资阳市2012—2013学年度高中三年级第二次高考模拟考试数学（理工

资阳市2012—2013学年度高中三年级第二次高考模拟考试

数 学（理工农医类）

本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．全卷共150分，考试时间为120分钟．

第Ⅰ卷（选择题

共50分）

注意事项：

1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、考号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上． 2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把选择题答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．

3．考试结束时，监考人将第Ⅰ卷的机读答题卡和第Ⅱ卷的答题卡一并收回． 参考公式：

如果事件A、B互斥，那么 球是表面积公式

P(A?B)?P(A)?P(B) S?4?R2

如果事件A、B相互独立，那么 其中R表示球的半径

P(A?B)?P(A)?P(B) 球的体积公式

4如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么 V??R3

3n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 其中R表示球的半径

kkPn(k)?CnP(1?P)n?k

一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的要求的．

1．已知全集U={1，2，3，4，5}，A={1，2，3}，B={3，5}，则(eUA)B? （A）{3} （B）{4，5} （C）{3，4，5} （D）{1，4，5}

2．函数f(x)?x?1的图象大致是

123．下列命题是真命题的是

（A）a?b是ac2?bc2的充要条件 （B）a?1，b?1是ab?1的充分条件

x2（C）?x?R，2?x （D）?x0?R，ex0?0 4．已知直线l，m和平面α， 则下列命题正确的是 （A）若l∥m，m?α，则l∥α （B）若l∥α，m?α，则l∥m （C）若l⊥α，m?α，则l⊥m （D）若l⊥m，l⊥α，则m∥α

资阳高三数学（理科）试卷第1页（共4页）

x25．若双曲线?y2?1的渐近线与圆(x?5)2?y2?r2（r?0）相切，则r?

4（A）5 （B）5 （C）2 （D）2 6．下列不等式成立的是

9??（A）tan()?tan()

863??（B）sin(?)?sin(?)

105（C）sin?18?sin?10

7?23?)?cos(?) 457. 执行右图所示的程序框图（其中[x]表示不超过x的最大整数），则输出的S值为

（A）7 （B）6 （C）5 （D）4

8．某公司生产甲、乙两种桶装产品，已知生产甲产品1桶需耗A原料l千克、B原料2

（D）cos(?千克；生产乙产品l桶需耗A原料2千克，B原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A、B原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是

（A）2200元 （C）2600元

（B）2400元 （D）2800元

9．由数字0，1，2，3，4，5组成的奇偶数字相间且无重复数字的六位数的个数是 （A）36 （B）48 （C）60 （D）72 ?4?|8x?12|,1?x?2,?10．已知定义在[1,??)上的函数f(x)??1x则 f(),x?2,??22（A）函数f(x)的值域为[1,4] 1（B）关于x的方程f(x)?n?0（n?N*）有2n＋4个不相等的实数根 2（C）当x?[2n?1,2n]（n?N*）时，函数f(x)的图象与x轴围成的面积为2 （D）存在实数x0，使得不等式x0f(x0)?6成立

资阳高三数学（理科）试卷第2页（共4页）

第Ⅱ卷(非选择题 共100分)

注意事项：

1．第Ⅱ卷共2页，请用0.5mm的黑色墨水签字笔在答题卡上作答，不能直接答在此试题卷上．

2．答卷前将答题卡密封线内的项目填写清楚．

二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分．把答案直接填在题目中的横线上．

11．已知i是虚数单位，x，y∈R，若x?3i?(8x?y)i，则x?y?___________．

12．若二项式(x?a)7的展开式中含x5项的系数为7，则实数a? ．

13．已知右图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的体积为 .

x2y214．椭圆C：2?2?1（a?b?0）的右焦点为F，直线

aby??3x与椭圆C交于A、B两点，且AF?BF，则椭圆C的

离心率为 ．

15．如图，在平面斜坐标系xOy中，?xOy??，平面上任意一点P关于斜坐标系的斜坐标这样定义：若OP?xe1?ye2（其中e1，e2分别是x轴，y轴同方向的单位向量），则P点的斜坐标为(x，y)，向量OP的斜坐标为(x，y)．给出以下结论：

