吉林省长春外国语学校高二数学上学期期末试卷（含解析）

畅游学海敢搏风浪誓教金榜题名。决战高考，改变命运。凌风破浪击长空，擎天揽日跃龙门吉林省长春外国语学校2014-2015学年高二上学期期末数学试卷

一、选择题（本题共有12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．（5分）某学校有教职员工150人，其中高级职称15人，中级职称45人，一般职员90人，现在用分层抽样抽取30人，则样本中各职称人数分别为（） A． 5，10，15 B． 3，9，18 C． 3，10，17 D． 5，9，16 2．（5分）若命题“p∧q”为假，且“￢p”为假，则（） A． p或q为假 B． q假 C． q真 D． 不能判断q的真假

2

3．（5分）抛物线y=4x的焦点坐标是（） A． （0，1）

B． （1，0）

C．

D．

4．（5分）要从容量为102的总体中用系统抽样法随机抽取一个容量为9的样本，则下列叙述正确的是（） A． 将总体分11组，每组间隔为9 B． 将总体分9组，每组间隔为11 C． 从总体中剔除2个个体后分11组，每组间隔为9 D． 从总体中剔除3个个体后分9组，每组间隔为11 5．（5分）将甲，乙两名同学5次物理测验的成绩用茎叶图表示如图，若甲，乙两人成绩的中位数分别是x甲，x乙，下列说法正确的是（）

A． x甲＜x乙，乙比甲成绩稳定 B． x甲＞x乙；甲比乙成绩稳定 C． x甲＞x乙；乙比甲成绩稳定 D． x甲＜x乙；甲比乙成绩稳定 6．（5分）如图的程序运行之后输出值为16，那么输入的值x应该是（）

- 1 -

A． 3或﹣3 B． ﹣5 C． 5或﹣3 D． 5或﹣5 7．（5分）平面内，“动点P到两个定点的距离之和为正常数”是“动点P的轨迹是椭圆”的（） A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件 C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件 8．（5分）从装有2个红球和2个黒球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（） A． 至少有一个黒球与都是红球 B． 至少有一个黒球与都是黒球 C． 至少有一个黒球与至少有1个红球 D． 恰有1个黒球与恰有2个黒球 9．（5分）下列说法正确的个数为（）

①彩票的中奖率为千分之一，那么买一千张彩票就肯定能中奖； ②概率为零的事件一定不会发生；

③抛掷一枚均匀的硬币，如前两次都是反面，那么第三次出现正面的可能性就比反面大； ④在袋子中放有2白2黑大小相同的四个小球，甲乙玩游戏的规则是从中不放回的依次随机摸出两个小球，如两球同色则甲获胜，否则乙获胜，那么这种游戏是公平的． A． 1 B． 2 C． 3 D． 0

10．（5分）过双曲线的一个焦点F2作垂直于实轴的弦PQ，F1是另一焦点，若∠则双曲线的离心率e等于（） A．

B．

C．

D．

，

11．（5分）设实数x，y满足，则μ=的取值范围是（）

A． [，2]

B． [，] C． [，2] D． [2，]

12．（5分）F1，F2是椭圆AF1F2的面积为（） A． 7

B．

的两个焦点，A为椭圆上一点，且∠AF1F2=45°，则三角形

C． D．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

- 2 -

13．（5分）如图，矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆数为96颗，以此实验数据为依据可以估计出椭圆的面积约为 ．

14．（5分）一次数学测验后某班成绩均在如图给出的是计算其中菱形判断框内应填入的条件是．

的值的一个框图，

16．（5分）设双曲线x﹣y=1的两条渐近线与直线

2

2

围成的三角形区域（包含边界）为D，

点P（x，y）为D内的一个动点，则目标函数z=x﹣2y的最小值为．

三、解答题（共70分，每题的解答要有必要的推理过程，直接写结果不得分） 17．（10分）下表提供了某新生婴儿成长过程中时间x（月）与相应的体重y（公斤）的几组对照数据． x 0 1 2 3 y 3 3.5 4.5 5 （1）如y与x具有较好的线性关系，请根据表中提供的数据，求出线性回归方程：=bx+a； （2）由此推测当婴儿生长到五个月时的体重为多少？

