基于变式题组的高考有效复习策略

基于变式题组的高考有效复习策略

西安市育才中学 刘根祥

引言：高三数学复习课是高三数学教学中非常重要的一种课型，它不仅可以帮助学生系统地加深对旧知识的回顾，使学生对他们所学习的知识进行查漏补缺，梳理并形成一个前后相关的知识网络，而且可以在巩固基础知识的基础上发展学生能力。下面，我就结合自己的教学实践，谈谈我校在高三数学教学中如何引领学生高效数学复习，供大家参考。

概念界定：所谓题组就是把两道或两道以上的相关题目组成一组，结成对子。这里的相关是指题目条件相近或结论相似，或形同实异、或易混错。所谓变式题组教学是通过改变条件或结论来揭示某一类数学问题本质的教学方法。高三复习中,采用变式题组教学,从数学问题的内容的全面性、循序渐进性、思维辩证性揭示数学本质。不仅可以避免“题海战术”,还能激发学生学习的兴趣,培养学生分析、归纳解决问题的能力,培养学生创新意识和辩证思维,加深对数学问题本质的认识。变式题组教学是一种有效教学的教学方式。 1.问题的提出

《国家普通高中数学新课程标准》指出:“在数学教学中,学习形式化的表达是一项基本要求,但是不能只限于形式化的表达,要强调对数学本质的认识,否则会将生动活泼的数学思维活动淹没在形式化的海洋里。数学的现代发展也表明,全盘形式化是不可能的。因此,高中数学课程应该返璞归真,努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质。数学课程要讲逻辑推理,更要讲道理,通过典型例子的分析和学生自主探索活动,使学生理解数学概念、结论逐步形成的过程,体会蕴涵在其中的思想方法,追寻数学发展的历史足迹,把数学的学术形态转化为学生易于接受的教育形态。”

高三复习中,学生学习任务繁重,而高三复习“题海战术”盛行,通过“题海”覆盖所学知识。由于缺乏新信息刺激,学生思维难以兴奋,成了解题的机器,发散思维受到了抑制,好奇心、想象力和创新能力逐渐削弱,复习效果可想而知。从高三模拟考试的情况来看,很多学生基本知识网络掌握不牢,不会归纳总结,不会触类旁通,为了克服以上弊端,在新课程理念下,高三复习笔者尝试了变式题组教学。通过变式题组教学,不仅可以帮助学生构建知识网络,加深对数学问题本质的

1

认识,而且可以进一步提高学生分析、归纳解决问题的能力,培养学生创新意识和辩证思维。

2.变式题组教学概述

变式题组教学就是通过改变条件或结论而形成的一系列小题构成一个题组的教学方式,通过题组中数学问题的探究和解决,学习巩固知识,解决教学重难点,并通过变式问题的对比,揭示数学问题本质规律,培养学生辩证思维能力,提高提出问题、分析问题和解决问题的能力。 变式题组可分为单一型题组和并列型题组。

①单一型题组是指一组题目中只重点考察一个知识点或一个数学方法的题组。 例如，函数单调性就可设计一组题目，既要注意题目形成梯度，又要注意题目的典型意义。

,1-原题：若在区间y=x2-ax-a2在区间(-∞围是多少？

3)是减函数，则a的取值范

,1-3)上是减函数，则a的取值范围变式1：若函数y=x2-ax-a2在(-∞是多少？

变式2、若函数y=log1(x2-ax-a2)在(-∞,1-3)上是增函数，则a的取值范

2围是多少？

变式3、若函数y=log1(x2-ax-a2)在(-∞,1-3)上是增函数，且函数的值域

2为R，则a的取值范围是多少？

（-∞，（-∞，解：?函数y=x2-ax-a2的减区间为,1-3)?2]，∴(-∞2]

∴[2-23， 。 +∞）变式1、设u=x2-ax-a2，则u在(-∞且在(-∞u≥0 ,1-3)为减函数，,1-3)，所以有1-3≤a2且u（1-3）≥0，∴a的取值范围是[(3-1)(1-5)2aa,(3-1)(1+5)2]

变式2：设u=x2-ax-a2，则u在为减函数，且在(-∞,1-3]，u≥0。 所以有1-3≤a2且u（1-3）≥0，∴a的取值范围是[(3-1)(1-5)2,(3-1)(1+5)2]

2

变式3：设u=x2-ax-a2，则u在(-∞,1-3)减区间，u在(-∞,1-3)取到一切正实数1-3≤a2，u(1-3)=0，所以a=(3-1)(1-5)2或

(3-1)(1+5)2

②并列型题组是指一个题目或一组题目中，考察几个知识点或几个数学方法的题组。

例如：三棱锥S--ABC顶点在底面的射影问题，可设计如下题组： 1.三角形ABC的内心、外心、垂心的定义?

