利用“描点法”作简单函数的图像，培养学生的观察能力和数学思维能力．

【教学重点】

(1) 函数的概念；(2) 利用“描点法”描绘函数图像．

【教学难点】

(1) 对函数的概念及记号y?f(x)的理解；(2) 利用“描点法”描绘函数图像．

【教学设计】

（1）从复习初中学习过的函数知识入手，做好衔接； （2）抓住两个要素，突出特点，提升对函数概念的理解水平； （3）抓住函数值的理解与计算，为绘图奠定基础； （4）学习“描点法”作图的步骤，通过实践培养技能； （5）重视学生独立思考与交流合作的能力培养.

【课时安排】2课时．(90分钟)

【教学过程】 *揭示课题 3.1函数的概念及其表示法

*创设情景 兴趣导入 问题 学校商店销售某种果汁饮料，售价每瓶2.5元，购买果汁饮料的瓶数与应付款之间具有什么关系呢？ 解决 设购买果汁饮料x瓶，应付款为y，则计算购买果汁饮料应付款的算式为y?2.5x． 归纳 因为x表示购买果汁饮料瓶数，所以x可以取集合?0,1,2,3,y?2.5x，应付款y有唯一的值与之对应．

?中的任意一个值，按照算式法则

两个变量之间的这种对应关系叫做函数关系． *动脑思考 探索新知 概念

1

在某一个变化过程中有两个变量x和y，设变量x的取值范围为数集D，如果对于D内的每一个x值，按照某个对应法则f，y都有唯一确定的值与它对应，那么，把x叫做自变量，把y叫做x的函数． 表示 将上述函数记作y?f?x?．

变量x叫做自变量，数集D叫做函数的定义域．

当x?x0时，函数y?f?x?对应的值y0叫做函数y?f?x?在点x0处的函数值．记作y0?f?x0?. 函数值的集合?y|y?f?x?,x?D?叫做函数的值域．

函数的定义域与对应法则一旦确定，函数的值域也就确定了．因此函数的定义域与对应法则叫做函数的两个要素． 说明 定义域与对应法则都相同的函数视为同一个函数，而与选用的字母无关．如函数y?x与s?t表示的是同一个函数．

x2例如，函数y?的定义域为{x|x?0}，函数y?x的定义域为R．它们的定义域不同，因此不

x?x,x…0,是同一个函数；函数y?x2??与y?x的定义域相同，都是R，但是它们的对应法则不

?x,xx?0?-同，因此不是同一个函数. *巩固知识 典型例题

例１ 求下列函数的定义域：（１）f?x??1； （２）f?x??1?2x． x?1分析 如果函数的对应法则是用代数式表示的，那么函数的定义域就是使得这个代数式有意义的自变量的取值集合．

解 （１）由x?1?0，得x??1．因此函数的定义域为?x|x??1?，

用区间表示为???,?1?（２）由1?2x…0，得x?

??1,???．

1?1?． 因此函数的定义域为???,?．

2?2?归纳 代数式中含有分式，使得代数式有意义的条件是分母不等于零；代数式中含有二次根式，使得代数式有意义的条件是被开方式大于或等于零． 例2 设f?x??2x?1，求f?0?，f?2?，f??5?，f?b?． 3分析 本题是求自变量x?x0时对应的函数值，方法是将x0代入函数表达式求值． 解f?0??2???5??1112?0?112?2?12?b?12b?1??，f?b?? ??，f?2???1，f??5???33333332

*运用知识 强化练习 教材练习3.1.1

1．求下列函数的定义域： （1）f?x??2；（2）f?x??x2?6x?5． x?42．已知f?x??3x?2，求f?0?，f?1?，f?a?． 3．判定下列各组函数是否为同一个函数：

x2?1（1）f(x)?x， f(x)?x；（2）f(x)?x?1，f(x)?．

x?133*创设情景 兴趣导入

问题 观察下面的三个例子，分别用什么样的形式表示函数： 1.观察某城市2008年8月16日至8月25日的日最高气温统计表： 日 期

16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

最高气温 29 29 28 30 25 28 29 28 29 30

由表中可以清楚地看出日期x和最高气温y(C)之间的函数关系．

2. 某气象站用温度自动记录仪记录下来的2008年11月29日0时至14时的气温T（C）随时间t（h）变化的曲线如下图所示：

曲线形象地反映出气温T（C）与时间t（h）之间的函数关系，这里函数的定义域为?0,14?．对定义域中的任意时间t，有唯一的气温T与之对应．例如，当t?6时，气温T?2.2?C；当t?14时，气温T?12.5?C．

3. 用S来表示半径为r的圆的面积，则S?πr2．这个公式清楚地反映了半径r与圆的面积S之间的函数关系，这里函数的定义域为R?．以任意的正实数r0为半径的圆的面积为S0?πr02． *动脑思考 探索新知

函数的表示方法:常用的有列表法、图像法和解析法三种. (1)列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系.

