高等代数与解析几何复习题

高等代数与解析几何复习题

第一章 矩阵

一、 填空题

1.矩阵

A与B的乘积AB有意义，则必须满足的条件是 。

? 。

2.设A?(aij)m?s,B?(bij)s?n,又AB?(cij)m?n，问cij3.设

A与B都是n级方阵，计算(A?B)2? , (A?B)2? ,

(A?B)(A?B)? 。

4.设矩阵A???12??,试将A表示为对称矩阵与反对称矩阵的和 。 34?? （注意：任意n阶矩阵都可表示为对称矩阵与反对称矩阵的和）

?20?1???T5.设X?(1,2,1),Y?(2,1,?3),A?013,计算XAY? 。

????122???6.设向量???1,2,3?,??(1,1,1)T，则??? ，??? 。 ?20?100?，则A? 。

?03?7.设矩阵A???200????18.设矩阵A?012，则A? 。

???035???9.设准对角矩阵A???A1?00??,f(x)是多项式，则f(A)? 。 A2??123???10.设矩阵A?456，则A的秩R(A)? 。

???789???11.设A 是n阶方阵12.设A是矩阵

*

*

A的伴随矩阵, A?d,则AA?? 。

A 的伴随矩阵，则AA*?A*A?_____________.

?123???*

13.矩阵A?23?5的秩为__________，A 的伴随矩阵A= 。

???471???14.设

A是3阶可逆方阵，B是3?4矩阵且R(B)?2，则R(AB)? 。

1

?102???15.设A?040，B是3?4矩阵且R(B)?2，则R(AB)? 。

???203???16.试写出n阶方阵

A可逆的几个充分必要条件（越多越好）

。

?123???17.设矩阵A?23?5，

??试写出行列式A?471???中(2,1)-元的代数余子式 ，A中第三行

元素的代数余子式之和= 。

18.设B是3?4矩阵且R(B)?2，则B的等价标准形为 。 19.设R(Am?n)?n，则

A的等价标准形为 。

20.设A???12?2?，f(x)?x?2，则f(A)? 。 ?11??120?1???21.设A?2013，则A的等价标准形为 。

???5225????1?322.设A???0??0240000350??0??1，则A? 。 4??7?000a00b0? 。 23.

0c00d00024.已知矩阵

A满足A2?2A?3E?0，则A?1? 。 A可逆，则A*? 。

25.设n阶矩阵

26.试写出矩阵秩的定义 。 27.试写出n阶行列式按第一列展开的定义 。 28.已知四阶行列式

D

中第三列元素依次为

?1,2,0,1，它们的代数余子式依次分别为

5,?3,?7,?4，则D=_______。

29.已知A,B,C为同阶方阵,且C可逆,若C30.设A,

?1AC?B,则C?1AmC? (m是整数)。

B,C,D均为n阶方阵，且ABCD?E，则(BC)T(DA)T?________________。

2

31.设A,32.若

B,C均为n阶方阵，且ABC?E，则BT(CA)T?______________。

A，B都是n阶方阵，A?1，B??3，则3A*B?1?_____________。

?1?23????10033.设矩阵A??2, 则 A?______________。

???749???34.设

10A?2?221311314,则A31?A32?A33?A34? , 4?130M31?M32?M33?M34? , A31?2A32?A33?3A34? 。

??1??cos?35. ??? , ?0????sin?36.设3阶方阵

n?sin???? 。

cos??nA的第一行和第三行交换后得矩阵B,B的第一行的2倍加到第二行得矩阵C,于是存在

矩阵P使得PA?C,则P? 。

。

37.以3阶方阵为例，写出三类初等矩阵及其逆矩阵

38.已知准对角矩阵A???A1?OO??1?可逆，则A? 。 A2??AO?39.已知矩阵A,B的秩分别为2,1，则分块矩阵??的秩= 。

OB??二、判别说理题（错误的请举例说明或说明理由，正确的请证明）

1.设矩阵A,B满足

AB?O，则A?O或B?O。

2. 矩阵乘法适合交换律。 3.设A,B是n阶方阵，则(A?B)4.设

2?A2?2AB?B2,A2?B2?(A?B)(A?B)。

A,B,C是同阶方阵，若AB?AC，则B?C。(若A可逆，该结论如何？)