2.在三棱锥S--ABC中，设顶点S在底面△ABC内的射影是O，求证： (1)若SA=SB=SC，则O是△ABC的外心。

(2)若三棱锥S--ABC的三条斜高相等，则O是△ABC的内心。 (3)若三棱锥S--ABC的两组对棱互相垂直，则O是△ABC的垂心。 3.在三棱锥S--ABC中，设顶点S在底面△ABC内的射影是O，求证： (1)若三棱锥S--ABC的三条侧棱与底面所成角相等，则O是△ABC的外心。 (2)若三棱锥S--ABC的三个侧面与底面所成角相等，则O是△ABC的内心。 (3)若三棱锥S--ABC的三个侧面两两互相垂直，则O是△ABC的垂心。 3.变式题组教学实践案例研究

3.1利用变式题组的全面性提高复习的效率

高三数学复习过程中,有些数学内容考查方面比较广泛,学生往往通过练习掌握了一些知识,但考试时变式较多,由于学生知识建构不全面,学生解题不能触类旁通的现象十分普遍。因此,教师要为学生全面组织好这方面的资料,通过变式题组教学,帮助学生进行知识建构,节省复习时间,提高复习效率。 案例1：在三角函数的恒等变换与性质复习中，教师通过总结归纳，发现常见的有关考查三角函数恒等变换及性质的题目，可以总结为以下五类，这样通过设计如下变式题组，让学生探寻解决这类问题的规律，从而逐类旁通，提高了复习效率。

讨论下列函数的性质：

3

案例2：关于函数定义域及值域的经典变式范例

原题：f(x)=mx2+8x+4 的定义域为R，求m的取值范围 解：由题意mx2+8x+4≥0在R上恒成立

?m?0且Δ?0，得m?4

变式1：f(x)=log3mx2+8x+4的定义域为R，求m的取值范围 解：由题意mx2+8x+4>0在R上恒成立

?m?0且Δ<0，得m>4

变式2：f(x)=log3(mx2+8x+4)的值域为R，求m的取值范围 解：令t=mx2+8x+4，则要求t能取到所有大于0的实数，

? 当m?0时，t能取到所有大于0的实数

当m?0时，m>0且Δ≥0?0?m≤4

?0?m?4

mx2+8x+n变式3：f(x)=log3的定义域为R,值域为[0,2]，求m,n的值 2x+1mx2+8x+n解：由题意，令y=∈[1,9]，得（y-m）x2-8x?y-n?0 2x+1y?m时，Δ≥0?y2-(m?n)y?mn-16?0- ? 1和9时y2-(m+n)y+mn-16=0的两个根

? m=n=5 ? 当y=m时，x=n-m=0 ?x?R，也符合题意 84

?m=n=5

3.2利用变式题组的循序渐进性提高复习的效果

在很多数学问题中,要解决的问题离给的已知条件相差甚远,对水平一般的学生来说,解决这类问题不是很容易,难免会产生畏难心理。作为老师,在平时的教学中,应该对这类数学问题重新进行包装,或者为这些问题搭一些台阶或者桥梁,使学生能够跳一跳够得着,摸得到。“跳一跳,能摘到桃子“,这样才有兴趣继续去解决数学问题,从而提高复习的效果。 对于立体几何以及解析几何的解答题,水平一般的学生常常出现畏难情绪。作为教师,一定要多帮助学生把原题拆分成多步循序渐进的小题,通过逐步解答小题,领悟解题方法。

案例4：利用基本不等式求最值问题复习中，可以设置渐进式变式题组，让学生在由易到难，掌握解决这类题的方法。

12

（1） 已知x>0，y>0，且2x＋y＝1，则＋的最小值是_________．

xy12?12?

解析 因为＋＝(2x＋y)?＋?

xy?xy?

y4x＝4＋＋≥4＋2xyy4x11

·＝8，等号当且仅当y＝，x＝时成立． xy24

（2）(2012·浙江)若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是( )

2428

A. B. C．5 D．6 55

1?13?

解析 ∵x>0，y>0，由x＋3y＝5xy得?＋?＝1.

5?yx?

1?13?

∴3x＋4y＝(3x＋4y)?＋?