①若??60，P(2,－1)，则|OP|?3；

②若P(x1,y1)，Q(x2,y2)，则OP?OQ?(x1?x2,y1?y2)； ③若OP?(x1,y1)，OQ?(x2,y2)，则OP?OQ?x1x2?y1y2；

④若??60，以O为圆心，1为半径的圆的斜坐标方程为x2?y2?xy?1?0． 其中所有正确的结论的序号是______________．

三、解答题：本大题共6个小题，共75分．解答要写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）在锐角三角形ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且3a?2csinA?0．

（Ⅰ）求角C的大小；

（Ⅱ）若c?2，求a＋b的最大值.

资阳高三数学（理科）试卷第3页（共4页）

17．（本小题满分12分）某部门对当地城乡居民进行了主题为“你幸福吗?”的幸福指数问卷调査，并在已被问卷调查的居民中随机抽选部分居民参加“幸福职业”或“幸福愿景”的座谈会，被邀请的居民只能选择其中一场座谈会参加．已知A小区有1人，B小区有3人收到邀请并将参加一场座谈会，若A小区已经收到邀请的人选择参加“幸福愿景”座谈会的概率是31， B小区已经收到邀请的人选择参加“幸福愿景”座谈会的概率是． 42（Ⅰ）求A、B两个小区已收到邀请的人选择“幸福愿景”座谈会的人数相等的概率； （Ⅱ）在参加“幸福愿景”座谈会的人中，记A、B两个小区参会人数的和为?，试求?的分布列和数学期望．

18．（本小题满分12分）在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝BC＝CA＝AA1＝2，侧棱AA1⊥面ABC，D、E分别是棱A1B1、AA1的中点，点F在棱AB上，且AF?1AB． 4（Ⅰ）求证：EF∥平面BDC1；

（Ⅱ）求二面角E－BC1－D的余弦值． 19．（本小题满分12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，（t?1），a1?t2an?1?3Sn?3n?4（其中n?N*）．

（Ⅰ）当t为何值时，数列{an?1}是等比数列？

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，设bn??an???n2，若在数列{bn}中，有b1?b2，b3?b4，…，b2n?1?b2n，…成立，求实数λ的取值范围．

20．（本小题满分13分）若抛物线C的顶点在坐标原点O，其图象关于x轴对称，且经过点M(1,2)．

（Ⅰ）若一个等边三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在该抛物线上，求该等边三角形的边长；

（Ⅱ）过点M作抛物线C的两条弦MA,MB，设MA,MB所在直线的斜率分别为k1,k2, 当k1,k2变化且满足k1?k2??1时，证明直线AB恒过定点，并求出该定点坐标．

121．（本小题满分14分）已知函数f1(x)?x2，f2(x)?alnx（其中a?0）．

2（Ⅰ）求函数f(x)?f1(x)?f2(x)的极值；

1（Ⅱ）若函数g(x)?f1(x)?f2(x)?(a?1)x在区间(,e)内有两个零点，求正实数a的取

e值范围；

31（Ⅲ）求证：当x?0时，lnx?2?x?0．（说明：e是自然对数的底数，e=2.71828…）

4xe

资阳高三数学（理科）试卷第4页（共4页）

资阳市2012—2013学年度高中三年级第二次高考模拟考试

数学（理工农医类）参考答案及评分意见

一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．

1－5. CABCB；6－10.DADCC.