例如，数学用表中的平方表、平方根表、三角函数表，银行里的利息表，列车时刻表等都是用列表法

3

来表示函数关系的.

用列表法表示函数关系的优点：不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值. (2)图像法：就是用函数图像表示两个变量之间的函数关系.

例如，我国人口出生率变化的曲线，工厂的生产图像，股市走向图等都是用图像法表示函数关系的.

用图像法表示函数关系的优点：能直观形象地表示出自变量的变化，相应的函数值变化的趋势. (3)解析法：把两个变量的函数关系，用一个等式表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式.

例如，s=60t，A=πr，S=2πrl,y=x?2(x…2)等都是用解析式表示函数关系的.

2

2

用解析式表示函数关系的优点：一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值. *巩固知识 典型例题

例4 文具店内出售某种铅笔，每支售价为0.12元，应付款额是购买铅笔数的函数，当购买6支以内（含6支）的铅笔时，请用三种方法表示这个函数．

分析 函数的定义域为{1，2，3，4，5，6}，分别根据三种函数表示法的要求表示函数． 解 设x表示购买的铅笔数（支），y表示应付款额（元），则函数的定义域为?1,2,3,4,5,6?． （1）根据题意得，函数的解析式为y?0.12x，故函数的解析法表示为y?0.12x，x??1,2,3,4,5,6?．

（2）依照售价，分别计算出购买1~6支铅笔所需款额，列成表格，得到函数的列表法表示．

x/支 1 2 0.6

3 0.72

4 5 6

y/元 0.12

0.24 0.36 0.48

（3）以上表中的x值为横坐标，对应的y值为纵坐标，在直角坐标系中依次作出点（1，0.12），

（2，0.24），（3，0.36），（4，0.48），（5，0.6），（6，0.72），得到函数的图像法表示．

归纳 由例4的解题过程可以归纳出“已知函数的解析式，作函数图像”的具体步骤：

（1）确定函数的定义域；

（2）选取自变量x的若干值（一般选取某些代表性的值）计算出它们对应的函数值y，列出表格； （3）以表格中x值为横坐标，对应的y值为纵坐标，在直角坐标系中描出相应的点(x,y)； （4）根据题意确定是否将描出的点联结成光滑的曲线． 这种作函数图像的方法叫做描点法．

4

例5 利用“描点法”作出函数y?值时，精确到0.01) ．

解 （1）函数的定义域为[0,??)．

x的图像，并判断点（25，5）是否为图像上的点 (求对应函数

（2）在定义域内取几个自然数，分别求出对应函数值y，列表：

x 0 1

2 3 4 5 …

y 0 1

1.41 1.73 2 2.24 …

（3）以表中的x值为横坐标，对应的y值为纵坐标，在直角坐标系中依次作出点（x,y）．由于

f(25)?25?5，所以点(25,5)是图像上的点．

（4）用光滑曲线联结这些点，得到函数图像. 软件链接

演示利用几何画板软件作例5图像，方法详见现代信息技术应用3. *运用知识 强化练习 教材练习3.1.2

1．判定点M1?1,?2?，M2??2,6?是否在函数y?1?3x的图像上．

2．市场上土豆的价格是3.2元／kg ，应付款额y是购买土豆数量x的函数．请分别用解析法和图像法表示这个函数． *归纳小结 强化思想

本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？ *继续探索 活动探究

(1)读书部分： 教材章节3.1，学习与训练3.1； (2)书面作业： 学习与训练3.1训练题；

第一课时 补充练习

1． 下列四组函数中,表示同一函数的是 （ ） A．f(x)?x,g(x)?x?1x?12x B．f(x)?x,g(x)?(x)

22 C．f(x)?,g(x)?x?1 D．f(x)?x?1?x?1,g(x)?x?1 22．函数y?f(x)的图象与直线x?a交点的个数为 （ ） A．必有一个 B．1个或2个 C．至多一个 D．可能2个以上

5

3．已知函数f(x)?1x?1，则函数f[f(x)]的定义域是 （ ）

A．?xx?1? B．?xx??2? C．?xx??1,?2? D．?xx?1,?2?

