高三23—矩阵行列式算法

高三数学

教师 学生 课程编号 课题 课型 日期 复习课 秋季班 矩阵行列式算法 教学目标 1. 掌握矩阵行列式算法的基本概念； 2. 会求二元一次线性方程组中相关问题，会计算行列式的值； 3. 会根据行列式判断方程组解得情况； 4. 能够读懂程序框图，并能够得出运算结果。 教学重点 1． 行列式的运算及方程组解得情况的判断； 2． 能够根据程序框图得出运算结果。 教学安排 1 2 3 4

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矩阵行列式算法

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矩阵行列式算法

一、矩阵

1.矩阵的相关定义：

（1）由m个行向量与n个列向量组成的矩阵称为m?n阶矩阵记做Am?n如矩阵??为

，3?1????512128???2?1阶矩阵，可记做A2?1；矩阵?363836?为3?3阶矩阵；

?232128???（2）矩阵中的每一个数字叫做矩阵的元素；

（3）零矩阵：当一个矩阵中所有元素均为0时，我们称这个矩阵为零矩阵；

（4）方阵：当一个矩阵的行数与列数相等时，这个矩阵称为方矩阵，简称方阵；特别的，若一个n阶方阵从左上角到右下角的对角线上的所有元素均为1，其余均为0，这样的方阵叫做单位矩阵；

（5）相等的矩阵：如果矩阵A与矩阵B是同阶矩阵，当且仅当它们对应位置的元素都相等时，那么矩阵A与矩阵B叫做相等的矩阵，记为A?B；

（6）系数矩阵和增广矩阵

注：增广矩阵中最后一列数字一定是线性方程中等于号右边的常数，同时注意有系数为0以及系数颠倒的情形。

2.矩阵的运算

（1）矩阵的加减法：两个同阶的矩阵相加减就是把两个矩阵的对应元素相加减得到的一个新矩阵。

（2）矩阵的数乘：一个数乘以一个矩阵等于这个矩阵的所有元素都乘以这个数字从而得到的一个新矩阵。

（3）矩阵的乘积：一般，设A是m?k阶矩阵，B是k?n阶矩阵，设C为m?n矩阵 如果矩阵C中第i行第j列元素Cij是矩阵A第i个行向量与矩阵B的第j个列向量的数量积，那么C矩阵叫做A与B的乘积.记作：C?AB．

分配律：A(B?C)?AB?AC，(B?C)A?BA?CA 结合律：??AB????A?B?A??B?，?AB?C?A?BC? 注：交换律不成立，即AB?BA

（4）用矩阵初等行变换求解方程组的解：①互换两行；②某一行乘以一个非零常数；

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③将某一行乘以一个非零常数加到另一行上。最终的目的在于将增广矩阵前面的系数矩阵变成单位矩阵，最后一列数即为方程组的解。

?ab????Px,yA?（5）点经过矩阵?cd??变换后得到新的点Q的坐标为?ax?by,cx?dy????ab??x??ax?by?即??cd?????y?????cx?dy?? ??????二、行列式

1.二阶行列式：

a1b1a2b2?a1b2?a2b1；

2.二元一次方程组的行列式解法

?a1x?b1y?c1二元一次方程组：?其中x,y是未知数，a1,a2,b1,b2不全为零

ax?by?c?222系数行列式：D?a1a2b1c1 , Dx?b2c2b1a1,Dy?b2a2c1c2．

?x???（1） 当D?0时，方程组有唯一解??y???DxD DyD（2） 当D?0,Dx?Dy?0时，方程组有无穷多解； （3） 当D?0,Dx,Dy中至少有一个不为零，方程组无解． 3.三阶行列式的几种算法

（1）对角线法则：如图，也可在行列式后面补上两列来解决；

（2）按照某一行或者某一列展开：三阶行列式的值等于某一行（列）的所有元素乘以它们的代数余子式相加。注意区分余子式和代数余子式的概念。 （3）计算器

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4.三元一次方程组的行列式解法

?a1x?b1y?c1z?d1?三元一次方程组?a2x?b2y?c2z?d2，

?ax?by?cz?d333?3a1行列式D?a2b1c1d1b1c1a1d1c1a1b1b2b3d1d2， d3a3b2c2,Dx?d2b3c3d3b2c2,Dy?a2b3c3a3d2c2,Dz?a2d3c3a3其中方程组的系数行列式为D， 则（1）D?0时，方程组有唯一解；

（2）D?0，Dx?Dy?Dz?0时，方程组无解或者有无穷多解；

（3）D?0，Dx,Dy,Dz中至少有一个不为0时，方程组无解； 注：注意区分第（2）种情况和二元一次方程组第二种情况。

5.已知xOy平面上三点A?x1,y1?，B、C为顶点的三角形ABCB?x2,y2?，C?x3,y3?以A、，

的面积为

1x22x3x1y11y21y31

6.一类特殊的行列式：三阶范德蒙德行列式

1aa21bb21c21aa21cc2

c?1bb2??b?a??c?b??c?a?三、算法

1.算法的三种逻辑结构：顺序、条件、循环；

2.算法可参照数列思想解决，可用列表法比较一目了然，也可借助于计算器。

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一、矩阵

?024?1???【例1】已知线性方程组的增广矩阵为?01a4?，若该线性方程组无解，则

?3571???a? ．

【难度】★

【答案】2 【例2】矩阵A??【难度】★

?305???211?，矩阵求矩阵X，使其满足2A?3X?B. B????，

??214??221?1?8?1??305???211???33【答案】X??2????????3???214??221?????20??3??． 7??3??1?3??2?10???【例3】计算两矩阵的积：???21?? ．

?31?2???50???【难度】★★ 【答案】??0?7??

?15?8?【例4】若线性方程组的增广矩阵为??【难度】★★ 【答案】-1

【例5】用矩阵变换解方程组?【难度】★★

【答案】方程组的增广矩阵为A????23c1??x?2?，解为，则c1–c2= ???y?1?32c2??5x?2y?10

2x?5y?8?210??5210??5??②×-5，①不变???10?25?40?? 258????

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