习题解答 - 现控理论 - 第3章

习题解答

3-1 3-2 3-3 3-4 3-5 3-6 3-7 3-8 3-9 3-10

3-1试用直接计算法计算下列矩阵A的矩阵指数函数eAt(即状态转移矩阵)。

??10?⑴ A??? 01??

?100???⑵ A??001?

??0?10??解 (1) 按矩阵指数函数eAt的展开式，可计算如下:

A2t2Aktke?I?At??...??...2!k!At?10???10???10?t2?????01?t??01?2!?...01??????12?? 1?t?t?...0??2!???1?01?t?t2?...???2!???e?t???00??et?2(2) 按矩阵指数函数eAt的展开式，可计算如下:

A2t2Aktke?I?At??...??...2!k!At?100??1?????010???0??001????012?1?t?t?...?2!???0???0???et???0?0?00??100?2?001?t?...01?t????2!?10????0?10???00??

12131?t?...t?t?...??2!3!?1312?t?t?...1?t?...??3!2!?200??costsint??sintcost??2

3-2 试利用矩阵指数函数的性质计算下列矩阵A的矩阵值函数eAt。

??210?? ⑴ A???0?20?

⑵ A??000????100??00?2????

?001??解 (1) 因为A矩阵为由

A???21??1?0?2??A2???2?

2个方块矩阵组成的块对角矩阵，因此矩阵A的矩阵值函数eAt为

A1t??eAt???e0????21??e??0?2?t?e?2t?1t?0??1t0??0eA??0????2t???01????e?2t??010??0e?2t??????0e?2t?????001??(2) 因为A矩阵为由

A?00?1???10??A2??1?

2个方块矩阵组成的块对角矩阵，其中块矩阵A1的矩阵指数函数为

TTeA1t=exp?????00??10??t??=?exp??01?t??=?1t??10?????????00?????????01?????t1?? 因此矩阵A的矩阵值函数eAt为

A1teAt???e0???100???0eA2t????t10?? ?00et??

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3-3试选择适当的方法计算下列矩阵A的矩阵指数函数eAt。

?100???⑴ A??011?

??002??

1??0⑵ A?????ab?(a?b)?(a?b)

解 (1) 因为A矩阵为由

A1??1??11?A2??? 02??2个方块矩阵组成的块对角矩阵，其中块矩阵A2的矩阵指数函数的计算过程为

11??1?1??s?1s?2s?1??s?2adj(sI?A2)1?1(sI?A2)??????0s?11sI?A2(s?1)(s?2)?????0 ??s?2???ete2t?et?A2t?1?1e?L[(sI?A2)]???2t0e??因此矩阵A的矩阵值函数eAt为

?eeAt???0A1t?et0????0eA2t???0?0et00??e2t?et? e2t??(2) 因为A矩阵的特征多项式为s2+(a+b)s+ab,其特征值为-a和-b。因此矩阵A的矩阵值函

数eAt可表示为

eAt??0(t)I??1(t)A

其中待定函数由如下计算确定

?at?bt??0(t)??1?a??e?at?1??be?ae???bt????at? ??????bt???1(t)??1?b???e??a?b???e?e??1则系统的矩阵指数函数为

eAt??0(t)I??1(t)A1(?be?at?ae?bt)I?(?e?at?e?bt)A? ?a?b?e?at?e?bt?1??be?at?ae?bt???a?b??ab(?e?at?e?bt)ae?at?be?bt??

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3-4试说明下列矩阵是否满足状态转移矩阵的条件,若满足,试求与之对应的A矩阵。

00??1??⑴ ?(t)??0cost?sint?

??0sintcost??

e3t?e?t?1?2(e?t?e3t)⑵ ?(t)??3t?

4?4(e?e?t)2(e?t?e3t)?解 (1) 判断是否为状态转移矩阵，主要看是否其满足状态转移矩阵的如下定义式。

?(t)?A?(t)?? ???(0)?I本例的?(t)显然满足定义的初始条件。设该?(t)满足该微分方程式，则也应该满足t=0的情形

?(0)?A?(0) ?即

?(0) A??将本例的?(t)代入有

0?0?(0)??0?sintA?????0cost0??000????cost????00?1?

sint??t?0??010??对上述计算出的A，还需检验其是否满足?(t)定义中的微分方程式。该微分方程式的左右两

边分别为

00??0?(t)??0?sint?cost??????0cost?sint??

00??000??000??1??0cost?sint???0?sint?cost?A?(t)??00?1????????????010??0sintcost??0cost?sint??综上所述，因为该A矩阵满足?(t)定义中的微分方程式和初始条件，因此其为该?(t)为一个

状态转移矩阵，A为其对应的系统矩阵。

(2) 判断是否为状态转移矩阵，主要看是否其满足状态转移矩阵的如下定义式。

?(t)?A?(t)?? ??(0)?I?本例的?(t)显然满足定义的初始条件。设该?(t)满足该微分方程式，则也应该满足t=0的情

形

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