AX??的解，则?1??2是AX??的解，?1??2是AX?0的解。

AX?0的解，则?1??2是AX?0的解。

5.设?1,?2是方程组

6.设?1,?2是线性方程组7.设?1,?2是线性方程组

AX??的解，则k?1?(1?k)?2是AX??的解，k是任意常数。

3

?010??100??102???????8.矩阵100可逆，且其逆为其本身。类似有030，010同样问题。

???????001??001??001???????9.设

A是n阶矩阵，则kA?kA。

10.若一行列式为零，则该行列式中必有两行或两列称比例。（或必有一行或一列为零） 11.若方阵

A可逆，则其伴随矩阵A*也可逆。 12.n阶方阵A满足A2?A?2E?0，则E?A可逆。

13.若A2?0，则必有A?0。 14.设A是n阶方阵， 且A?a?0， 则 A*?11?。 Aa15.方阵16.设

A满足A2?A，则A?E或A?0。

A,B都是n阶方阵,若A,B都可逆,则A?B可逆。

17.若矩阵A的秩为r，则A中必有某一个r?1阶子式不等于零。

18.若n阶方阵

A的秩R(A)?n?1，则其伴随阵A*?0。19.设A是n阶方阵，则A*?An?1。

20.方阵的初等变换不改变矩阵的秩，也不改变行列式的值。 21. 设22.设

A,B都是n阶方阵,若A,B都可逆,则AB可逆，且其逆为A?1B?1。

。

A,B都是n阶方阵,则A?B?A?B三、解答题

1.求

325103A??1?1?2320aba?ba?ba?b1104，

102?22131130141，

4?123011232112301，

4114?11121111211112。

a?bab。

2.求D?131????214?T?3.已知矩阵A??，B??0?12?，计算AB,AB?AB。

?1?13????1?31???4.设3阶方阵

A的伴随矩阵为A?，且A?1?1?，求(4A)?2A2。

?1?25.已知A???0??1

010112110??0??1，求逆阵A。 0??1?4

?12?1???10?,试用矩阵初等行变换法求A的逆矩阵. 6.设A??3??10?2????1?1?7. 设A??0??0?110010200???1?11????1??1?11?。试用矩阵分块方法求BT,AB。 ,B???00?1?0????00?1??2????8.用两种方法求下列矩阵的逆

?012??211????? A?234,B?001.

?????479??100?????9.利用初等变换与初等矩阵的关系计算下列矩阵的乘积

?100??100??a11????? 001020a21??????010??001??a?????3110.写出下列矩阵的等价标准形

a12a22a32a13??111????a23??010?

?a33????001??2?1?11??1???11?21?,??1 ??4?62?2??1??3?74?3????????13113201113???k111?1?1???，1k11（对k讨论）

?02???11k2????20???1?112???11.设矩阵A?3??12的秩为2，求?，?。

???53?6????x1?x2?2x3?x4??2?2x1?x2?3x3??2?2x?2x?x?2x?5?1?23412.求解线性方程组（1）?x1?x2?3x3??1；（2）?。

x?2x?3x?4x??2234?1?2x?x?4x??93?12??3x1?x2?7x3?5x4?1713.设A???100??12?4?TBA，，求B??????111??14?2?*

。

14.设

A是n阶方阵,且A?2,求3A?1?2A?,其中A 是A的伴随矩阵。

?1???42n15.设矩阵A?(1,1,?1),B?2.多项式f(x)?x?x?x?1，求AB,(BA)及f(BA)。

???1???16.设

A是m?n矩阵，将A按列分块计算AAT,ATA。

5

17.设n阶方阵A满足A2?3A?4E?O,证明A?E可逆，并求其逆。

18.设4阶矩阵

A?(?1,?2,?3,?1,)B?(?1,?2,?2,?3)，且

A?2,B?6,求行列式

。C??3,?2??1,?1,?1??2

?21?3???23?????1?3,B??1319.求矩阵方程AX?B,其中A?1????。 ?2?1?4???93?????ab20.求n级行列式D?bbabbba???bbb的值.

?????bbb?a?1??2?221.设A=????2??2?22?22?23????22?22?hhx22.求行列式D?2??22?22??，求A的行列式.

???n?12??2n???10?00hhx?hxn?2hxn?1a1?b2?2?1h??0?000?1的值.

hx2?hxn?1hxn???hxn?3?h?a1?bn?.

hxn?2?hxha1?b123.计算行列式

a2?b1?an?b1a2?b2?a2?bnan?b2?an?bn

四、课程讲义习题一中如下题目：

2,14,17(2),21,23,27,28,29,30,31,32,33,34,35,37,38,39,41,42,43,45,46,47,48,49,50,51,52,53,54,6,66,69.

