人版八年级数学（上册）第十二章《全等三角形的综合、角平分线》讲义有答案解析

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第7讲 全等三角形的综合、角平分线

第一部分 知识梳理 知识点一：全等三角形的综合 ⑴ 平移全等型

⑵ 对称全等型

⑶ 旋转全等型

知识点二：角平分线的性质 ⑴、角平分线上的点到角的两边的距离相等； ⑵、到角的两边距离相等的点在角的平分线上． 它们具有互逆性．

角平分线是天然的、涉及对称的模型，一般情况下，有下列三种作辅助线的方式： 1． 由角平分线上的一点向角的两边作垂线，

2． 过角平分线上的一点作角平分线的垂线，从而形成等腰三角形， 3． OA?OB，这种对称的图形应用得也较为普遍，

AAAOPB

OBP

OBP

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知识点三：角平分线的作法 角平分线的作法（尺规作图）

①以点O为圆心，任意长为半径画弧，交OA、OB于C、D两点； ②分别以C、D为圆心，大于CD长为半径画弧，两弧交于点P； ③过点P作射线OP，射线OP即为所求．

第二部分 考点精讲精练 考点1、三角形全等综合 1、全等三角形实际应用 1、如图，要测量河两岸相对的两点A、B间的距离，先在过B点的AB的垂线L上取两点C、D，使CD=BC，再在过D点的垂线上取点E，使A、C、E在一条直线上，ED=AB这时，测ED的长就得AB得长，判定△ACB≌△ECD的理由是（ ） A. SAS B. ASA C. SSS D .AAS

2、如图，小强利用全等三角形的知识测量池塘两端M、N的距离，如果△PQO≌△NMO，则只需测出其长度的线段是（ B ）

A．PO B．PQ C．MO D．MQ

（1） （2）

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3、如图，工人师傅要在墙壁的O处用钻打孔，要使孔口从墙壁对面的点B处打开，墙壁厚是35cm，点B与点O的垂直距离AB长是20cm，在点O处作一直线平行于地面，在直线上截取OC=35cm，过C作OC的垂线，在垂线上截取CD=20cm，连接OD，然后，沿着D0的方向打孔，结果钻头正好从点B处打出．这是什么道理？

4、1805年，法军在拿破仑的率领下与德军在莱茵河畔激战．德军在莱茵河北岸Q处，如图所示，因不知河宽，法军大炮很难瞄准敌营．聪明的拿破仑站在南岸的点O处，调整好自己的帽子，使视线恰好擦着帽舌边缘看到对面德国军营Q处，然后他一步一步后退，一直退到自己的视线恰好落在他刚刚站立的点0处，让士兵丈量他所站立位置B与0点的距离，并下令按照这个距离炮轰德军．试问：法军能命中目标吗？请说明理由．用帽舌边缘视线法还可以怎样测量，也能测出河岸两边的距离吗？

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5、某校七年级学生到野外活动，为测量一池塘两端A，B的距离，甲、乙、丙三位同学分别设计出如下几种方案：

甲：如图①，先在平地取一个可直接到达A，B的点C，再连接AC，BC，并分别延长AC至D，BC至E，使DC=AC，EC=BC，最后测出DE的长即为A，B的距离． 乙：如图②，先过点B作AB的垂线BF，再在BF上取C，D两点，使BC=CD，接着过点D作BD的垂线DE，交AC的延长线于点E，则测出DE的长即为A，B的距离．

丙：如图③，过点B作BD⊥AB，再由点D观测，在AB的延长线上取一点C，使∠BDC=∠BDA，这时只要测出BC的长即为A，B的距离． （1）以上三位同学所设计的方案，可行的有______； （2）请你选择一可行的方案，说说它可行的理由．

2、证两次全等相关问题 技术资料 专业整理

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1、已知: 如图,AB=AE,BC=ED, ∠B= ∠E,AF ⊥CD,F 为垂足, 求证:CF=DF.

2、已知：如图，AB=CD，BC=DA，AE=CF．求证：BF=DE．

3、如图，AB=AD，BC=DE，且BA⊥AC，DA⊥AE，你能证明AM=AN吗？

3、探索两线段的关系问题 技术资料 专业整理

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1、如图所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC. 求证：（1）EC=BF；（2）EC⊥BF.