11?x(1?x)4．函数f(x)?5的值域是 （ ）

54343 A．[,??) B．(??,] C． [,??) D．(??,]

445．对某种产品市场产销量情况如图所示，其中：l1表示产品各年年产量的变化规律；l2表示产品各年的销售情况．下列叙述：

（1）产品产量、销售量均以直线上升，仍可按原生产计划进行下去； （2）产品已经出现了供大于求的情况，价格将趋跌；

（3）产品的库存积压将越来越严重，应压缩产量或扩大销售量；

（4）产品的产、销情况均以一定的年增长率递增．你认为较合理的是 ( ) A．（1），（2），（3） B．（1），（3），（4） C．（2），（4） D．（2），（3）

?6．规定记号“?”表示一种运算，即a?b?ab?a?b，、ab?R. 若1?k?3，则函数f?x??k?x的

值域是___________．

7．已知二次函数f(x)同时满足条件： (1) 对称轴是x=1； (2) f(x)的最大值为15；(3) f(x)的两根立方和等于17．则f(x)的解析式是 ． 8．函数y?5x?2x?22的值域是 ．

x2?1x?1(x?1)09． 求下列函数的定义域 ： (1)f(x)? (2)f(x)?x?x

10．在边长为2的正方形ABCD的边上有动点M，从点B开始，沿折线BCDA向A点运动，设M点运动的距离为x，△ABM的面积为S．

（1）求函数S=的解析式、定义域和值域； （2）求f[f(3)]的值．

B

D C

6

A 第二课时练习

相同函数

1．设函数y?f(x)，x?(0,??)，则它的图像于直线x?a的交点个数为 （ ） A. 0 B. 1 C. 0或1 D. 2 2．已知f(x)?x，下列函数于f(x)表示同一函数的

3

x(x?1x2①f(x)?x；②f(x)?x；③f(x)?；④f(x)?x；⑤f(x)?；

x?1x23x,(x?0{⑥f(x)??x,(x?0)3．求下列函数的定义域.

（1）①y?

x?x?x； ②y?2(x?1)03?2x；

（2）等腰三角形的周长是20，底边长y是一腰长x的函数，则 （ ）

A.y?10?x(0?x?10) B.y?10?x(0?x?10) C.y?20?2x(5?x?10) C.y?20?2x(5?x?10) 函数值

对函数值的考查方式一般是给定一个复合函数f?g(x)?或是分段函数f(x)，求f(a)或者是给定一个复合函数f?g(x)?或是分段函数f(x)并已知f(a)的值求a.涉及到的知识如下： 函数值——函数y?(x)在x?a时的函数值，记作f(a).

例 ． 设函数

f(x)?{x2?2,(x?2)2x,(x?2)，

（1）求f(?4) （2）若f(x0)?8，求x0的值.

7

值域

考查函数的值域一般有一下几种形式：

（1）给定定义域，求函数的值域.方法是判断函数在定义域范围的单调性，求最大值、最小值，然后写出函数的值域.

（2）求二次函数的值域.一般配方法求出最值，然后依据开口写出函数的值域.涉及到的知识如下： 函数的值域——所以自变量对应的函数值的集合.

例 ． 函数y??x2?2x?3(?5?x?0)的值域是 （ ）

A.(??,4] B.?3.12? C.??12.4? D?4.12?

知识点精练 （1）函数y?2的定义域是 （ ） 1?xA.??8.1? B.[1.??) C.???.1???1.??? D.?1.??? (2)如果函数

f(x)?{2x2?1.x?1?x2?1.x?1，那么函数值

f(?1)为 （ ）

A.-1 B.0 C.1 D.2

（3）二次函数y??x?4x?7,x?[0.3]的值域为（4）函数f(x)?

xx?1?2?x的定义域为

（5）函数y?x?1?1的定义域为

(x?1)

（6）函数y?x?1的定义域是x?2（7）如图，把截面半径为25cm的圆形木头锯成矩形木材，如果矩形的边长为x面积为y把y表示成

x的函数的定义域。

8

函数的表示法

函数一般有三种表示方法

（1） 解析法：用等式（解析式）表示两个变量的关系，例如y?ax?b、y?ax2?bx?c、

y?k等.优点：函数关系清楚，由解析式可研究函数的性质. x（2） 列表法：用表格表示两个变量的关系.优点：不必计算就可由自变量直接看出函数值. （3） 图像法：用图像表示两个变量的关系.优点：直观形象地表示函数的变化情况.