参考公式：a=，b=．

- 3 -

18．（12分）一个容量为M的样本数据，其频率分布表如表． 分组 频数 频率 （10，20] 2 0.10 （20，30] 3

（30，40] 4 0.20 （40，50] （50，60] 4 0.20 （60，70] 2 0.10 合计 1.00

（Ⅰ）完成频率分布表； （Ⅱ）画出频率分布直方图；

（Ⅲ）利用频率分布直方图，估计总体的众数、中位数及平均数．

19．（12分）抛物线顶点在原点，它的准线过双曲线

﹣

=1（a＞0，b＞0）的一个焦点，

并与双曲线实轴垂直，已知抛物线与双曲线的一个交点为（，

20．（12分）过抛物线y=2mx（m＞0）的焦点F倾斜角为

2

），求抛物线与双曲线方程．

的直线交抛物线于A、B两点，弦

长为|AB|．命题p：|AB|≥4，命题q：方程+=1（m∈R）表示双曲线，如p∧q为假，

p∨q为真，求实数m的取值范围．

22

21．（12分）已知关于x的一元二次方程x﹣2（a﹣2）﹣b+16=0．

（1）若a、b是一枚骰子掷两次所得到的点数，求方程有两正根的概率； （2）若a∈[2，4]，b∈[0，6]，求方程没有实根的概率．

22．（12分）已知椭圆

的离心率

，过点A（0，﹣b）和B（a，0）

的直线与原点的距离为．

（1）求椭圆的方程；

（2）已知定点E（﹣1，0），若直线y=kx+2（k≠0）与椭圆交于C、D两点，问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点？请说明理由．

吉林省长春外国语学校2014-2015学年高二上学期期末数学试卷

- 4 -

参考答案与试题解析

一、选择题（本题共有12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．（5分）某学校有教职员工150人，其中高级职称15人，中级职称45人，一般职员90人，现在用分层抽样抽取30人，则样本中各职称人数分别为（） A． 5，10，15 B． 3，9，18 C． 3，10，17 D． 5，9，16

考点： 分层抽样方法． 专题： 概率与统计．

分析： 求出样本容量与总容量的比，然后用各层的人数乘以得到的比值即可得到各层应抽的人数． 解答： 解：由

=，

所以，高级职称人数为15×=3（人）； 中级职称人数为45×=9（人）； 一般职员人数为90×=18（人）．

所以高级职称人数、中级职称人数及一般职员人数依次为3，9，18． 故选B．

点评： 本题考查了分层抽样，在分层抽样过程中，每个个体被抽取的可能性是相等的，此题是基础题． 2．（5分）若命题“p∧q”为假，且“￢p”为假，则（） A． p或q为假 B． q假 C． q真 D． 不能判断q的真假

考点： 复合命题的真假． 专题： 规律型．

分析： 根据复合命题的真值表，先由“?p”为假，判断出p为真；再根据“p∧q”为假，判断q为假．

解答： 解：因为“?p”为假， 所以p为真；

又因为“p∧q”为假， 所以q为假．

对于A，p或q为真， 对于C，D，显然错， 故选B．

点评： 本题考查复合命题的真假与构成其两个简单命题的真假的关系：“p∧q”全真则真；：“p∧q”全假则假；“?p”与p真假相反．

2

3．（5分）抛物线y=4x的焦点坐标是（）

- 5 -

A． （0，1） B． （1，0） C． D．

考点： 抛物线的简单性质．

专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程．

2

分析： 把抛物线y=4x的方程化为标准形式，确定开口方向和p值，即可得到焦点坐标． 解答： 解：抛物线y=4x的标准方程为 x=y，p=，开口向上，焦点在y轴的正半轴上， 故焦点坐标为（0，