6

第二章 线性方程组

一、 填空题

1.试写出线性方程组AX2.设

??有解的一个充分必要条件 。

A是n阶方阵，且秩(A)?r?n，则齐次线性方程组Ax?0的基础解系中含 个解向量。

3.方程组??2x1?3x2?3x3?2x4?0的基础解系中含 个解向量。

?7x1?2x2?x3?3x4?04.设?1,?2是n(n?3)元齐次线性方程组Ax?0的基础解系，则秩(A)= 。

AX?0的基础解系一定由________个线性无关的解向量构成。

5.矩阵Am?n的秩为r，则

???10??x1??0????x???0?有非零解，则 ??0 或 ?? 。

?16.若方程组?11???2?????0?2?????x3????0??7.设

A是n阶方阵,若线性方程组AX?0有非零解,则必有A? 。

A是n阶方阵,R?A??n?2,则线性方程组AX?0的基础解系所含向量的个数是 。

8.设

9.?1?(1,3,5), ?2?(1,1,3), ?3?(1,a,6)线性相关 ,则a的值为__________。

10.若向量 (2,3,?1,0,1)与 (?4,?6,2,a,?2)线性相关，则a的取值为 。 11.设向量组?1 ?(1,2,3)，?3?(?1,1,0),则向量组?1,?2,?3的秩是 。?2?(2,1,3)，

12.设向量组I：?1,?,?r 的秩为性表出，则

p， 向量组II：?1,?,?s 秩为q， 且向量组I 能由向量组II线

p与q的大小关系是_________________。

13.设向量组 I:?1,?,?s线性无关，而?1,?2 都能由I 线性表出，则秩(?1,?,?s,?1,?2 )= 。

14.已知一个向量组含有两个或两个以上的最大线性无关组,则各个最大线性无关组所含向量的个数必定 。

15.一个向量线性相关的充分必要条件为 。 16.两个非零向量线性相关的充分必要条件为 。 17. 设n阶方阵18. 设n阶方阵

A满足A2?A,则R(A)?R(A?E)? 。 A满足A2?E,则R(A?E)?R(A?E)? 。

二、判别说理题（错误的请举例说明或说明理由，正确的请证明）

1.n元线性方程组2.设

Ax?b(b?0)当R(A)?n时有无穷多解。

A是n阶方阵,若方程组AX?b满足R(A)?R(A,b),则AX?b有唯一解。

7

3.对于线性方程组Ax?b (这里A为n阶方阵)，如果该方程组有解，则必有 R(A)?n。

4.3维向量组?1,?2,?3,?4必线性相关。进一步，若m?n，则m维向量组?1,?,?n必线性相关。 5.若一个向量组线性相关，则该向量组中必含有零向量。

6.如果向量组?1,?2,?,?s线性相关，那么这个向量组中一定有两个向量成比例。 7.包含零向量的向量组是线性相关的。

8.n维向量组?1,?2,?,?s与n维向量组?1,?2,?,?s秩相等，则这两个向量组必能互相线性表出。 9.若两个非零向量构成的向量组线性相关，则它们必成比例。 10.设向量组?1价。

11.线性方程组AX则这两个向量组等?(0,1,3)T,?2?(1,2,3)T,向量组?1?(1,3,6)T,?2?(1,1,1)T，

?0必有基础解系。

三、解答题

1.求下列各非齐次线性方程组的通解及对应齐次线性方程组的一个基础解系。

?x1?x2?5??x1?x2?2x4??6?x1?x2?x3?x4?1???(1) ?x1?x2?x3?x4?0；(2) ?2x1?x2?x3?2x4?1；(3) ?x1?x2?x3?x4?1

?5x?3x?2x?2x?3??x?x?x?3?11234123???x1?x2?2x3?2x4??2??x1?x2?x3?x4?0?2.求齐次线性方程组?x1?x2?x3?3x4?0的基础解系与通解。

?x?x?2x?3x?0234?1?x1?x2?x3?x4?1?x?3x?5x?x?3?12343.已知线性方程组?，求k，使得上述方程组有解，并求出所有的解。

?x1?x2?3x3?5x4?3??x1?5x2?11x3?12x4?k4.讨论下列方程组中的参数，研究方程组的解。

??x1?x2?x3???3?(1) ?x1??x2?x3??2；(2)

?x?x??x??223?1?x1?x2?x3?u??2x1?x2?x3?1；(3) ?x?vx?03?1?ux1?x3?1??x1?ux2?x3?1 ?x?x?v?13?x1?4x2?7x3?5x4?0?5.判别方程组?2x1?4x2?8x3?6x4?0 是否有非零解,如果存在非零解，请写出方程组的通解.