2、已知：如图，△ABC中，AD⊥BC于D，E是AD上一点，BE的延长线交AC于F，若BD=AD，DE=DC。求证：BF⊥AC。

3、如图：BE⊥AC，CF⊥AB，BM=AC，CN=AB．求证：（1）AM=AN；（2）AM⊥AN．

4、探索三线段的数量关系问题 技术资料 专业整理

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1、在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E。

（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE；（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD-BE；

（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明。

2、已知：如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，且∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE．

3、四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，∠ADC+∠B=180°，求证：

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2AE=AB+AD．

5、构造全等三角形问题 1、如图，在△ABC中，BD=DC，∠1=∠2，求证：AD平分∠BAC．

2、如图，已知AC∥BD，EA、EB分别平分∠CAB和∠DBA，CD过点E，则AB与AC+BD相等吗？请说明理由．

3、已知：如图，AD是△ABC的中线，求证：AB+AC＞2AD．

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4、如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，BG平分∠ABC，EF∥BC，交AC于F，求证：AE=CF．

考点2、角平分线的性质

例1、如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，AD=3，BC=10，则△BDC的面积是 ．

例2、三角形ABC中，∠A=60°，则内角∠B，∠C的角平分线相交所成的角

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为 。

例3、如图，在△ABC中，∠A=45°，∠C=75°，BD是△ABC的角平分线，则∠BDC的度数为（ ）

A．60° B．70° C．75° D．105°

例4、根据“角平分线上的点到这个角两边的距离相等”来观察下图： （1）已知OM是∠AOB的平分线，P是OM上的一点，且PE⊥OA，PF⊥OB．垂足分别为E．F，那么 = ．这是根据“ ”可得△POE≌△POF而得到的．

（2）如图，△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB，垂足为E，AB=6cm，则△DEB的周长为 cm．

例5、如图，D、E、F分别是△ABC的三条边上的点，CE=BF，△DCE和△DBF的

面积相等．求证：AD平分∠BAC．

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例6、如图，△ABC中，∠A=60°，∠ACB的平分线CD和∠ABC的平分线BE交于点G．求证：GE=GD．

举一反三： 1、到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（ ）

A． 三条中线的交点 B． 三条高的交点

C． 三条边的垂直平分线的交点 D． 三条角平分线的交点 2、如图，Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，角平分线AE交CD于H，EF⊥AB于F，则下列结论中不正确的是（ ）

A．CH=HD B．∠ACD=∠B C．CH=CE=EF D．AC=AF

3、已知：如图，AB∥CD，O为∠BAC、∠ACD的平分线的交点，OE⊥AC于点E，若两平行线间的距离为6，则OE= ．

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（2） （3）

4、已知：在等腰Rt△ABC中，AC=BC∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，AB=15cm，

（1）求证：BD+DE=AC． （2）求△DBE的周长．

5、如图，已知△ABC的周长是22，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=3，△ABC的面积是多少？

6、如图，△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB交AB于点E，点F是AC上一点，∠FDC=∠CAB．求证：CF=BE；

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第三部分 课堂小测 1、如图：工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法是：如图在∠AOB的边OA，OB上分别取OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合，得到∠AOB的平分线OP，做法中用到三角形全等的判定方法是（ ） A、SSS B、SAS C、ASA D、HL

2、如图所示，DE⊥AB，DF⊥AC，AE＝AF，则下列结论成立的是（ ） A．BD＝CD B．DE＝DF C．∠B＝∠C D．AB＝AC

3、如图，在△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC，交AC于点D；若DC=3，AB=8，则△ABD的面积是（ ）

A．3 B．10 C．12 D．16

（1） （2） （3）

4、如图，OP是∠AOB的平分线，PC⊥OA于点C，PC=2，点D是边OB上一动点，则PD长度最小为 ．

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5、已知AD平分∠BAC，DE⊥AB，AB=60，AC=50，△ABC的面积是330，则DE= ．

6、如图BD是△ABC的一条角平分线，AB=8，BC=4，且S△ABC=24，则△DBC的面积是 ．

（4） （5） （6） 7、小明用三角板按如图所示的方法画角平分线，在∠AOB的两边分别取OC=OD，再分别以C、D为垂足，用三角板作OA、OB的垂线，交点为P，作射线OP，则OP就是∠AOB的角平分线，你认为小明的做法有道理吗？请你给出合理的解释．

8、已知：如图，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，DB=DC，求证：△ABC是等腰三角形．

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9、已知：如图所示，AQ，BM，CN是△ABC的三条角平分线．试说明AQ，BM，CN交于一点．