），

2

2

故选C．

2

点评： 本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用；把抛物线y=4x的方程化为标准形式，是解题的关键． 4．（5分）要从容量为102的总体中用系统抽样法随机抽取一个容量为9的样本，则下列叙述正确的是（） A． 将总体分11组，每组间隔为9 B． 将总体分9组，每组间隔为11 C． 从总体中剔除2个个体后分11组，每组间隔为9 D． 从总体中剔除3个个体后分9组，每组间隔为11

考点： 系统抽样方法；命题的真假判断与应用． 专题： 概率与统计．

分析： 因为102不能被9整除，故可以剔除3个，然后得出抽样距离，进而抽出即可． 解答： 解：∵102不能被9整除，∴先剔除3个， ∴

=11，即将总体分成9组，其抽样距离为11．

故选D．

点评： 本题主要考查了系统抽样，充分理解系统抽样的方法步骤是解题的关键，属于基础题． 5．（5分）将甲，乙两名同学5次物理测验的成绩用茎叶图表示如图，若甲，乙两人成绩的中位数分别是x甲，x乙，下列说法正确的是（）

A． x甲＜x乙，乙比甲成绩稳定 B． x甲＞x乙；甲比乙成绩稳定 C． x甲＞x乙；乙比甲成绩稳定 D． x甲＜x乙；甲比乙成绩稳定

考点： 茎叶图． 专题： 概率与统计．

分析： 利用茎叶图的性质和中位数定义求解．

- 6 -

解答： 解：∵x甲=79，x乙=82， 且在茎叶图中，乙的数据更集中， ∴x甲＜x乙，乙比甲成绩稳定． 故选：A．

点评： 本题考查中位数的求法，是基础题，解题时要注意茎叶图的性质的灵活运用． 6．（5分）如图的程序运行之后输出值为16，那么输入的值x应该是（）

A． 3或﹣3 C． 5或﹣3 D． 5或﹣5

考点： 伪代码．

专题： 算法和程序框图．

22

分析： 由已知中伪代码可得程序的功能是计算分段函数：y=（x+1），x＜0：y=（x﹣1），x≥0，根据y=16，代入分别计算求出x的值即可． 解答： 解：本程序含义为： 输入x

2

如果x＜0，执行：y=（x+1）

2

否则，执行：y=（x﹣1） 因为输出y=16

2

由y=（x+1），x＜0，可得，x=﹣5

2

由y=（x﹣1），x≥0，可得， x=5 故x=5或﹣5 故选：D．

点评： 本题选择选择结构的程序语句，根据两个执行语句分别计算．属于基础题． 7．（5分）平面内，“动点P到两个定点的距离之和为正常数”是“动点P的轨迹是椭圆”的（） A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件 C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件

考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断． 专题： 简易逻辑．

分析： 根据椭圆的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．

解答： 解：若动点P到两个定点|AB|的距离之和为正常数2a，当2a≤|AB|时，动点P的轨迹是线段AB，或不存在，故充分性不成立，

若动点P的轨迹是椭圆，则满足，“动点P到两个定点的距离之和为正常数”，必要性成立，

- 7 -

B． ﹣5

故平面内，“动点P到两个定点的距离之和为正常数”是“动点P的轨迹是椭圆”的必要不充分条件， 故选：B

点评： 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据椭圆的定义和性质是解决本题的关键． 8．（5分）从装有2个红球和2个黒球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（） A． 至少有一个黒球与都是红球 B． 至少有一个黒球与都是黒球 C． 至少有一个黒球与至少有1个红球 D． 恰有1个黒球与恰有2个黒球

