初三数学二次函数复习教案

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龙文教育个性化辅导教案 年 月 日 教师 学生 授课时间 点 授课层次 初三 授课课题 二次函数 课型 复习课 1、知识目标：理解二次函数的概念，掌握二次函数y＝ax2的图象与性质；会用描点法画抛物线，能确定抛物线的顶点、对称轴、开口方向，能较熟练地由抛物线y＝ax2经过适当平移得到y＝a(x－h)2＋k的图象。 教学目标 2、能力目标：会用待定系数法求二次函数的解析式，能结合二次函数的图象掌握二次函数的性质 3、情感态度与价值观： 1、重点： 1.用配方法求二次函数的顶点、对称轴，根据图象概括二次函数 y＝ax 图象的性质。 2.用待定系数法求函数的解析式、运用配方法确定二次函数的特征。 教学重点和难点 3.利用二次函数的知识解决实际问题，并对解决问题的策略进行反思。 2、难点： 1.二次函数图象的平移。 2.会运用二次函数知识解决有关综合问题。 3.将实际问题转化为函数问题，并利用函数的性质进行决策 教学内容： 二次函数 复习课

【基础知识】

21.定义：一般地，如果y是常数，a?0的二次函数. )，那么y叫做x?ax?bx?c(a,b,c22.二次函数y?ax的性质

2（1）抛物线y?ax的顶点是坐标原点，对称轴是y轴.

2（2）函数y?ax的图像与a的符号关系.

①当a?0时?抛物线开口向上?顶点为其最低点；

1

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②当a?0时?抛物线开口向下?顶点为其最高点.

2（3）顶点是坐标原点，对称轴是y轴的抛物线的解析式形式为y?ax. （a?0）23.二次函数 y的图像是对称轴平行于（包括重合）y轴的抛物线. ?ax?bx?c24.二次函数y用配方法可化成：y的形式，其中????ax?bx?c?ax?hk22b4ac?b. h??，k?2a4a225.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①y?ax；②y?ax?k；③2??；④y???；⑤y. ?ax?bx?cy?ax?h?ax?hk226.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.

①a的符号决定抛物线的开口方向：当a?0时，开口向上；当a?0时，开口向下；

a相等，抛物线的开口大小、形状相同.

②平行于y轴（或重合）的直线记作x?h.特别地，y轴记作直线x?0.

7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. 8.求抛物线的顶点、对称轴的方法

2b4ac?b2ac?b?b?42（?，） （1）公式法：y，∴顶点是，?ax?bx?c?ax????2a4a2a4a??2对称轴是直线x??b. 2a2??? （2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为y的形式，得到?ax?hk顶点为(h,k)，对称轴是直线x?h.

（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的

连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点. 用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.

29.抛物线y中，a,b,c的作用 ?ax?bx?c2 （1）a决定开口方向及开口大小，这与y?ax中的a完全一样.

2

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2 （2）b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线y的对称轴是直线 ?ax?bx?cbb，故：①b?0时，对称轴为y轴；②?0（即a、b同号）时，对称轴2aab在y轴左侧；③?0（即a、b异号）时，对称轴在y轴右侧.

ax??2 （3）c的大小决定抛物线y与y轴交点的位置. ?ax?bx?c2 当x?0时，y?，∴抛物线y与y轴有且只有一个交点（0，c）： ?ax?bx?cc ①c?0，抛物线经过原点; ②c?0,与y轴交于正半轴；③c?0,与y轴交于负

半轴.

以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，则

b?0. a10.几种特殊的二次函数的图像特征如下： 函数解析式 2 y?ax开口方向 当a?0时 对称轴 x?0（y轴） 顶点坐标 （0,0） (0, k) (h,0) (h,k) 2b4ac?b(?，) 2a4ay?ax?k 2x?0（y轴） x?h ?? y?ax?h2??? 开口向上 y?ax?hk2x?h 当a?0时 y?ax?bx?c2开口向下 x??b 2a11.用待定系数法求二次函数的解析式

2?ax?bx?c （1）一般式：y.已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式.

????ax?hk （2）顶点式：y.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.

