长江大学信号与系统5-3

5.5.3 因果性与稳定性 系统的因果性 在时域中，当激励

f (k)=0, k<0时，有yzs(k)=0, k<0。 或单位冲激响应h(k)=0, k<0。则该系统为因果系统。 即因果系统是激励加入之前不会出现响应的系统。

在Z域中，因果系统的判定：

在H(z)中不会出现Z的正幂； H(z)的收敛域必在某圆外； 在下式中，只有 m n

bm z m bm 1 z m 1 b1 z b0 H ( z) an z n an 1 z n 1 a1 z a0电信学院1

系统的稳定性 BIBO稳定性 在时域中,

若当 k 时，有h(k)=0,且k

| h(k ) | M

式中M为有限正常数，称稳定系统。也称为BIBO稳定. 在z域中，对因果系统而言，如果的全部极点都在单位

圆内，那么在中的全部项都是衰减的指数，从而是绝 对可加的。结果这个系统是BIBO稳定的，否则系统是 BIBO不稳定的。

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系统的稳定性 内部稳定性 系统函数的极点都在z平面的单位圆内(不包括单位圆

本身),系统是渐近稳定的。这些极点可以是重极点 或单极点。 至少有一个极点在单位圆外或(和)在单位圆上有重

极点。系统是不稳定的。 在单位圆上有单极点，此系统是边界稳定的。

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MATLAB确定零极点的位置 系统函数z 1 2 z 2 z 3 H ( z) 2 4.5 z 1 0.5 z 2 3z 3 2 z 4

程序 b=[0

1 2 1 0]; a=[2 4.5 -0.5 3 2]; zplane(b,a);

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系统的强迫响应 系统的零状态响应Yzs ( z ) H ( z ) F ( z ) K

(z z ) (z z )j

m

u

(z p ) (z p )i j i 1 j 1

j 1 n

l

l 1 m

m zK j zK i i 1 z pi j 1 z p j n

自由响应, 系统函数H(z) 的极点展开的项n k

强迫响应, 输入信号F(z) 的极点展开的项m

y zs (k ) y h (k ) y p (k ) K i ( pi ) K j ( p j ) ki 1 j 1

k 05

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系统的强迫响应 输入信号 f (k ) k (k )强迫响应, 输入信号 F(z)的极点决定

z Yzs ( z ) H ( z ) Yh ( z ) Y p ( z ) z 自由响应, 系统函数 H(z)的极点决定

zK Y p ( z) z

K H ( z) z H ( ) 强迫响应为

y p (k ) H ( ) k (k )y p (k ) H (1) (k )6

输入信号 f (k ) (k ) 强迫响应为

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例 5.15 已知系统函数H ( z) z 1.1 ( z 0.1)(z 0.3)

k 输入信号 f (k ) 4(0.5) (k ) 解 输入信号的极点 p=0.5

求强迫响应。

H ( z)强迫响应为

z 0.5

1.6 5 (0.4)(0.8)

y p (k ) 5 4 (0.5) k (k ) 20(0.5) k (k )

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例 5.16已知系统函数 H ( z ) 的稳态响应yss(k)。 解：因为对 k 0 ,输入是常数，

输入信号的极点 p=1,2z 1 ,求它对 f (k ) 6 (k ) 2 z 0.5 z 0.5

H (1) 0.5故，稳态响应为

yss (k ) 6 0.5 3 (k )

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系统的正弦稳态响应 系统函数与复指数信号y zs (k ) h(k ) f (k ) h(k ) z k i

返回

h(i) z k i z k j k

i

h(i) z i 本征信号j k

y zs (k ) H ( z ) z k

令 z e j

e

H (e )ej

j

j j k 两边取实部，得出 cos k Re[H (e )e ]

H (e ) | H (e ) | e

j

j H ( e j )

cos k | H (e j ) | cos[ k H (e j )]电信学院9

系统的正弦稳态响应 对于稳定的系统，系统函数H(z)的极点都在单位圆 内，输入信号为

f (k ) A cos( k ) (k ) 自由响应将随时间的增加而衰减，仅留下正弦分 量的强迫响应。 也称为正弦稳态响应。

yss (k ) A | H (e ) | cos[ k H (e )] (k )j j

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例 5.17已知差分方程为 y (k ) 0.5 y (k 1) f (k,求它对 )

f (k ) 10 cos(0.5 k 60 ) 的稳态响应yss(k)。1 解： 系统函数为 H ( z ) 1 0.5 z 1

1 1 H (e ) 0.89443 26.6 j 0.5 1 j 0.5 1 0.5 e 故，稳态响应为j 0.5

yss (k ) 10(0.89443 ) cos(0.5 k 60 26.6 ) 8.9443 cos(0.5 k 33.4 )电信学院

5.6 系统实现 离散系统的表示b1f (k )

z 1

z 1

b0

y (k )