考点： 互斥事件与对立事件． 专题： 阅读型．

分析： 互斥事件是两个事件不包括共同的事件，对立事件首先是互斥事件，再就是两个事件的和事件是全集，由此规律对四个选项逐一验证即可得到答案． 解答： 解：A中的两个事件是对立事件，故不符合要求； B中的两个事件是包含关系，不是互斥事件，故不符合要求； C中的两个事件都包含一个黑球一个红球的事件，不是互斥关系； D中的两个事件是互互斥且不对立的关系，故正确． 故选D

点评： 本题考查互斥事件与对立事件，解题的关键是理解两个事件的定义及两事件之间的关系．属于基本概念型题． 9．（5分）下列说法正确的个数为（）

①彩票的中奖率为千分之一，那么买一千张彩票就肯定能中奖； ②概率为零的事件一定不会发生；

③抛掷一枚均匀的硬币，如前两次都是反面，那么第三次出现正面的可能性就比反面大； ④在袋子中放有2白2黑大小相同的四个小球，甲乙玩游戏的规则是从中不放回的依次随机摸出两个小球，如两球同色则甲获胜，否则乙获胜，那么这种游戏是公平的． A． 1 B． 2 C． 3 D． 0

考点： 命题的真假判断与应用． 专题： 概率与统计．

分析： 根据概率的定义及实际含义，分别判断4个结论的真假，可得结论．

解答： 解：对于①，彩票的中奖率为千分之一，那么买一千张彩票就不一定能中奖，故错误；

对于②，概率为零的事件为不可能事件，一定不会发生，故正确；

对于③，抛掷一枚均匀的硬币，如前两次都是反面，那么第三次出现正面的可能性与出现反面一样大，故错误；

- 8 -

对于④在袋子中放有2白2黑大小相同的四个小球，甲乙玩游戏的规则是从中不放回的依次随机摸出两个小球，如两球同色则甲获胜，否则乙获胜，则两人获胜的概率均为，那么这种游戏是公平的，故正确； 故说法正确的个数为2个， 故选：B

点评： 本题以命题的真假判断为载体考查了概率的定义及实际意义，难度不大，属于基础题．

10．（5分）过双曲线的一个焦点F2作垂直于实轴的弦PQ，F1是另一焦点，若∠则双曲线的离心率e等于（）

A． B． C．

考点： 双曲线的简单性质；双曲线的应用． 专题： 计算题．

分析： 根据由题设条件可知解答： 解：由题意可知∵∠

，

D．

，

，|F1F2|=2c，由此可以求出双曲线的离心率e． ，|F1F2|=2c，

∴

22

4

2

2

2

，

4

22

4

∴4ac=b=（c﹣a）=c﹣2ac+a，

42

整理得e﹣6e+1=0，

解得或（舍去） 故选C．

点评： 本题考查双曲线的离心率，解题要注意时双曲线的离心率大于1．

11．（5分）设实数x，y满足，则μ=的取值范围是（）

A． [，2] B． [，] C． [，2] D． [2，]

考点： 简单线性规划．

专题： 计算题；不等式的解法及应用；直线与圆．

- 9 -

分析： 根据不等式组画出可行域，得到如图所示的△ABC及其内部的区域．设P（x，y）为区域内一点，根据斜率计算公式可得μ=表示直线OP的斜率，运动点P得到PQ斜率的最大、最小值，即可得到μ=的取值范围．

解答： 解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图所示的△ABC及其内部的区域 其中A（1，2），B（4，2），C（3，1） 设P（x，y）为区域内的动点，可得μ=表示直线OP的斜率， 其中P（x，y）在区域内运动，O是坐标原点．

运动点P，可得当P与A点重合时，μ=2达到最大值； 当P与C点重合时，μ=达到最小值． 综上所述，μ=的取值范围是[，2] 故选：A

点评： 本题给出二元一次不等式组，求μ=的取值范围．着重考查了直线的斜率公式、二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于中档题．

