2012届高考考前一个月理数解答题训练（十六）

解答题训练（十六）限时60分钟

三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 18．（本小题满分14分）

在△ABC中，内角A,B,C对边的边长分别是a,b,c．已知c?2,C?（1）若△ABC的面积等于3，求a、b；

（2）若sinC?sin(B?A)?2sin2A，求△ABC的面积．

19．（本小题满分14分）

已知各项均为正数的数列{an}前n项和为Sn，(p – 1)Sn = p2 – an，n ∈N*，p > 0且p≠1，数列{bn}满足bn = 2logpan． （1）若p =

?b?1，设数列?n?的前n项和为Tn，求证：0 < Tn≤4； 2?an??3．

（2）是否存在自然数M，使得当n > M时，an > 1恒成立？若存在，求出相应的M；

若不存在，请说明理由．

20．（本小题满分15分）

已知如图四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB=AD=1， BC=2，又PB⊥平面ABCD，且PB=1，点E在棱PD上，且DE=2PE．

P （1）求异面直线PA与CD所成的角的大小； （2）求证：BE⊥平面PCD； （3）求二面角A—PD—B的大小．

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E C D

A B

21．（本小题满分15分）

如图，ABCD是边长为2的正方形纸片，沿某动直线l为折痕将正方形在其下方的部分 向上翻折，使得每次翻折后点B都落在边AD上，记为B?；折痕与AB交于点E，以 EB和EB′为邻边作平行四边形EB′MB．若以B为原点，BC所在直线为x轴建立直角 坐标系．（如下图）：

[来源:Zxxk.Com]

y A （1）求点M的轨迹方程；

（2）若曲线S是由点M的轨迹及其关于边AB对称

的曲线组成的，等腰梯形A1B1C1D1的三边

B? D E C? l A1B1,B1C1,C1D1分别与曲线S切于点P,Q,R.

求梯形A1B1C1D1面积的最小值．

22．（本小题满分14分）

已知函数f?x??x?xlnx．

（1）求函数f?x?的图像在点(1,1)处的切线方程；

（2）若k?Z，且k(x?1)?f?x?对任意x?1恒成立，求k的最大值； （3）当n?m?4时，证明mn

B O C x ?nm???nm?．

mn第 - 2 - 页 共 9 页

解答题训练（十六）参答

18．（本小题满分14分）

解：（1）由余弦定理及已知条件得，a?b?ab?4，

又因为△ABC的面积等于3，所以221absinC?3，得ab?4． 2?a2?b2?ab?4，联立方程组?解得a?2，b?2．……………………..6分

?ab?4，（2）由题意得sin(B?A)?sin(B?A)?4sinAcosA，

即sinBcosA?2sinAcosA， 当cosA?0时，A???4323，B?，a?，b?， 2 633当cosA?0时，得sinB?2sinA，由正弦定理得b?2a，

?a2?b2?ab?4，2343联立方程组?解得a?，b?．

33b?2a，?所以△ABC的面积S?

19．（本小题满分14分）

（1）解：由(p – 1)Sn = p2 – an (n∈N*)．

由(p – 1)Sn – 1 = p2 –an?1． ① – ②得

an1?(n≥2) ． an?1p123．………………………….14分 absinC?23

① ②

∵an > 0 (n∈N*)．

又(p – 1)S1 = p2 – a1，∴a1 = p． {an}是以p为首项，?1?an = p??p????n?11为公比的等比数列． p?p2?n．

bn = 2logpan = 2logpp2 – n．

∴bn = 4 – 2n ． ???? 4分

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证明：由条件p =

∴Tn =

1得an = 2n – 2． 2

① ②

20?2?4?64?2n． ???????222232?1202n?2120?2?4?64?2nTn?0??2?3?4???n?1 ． 2222222① – ②得：

1?2?2?2?2?24?2nTn?4?0?1?2?3???n?2?n?1 22222221?4?2n?11= 4 – 2 ×?1??2???n?2??n?1

2?2?22?1?1???2= 4 – 2 ×??11?2n?1?4?2n． 2n?1∴Tn =

4nn??0． ???? 8分 2n?12n?3n2n?3?n?12?n?n?3． 2n?42Tn – Tn – 1 =

当n > 2时，Tn – Tn – 1< 0． 所以，当n > 2时，0 < Tn≤T3 = 3．

又T1 = T2 = 4，∴0 < Tn≤4． ????10分

（2）解：若要使an > 1恒成立，则需分p > 1和0 < p < 1两种情况讨论．

20．（本小题满分15分）

当p > 1时，2 – n > 0，n < 2． 当0 < p < 1时，2 – n < 0，n > 2． ∴当0 < p < 1时，存在M = 2．

当n > M时，an > 1恒成立． ???? 14分

解法一：如图，以B为原点，分别以BC、BA、BP为x，y、z轴，建立空间直角坐标

系，则B(0,0,0),C(2,0,0),A(0,1,0),D(1,1,0),P(0,0,1),又DE?2PE

112?E(,,)

333????????（1）?PA?(0,1,?1),CD?(?1,1,0)

????????????????PA?CD11???????cos?PA,CD??????． |PA|?|CD|2?22第 - 4 - 页 共 9 页

?异面直线PA与CD所成的角为60?．………………….5分 ????112????????（2）?BE?(,,),PD?(1,1,?1),PC?(2,0,?1).

333????????112?BE?PD??1??1??(?1)?0. 333????????112??2??0?(?1?)? BE?PC 0. 333z P E ?BE?PD,BE?PC,又PD?PC?P． ?AB?平面PCD. ………. 10分

?（3）设平面PAD的一个法向量为n0?(x,y,z)， x C D B A y ???????n0?PA?0?y?z?0则由?????得?． ???n0?PD?0?x?y?z?0?令z?1,则n0?(?2,1,1).