二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分．

11．3； 12．?316?； 13．12?；14．3?1；15．①②④． 33三、解答题：本大题共6个小题，共75分．解答要写出文字说明，证明过程或演算步骤．

16．解析 （Ⅰ）由3a?2csinA?0及正弦定理， 得3sinA?2sinCsinA?0（sinA?0）， ∴sinC?∴C?3，∵△ABC是锐角三角形， 2?3． ····························································································6分

（Ⅱ）∵c?2，C??33 ···········································································································8分 a?b2)，即(a?b)2?16， 2∴a?b?4，当且仅当a?b?2取“=”，故a?b的最大值是4． ·························12分 17．解析 （Ⅰ）记“A、B两小区已经收到邀请的人选择“幸福愿景”座谈会的人数相等”

335013113为事件A，则P(A)?(1?)?C3········································4分 ()??C3()?．·

424216（Ⅱ）随机变量?的可能值为0，1，2，3，4．

311P(??0)?(1?)?(1?)3?；

42323136113P(??1)??(1?)3?(1?)?C3()?；

4242323312113213P(??2)??C3()?(1?)?C3()?；

424232313110； P(??3)??C32()3?(1?)?()3?424232313．（每对一个给1分） ···············································9分 P(??4)??()3?4232?的分布列如下：

? 0 1 2 3 4 ∴(a?b)2?4?3ab?4?3?(资阳高三数学（理科）试卷第5页（共4页）

，由余弦定理，a2?b2?2abcos??4，即a2?b2?ab?4．

1612103 3232323232 ···········································································································10分

16121039∴?的数学期望E??0??1??2??3??4??． ······················12分

32323232324118．（Ⅰ）证明：取AB的中点M，AF?AB，

4?F为AM的中点，又E为AA1的中点，∴EF//A1M，

P 在三棱柱ABC?A1B1C1中，D,M分别为A1B1,AB的中点， ?A1D//BM，且A1D?BM，

则四边形A1DBM为平行四边形，?A1M//BD，

?EF//BD，又BD?平面BC1D，EF?平面BC1D，

···············································································6分 ?EF//平面BC1D． ·

（Ⅱ）连接DM，分别以MB、MC、MD所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图空间

直角坐标系，则B(1,0,0)，E(?1,0,1)，D(0,0,2)，C1(0,3,2)，

∴BD?(?1,0,2)，BE?(?2,0,1)，BC1?(?1,3,2)． 设面BC1D的一个法向量为m?(x1,y1,z1)，面BC1E的一个法向量为n?(x2,y2,z2)，

????x1?2z1?0,?m?BD?0,则由?得?取m?(2,0,1)，

?x?3y?2z?0,?m?BC?0,??111?1????2x2?z2?0,?n?BE?0,又由?得?取n?(1,?3,2)，

???x2?3y2?2z2?0,?n?BC1?0,?m?n410??则cos?m,n??，

|m||n|55?8A1DC1B1ECAFMB10． ·····················································12分 519．解析 （Ⅰ）由2an?1?3Sn?3n?4，得2an?3Sn?1?3n?1（n?2），

故二面角E－BC1－D的余弦值为两式相减得2an?1?2an?3(Sn?Sn?1)?3，即2an?1?an?3， ······························2分

13∴an?1??an?，

221则an?1?1??(an?1)（n?2）， ································································4分

237由a1?t，又2a2?3S1?7，则a2??t?，

2237?t??1a?112?2??，∴t?2． 又∵数列{an?1}是等比数列，∴只需要2a1?1t?121此时，数列{an?1}是以a1?1?1为首项，?为公比的等比数列． ····················6分

2资阳高三数学（理科）试卷第6页（共4页）

111（Ⅱ）由（Ⅰ）得，an?1?(a1?1)?(?)n?1?(?)n?1，∴an?(?)n?1?1， ·········8分

22211bn??[(?)n?1?1]???n2??(?)n?1?n2，

2211由题意得b2n?1?b2n，则有?(?)2n?2?(2n?1)2??(?)2n?1?(2n)2，

2211即?(?)2n?2[1?(?)]?(2n?1)2?(2n)2，

22n(4n?1)?4∴???， ···············································································10分