12．（5分）F1，F2是椭圆AF1F2的面积为（） A． 7

B．

C．

D．

的两个焦点，A为椭圆上一点，且∠AF1F2=45°，则三角形

考点： 椭圆的简单性质． 专题： 计算题．

分析： 求出F1F2的 长度，由椭圆的定义可得AF2=6﹣AF1，由余弦定理求得AF1=，从而求得三角形AF1F2的面积．

解答： 解：由题意可得 a=3，b=

2

2

2

，c=

2

，故 ，AF1+AF2=6，AF2=6﹣AF1，

∵AF2=AF1+F1F2﹣2AF1?F1F2cos45°=AF1﹣4AF1+8，

∴（6﹣AF1）=AF1﹣4AF1+8，AF1=，故三角形AF1F2的面积S=××

2

2

×=．

- 10 -

点评： 本题考查椭圆的定义、标准方程，简单性质，以及余弦定理的应用，求出 AF1 的值，是解题的关键．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．（5分）如图，矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆数为96颗，以此实验数据为依据可以估计出椭圆的面积约为 16.32．

考点： 几何概型． 专题： 计算题．

分析： 欲估计出椭圆的面积，利用几何概型求解，只须先求出黄豆落在椭圆外的概率，再结合面积比列等式

即得．

解答： 解：∵由几何概型得：

即

∴椭圆的面积约为：s=16.32． 故答案为：16.32．

点评： 本题考查几何概型的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积和总面积的比，这个比即事件（A）发生的概率．

14．（5分）一次数学测验后某班成绩均在如图给出的是计算其中菱形判断框内应填入的条件是i＞10．

的值的一个框图，

- 11 -

考点： 程序框图． 专题： 压轴题．

分析： 由本程序的功能是计算

的值，由S=S+

，故我们知道最后一次进行

循环时的条件为i=10，当i＞10应退出循环输出S的值，由此不难得到判断框中的条件． 解答： 解：∵S=并由流程图中S=S+故循环的初值为1 终值为10、 步长为1

故经过10次循环才能算出S=

的值，

故i≤10，应不满足条件，继续循环 ∴应i＞10，应满足条件，退出循环 填入“i＞10”． 故答案为：i＞10

点评： 算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新2015届高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．

16．（5分）设双曲线x﹣y=1的两条渐近线与直线

2

2

围成的三角形区域（包含边界）为D，

．

点P（x，y）为D内的一个动点，则目标函数z=x﹣2y的最小值为﹣

考点： 双曲线的简单性质． 专题： 计算题．

- 12 -

分析： 求出双曲线x﹣y=1的两条渐近线方程，然后把这两个方程和直线

22

构成三个方

程组，解这三个方程组的解，得到三角形三个顶点的坐标，把这三个顶点坐标分别代入目标函数z=x﹣2y得到三个值，其中最小的就是目标函数z=x﹣2y的最小值．

解答： 解：双曲线x﹣y=1的两条渐近线是y=±x，解方程组

22

，，

得到三角形区域的顶点坐标是A0）．∴

∴目标函数z=x﹣2y的最小值为答案：

．

，

．

，B，C（0，，zC=0．

点评： 把三角形区域三个顶点坐标分别代入目标函数z=x﹣2y得到三个值，其中最小的就是目标函数z=x﹣2y的最小值．

三、解答题（共70分，每题的解答要有必要的推理过程，直接写结果不得分） 17．（10分）下表提供了某新生婴儿成长过程中时间x（月）与相应的体重y（公斤）的几组对照数据． x 0 1 2 3 y 3 3.5 4.5 5 （1）如y与x具有较好的线性关系，请根据表中提供的数据，求出线性回归方程：=bx+a； （2）由此推测当婴儿生长到五个月时的体重为多少？

参考公式：a=，b=．

考点： 线性回归方程． 专题： 概率与统计．

分析： （1）利用已知条件求出，样本中心坐标，利用参考公式求出b，a，然后求出线性回归方程：=bx+a；

（2）通过x=5，利用回归直线方程，推测当婴儿生长到五个月时的体重． 解答： 解：（1）

；

- 13 -

=

=，

．

（2）当x=5时，．

答：由此推测当婴儿生长到五个月时的体重约是6.45公斤．

点评： 本题考查回归直线方程的求法与应用，基本知识的考查，难度不大． 18．（12分）一个容量为M的样本数据，其频率分布表如表． 分组 频数 频率 （10，20] 2 0.10 （20，30] 3 0.15