5?yx?

12y?1?3x＝?＋4＋9＋?

x?5?y131?3x12y?1313x12y＝＋?＋?≥＋×2·

x?5555?yyx＝5(当且仅当x＝2y时取等号)，∴3x＋4y的最小值为5.

变式1已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是

911

A．3 B．4 C. D.

22 解析 (1)依题意，得(x＋1)(2y＋1)＝9，

∴(x＋1)＋(2y＋1)≥2(x?1)(2y?1)＝6，

即x＋2y≥4.

( )

5

?x＋1＝2y＋1，

当且仅当?

?x＋2y＋2xy＝8，∴x＋2y的最小值是4.

?x＝2，即??y＝1

时等号成立．

变式2：若a,b,c为正实数，满足a+b+c=1,则

41?的最小值是 a?1b?c 解：∵a,b,c为正实数，满足a+b+c=1 ∴?a?1???b?c??2 ，而原式=

141???a?1???b?c???????2a?1b?c??1?a?14?b?c??19??5???5?24??2?b?ca?1?2216

（3）已知a>b>0，则a2＋的最小值是________．

b?a－b?

2

?b＋a－b?2a?＝， 解：∵a>b>0，∴b(a－b)≤?

2??4

当且仅当a＝2b时等号成立．

161664

∴a2＋≥a2＋2＝a2＋2

b?a－b?aa4

??

≥2

a2·2＝16，当且仅当a＝22时等号成立．

a64

16

取得最小值16.

b?a－b?

12 变式1：已知a>b>0，且ab=2 ,则a?的最小值是________．

a?a?b?∴当a＝22，b＝2时，a2＋ 解：∵a>b>0，且ab=2 ∴

a2?1112=a?ab??2?a?a?b???2?2?2?4

a?a?b?a?a?b?a?a?b?3.3利用变式题组的思维辩证性提高复习的效益

近年来，高考数学试题中,导数的应用题型变化较大，很多考生措手不及,很多老师拿到试题也很诧异,激起大家研究这类问题的热潮。

案例1、利用导数研究方程根的情况，可设计以下题组进行复习教学： （1）已知函数f(x)?x?3ax?1，在x=-1处取得极值，当方程f(x)?m有三个不同的实数解时，求m的取值范围。 解： 因

3f'(x)?3x?3a且函数f(x)?x?3ax?1，在x=-1处取得极值，

6

23

所以

f'，易知x=-1为极大值点，x=1为极小值点。 (?1)?0. ∴a=1 ,这时，

max∴

f(x)?f(?1)?1,f(x)min?f(1)??3 ∴m?(?3,1)

（2）(2013陕西，理21（2）)已知函数f(x)＝ex，x∈R.

设x＞0，讨论曲线y＝f(x)与曲线y＝mx2(m＞0)公共点的个数；

exx2

解：曲线y＝e与y＝mx的公共点个数等于曲线y?2与y＝m的公共点个数．

xexex?x?2?令??x??2，则??(x)?，

x3x∴φ′(2)＝0.

当x∈(0,2)时，φ′(x)＜0，φ(x)在(0,2)上单调递减；

当x∈(2，＋∞)时，φ′(x)＞0，φ(x)在(2，＋∞)上单调递增，

e2∴φ(x)在(0，＋∞)上的最小值为?(2)?.

4exe2当0＜m＜时，曲线y?2与y＝m无公共点；

x4e2ex当m?时，曲线y?2与y＝m恰有一个公共点；

4xe21当m?时，在区间(0,2)内存在x1?，使得φ(x1)＞m，在(2，＋∞)内存在

4mex2

x2＝me，使得φ(x2)＞m.由φ(x)的单调性知，曲线y?2与y＝m在(0，＋∞)

x上恰有两个公共点． 综上所述，当x＞0时，

e2若0＜m＜，曲线y＝f(x)与y＝mx2没有公共点；

4e2若m?，曲线y＝f(x)与y＝mx2有一个公共点；

4e2若m?，曲线y＝f(x)与y＝mx2有两个公共点．

4 （3）(2013陕西，文21（2）)已知函数f(x)＝ex，x∈R.

1证明：曲线y＝f(x)与曲线y＝x2＋x＋1有唯一公共点；

211 解法一：曲线y＝ex与y＝x2＋x＋1公共点的个数等于函数φ(x)＝ex－x2

22－x－1零点的个数． ∵φ(0)＝1－1＝0， ∴φ(x)存在零点x＝0.