??x?2x?4x?3x?0234?1 8

?ax1?x2?x3?4?6.讨论方程组?x1?bx2?x3?3当a,b取何值时: (1)方程组无解？(2)方程组有唯一解？ (3)方程组

?x?2bx?x?423?1有无穷多解？并在有解时求出全部解.

?kx1?x2?x3?1,?7.讨论方程组?x1?kx2?x3?k,当k取何值时: (1)无解？(2)有唯一解？(3)有无穷多解？

?x?x?kx?k2,3?12?2x1?x2?x3?x4?1?8.设线性方程组为?x1?2x2?x3?4x4?2， （1）?为何值时，方程组有解；

?x?7x?4x?11x??234?1（2）在有解时求方程组的一个特解及导出组的基础解系； （3）用特解及基础解系表示方程组的一般解.

9.求下列向量组的秩和一个极大无关组，并将其余向量用极大无关组线性表示： (1)

?0,?1,?1?,?1,1,2?,?1,0,1?TTTTT；

TT(2) ?3,3,1,2?,?0,1,1,2?,?3,2,0,0?,?1,1,1,1?；

(3) ?1??1,1,?2,1?，?2???1,2,?1,5?，?3??1,?1,0,?3?，?4??3,?1,?2,?5?。

(4) ?1TTTT??1,0,1,2?T，?2T??2,4,0,3?T，?3??3,?4,?3,5?T ， ?4???1,?2,2,?1?T，

?5??2,10,?1,0?

10.判断下列向量组的等价性： (1)

?1??1,0,1?,?2??0,1,0?,?3??1,1,1?与?1??1,?1,1?,?2??1,0,0?。

TTTTT?2?1?11?11?2111.设矩阵A???4?62?2??36?9712.设?12??4?，求矩阵A的列向量组的一个最大无关组，并将不属于最大无?4?9?关组的列向量用该最大无关组线性表示。

（1）?1,?2,?3线性相?(6,a?1,3),?2?(a,2,?2),?3?(a,1,0)，求a为何值时，

关？（2）?1,?2,?3线性无关？

四、课程讲义习题二中如下题目：2,3,6,7,8,9,10,11,12,13,14,16,18,25,26,27.

9

第三章 空间、直线与平面

一、 填空题

1.在y轴上与点A?1,-3,7?和B?5,7,-5?等距离的点是 ．

2.在空间直角坐标系中，点（1，-2，3）关于原点对称的点的坐标是为 ． 3.平面x-y+2z-6=0和2x+y+z-5=0的夹角θ= ． 4.设点A位于第I

????卦限，向径OA与

x轴，y

????ππ轴的夹角依次为和，且OA?6，则点

34A的坐标

为 ．

??5.设a，b，则夹角?(a,b)=_______. ?1,?2,2?1,,1?4????????6.设a?{0,1,2},b?{?1,1,?3}，则同时垂直于a和b的单位向量为

.

?????7.设向量a与b?{2,?1,2}平行，a?b??18，则a＝ .

x?12y?9z?1??与平面3x?5y?z?2?0的交点为 . 431??1 , -1, k ?与向量 b??2 , 4, 2 ? 垂直，则k=_____________． 9.设向量a??8.直线

10.过点(2,?1,3)且垂直于直线

x?1yz?1??的平面方程为 ． 12?111.已知线段AB的一个端点A(2,0,2)和中点M(5,-2,0),则另一个端点B的坐标为__________； 12.已知线段AB被点C(2,0,2)和为 ； 13.通过点

D(5,?2,0)三等分，则

A的坐标为 ，B的坐标

M(2,?3,?5)且与平面

6x?y?2z?2?0平行的平面的方程为

________________________；

14.设点A(?3,0,1)与B(2,?5,1)，则过点A且与AB垂直的平面方程为________________________； 15.通过点A(?3,0,1)与B(2,?5,1)的直线的方程为________________________； 16.通过点

M(2?,?3,且与平面

6x?3y?5z?2?垂

直的直线的方程为

________________________；

二、解答题

1.求过点

?2,0,?3?且与直线??x-2y?4z-7=0垂直的平面方程．

3x?5y-2z?1=0? 10

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