2???? （3）交点式：已知图像与x轴的交点坐标x1、通常选用交点式：y. ?ax?xx?xx2，1212.直线与抛物线的交点

2 （1）y轴与抛物线y得交点为(0, c). ?ax?bx?c 3

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2 （2）与y轴平行的直线x?h与抛物线y有且只有一个交点?ax?bx?c2(h,ah). ?bh?c （3）抛物线与x轴的交点

2 二次函数y的图像与x轴的两个交点的横坐标x1、x2，是对应一元?ax?bx?c2二次方程ax的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的?bx?c?0一元二次方程的根的判别式判定：

①有两个交点?抛物线与x轴相交； ??0? ②有一个交点（顶点在x轴上）?抛物线与x轴相切； ??0? ③没有交点?抛物线与x轴相离. ??0? （4）平行于x轴的直线与抛物线的交点

同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的

2纵坐标相等，设纵坐标为k，则横坐标是ax的两个实数根. ?bx?c?k2?? （5）一次函数y的图像l与二次函数y的图像G的?kx?nk?0???ax?bx?ca?0交点，由方程组

y?kx?n2的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解y?ax?bx?cl与G有两个交点; ②方程组只有一组解时?l与G只有一个交点；时?③方程

l与G没有交点. 组无解时?2 （6）抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线y与x轴两交点为?ax?bx?c2????，由于x1、x2是方程ax的两个根，故 ?bx?c?0Ax，0，Bx，012bcx?x??,x?x?1212aa2b4cb?4ac???????AB?x?x?x?x?x?x?4xx???????12a??aaa

212212122【典型例题】

????2x?bb?01.已知直线y与x轴交于点A，与y轴交于点B；一抛物线的解析式为

2??y?x?b?10x?c.

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（1）若该抛物线过点B，且它的顶点P在直线y上，试确定这条抛物线的解??2x?b析式；

（2）过点B作直线BC⊥AB交x轴交于点C，若抛物线的对称轴恰好过C点，试确定直线y的解析式. ??2x?b2解析：（1）y?x2?或y 10?x?4x?62b?10b?16b?100 将，由题意得,?)（0，b)代入，得c?b.顶点坐标为(242b?10b?16b?100，解得b. ?2??b????10,b??61224（2）y ??2x?22.有一个运算装置，当输入值为x时，其输出值为y，且y是x的二次函数，已知输入值为?2,0,1时, 相应的输出值分别为5,?3,?4． （1）求此二次函数的解析式；

（2）在所给的坐标系中画出这个二次函数的图象,并根据图象写出当输出值y为正数时输入值x的取值范围.

2解析：（1）设所求二次函数的解析式为y, ?ax?bx?c?a(?2)2?b(?2)?c?5?c??3?a?1????则?a?02?b?0?c??3,即?2a?b?4 ,解得?b??2 ?a?b?c??4?a?b??1?c??3????2故所求的解析式为:y?. x?2x?3y O x （2)函数图象如图所示.

由图象可得，当输出值y为正数时，

1输入值x的取值范围是x??或x?3．

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3.某生物兴趣小组在四天的实验研究中发现：骆驼的体温会随外部环境温度的变化而变化，而且在这四天中每昼夜的体温情况相同．他们将一头骆驼前两昼体温变化情况绘制成下图．请根据回答：

⑴第一天中，在什么时间范围内这头的体温是上升的?它的体温从最低上升少时间?

⑵第三天12时这头骆驼的体温是多少? ⑶兴趣小组又在研究中发现，图中10时到 22时的曲线是抛物线，求该抛物线的解 析式．

解析：⑴第一天中，从4时到16时这头骆驼的体温是上升的.它的体温从最低上升到最高需要12小时

⑵第三天12时这头骆驼的体温是39℃

12??⑶y ??x?2x?2410?x?221642?ax?(?3a)x?44.已知抛物线y与x轴交于

3第9题

变化夜的图象

骆驼

到最高需要多

A、 得 若

B两点，与y轴交于点C．是否存在实数a，使△ABC为直角三角形．若存在，请求出a的值；不

存在，请说明理由．

解析：依题意，得点C的坐标为（0，4）．

设点A、B的坐标分别为（x1，0），（x2，0），

442?(?3a)x?4?0x????3 由ax，解得 x，． 2133a4 ∴ 点A、B的坐标分别为（-3，0），（?，0）．

3a422?AO?OC?5?|??3|，AC ∴ AB，

3a 6

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42242． BC?BO?OC?|?|2?3a421641682 ∴ AB， ?|??3|??2?3??9???9223a9a3a9aa1622 AC，BC． ?25?2?169a222 〈ⅰ〉当AB时，∠ACB＝90°． ?AC?BC222 由AB， ?AC?BC16816． ??9?25?(?16)229aa9a1 解得 a??．