?????又BP?(0,0,1)，设平面PBD的法向量为n1?(x1,y1,z1),

???????n1?BP?0?z1?0则由?????得?． ???n1?PD?0?x1?y1?z1?0?令x1?1,则n1?(1,?1,0)．

????n?n1?2?1?1?(?1)3． ?cos?n0,n1???0????2|n0|?|n1|6?2????n0,n1??120? ． ……………………….15分

又二面角A—PD—B为锐二面角，故二面角A—PD—B的大小为60?．

解法二：（1）取BC中点F，连结AF，则CF=AD，且CF∥AD，

∴四边形ADCF是平行四边形，∴AF∥CD．

∴∠PAF（或其补角）为异面直线PA与CD所成的角． ∵PB⊥平面ABCD， ∴PB⊥BA，PB⊥BF. ∵PB=AB=BF=1， ?AB?BC,∴PA=PF=AF=2. ??PAF是正三角形,?PAF?60?

即异面直线PA与CD所成的角等于60?．…………5分

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（2）在Rt?PBD中,PB?1,BD?2,?PD?3．

3， ?DE?2PE,?PE?3E P 则

PEPB1． ??PBPD3C

F H B

O A ??PBE~?PDB． ?BE?PD．

D

由（1）知，CF?BF?DF,??CDB?90?．

?CD?BD,又PB?平面BCD,?PB?CD. ?PB?BD?B,?CD?平面PBD,?CD?BE,

?CD?PD?D,?BE?平面PCD.………………………..10分

（3）设AF与BD的交点为O，则AO?BD．

?PB?平面ABCD,?平面PBD?平面ABD,?AO?平面PBD.

过点O作OH?PD于点H，连结AH，则AH?PD．

??AHO为二面角A?PD?B的平面角．

在Rt?ABD中,AO?2． 2在Rt?PAD中,AH?PA?AD2?16． ??PD332AO3?2?在Rt?AOH中,sin?AHO?． AH263??AHO?60?,即二面角A?PD?B的大小为60?．……………..15分

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21．（本小题满分15分）

解：（1）如图，设M（x,y），B/(x0,2)，又E（0，b）

显然直线l的斜率存在，

故不妨设直线l的方程为y=kx+b，则kBB/?而BB的中点(/x21???k??0． x0k2x0,1)在直线l上， 22x0x0x0?b?1?b?1?，① 故(?)?224由于EM?EB?EB??(x,y?b)?(0,?b)?(x0,2?b)???x?x0．

?y?2?bx2?1， 代入①即得：y??4又0?x0?2，

x2?1（0?x?2）∴点M的轨迹方程y??． -------------6分 4x2?1(?2?x?2)． （2）易知曲线S的方程为y??4设梯形A1B1C1D1的面积为s，点P的坐标为(t,?12t?1)(0?t?2). 4学科网ZXXK]由题意得，点Q的坐标为(0,1)，直线B1C1的方程为y?1．

xtx2?1， ?y??? ， ?y?|x?t??． ∵y??2241t?直线A1B1的方程为y?(?t2?1)??(x?t),

42t12t2?4t2?4,0)． 即：y??x?t?1， 令y?0得，x?，?A1(242t2t令y?1得，x?11t，?B1(t,1)． 2211t2?42)?1?2?t??22． ∴s??(t?222tt第 - 7 - 页 共 9 页

当且仅当t?当t?2，即t?2时，取“=”且2??0,2?， t2时，s有最小值为22．

故梯形A1B1C1D1的面积的最小值为22． ----------15分

22．（本小题满分14分）

解：（1）因为f??x??lnx?2，所以f??1??2，

函数f?x?的图像在点(1,1)处的切线方程y?2x?1；????3分 （2）由（1）知，f?x??x?xlnx，所以k(x?1)?f?x?对任意x?1恒成立，

即k?x?xlnx对任意x?1恒成立．????4分

x?1x?xlnxx?lnx?2，则g??x??，????????4分 2x?1?x?1?1x?1??0， xx令g?x??令h?x??x?lnx?2?x?1?，则h??x??1?所以函数h?x?在?1,???上单调递增．?????????5分 因为h?3??1?ln3?0,h?4??2?2ln2?0，

所以方程h?x??0在?1,???上存在唯一实根x0，且满足x0??3,4?． 当1?x?x0时，h(x)?0，即g?(x)?0，

当x?x0时，h(x)?0，即g?(x)?0， ?6分 所以函数g?x??所以??g?x???x?xlnx在?1,x0?上单调递减，在?x0,???上单调递增．

x?1minx0?1?lnx0?x0?1?x0?2??g?x0????x0??3,4?． ??7分

x0?1x0?1所以k???g?x???min?x0??3,4?．故整数k的最大值是3． ???8分 （3）由（2）知，g?x??x?xlnx是?4,???上的增函数，?????9分

x?1n?nlnnm?mlnm?所以当n?m?4时，．???????10分

n?1m?1即n?m?1??1?lnn??m?n?1??1?lnm?．

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整理，得mnlnn?mlnm?mnlnm?nlnn??n?m?．??????11分 因为n?m， 所以mnlnn?mlnm?mnlnm?nlnn．???????12分 即lnnmn?lnmm?lnmmn?lnnn．即ln?nmnmm??ln?mmnnn?．??????13分

nm所以mn

????nmm?．?????????14分

n第 - 9 - 页 共 9 页

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