10、小明和小亮在学习探索三角形全等时，碰到如下一题：如图1，若AC=AD，BC=BD，则△ACB与△ADB有怎样的关系？ （1）请你帮他们解答，并说明理由．

（2）细心的小明在解答的过程中，发现如果在AB上任取一点E，连接CE、DE，则有CE=DE，你知道为什么吗？（如图2）

（3）小亮在小明说出理由后，提出如果在AB的延长线上任取一点P，也有第2题类似的结论．请你帮他画出图形，并写出结论，不要求说明理由．（如图3）

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第四部分 提高训练 1、如图．AB=AE，AB⊥AE，AD=AC．AD⊥AC，点M为BC的中点，求证：DE=2AM．

2、如图，AC平分∠BAD，CM⊥AB，且AB+AD=2AM，证明：∠ADC+∠ABC＝90° 。

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第五部分 课后作业 1、如图所示，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带（ ）去玻璃店． A、带①去， B、带②去 C、带③去 D、①②③都带去

2、如图，△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，则下列结论正确的是（ ）

A.点F在BC边的垂直平分线上 B．点F在∠BAC的平分线上

C．△BCF是等腰三角形 D．△BCF是直角三角形

3、如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E,DE=5，BD=2CD,则BC=（ ）

A.20 B.15 C.10 D.5

（1） （2） （3）

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4、如图，四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是（ ）

A．AB=AD B．AC平分∠BCD C．AB=BD D．△BEC≌△DEC

5、如图，点O是△ABC的两条角平分线的交点，若∠BOC＝118°，则∠A的大小是 。

6、如图，在△ABC中，∠C是直角，AD平分∠BAC，交BC于点D。如果AB＝8，CD＝2，那么△ABD的面积等于 。

（4） （5） （6）

7、如图△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，给出下列结论：①DC=DE；②DA平分∠CDE；③DE平分∠ADB；④BE+AC=AB；⑤∠BAC=∠BDE．其中正确的是 （写序号）

8、如图，等边△ABC中，在顶点A、C处各有一只蚂蚁，他们同时出发，分别以同样速度由A向B和由C向A爬行，经过t秒后，他们分别到达D、E处．请问两只蚂蚁在爬行过程中，

（1）BE与CD有何数量关系，为什么？

（2）DC与BE所成的∠BFC的大小是否发生变化？若有变化，请说明理由；若没有变化，求出∠BFC．

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9、如图，OC是∠AOB的角平分线，P是OC上一点．PD⊥OA交OA于D，PE⊥OB交OB于E，F是OC上的另一点，连接DF，EF．求证：DF=EF．

10、如图，已知点 D 为等腰直角△ABC 内一点，∠CAD = ∠CBD = 15°，E 为AD 延长线上的一点. 且 CE=CA. (1)、求证：DE平分∠BDC；

(2)、若点M在DE上，且DC=DM. 求证：ME=BD.

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第7讲 全等三角形的综合、角平分线

第二部分 考点精讲精练 考点1、三角形全等综合 1、全等三角形实际应用 1、B 2、B 3、

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4、

因此，按照BO的距离炮轰德军时，炮弹恰好落入德军Q处；

如果拿破仑站在O处，只需转过身来仍可用帽舌边缘视线法测出河岸两边的距离． 5、

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2、证两次全等相关问题 1、

2、证明：△ABC和△CDA中，

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∵AB=CD，BC=DA，AC=CA， ∴△ABC≌△CDA， ∴∠ACB=∠CAD． 在△BCF和△DAE中，

∵BC=DA，∠ACB=∠CAD，CF=AE， ∴△BCF≌△DAE，∴BF=DE． 3、

3、探索两线段的关系问题 1、

2、

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3、

4、探索三线段的数量关系问题 1、证明：（1）①∵∠ADC=∠ACB=90°， ∴∠1+∠2=∠3+∠2=90°， ∴∠1=∠3

又∵AC=BC，∠ADC=∠CEB=90°， ∴△ADC≌△CEB； ②∵△ADC≌△CEB， ∴CE=AD，CD=BE， ∴DE=CE+CD=AD+BE

（2）∵∠ACB=∠CEB=90°，

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∴∠1+∠2=∠CBE+∠2=90°， ∴∠1=∠CBE