又φ′(x)＝ex－x－1，令h(x)＝φ′(x)＝ex－x－1，则h′(x)＝ex－1， 当x＜0时，h′(x)＜0，

7

∴φ′(x)在(－∞，0)上单调递减． 当x＞0时，h′(x)＞0，

∴φ′(x)在(0，＋∞)上单调递增．

∴φ′(x)在x＝0有唯一的极小值φ′(0)＝0， 即φ′(x)在R上的最小值为φ′(0)＝0. ∴φ′(x)≥0(仅当x＝0时等号成立)， ∴φ(x)在R上是单调递增的， ∴φ(x)在R上有唯一的零点，

1故曲线y＝f(x)与y＝x2＋x＋1有唯一的公共点．

21解法二：∵ex＞0，x2＋x＋1＞0，

212x?x?112x2∴曲线y＝e与y＝x＋x＋1公共点的个数等于曲线y?与y＝1公

2ex共点的个数，

12x?x?1设??x??2，则φ(0)＝1， xe即x＝0时，两曲线有公共点．

?1??x?1?ex??x2?x?1?ex?1x2?2??2≤0(仅当x＝0时等号成立)， 又φ′(x)＝

e2xex∴φ(x)在R上单调递减，

∴φ(x)与y＝1有唯一的公共点，

1故曲线y＝f(x)与y＝x2＋x＋1有唯一的公共点．

2 案例2：“恒成立”“能成立”“恰成立”问题

“恒成立”“能成立”“恰成立”问题在教材中虽然没有专门设计，但这些内容是高中内容的重点、难点，同时也是高考和数学竞赛的热点，又因为它们的解法多样，所以这三类问题考生容易混淆不清，可以设计题组对比训练。重点训练运用分离变量法和函数法解决“恒成立”“能成立”“恰成立”问题。 题组1、已知函数f?x??lga?ax?x2

(Ⅰ)若f?x?的定义域A??,试求a的取值范围. (Ⅱ) 若f?x?在x??2,3?上有意义, 试求a的取值范围. (Ⅲ)若f?x??0的解集为?2,3?，试求a的值.

解析：这三问中,第(Ⅰ)问是能成立问题,第(Ⅱ)问是恒成立问题,第(Ⅲ)问是

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??

恰成立问题.

(Ⅰ) f?x?的定义域非空,相当于存在实数x,使a?ax?x2?0成立,

?4a?a24a?a2??x????0,即??x??a?ax?x2的最大值大于0成立,max ?44解得 a??4或a?0.

(Ⅱ)f?x?在区间?2,3?上有意义,等价于??x??a?ax?x2?0在?2,3?恒成立，即??x?的最小值大于0. 解不等式组

a5a5?????,???, ?22 或?22

?????3??0,???2??0,?a??5,?a??5, ?或?

a?3a?9?0,a?2a?4?0??9解得 a??.

2(Ⅲ)f?x??0的解集为?2,3?，等价于不等式a?ax?x2?1的解集为?2,3?；于是有 x2?ax?1?a?0,

这等价于方程x2?ax?1?a?0的两个根为2和3, 于是可解得a??5. 题组2、能成立与恒成立 （1）已知函数f(x)＝x－

1

，g(x)＝x2－2ax＋4，若任意x1∈[0,1]，存x＋1

在x2∈[1,2]，使f(x1)≥g(x2)，则实数a的取值范围是__________． 解析：本题为能成立问题。 由于f′(x)＝1＋因此函数f(x)在[0,1]上单调递增， 所以x∈[0,1]时，f(x)min＝f(0)＝－1. 根据题意可知存在x∈[1,2]， 使得g(x)＝x2－2ax＋4≤－1，

1

>0，

?x＋1?2

x5

即x2－2ax＋5≤0，即a≥＋能成立，

22xx5

令h(x)＝＋，

22x则要使a≥h(x)在x∈[1,2]能成立，只需使a≥h(x)min， 5

又函数h(x)＝＋在x∈[1,2]上单调递减，

22x9

x

99

所以h(x)min＝h(2)＝，故只需a≥. 44变式：已知函数f(x)＝x－

1

，g(x)＝x2－2ax＋4，若任意x1∈[0,1]，任意x＋1

x2∈[1,2]，使f(x1)≥g(x2)，则实数a的取值范围是__________． 解析：本题为恒成立问题，解答略。 题组3、（恒成立中变换主元问题）

（1）若不等式(m?1)x2?(m?1)x?3(m?1)?0对任意实数x恒成立，求实数m的取值范围。

（2）若对于满足|a|?2的所有实数a，不等式x2+ax+1>2a+x恒成立。求实数x的取值范围.