4116625400222 ∴ 当a??时，点B的坐标为（，0），AB，AC，BC． ?25??4399 得

222 于是AB． ?AC?BC1 ∴ 当a??时，△ABC为直角三角形．

4222 〈ⅱ〉当AC时，∠ABC＝90°． ?AB?BC16816222 由AC，得25． ?AB?BC?(2??9)?(2?16)9aa9a4 解得 a?．

9444 当a?时，????3，点B（-3，0）与点A重合，不合题意．

93a3?49222?AC?AB 〈ⅲ〉当BC时，∠BAC＝90°．

222 由BC，得?AC?AB16168． ?16?25?(??9)229a9aa 解得 a?4．不合题意． 91 综合〈ⅰ〉、〈ⅱ〉、〈ⅲ〉，当a??时，△ABC为直角三角形．

45.已知抛物线y＝－x2＋mx－m＋2.

（1）若抛物线与x轴的两个交点A、B分别在原点的两侧，并且AB＝5，试求m的值；

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（2）设C为抛物线与y轴的交点，若抛物线上存在关于原点对称的两点M、N，并且 △MNC的面积等于27，试求m的值.

解析: (1)Ａ（x1，0）,B(x2，0) . 则x1 ，x2是方程 x2－mx＋m－2＝0的两根. ∵x1 ＋ x2 ＝m , x12x2 =m－2 ＜0 即m＜2 ;

2又AB＝∣x1 — x2∣＝（ , xx+）?4xx?51212∴m2－4m＋3=0 .

解得：m=1或m=3(舍去) , ∴m的值为1 . （2）M(a，b)，则N(－a，－b) . ∵M、N是抛物线上的两点,

M ??a?ma?m?2?b,?①∴? ?2?a?ma?m?2??b.?②??2y C x O N ①＋②得：－2a2－2m＋4＝0 . ∴a2＝－m＋2 . ∴当m＜2时，才存在满足条件中的两点M、N.

?2?m∴a? .

这时M、N到y轴的距离均为2?m, 又点C坐标为（0，2－m）,而S△M N C = 27 ,

∴233（2－m）32?m=27 . ∴解得m=－7 .

26.已知：抛物线y＝ax＋4ax＋t与x轴的一个交点为A（－1，

0）．

（1）求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标； （2）D是抛物线与y轴的交点，C是抛物线上的一点，且为一底的梯形ABCD的面积为9，求此抛物线的解析式； （3）E是第二象限内到x轴、y轴的距离的比为5∶2的点，E在（2）中的抛物线上，且它与点A在此抛物线对称轴的

如果点同侧，以AB

问：在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△APE的周长最小?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 解法一：

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（1）依题意，抛物线的对称轴为x＝－2． ∵ 抛物线与x轴的一个交点为A（－1，0），

∴ 由抛物线的对称性，可得抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为（－3，0）．

2（2）∵ 抛物线y＝ax＋4ax＋t与x轴的一个交点为A（－1， 0），

22 ∴ a．∴ t＝3a．∴ y． (－1)＋4a(－1)＋t＝0＝ax＋4ax＋3a2 ∴ D（0，3a）．∴ 梯形ABCD中，AB∥CD，且点C在抛物线y 上， ＝ax＋4ax＋3a ∵ C（－4，3a）．∴ AB＝2，CD＝4．

11 ∵ 梯形ABCD的面积为9，∴ (．∴ (． AB?CD)?OD＝92＋4)3a＝922 ∴ a±1．

2 ∴ 所求抛物线的解析式为y或＝x＋4x＋32． y＝?x?4ax?3 （3）设点E坐标为（x0，y0）.依题意，x0＜0，y0＜0， 且

y0x0＝55．∴ y0＝－x0． 222 ①设点E在抛物线y上， ＝x＋4x＋32＝x＋4x＋3∴y． 0001?5??x＝?，?x0＝?6，??0?y0＝－x0,2 解方程组? 得? 2?y＝15；5?0?y＝x2＋?y?＝．30?004x0＋?4? ∵ 点E与点A在对称轴x＝－2的同侧，∴ 点E坐标为（?15，）． 24 设在抛物线的对称轴x＝－2上存在一点P，使△APE的周长最小． ∵ AE长为定值，∴ 要使△APE的周长最小，只须PA＋PE最小． ∴ 点A关于对称轴x＝－2的对称点是B（－3，0）， ∴ 由几何知识可知，P是直线BE与对称轴x＝－2的交点． 设过点E、B的直线的解析式为y， ＝mx＋n 9