又∵AC=BC，∠ADC=∠CEB=90°， ∴△ACD≌△CBE， ∴CE=AD，CD=BE， ∴DE=CE-CD=AD-BE；

（3）当MN旋转到图3的位置时，AD、DE、BE所满足的等量关系是DE=BE-AD（或AD=BE-DE，BE=AD+DE等） ∵∠ACB=∠CEB=90°，

∴∠ACD+∠BCE=∠CBE+∠BCE=90°， ∴∠ACD=∠CBE，

又∵AC=BC，∠ADC=∠CEB=90°， ∴△ACD≌△CBE， ∴AD=CE，CD=BE， ∴DE=CD-CE=BE-AD。 2、

∵∠B+∠D=180°，∠3+∠4=180°， ∴∠4=∠B，

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∴CM=CB， ∵CE⊥AB，

∴ME=EB（等腰三角形底边上的高线与底边上的中线重合）， ∵AE=AM+ME， ∴AE=AD+BE． 3、

证明：过C作CF⊥AD于F， ∵AC平分∠BAD， ∴∠FAC=∠EAC， ∵CE⊥AB，CF⊥AD， ∴∠DFC=∠CEB=90°， ∴△AFC≌△AEC， ∴AF=AE，CF=CE， ∵∠ADC+∠B=180° ∴∠FDC=∠EBC， ∴△FDC≌△EBC ∴DF=EB，

∴AB+AD=AE+EB+AD=AE+DF+AD=AF+AE=2AE ∴2AE=AB+AD

5、构造全等三角形问题 技术资料 专业整理

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1、

2、

3、

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证明：

如图延长AD到P使DP=AD,连接BP,PC ∴AP=2AD......1) ∵D为△ABC的BC边中线 ∴BD=DC

∵AD=DP，∠BDP=∠ADC(对顶角） ∴△BDP≌△ADC(SAS) ∴AC=BP......2)

∵在△ABP中，AB+BP>AP（两边之和大于第三边） 由1）、2）得到 ∴AB+AC>2AD 4、

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考点2、角平分线的性质 例1、 15 ．

例2、 60°和120° 。 例3、C 例4、

例5、

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例6、

举一反三： 1、D 2、A

3、 3 ． 4、解：（1）∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C=90°， ∴CD=DE，

∴BC=BD+CD=BD+DE， AC=BC， ∴AC=BD+DE；

（2）∵CD=DE，AD=AD，∠C=∠AED=90°，

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∴△ACD≌△AED， ∴AC=AE， ∵AC=BD+DE， ∴BD+DE=AE，

∴△BDE周长=BD+DE+BE=AE+BE=AB=15cm．

5、

6、

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第三部分 课堂小测 1、A 2、B 3、C

4、 2 ． 5、 6 ． 6、 8 ． 7、

8、

9、

证明：设BM，CN交于点P，过点P作PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，垂足分别为：D，E，F，

∵BM平分∠ABC，CN平分∠ACB，

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∴PD=PE，PE=PF， ∴PD=PF， ∴AP平分∠BAC，

即AQ，BM，CN交于一点P． 10、

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第四部分 提高训练 1、

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2、

解答：解：过点C作CN⊥AD，交AD的延长线于点N， ∵AC平分∠BAD，CM⊥AB，CN⊥AD， ∴CM=CN，

在Rt△ACM≌Rt△ACN中，

∴Rt△ACM≌Rt△ACN， ∴AM=AN， 又∵AB+AD=2AM， ∴BM=DN，

在Rt△BCM与Rt△DCN，

∴Rt△BCM≌Rt△DCN（SAS）， ∴∠ABC=∠CDN，

∴∠ADC+∠ABC=∠ADC+∠CDN=180°， ∴∠ADC+∠ABC＝90° 。

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第五部分 课后作业 1、C 2、B 3、B 4、C

5、 56° 。 6、 8 。 7、 ①②④⑤ 8、

9、

10、解：(1)在等腰直角△ABC中， ∵∠CAD=∠CBD= 15°，

∴∠BAD=∠ABD= 45°-15°= 30°，. ∴ BD= AD ,

∴ △BDC≌△ADC, ∴∠DCA= ∠DCB=45°.

由∠BDM = ∠ABD+∠BAD = 30°+30°= 60°，

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∠EDC= ∠DAC+∠DCA= 15°+45°= 60°， ∴∠BDM=∠EDC， ∴DE平分∠BDC. (2)如图.连接 MC. ∵DC=DM，且∠MDC= 60°， ∴△MDC是等边三角形. 即 CM=CD.

又∵EMC=180°-∠DMC = 180°- 60°= 120°； ∠ADC= 180°-∠MDC= 180°-60°= 120°， ∴∠EMC=∠ADC. 又∵CE=CA， ∴∠DAC =∠CEM =15°， ∴△ADC ≌△EMC, ∴ ME=AD= DB.

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