?m?1?0解析：（1）由? 求出m的范围。??0?（2）分析：在不等式中出现了两个字母：x及a,关键在于该把哪个字母看

成是一个变量，另一个作为常数.显然可将a视作自变量，则上述问题即可转化为在[-2，2]内关于a的一次函数大于0恒成立的问题. （变更主元法）

解：原不等式转化为(x-1)a+x2-2x+1>0在|a|?2时恒成立,

设f(a)= (x-1)a+x2-2x+1,则f(a)在[-2,2]上恒大于0，故有：

2?x?3或x?1?f(?2)?0??x?4x?3?0即?2解得：? ?f(2)??x?1或x??1x?1?0???∴x<-1或x>3. 即x∈(－∞,－1)∪(3,+∞)

题组4（恒成立与有解问题）

①对一切实数x,不等式x?3?x?2?a恒成立，求实数a的范围。 ②若不等式x?3?x?2?a有解，求实数a的范围。 ③若方程x?3?x?2?a有解，求实数a的范围。 4.几点认识

4.1“最近发展区”是变式题组教学的着眼点

前苏联教育家维果茨基认为:学生有两个发展水平,第一个是现有发展水平,第二个是潜在发展水平,这两个水平之间的幅度即为“最近发展区”。“最近发展区”是促进学生发展的最佳教学期。因此,在变式题组教学中,既要寻找知识点最近的“固着点”,更应关注知识点的“增长点”,同时,还应积极创造条件使学生

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的“最近发展区”向“潜在发展水平”转化,进而形成良好的循环,使学生的思维向深层次发展。当学生接触到的问题、知识正好符合自己思维的“最近发展区”时,他们就会在教师的指导下,利用已有的知识,经过合作、努力使问题圆满解决,从而得到心理满足,产生新的心理需求,进而产生较为稳定和持久的学习兴趣,具有获得新知识的动机。此时,学习的思维是积极主动的,否则,学生的思维就会处于低潮。传统的高三数学复习中出现的“高原现象”,很大原因在于高三数学教学中或者没有挖掘他们的潜能,在原有的知识上炒冷饭,让学生感到乏味,或者是不符合学生实际的拔高,使所学内容远离学生的“最近发展区”,让学生感到高不可攀而丧失信心。变式题组教学是“最近发展区”理论在教学中的充分运用。 4.2一个有研究价值的问题是变式题组教学的着力点

变式题组教学的选题除了考虑学生的“最近发展区”外,还必须考虑问题应由浅入深,有一定的知识容量,涉及的知识面广或涉及数学思想和方法多,问题具有层次性(供不同层次的学生探究)、开放性(探究过程和结果呈开放姿态)和广延性(易于学生发现问题作进一步探究)。

4.3发现问题和提出问题是变式题组教学的生长点

新课程标准既关注问题解决,又关注学生发现问题和问题的提出、创新精神的培养。著名理学大师朱熹曾指出:“无疑者,须教疑,有疑者,却要无疑,到这里方是长进”。这就需要教师在变式题组教学设置合理的情境,让学生产生一种内在的困惑和需求,从而让学生能够发现问题、提出问题、解决问题。教师在变式题组教学的教学设计中要培养学生提出问题的意识,一方面,留给学生自由支配的“空白时间带”,留给学生创设提出问题的时空,另一方面,要鼓励学生用批判的眼光去观察问题,反对人云亦云,敢于向权威挑战,还要教给学生提出问题的方法,如归纳推测、类比联想、改变属性、逆向思考、数学实验、追溯过程等。变教师提出问题、教师变换例题为学生提出问题和学生变题,鼓励学生“带着问题走向课堂”,实现教学活动中师生间的双向互动。

教师的教学方式应当服务于学生的学习方式,必须以学生的学习为主线,精心设计教学过程。变式题组教学,能帮助学生从事物的各种表现形式和不同的情景变化中认识事物的本质属性,从而对概念的理解更概括、更精确、更深刻。它对培养学生思维的深刻性、灵活性、批判性、创造性具有十分重要的作用。

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实践证明，在高三数学复习课教学中，实施变式题组教学能很好调动学生学习的积极性，激发他们的求知欲望，活跃课堂气氛，培养能力，提高复习效率都大有好处出。

（2014年4月14日雁塔区高考研讨会交流论文）

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/ypm.html