6(4n?1)?4n(4n?1)?4n(4?1)?4*而?对于n?N时单调递减，则?的最大值为???2，

666故???2． ···························································································12分 20．解析 （Ⅰ）根据题意，设抛物线C的方程为y2?ax(a?0)，点M(1,2)的坐标代入2分 该方程，得a?4，故抛物线C的方程为y2?4x．

设这个等边三角形OEF的顶点E，F在抛物线上，且坐标为(xE,yE)，(xF,yF)．

22?4xE，yF?4xF，又|OE|?|OF|， 则yE222222?yE?xF?yF?xF?4xE?4xF?0， ∴xE，即xE∴(xE?xF)(xE?xF?4)?0，因xE?0，xF?0， ∴xE?xF，即线段EF关于x轴对称． 则?EOx?30，所以

yE3?tan30?， xE32?4xE得yE?43， 即xE?3yE，代入yE故等边三角形的边长为83． ···································································6分

（Ⅱ）设A则直线MA方程y?k1(x?1)?2，MB方程y?k2(x?1)?2， （x1,y1)、B（x2,y2)，??y?k1(x?1)?2,联立直线MA方程与抛物线方程，得?2消去x，

y?4x,??得k1y2?4y?8?4k1?0，

4∴y1??2， ①

k14同理y2??2， ②

k2y2?y1y2?y1y12(x?x1)，消去x1，x2，得y?y1?2而AB直线方程为y?y1?(x?)， 2x2?x1y2y14?44yy4x?12 ③ 化简得即y?y1?y2y1?y2k?k2(k1?k2)?446?4，y1y2?4[??1]?4(?1)，由①、②，得y1+y2＝4?12?4?

k1k2k1k2k1k2k1k2k1k2代入③，整理得k1k2(x?y?1)?6?y?0．

资阳高三数学（理科）试卷第7页（共4页）

?x?y?1?0,?x?5,由?得?故直线AB经过定点(5，－6). ································13分

y?6?0,y??6.??121．解析 （Ⅰ）f(x)?f1(x)?f2(x)?ax2?lnx，

211∴f?(x)?axlnx?ax?ax(2lnx?1)（x?0，a?0），

22由f?(x)?0，得x?e?12?12，由f?(x)?0，得0?x?e，

?12?12故函数f(x)在(0,e)上单调递减，在(e,??)上单调递增， 所以函数f(x)的极小值为f(e)??（Ⅱ）函数g(x)??12a，无极大值． ·····································4分 4e12x?alnx?(a?1)x， 2ax2?(a?1)x?a(x?a)(x?1)则g?(x)?x??(a?1)?， ?xxx令g?(x)?0，∵a?0，解得x?1，或x??a（舍去）， 当0?x?1时，g?(x)?0，g(x)在(0,1)上单调递减； 当x?1时，g?(x)?0，g(x)在(1,??)上单调递增．

1函数g(x)在区间(,e)内有两个零点，

ea?12e?1??1??a?0,a?,?12??2e2g()?0,e2e?2e?e???1?1?只需?g(1)?0,即??a?1?0,∴?a?,

22???g(e)?0,2?e??2e?e2,???(a?1)e?a?0,?a?2e?2?2?2e?11故实数a的取值范围是(2·······················································9分 ,)． ·

2e?2e2x2312（Ⅲ）问题等价于xlnx?x?．由（Ⅰ）知f(x)?x2lnx的最小值为?．

e42e2x3x(x?2)设h(x)?x?，h?(x)??得h(x)在(0,2)上单调递增，在(2,??)上单调递减． xe4e43∴h(x)max?h(2)?2?，

e43e2?2e?16(3e?8)(e?2)143314∵??(2?)???2=???0，

4e24e22ee442eex23312∴f(x)min?h(x)max，∴xlnx?x?，故当x?0时，lnx?2?x?0． ·······14分

e44xe资阳高三数学（理科）试卷第8页（共4页）

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