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?5m＝?1????m＋n＝, ∴ ?24 解得??n＝?3m＋n＝0.?－??1,2 3.2131 ∴ 直线BE的解析式为y＝x＋．∴ 把x＝－2代入上式，得y＝．

2221 ∴ 点P坐标为（－2，）．

222 ②设点E在抛物线y上，∴ y． ＝?x?4x?3＝?x?4x?30005?y＝－x0,?023 解方程组? 消去y0，得x． ＋3＝020?x022?y＝.?0?x0?4x0?3 ∴ △＜0 . ∴ 此方程无实数根． 综上，在抛物线的对称轴上存在点P（－2，解法二：

2 （1）∵ 抛物线y＝ax＋4ax＋t与x轴的一个交点为A（－1，

1），使△APE的周长最小． 20），

2 ∴ a．∴ t＝3a．∴ (－1)＋4a(－1)＋t＝02． y＝ax＋4ax＋3a2＋4ax＋3a＝0 令 y＝0，即ax．解得 x1＝－1，x2＝－3．

∴ 抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为（－3，0）．

2 （2）由y，得D（0，3a）． ＝ax＋4ax＋3a ∵ 梯形ABCD中，AB∥CD，且点C在抛物线

2上， y＝ax＋4ax＋3a ∴ C（－4，3a）．∴ AB＝2，CD＝4．

1AB＋CD)?OD＝9 ∵ 梯形ABCD的面积为9，∴ (．解得OD＝3． 2 ∴ 3a＝3．∴ a±1．

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22 ∴ 所求抛物线的解析式为y或y． ＝x＋4x＋3＝－x－4x－3

（3）同解法一得，P是直线BE与对称轴x＝－2的交点． ∴ 如图，过点E作EQ⊥x轴于点Q．设对称轴与x交点为F． 由PF∥EQ，可得

1PF＝．

2轴的

1PFBFPF．∴ ＝．∴ ＝55BQEQ24 ∴ 点P坐标为（－2， 以下同解法一．

1）． 27.已知二次函数的图象如图所示．

（1）求二次函数的解析式及抛物线顶点M的坐标．

（2）若点N为线段BM上的一点，过点N作x轴的垂线，垂足为点Q．当点N在线段BM上运动时（点N不与点B，点M重合），设NQ的长为l，四边形NQAC的面积为S，求S与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围；

（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使△PAC为直角三角形?若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由； （4）将△OAC补成矩形，使△OAC的两个顶点成为矩形一边的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，试直接写出矩形的未知的顶点坐标（不需要计算过程）． 解析：（1）设抛物线的解析式y， ?a(x?1)(x?2)2 ∴ ?．∴ a?1．∴ y?． x?x?22?a?1?(?2)?19? 其顶点M的坐标是?，??．

?24? （2）设线段BM所在的直线的解析式为y?，点N的坐标为N（t，h）， kx?b 11

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?0?2k?b，3? ∴ ?91．解得k?，b?． ?32??k?b.??423 ∴ 线段BM所在的直线的解析式为y?x?3．

23111231 ∴ h?t?3，其中?t?2．∴ s． ??1?2?(2?t?3)t?t2?t?12222342311 ∴ s与t间的函数关系式是S?t2?t?，自变量t的取值范围是?t?2． 1422?57??35? （3）存在符合条件的点P，且坐标是P1?，?，P??． 2?，?24??24?2 设点P的坐标为P(m． ?m?m?2，n)，则n2222222，PC． PA?(m?1)?n?m?(n?2)，AC?5 分以下几种情况讨论：

222?PA?AC i）若∠PAC＝90°，则PC．

2?n?m?m?2，? ∴ ?