-a1

-a0f (k )

-a1 -a0

y (k )

z z

1

f (k )

b1 1

-a1

z

1

y (k )

b0-a0

b1

z 1

b0

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例 5.18已知离散系统的单位冲激响应

h(k ) (0.5k 0.4k ) (k )画出该系统的信号流图。 解：系统函数为 H ( z ) z z 0.1z z 0.5 z 0.4 ( z 0.5)( z 0.4)

0.1z 0.1z 1 2 z 0.9 z 0.2 1 0.9 z 1 0.2 z 2 系统的信号流图如图所示 0 .1F (z )

1

z 10 .9

z 1

Y (z )

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0.213

例5.19

系统模拟

对于离散线性因果系统的差分方程3 1 1 y (k ) y (k 1) y (k 2) f (k ) f (k 1) 4 8 3

画出实现该系统的模拟图： (1)直接形式； (2)级联形式； (3)并联形式。1 1 z 1 3 系统函数为： H ( z ) 3 1 1 2 1 z z 4 814

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直接形式的模拟图y (k ) 3 1 1 y (k 1) y (k 2) f (k ) f (k 1) 4 8 3 f (k ) 1 1 1 z z 13 3 1 1 2 1 z z 4 8 3 4

返回

y (k )1 3

H ( z)

z 13 4 1 8

z 1

f (k ) 1 8

y (k )1 3

z 1 z 1

1 3

y (k )

f (k )

z 13 4 1 8

z 1

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级联形式的模拟图1 1 z 1 3 H ( z) 1 1 1 1 z 1 1 4 z 2 1

返回

f (k )

1 2

1 4

y (k )

z 1

z 1

1 3

电信

学院

并联形式的模拟图 7 3 H ( z) 1 z 1 1 z 1 410 3 1 1 2

返回

10 3

1 2

f (k ) 7 3

z 1 z 1

y (k )

1 4

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例 5.20已知如图所示系统。求系统的单位冲激响应h(k);若 f(k) =(3)k (k),求系统的零状态响应 y(k)。解：系统函数为： 1 1 H ( z) f (k ) z 1 z 2 h(k ) [( 1) k 1 ( 2) k 1 ] (k 1)2z 3 z Y ( z) H ( z)F ( z) ( z 1)( z 2) z 3 9 1 1 z z 20 5 z 4 z 3 z 1 z 2

z-1 -1 y (k )

z-1 -2

1 1 9 y (k ) (3) k ( 1) k ( 2) k (k ) 4 5 20 电信学院18

系统模拟图：F (z )

例 5.21 z 11 6 1 1 z 2

Y (z )

k k 已知系统的阶跃响应 g (k ) [ ( 1) 2 ( 2) ] (k ) 。 3 求系统在 f(k) =(-3)k (k),求系统的零状态响应 y(k)。写出 -3 该系统的差分方程，画出一种模拟图。

解：G( z )

z z z z z 1 z 1 z 2 ( z 1)( z 1)( z 2) G( z ) z z 1 H ( z) 2 Z [ (k )] z 3z 2 1 3z 1 2 z 2

1 6

1 2

2 3

-2 2

1z 3z z2 2z Y ( z) H ( z) F ( z) 2 2 ( z 1)( z 2)( z 3) z 1 z 2 z 3

零状态响应：y(k ) [ 0.5( 1) k 2( 2) k 1.5( 3) k ] (k ) 系统的差分方程： y(k ) 3 y(k 1) 2 y(k 2) f (k 1)电信学院19

课堂小结 重点和难点

系统的因果性 稳定性 外部稳定性：BIBO稳定性 内部稳定性：系统极点决定 三种强迫响应 系统实现方法 系统方框图和信号流图 直接、级联、并联 系统稳定性判别 三种强迫响应的求法 系统的方框图表示电信学院20

基本要求

作业 5-11 5-12 5-16

选做 5-25

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/yoj4.html