第5讲不等式与线性规划(学生)

专题 1 函数与导数、不等式

第5讲 不等式及线性规划

一.瞄准高考

1.不等式的基本性质

(1)对称性：a >b ?b b ,b >c ?a >c .

(3)加法法则：a >b ?a ＋c >b ＋c . (4)乘法法则：a >b ,c >0?ac >bc .a >b ,c <0?ac

(5)同向不等式可加性：a >b ,c >d ?a ＋c >b ＋d .

(6)同向同正可乘性：a >b >0,c >d >0?ac >bd .

(7)幂运算法则：a >b >0?a n >b n (n ∈Q).

2.一元二次不等式

(1)一元二次不等式的解集可以由一元二次方程的解结合二次函数的图象得来,不要死记硬背,二次函数的图象是联系“二次型”的纽带.

(2)与一元二次不等式有关的恒成立问题,通常转化为根的分布问题,求解时一定要借助二次函数的图象,一般考虑四个方面：开口方向、判别式的符号、对称轴的位置、区间端点函数值的符号.

3.基本不等式

(1)?a ,b ∈R,a 2＋b 2≥2ab ,当且仅当a ＝b 时等号成立.

(2)若a ,b 均是正数,则a ＋b 2≥ab ,当且仅当a ＝b 时等号成立. 4.线性规划问题

解决线性规划问题的关键之一是弄清楚目标函数中z 的含义,一般地经过变换目标函数式直线的斜截式方程后,这条直线在y 轴上的截距就可以用z 来表示,根据这个截距就可以确定目标函数在什么位置取得最大值和最小值.

二.解析高考

题型一 解不等式

例1.已知关于x 的不等式2(4)(4)0kx k x --->,其中k R ∈.

(1)当k 变化时,试求不等式的解集A ；

(2)对于不等式的解集A ,若满足A Z B = (其中Z 为整数集).试探究集合B 能否为有限集？若能,求出使得集合B 中元素个数最少的k 的所有取值,并用列举法表示集合B ；若不能,请说明理由.

【变式】(2009·天津卷)设0(ax )2的解集中的整数恰有3个,则a 的取值范围是 .

题型二 利用基本不等式求最值

例2求函数y ＝x 4＋3x 2＋3x 2＋1

的最小值.

【变式】(2010·山东卷)若对任意x >0,x x 2＋3x ＋1

≤a 恒成立,则a 的取值范围是 . 题型三 含参不等式恒成立问题

例3 设函数f (x )=e x -1e x . (1) 证明:f (x )的导数f '(x ) 2;

(2) 若对所有的x ≥0,都有f (x )≥ax ,求a 的取值范围.

【变式】若不等式2x －1>m (x 2－1)对满足|m |≤2的所有实数都成立,则x 的取值范围为_____________.

题型四 线性规划问题 例4 (2010·山东卷)设变量x ,y 满足约束条件????? x －y ＋2≥0，x －5y ＋10≤0，

x ＋y －8≤0，则目标函数z ＝3x －4y

的最大值和最小值分别为 .

【变式】已知实数x ,y 满足????? y ≥1，y ≤2x －1，

x ＋y ≤m ，如果目标函数z ＝x －y 最小值的取值范围

是[－2,－1],则目标函数最大值的取值范围是 .

三.感悟高考

1.解不等式的依据是不等式的性质,进行同解变形,解含参数不等式时,要对参数分类讨论,注意:(1)参数的范围,做到不重不漏,(2)分类的标准明确,(3)写清每一种情况的分段式结论和最终的结论.

2.基本不等式具有将“积式”转化为“和式”或将“和式”转化为“积式”的放缩功能,常常用于比较数(式)的大小或证明不等式或求函数的最值或解决不等式恒成立问题.解决问题的关键是弄清分式代数式、函数解析式、不等式的结构特点,选择好利用基本不等式的切入点.如通过“代换”,“拆项”,“凑项”等技巧,改变原式的结构使其具备基本不等式的应用条件.利用基本不等式求最值时要注意“一正、二定、三相等”的条件,三个条件缺一不可.

3.注重函数与方程、等价转化、分类讨论、数形结合等数学思想方法的应用,比如线性规划问题的实质就是数形结合问题.

四.备战高考

1. (2010?襄樊市调研)已知不等式1()()9a

x y x y

++≥对任意正实数,x y 恒成立,则正实数a 的最小值是 .

2.

设函数f (x )＝?

???? x 2－4x ＋6， x ≥0x ＋6， x <0,则不等式f (x )>f (1)的解集是 . 3.

设集合M ＝{x |a 2x －2a －24ax －1<0},若2?M ,则实数a 的取值范围为_______________. 4.

已知b >0,直线b 2x ＋y ＋1＝0与ax －(b 2＋4)y ＋2=0互相垂直,则ab 的最小值为________. 5. 若不等式组?

??x ≥0，y ≥0，y ＋x ≤s ，y ＋2x ≤4表示的平面区域是一个三角形,则实数s 的取值范围是 . 6. (2010·福建卷)设不等式组?????x ≥1，

x －2y ＋3≥0，y ≥x

所表示的平面区域是Ω1,平面区域Ω2与Ω1关于直线3x －4y －9＝0对称,对于Ω1中的任意一点A 与Ω2中的任意一点B ,|AB |的最小值等于 . 7. (2010·台州市期末质评)已知实数,x y 满足222210,12,12,x y x y x y ?+--+≥?≤≤??≤≤?

的取值范围是 .

8. (2010·扬州中学期中)已知关于x 的一元二次不等式022

>++b x ax 的解集为}1|{a x x -≠,则227a b a b

++-(其中b a >)的最小值为 ▲ . 9. (2010·杭绍金温衢七校联考)某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品,其生产

的总成本y (万元)与年产量x (吨)之间的函数关系式可以近似地表示为

80004852

+-=x x y ,已知此生产线年产量最大为210吨。w.w.w.k s.5.u.c.o.m

(1)求年产量为多少吨时,生产每吨产品的平均成本最低,并求最低成本；

(2)若每吨产品平均出厂价为40万元,那么当年产量为多少吨时,可以获得最大利润？最

大利润是多少？

10. 已知函数f (x )＝13ax 3－14

x 2＋cx ＋d (a ,c ,d ∈R )满足f (0)＝0,f ′(1)＝0,且f ′(x )≥0在R 上恒成立. (1)求a ,c ,d 的值；

(2)若h (x )＝34x 2－bx ＋b 2－14

,解不等式f ′(x )＋h (x )<0； (3)是否存在实数m ,使函数g (x )＝f ′(x )－mx 在区间[m ,m ＋2]上有最小值－5？若存在,求出实数m 的值；若不存在,请说明理由.