2222?m?(n?2)?(m?1)?n?5.? 解得：m1?5?57?，m（舍去）． ∴ 点??1P21?，?． 2?24?222?PC?AC ii）若∠PCA＝90°，则PA． 2?n?m?m?2，? ∴ ?

2222?(m?1)?n?m?(n?2)?5.?35??3 解得：m（舍去）．∴ 点?，m?0P，－??． 342224???AC iii）由图象观察得，当点P在对称轴右侧时，PA，所以边AC的对角∠APC

不可能是直角．

（4）以点O，点A（或点O，点C）为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形这边OA

（或边OC）的对边上，如图a，此时未知顶点坐标是点D（－1，－2），

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以点A，点C为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边AC的对边上，如图

?12??48?b，此时未知顶点坐标是E??，?，F?，??．

5555????

图a 图b

28.已知二次函数y＝ax－2的图象经过点（1，－1）．求这个二次函数的解析式，并判

断该函数图象与x轴的交点的个数． 解析：根据题意，得a－2＝－1.

∴ a＝1． ∴ 这个二次函数解析式是y＝x2?2．

因为这个二次函数图象的开口向上，顶点坐标是（0，－2），所以该函数图象与x

轴有两个交点．

9.卢浦大桥拱形可以近似看作抛物线的一部分．在大桥截面1∶11000的比例图上，跨度AB＝5 cm，拱高OC＝0.9 cm，线段DE表示大桥拱内桥长，DE∥AB，如图（1）．在比例图上，以直线AB为x轴，抛物线的对称轴为y轴，以1 cm作为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，如图（2）．

（1）求出图（2）上以这一部分抛物线为图象的函数解析式，写出函数定义域；

1.4， （2）如果DE与AB的距离OM＝0.45 cm，求卢浦大桥拱内实际桥长（备用数据：2?计算结果精确到1米）．

解析：（1）由于顶点C在y轴上，所以设以这部分抛物线为图象的函数解析式为

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92 y＝ax＋．

105529185 因为点A（?，0）（或B（，0））在抛物线上， 所以0得a＝－． ＝a?(?)＋，

22210125185295 因此所求函数解析式为y． ＝－x＋(??x?)12510229918295 （2）因为点D、E的纵坐标为， 所以?－x＋，得x＝?2．

20201251045995 所以点D的坐标为（－2，），点E的坐标为（）． 2，

4420205552 所以DE＝2－(?2)＝．

442 因此卢浦大桥拱内实际桥长为

52（米）． ?11000?0.01＝2752?385210.已知在平面直角坐标系内，O为坐标原点，A、B是x轴正半轴上的两点，点A在点B

2的左侧，如图．二次函数y（a≠0）的图象经过点A、B，与y轴相交于＝ax＋bx＋c点C．

（1）a、c的符号之间有何关系?

（2）如果线段OC的长度是线段OA、OB长度的比例中项，

a、c互为倒数；

＝43，求a、c的值． （3）在（2）的条件下，如果b＝－4，AB试证

解析:

（1）a、c同号． 或当a＞0时，c＞0；当a＜0时，c＜0．

（2）证明：设点A的坐标为（x1，0），点B的坐标为（x2，0），则0＜x＜x12．

?c． ∴ OA?x?x1，OB2，OCc2 据题意，x1、x2是方程ax的两个根． ∴ x1?x2?． ＋bx＋c?0(a?0)ac22?OB＝OCc＝c2． 由题意，得OA，即＝a 所以当线段OC长是线段OA、OB长的比例中项时，a、c互为倒数．

b4＋x＝－＝＞0?4（3）当b?时，由（2）知，x，∴ a＞0． 12aa 14

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2 解法一：AB＝OB－OA＝x， －x＝(x＋x)?4xx2112124c16?4ac232?()－4()?2?． ∴ ABaaaa ∵ AB?43， ∴

123＝43．得a?．∴ c＝2.

2a4?16?4ac4?16?42?3 解法二：由求根公式，x＝＝＝，

2a2aa2?32?3 ∴ x1＝，x2＝．

aa2?32－323 ∴ AB． ＝OB－OA＝x－x＝－＝21aaa＝43，∴ ∵ AB123＝43，得a＝．∴ c＝2． a211.如图，直线y??点．

3x?3分别与x轴、y轴交于点A、B，⊙E经过原点O及A、B两3（1）C是⊙E上一点，连结BC交OA于点D，若∠COD＝∠CBO，求点A、B、C的坐标； （2）求经过O、C、A三点的抛物线的解析式：

（3）若延长BC到P，使DP＝2，连结AP，试判断直线PA与⊙E的位置关系，并说明理由．

解析：（1）连结EC交x轴于点N（如图）． ∵ A、B是直线y??