例1 ． 如图，有一边长为a的正方形铁皮，将其四个角截去一个边长为x的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，写出体积V以x为自变量的函数是

.

例2．已知函数f(x),g(x)分别由下表给出

，这个函数的定义域为

x f(x)

1 1 2 3 3 2 x g(x) 1 3 2 2 3 1 则f?g(1)?的值为 ，满足f?g(x)知识点精炼

??g?f(x)?x的值是 .

.

1．下表是一项试验的统计数据，表示将皮球从高处d落下时，弹跳高度b与下落高度d（单位：cm）之间的关系.试问：下面的哪个式子能表示这种关系 （ ）

d b

4 2 8 4 20 10 50 25 100 50 A.b?d2 B.b?2d C.b?d D.b?d?4 2 2．某学生骑自行车从家去学校，路上自行车坏了，只能推着自行车走到学校，如图纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，其中较符合这位学生的走法的图形是 （ ）

9

3．函数y??1的图像在 （ ） xA.第一、二象限 B.第一、三象限 C.第三、四象限 D第二、四象限

?x?2x??1?2 4．在函数f(x)??x?1?x?2 中，若f(x)?3，则x的值为

?2xx?2? 5．若函数y?f(x)的图像如图所示，则其解析式为

6．已知一次函数f(x)满足f(0)?3，图像过点（1，1），求f(x).

.

.

7．已知正方形的边长为x，它的外接圆半径为y，求y与x的函数关系式并注明x的取值范围.

8．某城市的出租车计价方式为：若行程不超过3千米，则按“起步价”10元计价；若行程超过3千米，则之后2千米以内的行程按“里程价”计价，单价为1.5元/千米；若行程超过5千米，则之后的行程按“返程价”计价，单价为2.5元/千米.设小张乘坐出租车行驶路程为x（千米），需支付的出租费用为y（元），试写出x与y间的函数解析式，并画出该函数的图像.

一、选择题

1．下列四个函数中函数y?x表示同一个函数的是 （ ） A．y?(x)2x2 B． C．y?3x3 D．y?x2

x22．函数f(x)?x?2x，则f(?2)等于 （ ）

10

A．?2 B．0 C．2 D．8 3．已知一次函数f(x)满足f(0)??2与f(3)?4，则f(1)等于 （ ） A．0 B．?4 C．2 D．4 4．函数f(x)?x2?5x?6?1的定义域为 （ ） x?3（??，2）?（3，??） A．(2，3) B． C．???， 2???3，??? D．???，2??（3，??）5．若函数f?x????2xx?0，则f?2??f??1?的值等于 ??2xx?0 （ A．2 B．4 C．6 D．?6 二、填空题

6．若函数f?x?的图像如右图所示，则f?x?的解析表达式为 ．y3

7．函数f?x??x?1?13?x的定义域为 ．（用区间表示） 0 3 x

8．若函数f?x?1??1x?x，则f?2?的值为 ． 三、解答题 9．求函数f?x??x?3?1x2?4的定义域．

10．解答下列问题：

（1）已知函数f?x?1??x2?x，求f?0?，f?1?，f?a?和f?x?1?；

（2）设函数f?x?1??x2?3x?2，求f?x?．

11．做出下列函数的图像：

（1）f?x???x2?2x?3；（2）f?x??x?1．

11

）

A．?2 B．0 C．2 D．8 3．已知一次函数f(x)满足f(0)??2与f(3)?4，则f(1)等于 （ ） A．0 B．?4 C．2 D．4 4．函数f(x)?x2?5x?6?1的定义域为 （ ） x?3（??，2）?（3，??） A．(2，3) B． C．???， 2???3，??? D．???，2??（3，??）5．若函数f?x????2xx?0，则f?2??f??1?的值等于 ??2xx?0 （ A．2 B．4 C．6 D．?6 二、填空题

6．若函数f?x?的图像如右图所示，则f?x?的解析表达式为 ．y3

7．函数f?x??x?1?13?x的定义域为 ．（用区间表示） 0 3 x

8．若函数f?x?1??1x?x，则f?2?的值为 ． 三、解答题 9．求函数f?x??x?3?1x2?4的定义域．

10．解答下列问题：

（1）已知函数f?x?1??x2?x，求f?0?，f?1?，f?a?和f?x?1?；

（2）设函数f?x?1??x2?3x?2，求f?x?．

11．做出下列函数的图像：

（1）f?x???x2?2x?3；（2）f?x??x?1．

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）

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