（30，40] 4 0.20 （40，50] 5 0.25 （50，60] 4 0.20 （60，70] 2 0.10 合计 20 1.00

（Ⅰ）完成频率分布表； （Ⅱ）画出频率分布直方图；

（Ⅲ）利用频率分布直方图，估计总体的众数、中位数及平均数．

考点： 频率分布表；频率分布直方图；众数、中位数、平均数． 专题： 概率与统计．

分析： （1）根据小组（10，20]的频数与频率，求出样本容量，再求出各小组对应的数据，补充完整频率分布表；

（2）根据频率分布表，画出频率分布直方图；

（3）根据频率分布直方图，求出众数、平均数与中位数．

解答： 解：（1）在小组（10，20]中，频数是2，频率是0.10，∴样本数据为∴小组根据频率分布表，画出频率分布直方图如下：

=20；

- 14 -

（3）根据频率分布直方图，得； 图中最高的小矩形的底边中点坐标是

=45，∴众数为45；

平均数为=15×0.1+25×0.15+35×0.20+45×0.25+55×0.20+65×0.10=41； ∵0.10+0.15+0.20=0.45＜0.5， 0.45+0.25=0.70＞0.5， 令0.45+0.25×

x=0.5，

解得x=2，∴中位数为40+2=42．

点评： 本题考查了频率分布直方图的应用问题，解题时应利用分布直方图进行有关的运算，是基础题目．

19．（12分）抛物线顶点在原点，它的准线过双曲线

﹣

=1（a＞0，b＞0）的一个焦点，

并与双曲线实轴垂直，已知抛物线与双曲线的一个交点为（，），求抛物线与双曲线方程．

考点： 抛物线的标准方程；双曲线的标准方程． 专题： 计算题．

分析： 首先根据抛物线的准线过双曲线的焦点，可得p=2c，再利用抛物线与双曲线同过交点（，

），求出c、p的值，进而结合双曲线的性质a+b=c，求解即可．

2

2

2

解答： 解：由题设知，抛物线以双曲线的右焦点为焦点，准线过双曲线的左焦点，∴p=2c．设

2

抛物线方程为y=4c?x， ∵抛物线过点（，

），∴6=4c?．

2

∴c=1，故抛物线方程为y=4x． 又双曲线

﹣

=1过点（，

），

∴﹣=1．又a+b=c=1，∴

222

﹣=1．

- 15 -

∴a=或a=9（舍）． ∴b=，

2

22

故双曲线方程为：4x﹣

2

=1．

点评： 本题考查了抛物线和双曲线方程的求法：待定系数法，熟练掌握圆锥曲线的性质是解题的关键，同时考查了学生的基本运算能力与运算技巧．

20．（12分）过抛物线y=2mx（m＞0）的焦点F倾斜角为

2

的直线交抛物线于A、B两点，弦

长为|AB|．命题p：|AB|≥4，命题q：方程+=1（m∈R）表示双曲线，如p∧q为假，

p∨q为真，求实数m的取值范围．

考点： 命题的真假判断与应用． 专题： 简易逻辑．

分析： 通过抛物线的焦点坐标，直线的斜率，推出直线方程，然后联立方程组求出AB，通过p、q是真命题求出m的范围，然后通过的话明天的真假，推出结果． 解答： 解∵抛物线y=2mx（m＞0）∴焦点∵直线AB的倾斜角为