3，B(0,3)． x?3分别与x轴、y轴的交点．∴ A（3，0）

3又∠COD＝∠CBO． ∴ ∠CBO＝∠ABC．∴ C是∴ ON?OA?,EN??．

1232OB322的中点． ∴ EC⊥OA．

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全国最大的个性化品牌辅导机构 连结OE．∴ EC． ∴ NC?OE?3?EC?EN?333．∴ C点的坐标为（,?）． 222（2）设经过O、C、A三点的抛物线的解析式为y． ???axx?3∵ C（,?∴ y?3223333）． ∴??3． a?(?3)．∴ a?9222223223x?x为所求． 983， ∴ ∠BAO＝30°，∠ABO＝50°． 3（3）∵ tan?BAO?由（1）知∠OBD＝∠ABD．∴ ?． OBD??ABO??60??30?∴ OD＝OB2tan30°－1．∴ DA＝2． ∵ ∠ADC＝∠BDO＝60°，PD＝AD＝2． ∴ △ADP是等边三角形．∴ ∠DAP＝60°．

∴ ∠BAP＝∠BAO＋∠DAP＝30°＋60°＝90°．即 PA⊥AB． 即直线PA是⊙ E的切线． 【历年考点例析】

考点1、确定a、b、c的值．二次函数：y=ax2+bx+c （a,b,c是常数，且a≠0） a＞0开口向上，a＜0开口向下．抛物线的对称轴为x=?bb，由图像确定?的正负，2a2a1212由a的符号确定出b的符号．由x=0时,y=c，知c的符号取决于图像与y轴的交点纵坐标，与y轴交点在y轴的正半轴时，c＞0，与y轴交点在y轴的负半轴时，c＜0．确定了a、b、c的符号，易确定abc的符号．

考点 2、确定a+b+c的符号．x=1时，y=a+b+c，由图像y的值确定a+b+c的符号．与之类似的还经常出现判断4a+2b+c的符号（易知x=2时，y=4a+2b+c），由图像y的值确定4a+2b+c的符号．还有判断a－b+c的符号（x=－1时，y=a－b+c）等等．

b，根据2abb对称性知：取到对称轴距离相等的两个不同的x值时，y值相等，即当x=?+m或x=?2a2abb－m时，y值相等．中考考查时，通常知道x=?+m时y值的符号，让确定出x=?－

2a2a考点3、与抛物线的对称轴有关的一些值的符号．抛物线的对称轴为x=?m时y值的符号．

考点4、由对称轴x=?bb的确定值判断a与b的关系．如：?=1能判断出a =2a2a 16

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－0.5 b．

考点5、顶点与最值．若x可以取全体实数，开口向下时，y在顶点处取得最大值，开口向上时，y在顶点处取得最小值．

例1、已知二次函数y?ax2?bx?c(a?0)的图象如图所示，有下列5个结论：① （m?1abc?0；② b?a?c；③ 4a?2b?c?0；④ 2c?3b；⑤ a?b?m(am?b)，的实数）其中正确的结论有（ ）．

A. 2个

B. 3个

C. 4个

D. 5个

开＞

解析：此题考查了考点1、2、3、4、5． ①错误．因为：口向下a＜0;对称轴x=?b=1，可以得出b＞0; x=0时,y=c2a0，故abc＜0．②错误．因为：由图知x=－1时，y=a－b+c＜0，即b＞a+c．③正确．因为：由对称轴x=1知,x=0时和x=2时y值相等，由x=0时，y＞0，知x=2时，y=4a+2b+c＞0．④正确．因为：由对称轴x=?b=1，可以得出a =－0.5 b，代入前面已经证出b2a＞a+c，得出1.5b＞c,即3b＞2c．⑤正确．因为：抛物线开口向下，故顶点处y值最大，即x =1，y= a+b+c最大，此时a+b+c＞am2+bm+c（m?1），即a?b?m(am?b)，（m?1）．答案：B．