∴方程为

，

2

，

∴，

∴，

|AB|=x1+x2+m=4m 若P为真，则4m≥4 ∵m＞0 ∴m≥1，

若q为真，则（m﹣2）（m+1）＜0 ∴﹣1＜m＜2

∵p∧q为假，p∨q为真∴p，q一真一假 ①P真q假时

②p假q真时，

综上所述m∈（﹣1，1）∪[2，+∞）．

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点评： 本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，弦长公式的应用，复合命题的真假的判断与应用，考查分析问题解决问题的能力．

22

21．（12分）已知关于x的一元二次方程x﹣2（a﹣2）﹣b+16=0．

（1）若a、b是一枚骰子掷两次所得到的点数，求方程有两正根的概率； （2）若a∈[2，4]，b∈[0，6]，求方程没有实根的概率．

考点： 几何概型；古典概型及其概率计算公式． 专题： 概率与统计．

分析： （1）本题是一个古典概型，用（a，b）表示一枚骰子投掷两次所得到的点数的事件，基本事件（a，b）的总数有36个，

22

满足条件的事件是二次方程x﹣2（a﹣2）x﹣b+16=0有两正根，根据实根分布得到关系式，即可得到概率．

（2）本题是一个几何概型，试验的全部结果构成区域Ω={（a，b）|2≤a≤6，0≤b≤4}，

22

满足条件的事件为：B={（a，b）|2≤a≤6，0≤b≤4，（a﹣2）+b＜16}，求出两者的面积，即可得到概率．

解答： 解：设“方程有两个正根”的事件为A，

（1）由题意知本题是一个古典概型用（a，b）表示一枚骰子投掷两次所得到的点数的事件 依题意知，基本事件（a，b）的总数有36个，

22

二次方程x﹣2（a﹣2）x﹣b+16=0有两正根，等价于

，即，

则事件A包含的基本事件为（6，1）、（6，2）、（6，3）、（5，3）共4个 ∴所求的概率为P（A）=；

（2）由题意知本题是一个几何概型，

试验的全部结果构成区域Ω={（a，b）|2≤a≤4，0≤b≤6}， 其面积为S（Ω）=12

22

满足条件的事件为：B={（a，b）|2≤a≤4，0≤b≤6，（a﹣2）+b＜16}，如图中阴影部分所示，

其面积为S（B）=∴所求的概率P（B）=

+．

=

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点评： 本题考查古典概型和几何概型，几何概型和古典概型是高中必修中学习的，2015届高考时常以选择和填空出现，有时文科会考这种类型的解答题目．

22．（12分）已知椭圆

的离心率

，过点A（0，﹣b）和B（a，0）

的直线与原点的距离为．

（1）求椭圆的方程；

（2）已知定点E（﹣1，0），若直线y=kx+2（k≠0）与椭圆交于C、D两点，问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点？请说明理由．

考点： 圆与圆锥曲线的综合；椭圆的标准方程． 专题： 综合题．

分析： （1）直线AB方程为bx﹣ay﹣ab=0，依题意可得：，由此能求出椭

圆的方程．

（2）假设存在这样的值．

，得（1+3k）x+12kx+9=0，再由根的判别式和根

2

2

与系数的关系进行求解． 解答： 解：（1）直线AB方程为bx﹣ay﹣ab=0，

依题意可得：，

解得：a=3，b=1，

2

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∴椭圆的方程为．

（2）假设存在这样的值．

，

得（1+3k）x+12kx+9=0，

22

∴△=（12k）﹣36（1+3k）＞0…①， 设C（x1，y1），D（x2，y2），

2

2

则

而y1?y2=（kx1+2）（kx2+2）=kx1x2+2k（x1+x2）+4， 要使以CD为直径的圆过点E（﹣1，0）， 当且仅当CE⊥DE时， 则y1y2+（x1+1）（x2+1）=0，

2

∴（k+1）x1x2+（2k+1）（x1+x2）+5=0…③ 将②代入③整理得k=，

经验证k=使得①成立综上可知，存在k=使得以CD为直径的圆过点E．

点评： 本题考查圆与圆锥曲线的综合性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．

2

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