考点6、图象与x轴交点．∵b2-4ac＞0，ax2+bx+c=0有两个不相等的实根；b2-4ac＜0，ax2+bx+c=0无实根；b2-4ac=0，ax2+bx+c=0有两个相等的实根．∴b2-4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点；b2-4ac＜0，抛物线与x轴没有交点；b2-4ac=0，抛物线与x轴只有一个交点．

例2、二次函数y?x2?2x?1与x轴的交点个数是（ ）． A．0 B．1 C．2 D．3

解析：求图象与x轴的交点应令y=0，即x2－2x+1=0,∵b2-4ac＝4－4=0,∴二次函数图象与x轴只有一个交点．答案：B．

考点7、判断在同一坐标系中两种不同的图形的正误．如：在同一种坐标系中正确画出一次函数y?ax?b和二次函数y?ax2?bx?c(a?0)，关键是两个式子中的a、b值应相同．

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例3、在同一坐标系中一次函数y?ax?b和二次函数y?ax2?bx的图象可能为（ ）． O

A x O B x O C x O D x y y y y 解析：二次函数y?ax2?bx过点（0，0），故排除答案B与C．若a＞0，抛物线开口向上，一次函数y?ax?b的y值随着x值的增大而增大；若a＜0，抛物线开口向下，一次函数y?ax?b的y值随着x值的增大而减小．答案：A.

考点8、能分别判断出在对称轴的左右两侧二次函数y值随x值的变化而变化情况．抛物线当开口向上时，在对称轴的左侧二次函数y值随x值的增大而减小，在对称轴的右侧二次函数y值随x值的增大而增大．抛物线开口向下时，在对称轴的左侧二次函数y值随x值的增大而增大，在对称轴的右侧二次函数y值随x值的增大而减小． 例4、已知二次函数y?ax2?bx?c(a≠0)的图象经过点(-1，2)，(1，0) . 下列结论正确的是( )．

A. 当x>0时，函数值y随x的增大而增大 B. 当x>0时，函数值y随x的增大而减小

C. 存在一个负数x0，使得当x x0时，函数值y随x的增大而增大

D. 存在一个正数x0，使得当xx0时，函数值y随x的增大而增大

解析：二次函数y?ax2?bx?c(a≠0)的图象没说开口方向，故过点(-1，2)，(1，0)的抛物线有可能开向上或向下，见图再结合选项，抛物线当开口向上时，对称轴x=x0（x0>0）的左侧二次函数y值随x值的增

明口在大

而减小，在对称轴的右侧二次函数y值随x值的增大而增大．抛物线开口向下时，在对称轴x=x0（x0<0）的左侧二次函数y值随x值的增大而增大，在对称轴的右侧二次函数y值随x值的增大而减小．答案：D．

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考点9、二次函数解析式的几种形式． (1)一般式：y＝ax2+bx+c (a,b,c为常数，a≠0).

(2)顶点式：y＝a(x-h)2+k(a,h,k为常数，a≠0). 抛物线的顶点坐标是(h,k)，h＝0时，抛物线y＝ax2+k的顶点在y轴上；当k＝0时，抛物线y＝a(x-h)2的顶点在x轴上；当h＝0且k＝0时，抛物线y＝ax2的顶点在原点. (3)两根式：y＝a(x-x1)(x-x2)，其中x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标，即一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根. 求解析式时若已知抛物线过三点坐标一般设成一般式，已知抛物线过的顶点坐标时设成顶点式，已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标时设成两根式．

例5、在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为A(1，?4)，且过点B(3，0)．求该二次函数的解析式为 ．

解析：（1）设二次函数解析式为y?a(x?1)2?4，二次函数图象过点B(3，0)，

?0?4a?4，得a?1． ?二次函数解析式为y?(x?1)2?4，即y?x2?2x?3． 本次课后作业：***资料**页**题 或者老师事先准备好的专项练习等 学生对于本次课的评价： ○ 特别满意 ○ 满意 ○ 一般 学生签字： 教师评定： 1、 学生上次作业评价： ○ 好 ○ 较好 ○ 一般 ○ 差 2、 学生本次上课情况评价： ○ 好 ○ 较好 ○ 一般 ○ 差 教师签字：

导师签字： 主任签字:

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